半交换的π-正则环

半交 换 的 ， 而对 任 意 ∈ Ｒ有 ｎ 。 从 。
＝ ０，
的“ 交换 环 ” 半 真正 广泛 的环 ，ａａ ｉ Ｂ ｄｗ 的证 明依 赖 的单 位元 ， 能平 移 到不含 ｌ的环 上 ， 且半 交 不 而
换 的 一 正则 环类 和 Ａ ｅ 一 则环 类 也 无 包 含关 ｂｌ 正 系 （ １ ． 文 讨 论 半 交 换 的 丌 正 则 环 （ 必 含 例 ）本 一 不 Ｉ ， 广 了文献 ［ ］ ）推 ４ 的一些 主要 结果 ．
半 交 换 的 正 则 环
温立 书 ， 曲坤
（． １ 大连 东软信息学院 基 础教 学部 ， 宁 大连 １６ ２ ；２ 大连 交通大学 数理 系， 宁 大连 １６ ２ ） 辽 １０ ３ ． 辽 １０ ８
摘
要： 研究 了半交换 的 耵 正则环的扩张 ． 一 利用环的结构理论 ， 证明 了若 Ｒ是半交换 的 ， 是 Ｒ的一 个理 ，
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大 连 交 通 大 学 学 报
交换 的 竹 正则 环也 未必 是 Ａ ｅ 的． 一 ｂｌ
１ 主 要 结 果
命题 １ ｄ ｏ环是 Ａ ｅ 的半 交换 环 ． ｕ ｂｌ
证明
设 尺是 一 个 ｄ ｏ环 ． ｅ是 尺 的一 个 ｕ 若
幂 等元 ， ｅ 则 Ｒ和 Ｒ 均为 的理想 ， ｅ 从而 ｅ ｃＲ Ｒｃ ｅ
想 ， Ｒ是 订 正则环 当且仅 当 ， 尺 ， 则 一 和 ／ 都是 丌 正则 环． 一 从而 ， Ｂ ｄｗ 关 于有 １的半交换 的 可一 把 ａａ ｉ 正则环的结
果 推 广 到 了 一 种 更 广 泛 的 “ 交换 环 ” 半 交 换 的 耵 正 则 环 （ 必 含 １ ． 交 换 的 丌 正 则 环 类 和 Ａ ｅ 可 半 ～ 一 不 ）半 ． ｂｌ 一
进 而 对 任 意 ２∈ Ｒ 有 ０ 。 Ⅱ一 ＝０ … … ， 】 ２ ” ，
。 ｎ 。 …
的质 根．
ｎ ：０， （ Ｒ） 故 ａ ”＝０ 于是 （ ， Ｒ）是 尺
因为 存 在半 质 的 诣 零 环 ， 且 这 样 的环 而 显然 是 Ａ ｅ 一 则 的 ，但 不 是 半 交 换 的 ，所 以 ｂｌ订 正 Ａｅ 一 ｂ ｌ 正则 环 不 一 定 是半 交 换 环 ． 一 方 面 ，半 另
即称 一个 有 １的环 是半 交换 的 ， 如果对 于 任意 。 ，
ｂ∈ Ｒ都 有 ｒｈ使得 ａ ， ｂ＝ｒ ，ａ＝ａ ．并研 究 了 ０ｂ ｈ
有单 位元 的 “ 交 换 的 ” 一 则 环 ， 在 文 献 ［ ］ 半 盯正 并 ４
中将 其推 广到 Ａ ｅ 订 正 则 环 ． 本 文 中 ， ｂｌ 一 在 一个 环
一
证 明 设 尺是 有 单位 元 的半交 换环 ， 对 于 则 任意 幂等元 ｅ 均有 ｅ １一ｅ （ ）＝０ 从而对于任意 ∈ ， Ｒ有 ｅ （ 一ｅ ｘ １ ）＝０ 因ｌ ｅ ， ｔ ｘ＝ｅｅ同理由（ 一 ） Ｌ ｘ， １ ｅｅ：
