数学建模缺失数据补充及异常数据修正

题目：数据的预处理问题

摘要

关键词：多元线性回归，t检验法，分段线性插值，最近方法插值，三次样条插值，三次多项式插值

一、问题重述

1.1背景

在数学建模过程中总会遇到大数据问题。一般而言，在提供的数据中，不可避免会出现较多的检测异常值，怎样判断和处理这些异常值，对于提高检测结果的准确性意义重大。

1.2需要解决的问题

（1）给出缺失数据的补充算法；

（2）给出异常数据的鉴别算法；

（3）给出异常数据的修正算法。

二、模型分析

2.1问题（1）的分析

属性值数据缺失经常发生甚至不可避免。

（一）较为简单的数据缺失

（1）平均值填充

如果空值为数值型的，就根据该属性在其他所有对象取值的平均

值来填充缺失的属性值；如果空值为非数值型的，则根据众数原

理，用该属性在其他所有对象的取值次数最多的值（出现频率最

高的值）来补齐缺失的属性值。

(2) 热卡填充（就近补齐）

对于包含空值的数据集，热卡填充法在完整数据中找到一个与其

最相似的数据，用此相似对象的值进行填充。

(3) 删除元组

将存在遗漏信息属性值的元组删除。

(二)较为复杂的数据缺失

(1)多元线性回归

当有缺失的一组数据存在多个自变量时，可以考虑使用多元线性回归模型。将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到的回归系数就能反映对应自变量的重要程度。

2.2问题（2）的分析

属性值异常数据鉴别很重要。

我们可以采用异常值t检验的方法比较前后两组数据的平均值，与临界值相

2.3问题（3）的分析

对于数据修正，我们采用各种插值算法进行修正，这是一种行之有效的方法。 （1）分段线性插值

将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数，记作()x I n ，它满足()i i n y x I =，且()x I n 在每个小区间[]1,+i i x x 上是线性函数()x I n ()n i ,,1,0⋅⋅⋅=。

()x I n 可以表示为

()x I n 有良好的收敛性，即对于[]b a x ,∈有，

用 ()x I n 计算x 点的插值时，只用到x 左右的两个节点，计算量与节点个数n 无关。但n 越大，分段越多，插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。

(2) 三次多项式算法插值

当用已知的n+1个数据点求出插值多项式后，又获得了新的数据点，要用它连同原有的n+1个数据点一起求出插值多项式，从原已计算出的n 次插值多项式计算出新的n+1次插值多项式很困难，而此算法可以克服这一缺点。 （3）三次样条函数插值[4]

数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。三次样条函数为：对于[]b a ,上的分划∆：n x x x a <⋅⋅⋅<<=10=b ，则，

利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。

三、模型假设

1.假设只有因变量存在数据缺失，而自变量不存在缺失。

2.利用t检验法时，将除可疑测定值

x以外的其余测定值当做一个总体，并假

d

设该总体服从正态分布。

四、问题（1）的分析与求解

4.1问题分析

本题需要对缺失数据进行补充，情况可分为数据集中单一元素缺失及某一元组缺失两种情况。因此，对数据处理采用同上模型分析2.1的处理方法。

4.2问题处理

我们将1960-2015.xls（见附表一）中的数据导入matlab（程序见附录一）。首先作出散点图。

设定y(X59287)与x1(X54511)、x2(X57494)的关系为二元线性回归模型，即y=b0+b1x1+b2x2。之后作多元回归，求出系数b0=18.014，b1=0.051，b2=0.354，所以多元线性回归多项式为:Y=18.014+0.051*x1+0.354*x2。由matlab编程所得结果图如下4-2所示。

图4-2

再作出残差分析图验证拟合效果，残差较小，说明回归多项式与源数据吻合得较

好。若x1=30.4，x2=28.6时，y的数据缺失，则将x1，x2带入回归多项式，算出缺失值y=29.6888。类似地，若x1=40.6,x2=30.4时，y的数据缺失，则将x1，x2带入回归多项式，算出缺失值y=30.8462，即可补充缺失数据。

五、问题（2）的分析与求解

5.1 问题分析

本题需要对给定缺失数据进行鉴别，可以采用的方法为t检验检测法。T检验用t分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。

5.2 问题处理

(一)随机产生数据

由R系统随机产生数据对其进行缺失数据鉴别，代码如附录四所示，结果图如下5-1,5-2，5-3所示。

图5-1

图5-2

图5-3

示。

图5-4

六、问题（3）的分析与求解

6.1 问题分析

对于问题三，我们采用了分段线性插值，最近方法插值，三次样条函数插值以及三次多项式方法插值法来修正数据异常。同时也需利用外插法修正最后一个数据的异常。详见2.3对问题三的处理原理。

具体代码见附录三。

附录一多元线性回归matlab程序

clear;

data1=xlsread('C:\Users\Lenovo\Desktop\1960-2005.xls');

%做出散点图

figure(1)

scatter3(data1(:,4),data1(:,5),data1(:,6),'r');

x=[ones(262,1),data1(:,4),data1(:,5)];

y=data1(:,6);

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);