现代控制理论基础总复习

第二章线性系统的数学描述数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：

第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；

第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；

9 / 1

第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。

2.1 线性系统的时域数学模型

()(1)(2)121()()()()()n n n n n c t a c t a c t a c t a c t ---+++

++

()(1)(2)0121()()()()()m m m m m b r t b r t b r t b r t b r t ---=+++

++ (2.1)

式中，()r t 和()c t 分别是系统的输入信号和输出信号，()

()n c t 为()c t 对时间t 的

n 阶导数；i a (1,2,)i n =和j b (0,1,

)j m =是由系统的结构参数决定的系数。

2.2 传递函数

11m n b s a s --++++

++式中

1011()m m m m M s b s b s b s b --=++

++

1011()n n n n N s a s a s a s a --=++

++

()M s 和()N s 分别称为传递函数()G s 的分子多项式和分母多项式。

2.5 线性系统的状态空间描述

A Bu

y C du

=+⎧⎨

=+⎩x x x (2.3)

2.5.2 状态空间表达式与传递函数的关系

1()()G s C sI A B D -=-+

(2.4)

2.5.3 状态空间表达式的建立

情形一： 线性微分方程中不含输入的导数项，传递函数没有零点

()(1)11n n n n y a y a y a y u --++

++=

(2.5)

情形二 线性微分方程含有输入的导数(不超过3阶)，传递函数有零点 ()(1)()(1)11011n n n n n n n n y a y a y a y b u b u b u b u ----++++=++

++ (2.6)

1011111()()n n n n

n n n n

b s b s b s b Y s U s s a s a s a ----++++=++++ (2.7)

Chp.9 状态空间系统响应、可控性与可观性

9.1 线性定常系统的响应

已知线性定常连续系统状态方程的一般形式为

0()()(), (0)t A t B t =+=x x u x x

(2.8)

状态变量的初始值为0x ，控制作用为()t u 。

状态方程是一阶微分方程组其解为

()(0)at x t e x =

其中，指数函数at e 可以展成如下无穷级数形式

2201

1

112!

!!

at

k k k k k e at a t a t a t k k ∞

==+++

++=∑

一阶向量微分方程的齐次方程A =x x 的解也具有如下形式

()(0)At t e =x x

其中， 22

11

12!

!

!At

k k k k

k e I At A t A t A t k k ∞

==+++++=∑

(2.9) 式(2.9)无穷矩阵级数的收敛式At e 叫做矩阵指数，I 为单位矩阵。

非齐次状态方程(2.8)的求解。

()0()(0)()t

At

A t t e e

B d τττ-=+⎰x x u

(2.10)

从式(2.10)可以看出，系统的动态响应由两部分组成：一部分由状态初始值(0)x 引起，叫做零输入响应；另一部分由输入信号()t u 引起，叫做零状态响应。

9.2 状态转移矩阵(的计算)

一般情况下，线性系统（包括定常和时变）的状态响应方程可以写为

()()(0)()()t

t Φt Φt B d τττ=+-⎰x x u

(2.11)

式(2.11)又称状态转移方程，并称()Φt 为状态转移矩阵，它表征系统从0t =的初始状态(0)x 转移到0t >的任意状态()t x 的转移特性。显然，状态的转移性能完全取决于系统的A 阵。对于线性定常系统有()At Φt e =。

9.2.2 矩阵指数和状态转移矩阵的计算

一、拉氏变换法

11()[()]At Φt e L sI A --==- (2.12)

这种方法实际上是用拉氏变换在频域中求解状态方程。矩阵1()sI A --称为预解矩阵。

二、化矩阵A 为对角线矩阵和约当矩阵法

如果状态方程的系数矩阵A 为对角线矩阵，即

1122

00000

0nn a a

A a ⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎣⎦

可以证明，相应于矩阵A 的矩阵指数At e 为

112200000

nn a t a t At a t e e e e ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

9.4 可控性和可观性

()()A t B t =+x x u

定理9-1（可控性的代数判据）设n 阶线性定常连续系统的状态方程为

A B =+x x u

(2.13)