０可得 ） ， ｄ ｅ＝ｅｅ 故 ｅ ＝ｘ． ｘ． ｘ ｅ
是 ，ｘ ａ ｂ：ｒ ｂ＋ｎ ｂ＝０ ａ ａ ，因此 ， 是半 交换 的． 命题 ２ 有 单位 元 的半 交换 环是 Ａ ｅ 的． ｂｌ
单位 正则性 、一 则性 等等 ． 文将 主要讨 论 半交 竹正 本
换 的 竹． 则环 ． 正
个 环 Ｒ称 为 ｄ ｏ环 ，如果 Ｒ的单边 理 想均 ｕ 为两 边理 想． ａａ ｉ ｄ ｏ 称 为“ 交换 环 ” Ｂ ｄ ｗ 把 ｕ 环 Ｌ ３ 半 ，
尺 ｅ Ｒ， ｅｃ Ｒ Ｒ ｃ ｅ 于是 ，Ｒ ＝Ｒ ， ｅ 中心 的 ， ｅ ｅ即 是 因
此 是 Ａ ｅ 的． Ⅱ ｂ∈Ｒ， 得 ａ ｂｌ 设 ， 使 ｂ＝０ 令 Ｌ ＝ ． ｆ （ 则 是 尺的左 理想 ． ｚ＋ ｚ ， 因 是 ｄ ｏ ， ￡ ｕ环 故 是 Ｒ的理 想 ， 而 ， 于任意 ∈Ｒ， 从 对 有 ｃ， 特 Ｊ ， 另 地 ，Ｎ∈Ｌ 且 有 ０ ０ ａ ， ｐ ＝ｒ Ⅱ＋ｎ ， ｎ ｒ∈Ｒ， ． ｎ∈ 于
第３ ｌ卷 第 ３期 ２１ ０ ０年 ６月
大 连 交 通 大 学 学 报
Ｊ ０ＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＤＡＬ ＡＮ Ｉ Ｊ ＡＯ ＯＮＧ ＵＮＩ ＲＳ Ｔ Ｉ Ｔ ＶＥ Ｉ Ｙ
Ｖｏ． １ ３ｌ
Ｎｏ． ３
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ．００
文 章 编 号 ：６３ ９ ９ （０ ０ ０ — １７０ １７ —５ ０ ２ １ ）３０ ０ —２
命题 ３ 设 尺为半交换环 ， Ｒ 是 的质棍 Ｎ（ ）
证 明 设 ｎ∈Ⅳ（ 使 得 ｏ 尺） ＝０ 由于 尺是 ’ ．
称 为半交 换 的 ， 如果 对 于任 意 的 ， ∈ Ｒ， 当 Ｙ 每 ｘ ＝０时 ， ｙ 必有 ｘ ｙ＝０ ． 是 一类 比 Ｂ ｄ ｗ Ｒ ’ 这 ａａ ｉ
例１ 设Ｆ 域， 是 令Ｒ： ？ １ 是 ｆ ， 半 Ｆ 则Ｒ
收 稿 日期 ：０ ９ ０ —２ ２０ ．９ １
基金项 目： 宁省“ 辽 十一 五” 教育科学规划 资助项 目
作者简介 ： 立书（ ９ ８一） 女 ， 师 ， 温 １７ ， 讲 硕士 ， 主要从事代数 的研究
Ｅ－ ａ ｌ ｗｅ ｉｈ ｍ ｉ ： ｎｌｓ ｕ＠ ｎ ｌｏｔ ｄ ｅ ｅｔ ｆ．ｅ ｕ． ｎ． ｓ
正则环类也无包 含关系．
关 键 词 ： 交 换 环 ； 正 则 环 ； ｂｌ 一 则 环 ；ｕ 环 半 一 Ａ ｅ订正 ｄｏ 中 图分 类 号 ： １３ ３ ０ ５ ． 文 献 标 识 码 ： Ａ
０ 引言
Ｖ ｎＮ ｕ ｎ ｏ ｅ ｍａｎ正 则 环 是 一 类 非 常 重 要 的 环， 得到 了深入 系统 的研究 ， 并且 由此导 出 了许多 其他 正则 性 的研 究 ， 比如 强 正 则 性 、 正 则 性 、 弱