Benford定律
本福特定律公式
本福特定律公式
摘要：
一、引言
二、本福特定律的定义和背景
三、本福特定律的公式推导
四、本福特定律在实际生活中的应用
五、本福特定律与其他数学定律的关系
六、结论
正文：
一、引言
本篇文章将介绍一个在概率论中非常重要的定律——本福特定律，又称本福尔正态分布定律。
该定律描述了在大量独立随机变量的情况下，其平均值和标准差之间的关系。
本福特定律在许多领域中都有着广泛的应用，如金融、统计学等。
二、本福特定律的定义和背景
本福特定律是由英国数学家本福特定于19世纪提出的。
它指出，当独立随机变量X1，X2，…，Xn的均值为μ，方差为σ^2时，这些变量之和的概率分布将近似于正态分布，其均值和方差分别为nμ和nσ^2。
三、本福特定律的公式推导
本福特定律的数学表达式如下：
P(μ - σ√n ≤X ≤ μ + σ√n) ≈ 0.6826
其中，X为n个独立随机变量之和，μ为其均值，σ为其标准差。
四、本福特定律在实际生活中的应用
本福特定律在实际生活中有着广泛的应用，例如在金融领域，它可以用来估算股票价格的波动范围；在统计学中，它可以用来预测抽样误差等。
五、本福特定律与其他数学定律的关系
本福特定律是中心极限定理的一个特例。
中心极限定理指出，在一定条件下，大量独立随机变量的均值分布趋近于正态分布。
六、结论
本福特定律是概率论中一个非常重要的定律，它为我们理解和预测随机现象提供了一个有力的工具。
本福特定律
1881年，天文学家西蒙·纽康伯发现对数表包含以1起首的数那首几页较其他页破烂。
可是，亦可以以任何书起首数页也会较破烂这个观点解释。
这个故事可能是虚构的。
1938年，物理学家法兰克·本福特重新发现这个现象，还通过了检查许多数据来证实这点。
2009年，西班牙数学家在素数中发现了一种新模式，并且惊讶于为何那时才为人发现。
虽然素数一般被认为是随机分布的，但西班牙数学家发现素数数列中每个素数的首位数字有明显的分布规律，它可以被描述了素数的本福德法则。
这项新发现除了提供对素数属性的新洞见之外，还能应用于欺骗检测和股票市场分析等领域。
数字统计的一种内在规律，指所有自然随机变量，只要样本空间足够大，每一样本首位数字为1至9各数字的概率在一定范围内具有稳定性。
见右图。
即以1开首的样本占样本空间的0.3，以2开首的样本占样本空间0.17-0.19，而以9或8开首的样本始终只占0.05左右。
世界上千千万万的数据的开头数字是1到9中的任何一个数字，而且每个数字打头的概率本应该差不多，但如果你统计的数据足够多，就会惊讶地发现，打头数字是1的数据最多。
1935年，美国的一位叫做本福特的物理学家在图书馆翻阅对数表时发现，对数表的头几页比后面的页更脏一些，这说明头几页在平时被更多的人翻阅。
本福特再进一步研究后发现，只要数据的样本足够多，数据中以1为开头的数字出现的频率并不是1/9，而是30.1%。
而以2为首的数字出现的频率是17.6%，往后出现频率依次减少，9的出现频率最低，只有4.6%。
本福特开始对其它数字进行调查，发现各种完全不相同的数据，比如人口、物理和化学常数、棒球统计表以及斐波纳契数列数字中，均有这个定律的身影。
1961年，一位美国科学家提出，本福特定律其实是数字累加造成的现象，即使没有单位的数字。
比如，假设股票市场上的指数一开始是1000点，并以每年10%的程度上升，那么要用7年多时间，这个指数才能从1000点上升到2000点的水平；而由2000点上升到 3000点只需要4年多时间；但是，如果要让指数从10000点上升到20000点，还需要等7年多的时间。
本福德定律
本福德定律
本福德定律（Benford's Law），也称为“第一数字定律”，是一
种数学规律。
根据这个定律，在很多情况下，数字以特定的概率分布出现，其中第一个数字为1的数字比例最高，随着数字变大，比例逐渐减小。
例如，在一组财务数据中，第一个数字为1的数字出现的概率约为30%，而第一个数字为9的数字出现概率仅为4.6%。
这
个规律在很多领域都有应用，包括金融、统计分析、自然科学、计算机科学等等。
本福德定律的应用场景非常广泛。
在金融领域，我们可以用它来检测可能的欺诈行为。
