映射和函数含答案

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第2课时 映射与函数

课时目标 1.了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射.2.知道函数与映射的关系．

1．映射的概念

设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中____________________元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的______．这时，称y 是x 在映射f 作用下的____，记作______，x 称作y 的______．

&

2．一一映射

如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的______________，在集合A 中都__________，这时我们说这两个集合的元素之间存在______________，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的___________________________________________． 3．映射与函数

由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是__________．

一、选择题

1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是( ) A ．A 中的每一个元素在B 中必有象

"

B ．B 中每一个元素在A 中必有原象

C ．A 中的一个元素在B 中可以有多个象

D ．A 中不同元素的象必不同

2．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )

3．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( )

A ．f ：x →y ＝12x

B ．f ：x →y ＝1

3

x

^

C ．f ：x →y ＝2

3

x D ．f ：x →y ＝x

4．设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，象(2,1)的原象是( )

A．(3,1)

D．(1,3)

5．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：

①A＝{你们班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；

②M＝{1,2,3,4}，N＝{2,4,6,8}，f：n＝2m，n∈N，m∈M；

③M＝R，N＝{x|x≥0}，f：y＝x4；

，

④A＝{中国，日本，美国，英国}，B＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f：对于集合A 中的每一个国家，在集合B中都有一个首都与它对应．

上述四个对应中是映射的有______，是函数的有______，是一一映射的有________．( )

A．3个2个1个B．3个3个2个

C．4个2个2个D．2个2个1个

6．集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有( ) A．3个B．4个C．5个

二、填空题

7．设A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，C＝R，且从A到B的映射是x→2x－1，从B到

C的映射是y→1

2y＋1

，则经过两次映射，A中元素1在C中的象为________．8．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表：

映射f

映射g

则f[g(1)]的值为

9．根据下列所给的对应关系，回答问题．

①A＝N*，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；

【

②A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－1|，x∈A，y∈B；

③A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；

④A＝R，B＝R，f：x→y＝1

x＋|x|

，x∈A，y∈B.

上述四个对应关系中，是映射的是________，是函数的是________．

三、解答题

10．设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中A＝{正实数}，B＝R，f：x→x2－2x－1，求A中元素1＋2的象和B中元素－1的原象．

*

11．下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数(

(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝

1

x＋1

；

(2)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,64}，

f：a→b＝(a－1)2.

(3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x；

(4)A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．

-

能力提升

|

12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是( ) A．∅B．∅或{1}

C．{1}D．∅

13．已知A＝{a，b，c}，B＝{－2,0,2}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)．求满足条件的映射的个数．

，

*

。

1．映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向

的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往是不一样的．

2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．

3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A 中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于B 中的每一个元素是否都有原象，则不作要求．

4．对映射认识的拓展

映射f ：A →B ，可理解为以下三点： `

(1)A 中每个元素在B 中必有唯一的元素与之对应；

(2)对A 中不同的元素，在B 中可以有相同的元素与之对应；

(3)A 中元素与B 中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多．

第2课时 映射与函数

知识梳理

1．有一个且仅有一个 映射 象 f(x) 原象 2.任意一个元素 有且只有一个原象 一一对应关系 一一映射 3.函数 非空数集 作业设计 @

1．A [由映射的定义知只要集合A 中的任意一个元素在B 中有且只有一个元素与之对应，就能构成一个映射，故B 、C 、D 都错，只有A 对．]

2．D [选项A 中元素1在B 中有2个象，故A 错；选项B 中元素2没有象对应，故B 错；选项C 的错与选项A 相同；只有D 符合映射的定义．]

3．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对

应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝8

3

∉Q ，故选

C .] 4．B

6．B [由于要求f(3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能．]

解析 A 中元素1在B 中象为2×1－1＝1，

！

而1在C 中象为12×1＋1＝1

3

.

8．1

解析 g(1)＝4，∴f[g(1)]＝f(4)＝1. 9．①③ ①

解析 ①对x∈A ，在f ：x→y＝3x ＋1作用下在B 中都有唯一的象，因此能构成映射，又A 、B 均为数集，因而能构成函数；

②当x ＝1时，y ＝|x －1|＝|1－1|＝0∉B ，即A 中的元素1在B 中无象，因而不能构成映射，从而不能构成函数．

③对高一(2)班的每一个同学都对应着自己的身高，因而能构成映射，但由于高一(2)班的同学不是数集，从而不能构成函数．

④当x≤0时，|x|＋x ＝0，从而1

|x|＋x 无意义，因而在x≤0时，

~

A 中元素在

B 中无象，所以不能构成映射．