与函数有关的新定义题型

与函数有关的新定义题型

1．(2016长沙25题10分)若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．

(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；

(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，

求此“路线”L 的解析式；

(3)当常数k 满足12≤k ≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y

轴所围成的三角形面积的取值范围．

2．(2015长沙25题10分)在直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点．．．．．．称之为“中国结”．

(1)求函数y ＝3x ＋2的图象上所有“中国结”的坐标；

(2)若函数y ＝k x (k ≠0，k 为常数)的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与

相应“中国结”的坐标；

(3)若二次函数y ＝(k 2－3k ＋2)x 2＋(2k 2－4k ＋1)x ＋k 2－k (k 为常数)的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含有多少个“中国结”

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3．(2014长沙25题10分)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点(－1，－1)，(0，0)，(2，2)，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．

(1)若点P (2，m )是反比例函数y ＝n x (n 为常数，n ≠0)的图象上的“梦之点”，求这个反比例

函数的解析式；

(2)函数y ＝3kx ＋s －1(k ，s 是常数)的图象上存在“梦之点”吗若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 是常数，a >0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A (x 1，

x 1)，B (x 2，x 2)，且满足－2

4．(2013长沙25题10分)设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ，我们就称此函数是闭区间[m ，n ]上的“闭函数”．

(1)反比例函数y ＝2013x 是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗请判断并说明理由；

(2)若一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)是闭区间[m ，n ]上的“闭函数”，求此函数的解析式；

(3)若二次函数y ＝15x 2－45x －75是闭区间[a ，b ]上的“闭函数”，求实数a ，b 的值．

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5. (2017长沙25题10分)若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x ，y ，z 构成“和谐三数组”．

(1)实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗请说明理由；

(2)若M(t ，y 1)，N (t ＋1，y 2)，R (t ＋3，y 3)三点均在函数y ＝k x (k 为常数，k ≠0)的图象上，

且这三点的纵坐标y 1，y 2，y 3构成“和谐三数组”，求实数t 的值；

(3)若直线y ＝2bx ＋2c(bc ≠0)与x 轴交于点A (x 1，0)，与抛物线y ＝ax 2＋3bx ＋3c(a ≠0)交于B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)两点．

①求证：A ，B ，C 三点的横坐标x 1，x 2，x 3构成“和谐三数组”；

②若a >2b >3c ，x 2＝1，求点P (c a ，b a )与原点O 的距离OP 的取值范围．

6．(2011长沙25题10分)使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y ＝x －1，令y ＝0，可得x ＝1，我们就说1是函数y ＝x －1的零点．

已知函数y ＝x 2－2mx －2(m ＋3)(m 为常数)．

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(1)当m ＝0时，求该函数的零点；

(2)证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；

(3)设函数的两个零点分别为x 1和x 2，且1x 1＋1x 2

＝－14，此时函数图象与x 轴的交点分别为A 、B (点A 在点B 左侧)，点M 在直线y ＝x －10上，当MA ＋MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．

7.(2018长沙26题10分)我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；

②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；

（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；

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①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．