例如，如果一家公司的财务报表中，第一个数字为1的数字出现的比例低于预期，很可能说明有非法操作。
在统计学中，本福德定律也可以用来检测数据是否真实，以及确定样本是否具有代表性。
在自然科学中，这个定律被用来研究各种现象，例如天体物理学、地理学等等。
除了以上应用，本福德定律还有很多其他的应用场景。
例如在电影评分领域，这个定律可以用来发现哪些电影评分是被人为操纵的。
在股市分析领域，我们可以用这个定律来找到潜在的投资机会。
在自然语言处理领域，本福德定律可以用来研究语言学中的文章以及文本特征。
虽然在实际应用中，本福德定律并不总是适用，但是它仍然是一个非常强大的工具。
我们可以结合其他的分析方法，来对数据进行更加精确的分析。
本福德定律
本福德定律本福德定律（The Benford's Law）是指自然界和人类活动中的一类数字的分布不是均匀的，而是以数字1开头的数字出现的概率最高，接着是数字2，以此类推，以数字9开头的数字出现的概率最低。
本福德定律提出了一种统计规律，可以用来分析数字数据集的真实性和是否经过篡改。
本福德定律最初由美国天文学家Simon Newcomb和法国数学家Frank Benford在19世纪末独立发现并提出。
他们研究了一些真实的数字数据集，如河流长度、宇宙中恒星的亮度、数学常数等，发现这些数据的首位数字遵循本福德定律的分布规律。
根据本福德定律的规律，数字1开头的数字出现的概率约为30.1%，接下来依次是数字2（17.6%）、数字3（12.5%）、数字4（9.7%）、数字5（7.9%）、数字6（6.7%）、数字7（5.8%）、数字8（5.1%）、数字9（4.6%）。
这种不均匀的分布规律可以用以下公式表示：P(d) = log10(1 + 1/d)其中，P(d)表示首位数字是d的概率，d为1到9之间的整数。
本福德定律的原理可以解释为，由于真实的数字数据具有多样性和复杂性，数字的分布往往受到一些固定规律和局限性的影响，因此数字1作为最简单和最常用的数字，在真实的数据中出现的频率也最高。
本福德定律的应用领域非常广泛。
在金融领域，可以用本福德定律检测财务报表中有无篡改。
由于假账往往通过编造数字的方式进行，而编造数字不容易遵循本福德定律的分布规律，因此可以通过统计首位数字的分布来揭示潜在的财务不正行为。
在科学研究中，可以用本福德定律检验数据的真实性和准确性。
如果数据集的首位数字不符合本福德定律的分布规律，可能意味着数据集存在问题，需要进一步检查和验证。
除了数据分析，本福德定律还在其他领域有应用。
例如，在法律调查中，可以使用本福德定律检验证人陈述或文件上数字的真实性。
在选举投票中，可以通过分析候选人得票数的首位数字是否符合本福德定律，判断选举结果是否异常。
本福特定律
本福特定律本福特定律，也称为本福特法则，说明一堆从实际生活得出的数据中，以1为首位数字的数的出现概率约为总数的三成，接近直觉得出之期望值1/9的3倍。
推广来说，越大的数，以它为首几位的数出现的概率就越低。
它可用于检查各种数据是否有造假。
定义编辑播报本福特定律，也称为本福德法则，说明一堆从实际生活得出的数据中，以1为首位数字的数的出现机率约为总数的三成，接近期望值1/9的3倍。
推广来说，越大的数，以它为首几位的数出现的机率就越低。
它可用于检查各种数据是否有造假。
[1]数学编辑播报本福特定律说明在b进位制中，以数n起头的数出现的概率为本福特定律不但适用于个位数字，连多位的数也可用。
在十进制首位数字的出现概率（%，小数点后一个位）：不完整的解释一组平均增长的数据开始时，增长得较慢，由最初的数字a增长到另一个数字a+1起首的数的时间，必然比a+1起首的数增长到a+2，需要更多时间，所以出现率就更高了。
从数数目来说，顺序从1开始数，1,2,3,...,9，从这点终结的话，所有数起首的机会似乎相同，但9之后的两位数10至19，以1起首的数又大大抛离了其他数了。
而下一堆9起首的数出现之前，必然会经过一堆以2,3,4,...,8起首的数。
若果这样数法有个终结点，以1起首的数的出现率一般都比9大。
这个定律的严格证明，可以参见Hill, T. P. "A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law." Stat. Sci. 10, 354-363, 1996.。
