中考数学专题训练4.代数与几何综合题(含答案)

代数与几何综合题

类型一动点型探究题

1. 如图①，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2 cm/s.以AQ、PQ为边作四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E.设运动的时间为t(单位：s)(0＜t≤4)，解答下列问题：

(1)用含有t的代数式表示AE＝____；

(2)如图②，当t为何值时，四边形AQPD为菱形；

(3)求运动过程中，四边形AQPD的面积的最大值．

第1题图

解：(1)5－t；

【解法提示】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，∴由勾股定理得：AB＝10 cm，∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2 cm/s，∴BP＝2t cm，∴AP＝AB－BP＝10－2t，∵四边形AQPD为平行四边形，∴AE

＝1

2AP＝5－t.

(2)如解图①，当四边形AQPD 是菱形时，DQ ⊥AP ，则cos ∠BAC ＝AE AQ ＝AC AB ， 即5－t 2t ＝810，解得t ＝2513，

∴当t ＝2513时，四边形AQPD 是菱形；

(3)如解图②，作PM ⊥AC 于M ，设平行四边形AQPD 的面积为S .

∵PM ∥BC ，

∴△APM ∽△ABC ，

∴AP AB ＝PM BC ，即10－2t 10＝PM 6，

∴PM ＝65(5－t )，

∴S ＝AQ ·PM ＝2t ·65(5－t )＝－125t 2＋12t=15255122+⎪⎭

⎫ ⎝⎛--t (0＜t ≤4)， ∵－125＜0，∴当t ＝52时，S 有最大值，最大值为15 cm 2.

第1题解图

2. 已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，AB＝6，D是AB的中点，动点E从点D出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG，直线BG，FE相交于点N(点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②)．

(1)在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为________；

(2)设DE＝x，NB＝y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值；

(3)如图②，当DE的长度为3时，求∠BFE的度数．

第2题图

解：(1)BG∥CD；

【解法提示】∵四边形EFGC是正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝∠GFE＝∠FEC ＝90°，∵∠ACB＝∠GCE＝90°，∴∠GCB＝∠ECA，∵GC＝CE，CB＝CA，∴△CAE≌△CBG.又∵∠ACB＝90°，BC＝AC，D是AB的中点，∴∠CBG＝∠CAE＝45°，∠BCD＝45°，∴∠CBG＝∠BCD，∴BG∥CD.

(2)∵CB＝CA，CD⊥AB，∠ACB＝90°，

∴CD＝BD＝AD＝3，∠CBA＝∠A＝45°，

易得△CAE ≌△CBG ，

∴∠CBG ＝∠A ＝45°，

∴∠GBA ＝∠GBC ＋∠CBA ＝90°.

∵∠BEN ＋∠BNE ＝90°，∠BEN ＋∠CED ＝90°，

∴∠BNE ＝∠CED ，

∵∠EBN ＝∠CDE ＝90°，

∴△NBE ∽△EDC ，

∴BN ED ＝BE CD ，

∴y x ＝3－x 3，

∴y ＝－31(x －32)2＋34， ∵－31

＜0，∴x ＝32时，y 的最大值为34；

(3)如解图，作FH ⊥AB 于点H .∵CB ＝CA ，BD ＝CD ，∠

BCA ＝90°，

∴CD ⊥AB ，CD ＝BD ＝AD ＝3，

∴tan ∠DCE ＝DE CD ＝3

3，

∴∠DCE ＝30°，

∵四边形EFGC是正方形，

∴EF＝EC，

∵∠CDE＝∠EHF＝90°，易证∠DCE＝∠HEF，

∴△CDE≌△EHF，

∴∠DCE＝∠HEF＝30°，FH＝DE，CD＝EH，

∵CD＝BD，

∴BD＝EH，

∴BH＝DE＝FH，

∴△BHF是等腰直角三角形，

∴∠BFH＝45°，∵∠EFH＝90°－∠HEF=60°，

∴∠BFE＝∠BFH+∠EFH＝105°.

第2题解图

3. 如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝8 cm，CD＝10 cm，AD ＝6 cm，点E从点A出发，沿A→D→C方向运动，运动速度为2 cm/s，点F 同时从点A出发，沿A→B方向运动，运动速度为1 cm/s.设运动时间为t(s)，

△CEF的面积为S(cm2)．

(1)当0≤t≤3时，t＝________，EF＝10.

(2)当0≤t≤3时(如图①)，求S与t的函数关系式，并化为S＝a(t－h)2＋k的形式，指出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？

(3)当3≤t≤8时(如图②)，求S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？

第3题图

解：(1)2；【解法提示】根据题意知，AF＝t，AE＝2t，∵∠A＝90°，∴AF2＋AE2＝EF2，即t2＋(2t)2＝(10)2，解得：t＝2(负值舍去)．

(2)当0≤t≤3时，如解图①，过点C作CP⊥AB，交AB延长线于点P，

第3题解图①

∵∠A＝∠D＝90°，

∴四边形APCD是矩形，

则CP＝AD＝6 cm，

∵AB ＝8 cm ，AD ＝6 cm ，

∴BF ＝(8－t )cm ，DE ＝(6－2t )cm ，

则S ＝S 梯形ABCD －S △AEF －S △CBF －S △CDE ＝12×(8＋10)×6－12×t ×2t －12×(8－t )×6－12×(6－2t )×10

＝－t 2＋13t

＝－(t －132)2＋1694，

即S ＝－(t －132)2＋1694，

∵当t ＜132时，S 随t 的增大而增大，

∴当t ＝3时，S 取得最大值，最大值为30；

(3)当3≤t ≤8时，如解图②，过点F 作FQ ⊥CD 于点Q ，

第3题解图②

由∠A ＝∠D ＝90°，知四边形ADQF 是矩形，

∴FQ ＝AD ＝6 cm ，