考研数学中值定理证明题技巧以及结论汇总

目录

第一部分：中值定理结论总结.................................................................. .. (1)

1、介值定理.................................................................. (1)

2、零点定理.................................................................. (2)

3、罗尔定理.................................................................. (2)

4、拉格朗日中值定理.................................................................. .. (2)

5、柯西中值定理.................................................................. . (2)

6、积分中值定理.................................................................. . (3)

第二部分：定理运用.................................................................. . (3)

第三部分：构造函数基本方法.................................................................. .. (9)

一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系 (10)

二、二阶导数与原函数之间关系.................................................................. (11)

第四部分：中值定理重点题型分类汇总（包含所有题型) (14)

题型一：中值定理中关于θ的问题

题型二：证明f(n)(ξ)=0

题型三：证明f(n)(ξ)=C0(≠0)

题型四：结论中含一个中值ξ，不含a,b，导数的差距为一阶题型五：含两个中值ξ,η的问题

题型六：含a,b及中值ξ的问题

题型七：杂例

题型八：二阶保号性问题

题型九：中值定理证明不等式问题

第一部分：中值定理结论总结

1、介值定理

：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值

f(a)=A及

f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得

f(ξ)=C(a<ξ

Ps:c是介于A、B之间的，结论中的ξ取开区间。

介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M，最小值

m,若m≤C≤M,则必存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=C。闭区间上的连续函数必取

得介于最大

值M与最小值m之间的任何值。此条推论运用较多）

Ps：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数

或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小

值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。

2、零点定理

：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内

至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.

Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.

3、罗尔定理

：如果函数f(x)满足：

（1）、在闭区间[a,b]上连续；

（2）、在开区间(a,b)内可导;

（3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).

那么在(a,b)内至少有一点ξ(

4、拉格朗日中值定理

：如果函数f(x)满足：

（1）、在闭区间[a,b]上连续；

（2）、在开区间(a,b)内可导;

那么在(a,b)内至少有一点ξ(

f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).

5、柯西中值定理

：如果函数f(x)及g(x)满足

（1）、在闭区间[a,b]上连续；

（2）、在开区间(a,b)内可导;

（3）、对任一x(a

那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得

f(b)f(a) g(b)g(a)f`() g`()

Ps：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

6、积分中值定理

：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点[a,b]使得b

a

f(x)dxf()(ba)

Ps：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。但是在开区间上也是满足的，下面

我们来证明下其在开区间内也成立，即定理变为：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至

少存在一点(a,b)使得b

a

f(x)dxf()(ba)

证明：设F(x)x

a

f(x)dx，x[a,b]

因为f(x)在闭区间上连续，则F(x)在闭区间上连续且在开区间上可导（导函数即

为f(x)）。

则对F(x)由拉格朗日中值定理有：