应用1972年，Hal Varian提出这个定律来用作检查支持某些公共计划的经济数据有否欺瞒之处。
1992年，Mark J. Nigrini便在其博士论文"The Detection of Income Tax Evasion Through an Analysis of Digital Frequencies."（Ph.D. thesis. Cincinnati, OH: University of Cincinnati, 1992.）提出以它检查是否有伪帐。
本福德定律
本福德定律简介本福德定律（Benford’s Law），又称为一位数字定律（First Digit Law），是一种关于数字分布的统计规律。
它指出，在许多真实世界的数据集中，以1开头的数字出现的频率要远远高于其他数字。
该定律由美国天文学家弗兰克·本福德（Frank Benford）于1938年首次提出，并在后来被广泛应用于各个领域，包括会计、金融、自然科学、社会科学等。
定理表述本福德定律可以用如下的方式表述：在许多数据集中，以1开头的数字作为首位数字出现的概率约为30.1%，其次是以2开头的数字约为17.6%，以此类推，直到以9开头的数字仅占约4.6%。
具体而言，如果我们有一个大量数据组成的样本集合，如银行账户余额、人口统计数据、股票价格等等，我们可以将这些数值按照首位数字进行分类统计。
然后我们会发现，在这些数据中，以1开头的数字出现的频率明显高于其他数字。
原理解释要解释本福德定律背后的原理，我们需要了解一下数字的分布情况。
在自然界和许多人类活动中，数字往往是按指数增长的。
例如，人口数量、公司财务数据、地震震级等等，都呈现出这种指数增长的趋势。
根据对数学和统计学的分析，我们可以得出结论：如果一个数字具有均匀分布，则每个首位数字出现的频率应该是相同的。
然而，在实际数据中，我们发现以1开头的数字出现得更频繁，这意味着它们比其他数字更有可能成为首位数字。
这种不均匀性可以通过对数函数来解释。
具体而言，对于以1开头的数字来说，它们可以从10到19之间取值。
而以2开头的数字，则可以从20到29之间取值。
因此，在同一数量级上，以1开头的数字比以2开头的数字要多9倍。
同样地，以3开头的数字比以4开头的要多9倍。
基于这种指数增长规律和对数函数关系，本福德定律得出了在真实数据集中首位数字频率不均匀分布的结论。
应用领域本福德定律在各个领域都有广泛应用。
会计与金融在会计和金融领域，本福德定律可以用来检测财务舞弊和数据造假。
布拉德福定律
布拉德福将表1中旳科学期刊按其刊登论文 数量旳大小, 期刊分为包括同等数量论文旳三 个区。 （见表3）
其中：9：59：258≈1：5：25（BACK）
两个学科旳期刊分区表
布拉德福定律旳基本原理
所以，布氏定律能够描述为：假如将科学期刊按 其刊登某个学科旳论文数量旳大小,以渐减顺序排列,那 么能够把期刊分为专门面对这个学科旳关键区和涉及 着与关键区同等数量论文旳几种区。这时,关键区与相 继各区旳期刊数量成1:ａ:ａ2……旳关系。”
Ji J a i1 k J1aki1
区域法旳发展
（i=1,2, … ,k
k=2,3, … ,m)
式中，J1为关键区(第1区)旳期刊量，ak＞1，是J期 刊群k个区旳布拉德福系数。
因为总论文数A和期刊数J已经拟定了，一般说来a将 伴随分区数k旳增长而降低。而且存在着区域划分旳 一种最大值m，显然，这时关键J1和am应是最小旳。
区域法旳发展
高夫曼旳最小关键区与最大划分 1、研究目旳 1969年W．高夫曼等人，从研究血吸虫病和肥大细 胞旳详细文件入手，寻找拟定最大划分和最上关键旳 措施。 2、 假定有一群期刊数为J，总共刊登有关某一学科旳 论文数为A。将该群期刊按其刊登有关论文数量递减约 原则排序，继之再提成具有论文量相等旳k个区域，每 个区域有期刊J1，J2，…，Jk。由布拉德福定律可知
布拉德福定律形成旳背景
20世纪30年代旳出版背景 1、文摘开始占据主导地位 2、大量文摘“求全而录” 3、图书馆馆际合作不顺利，UDC推广不普遍。 当初科学发展旳背景 1、文件分散旳普遍性 2、科学统一性原则旳决定作用 3、文件统计研究旳兴起
布拉德福定律
布拉德福与其助手兰开斯特-琼斯所做旳工作 布拉德福定律旳基本原理 文件旳紊乱
文氏现象的名词解释
文氏现象的名词解释文氏现象（Benford's Law），又被称为“第一数字定律”或“Benford定律”，是由美国物理学家法兰克·文氏（Frank Benford）在1938年提出的一个定律。
该定律指出，自然界中很多数据的首位数字遵循一定的分布规律，即数字1出现的概率最高，紧随其后的是数字2，以此类推，数字9出现的概率最低。
文氏现象的重要性在于它对数字数据的统计分析及财务丑闻的检测具有广泛的应用价值。
而要理解这一现象，我们首先需要了解文氏现象是如何产生的。
文氏现象的产生源于我们对数字的认知和采样方式。
我们在日常生活中，往往更倾向于关注“重要”数字，比如整数或一些特殊数字。
在复杂的数据集中，这种倾向会导致数字的分布不均匀。
然而，当我们的数据集是由各种真实的自然现象所产生时，数字的分布往往呈现出一种有序的状态。
举个例子来解释文氏现象，假设我们将全球各国的人口数字收集起来。
数字1将成为首位数字的概率最高，因为世界上大多数国家的人口数字都以1开头，比如中国、印度等。
数字2位列第二位，因为有些国家的人口数字以2开头，比如巴西、日本等。
以此类推，数字9的概率最低，因为只有很少数国家的人口数字以9开头。
除了人口数据，文氏现象在其他领域也有相似的体现。
研究人员发现，在设备测量值、公司财务数据等领域，首位数字遵循文氏现象的分布规律。
这意味着我们可以利用文氏现象来验证数据的真实性，尤其对于存在财务造假行为的公司数据来说，文氏现象的存在可以被视为一种潜在的指标。
文氏现象的应用不仅限于财务领域，它还被广泛应用于科学研究、数据完整性验证等方面。
文氏现象能够帮助研究人员判断一个数据集是否存在异常值或人为造假行为，从而提高研究的可信度。
另外，文氏现象也引发了关于数据伪造的反思。
文氏现象揭示了我们对数字的认知偏见，我们更易受到以1开头的数字的影响，忽略了其他数字的出现频率。
这也提醒我们在统计分析中需要保持审慎的态度，不仅仅依赖于直观的观察结果，更要深入挖掘数据的背后逻辑，避免陷入数据的“幻象”。
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Benford本福德定律及其在审计工作中的应用数字统计的一种内在规律，指所有自然随机变量，只要样本空间足够大，每一样本首位数字为1至9各数字的概率在一定范围内具有稳定性。
见右图。
即以1开首的样本占样本空间的0.3，以2开首的样本占样本空间0.17-0.19，而以9或8开首的样本始终只占0.05左右。
世界上千千万万的数据的开头数字是1到9中的任何一个数字，而且每个数字打头的概率本应该差不多，但如果你统计的数据足够多，就会惊讶地发现，打头数字是1的数据最多。
1935年，美国的一位叫做本福特的物理学家在图书馆翻阅对数表时发现，对数表的头几页比后面的页更脏一些，这说明头几页在平时被更多的人翻阅。
本福特再进一步研究后发现，只要数据的样本足够多，数据中以1为开头的数字出现的频率并不是1/9，而是30.1%。
而以2为首的数字出现的频率是17.6%，往后出现频率依次减少，9的出现频率最低，只有4.6%。
本福特开始对其它数字进行调查，发现各种完全不相同的数据，比如人口、物理和化学常数、棒球统计表以及斐波纳契数列数字中，均有这个定律的身影。
1961年，一位美国科学家提出，本福特定律其实是数字累加造成的现象，即使没有单位的数字。
比如，假设股票市场上的指数一开始是1000点，并以每年10%的程度上升，那么要用7年多时间，这个指数才能从1000点上升到2000点的水平；而由2000点上升到3000点只需要4年多时间；但是，如果要让指数从10000点上升到20000点，还需要等7年多的时间。
因此我们看到，以1为开头的指数数据比以其他数字打头的指数数据要高很多。
2001年，美国最大的能源交易商安然公司宣布破产，当时传出了该公司高层管理人员涉嫌做假账的传闻。
事后人们发现，安然公司在2001年到2002年所公布的每股盈利数字就不符合本福特定律，这证明了安然的高层领导确实改动过这些数据。
第一数字定律描述的是自然数1到9的使用频率，公式为F(d) = log[1 + (1/d)]（d为自然数），其中1使用最多接近三分之一，2为17.6%，3为12.5%，依次递减，9的频率是4.6%。
科学家们仔细研究第一数字定律后，无法对这种现象做出合理解释。
定律的主要奠基人Frank Benford对人口出生率、死亡率、物理和化学常数、素数数字等各种现象进行统计分析后发现，由度量单位制获得的数据都符合第一数字定律。
当然彩票上随机数据并不符合。
第一数字定律在许多方面都得到了应用，但对于这种数字奇异现象人们依旧是迷惑不解。
上图表中的几个数据范例来自于西班牙国家统计局，数据是按照本福特对数定律统计的。
然而，按照彩票获得的数据是随机的和统一的。
您住宅地址号码是以a 1开始的吗？根据一个奇特的数学定律统计，约三分之一的住宅号码是以1作为其首个数字的。
其它许多几乎没有任何共通性的地区也有相同的情况：比如道琼斯指数的历史数据、个人电脑中文件储存的大小排列顺序、世界主要河流的长度、报纸头版头条的数字及其它许多事情。
该定律根据其第二位奠基人弗兰克.本福特的名字被命名为本福特定律。
通用电气公司物理学家本福特于1935年发现了这一定律。
该定律告诉人们在各种各样不同数据库中每个数字（从1到9）作为首个重要阿拉伯数字的频率。
除数字1始终占据约三分之一的出现频率外，数字2的出现频率为17.6%，3出现的频率为12.5%，依次递减，9的出现频率是4.6%。
在数学术语中，这一对数定律的公式为F(d) = log[1 + (1/d)]，此公式中F代表频率，D代表待求证数字。
这一现象让人觉得很奇怪，来自科尔多瓦大学的科学家杰赫斯.托里斯、桑索利斯.费尔罗德滋、安东尼奥.迦米洛和安东尼奥.索拉同样也如此认为。
科学家们在《欧洲物理杂志》上发表了一篇题为“数字如何开始？（第一数字定律）”的文章，该文章对这一定律进行了简要的历史回顾。
他们的论文同时还对第一数字定律的有效应用进行了阐述，并对为何没有人能够对这一数字出现频率现象做出合理解释的原因进行了阐述。
等离子体物理学专家托里斯说，“自从我了解本福特定律以来，它一直是我很感兴趣的问题之一。
在统计物理学课堂上，我一直将此定律作为一个令人惊奇的范例来激发学生们的好奇心。
”托里斯解释道，在本福特之前，有一位深受尊敬的天文学家名为西蒙.纽库姆，他在1881年发现了这一定律。
纽库姆同时代的科学家们并没有对他的科学发现引起足够重视。
本福特和纽库姆两位科学家均对这一定律感到困惑：当浏览对数表书籍时，他们注意到书的开始部分要比结束部分脏得多。
这就是说他们的同事到图书馆后，选择各种各样学科书籍时首选第一页开始阅读。
本福特对此疑问的观察要比纽库姆更深入一些。
他开始对其它数字进行调查，发现各个完全不相同的数据，比如人口、死亡率、物理和化学常数、棒球统计表、半衰期放射性同位数、物理书中的答案、素数数字和斐波纳契数列数字中均有“第一数字定律”现象的出现。
换句话说就是只要是由度量单位制获得的数据都符合这一定律。
另一方面，任意获得的和受限数据通常都不符合本福特定律。
比如，彩票数字、电话号码、汽油价格、日期和一组人的体重或者身高数据是比较随意的，或者是任意指定的，并不是由度量单位制获得的。
正如托里斯和他的同事所解释的，数十年来科学家紧随本福特对这一数字现象进行研究，但是除了发现更多的例子外，他们几乎没有发现有关比第一数字定律本身更多的东西。
然而科学家们还是发现一些奇特现象。
比如当对数据库中的第二重要数字进行调查时，该定律仍然发挥着作用，但是第二重要数字的重要性却降低。
同样，第三和第四重要数字所展现出来的特征就开始变得相同起来，第五重要数字的频率为10%，刚好是平均数。
第二个奇特现象引发了更多的科学兴趣：科学家们在他们所发表的文章中写到，“1961年，皮克汉姆发现了首个常规相关结论，该结论显示本福特定律是一个尺度不变原理，同时也是唯一一个提出数字尺度不变原理的定律。
那就是说，由于是以公里来表示世界河流的长度，因此它满足本福特定律，同样以英里、光年、微米或者其它长度单位数字都会满足这一定律。
”托里斯同时还解释到，在二十世纪晚期，一些重要的预测理论（基数恒定性及唯一性等）被特德.希尔和其它数学家证实。
虽然一些范例（比如住宅地址号几乎总是以数字1开头，低位数总是出现在高位数之前）得到了解释，但是目前仍然没有找到任何能解释各种范例的能用判断标准。
科学家们同时还解释到，没有任何优先标准能够告诉我们什么时候应当或者不应当遵守这一定律设置数字。
托里斯说，“现在对该定律的研究取得了许多理论成果，但是一些理论成果仍然是前途未明。
为什么一些数字设置，比如通用物理学恒量会如此完美地符合这一定律？我们不仅要了解这一定律的数学原因，还要掌握这一套实验数据的特征。
比如他们的连接点是什么？他们来自哪里？很显然，他们是相当独立的。
我希望将来能够找到这一定律的总体必然性和充分条件。
很多人都对这一定律感兴趣，特别是经济学家。
但是我也知道这一定律也许有可能是永远都不可能的事。
”然而，科学家们已经使用该定律进行了许多实践应用。
比如，一个公司的年度账目数据应当是满足这一定律，经济学家可以根据这一定律查找出伪造数据。
因为伪造数据很难满足这一定律。
（非常有趣的是，科学家发现数字5和6，而不是1是最流行的数字，这表明伪造者试图在账目中间“隐藏”数据。
）本福特定律最近还用于选举投票欺诈发现。
科学家依据这一定律发现了2004年美国总统选举中佛罗里达州的投票欺诈行为，2004年委内瑞拉的投票欺诈和2006年墨西哥投票欺诈。
托里斯说，“有关第一数字定律是通过脏书页发现的故事是完全不可信的。
本福特定律不可否认已经得到应用。
当这一定律被发现是其能够带来的好处并不明朗。
对我而言，它仿佛仅仅只是一个数字奇异现象。
这就是简单中可能蕴涵有意想不到神奇之处的典型范例。
”benford定律在审计方面的应用：一、本福德定律对于抽样审计，我们已经进行了详细讲解。
抽样审计的方法主要包括随机抽样和重点抽样。
随机抽样是采用数理统计与概率论的原理从总体中抽取样本并进行检查；重点抽样是审计人员根据经验和职业判断有针对性的抽取样本并进行检查。
我们回顾这两种抽样形式，会发现如下缺点和不足：（1）随机抽样如果要达到一定精确度，样本必须很大。
这对于强调效率、效果和时效性的审计来说，有时可能存在成本高、在预定时间内无法完成任务的情况。
审计人员为了在既定时间内完成任务，必然存在大量开飞机（没有执行的审计程序在审计底稿中记录已经执行了）的现象，反而大大影响审计效果。
（2）重点抽样强调审计人员的经验和判断。
在审计实务中，一般是根据金额大小、性质严重程度并结合随机抽样方法进行抽样的。
这种抽样方法对于总体中样本金额差异大、个体数量少的情况下比较适用，但是对于总体中个体数量多、个体间金额比较均匀的情况则显得很吃力。
那么是否有更好的方法可以祢补这些不足呢？这就是本节要讲的方法，这种方法是随机抽样、重点抽样审计方法的有益补充，该方法就是富兰克•本福德（FrankBenford）定律（Benford's Law）。
本福德早年在通用电器公司（GE）实验室工作，是一名物理学家，二十世纪二十年代发现了一个令人震惊的数学规律，即在任何一组同质随机发生的数据中，排在数据第一或第二位的数字是存有一个可预测到的概率。
例如，在一组数据中1排在第一位的概率约为31%，而9排在第一位的概率仅有5%。
本福德测试了多种来源的数据组发现存在这样的概率。
本福德定律的含义如下：一组随机发生的数字，各个数字的首位存在一定规律，越小的数字出现的比率越高，既0出现的概率是100％（实际上首位不可能是0，因此我们可以认为其出现的概率是100％），1出现的概率是31％，2出现的概率是18％，依次类推，9出现的概率只有不到5％。
其实，本福德定律也服从大数法则和中心极限定理，但是其证明比较复杂，这里不赘述。
下图是美国物理学家 T. P. Hill 于1998年7－8月试验本福德定律的概率图：本福德定律的应用条件是：（1）数据不能是规律排序的，比如发票编号、身份证号码等；（2）数据不能经过人为修饰。
二、本福德定律在审计中的应用我们知道，本福德定律的适用条件是数据不能经过人为修饰。
如果数据来自舞弊所得到的结果，则这些数据将不再服从本福德定律。
注册会计师可以利用本福德定律来发现被审计单位舞弊，提高审计效果。