辽宁凌源市2018届高三毕业班一模抽考数学(文)试题

辽宁凌源市2018届高三毕业班一模数学试卷（文科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}320A x N x =∈->，{}24B x x =≤，则AB =（ ）A ．{}21x x -≤<B ．{}2x x ≤C ．{}22x x -≤≤D ．{}0,1 2.设i 是虚数单位，若复数()21i a a R i+∈-是纯虚数，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．23.已知[],0,2x y ∈，则事件“1x y +≤”发生的概率为（ ） A ．116B ．18C ．1516D ．784.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．122π+B ．12π+C. 1π+ D ．2π+5.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2x =， 1.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．0.6 1.1y x =+B ．3 4.5y x =- C.2 5.5y x =-+ D ．0.4 3.3y x =-+6.已知2AB =，1C D=，且2A B CD -=A B 和C D 的夹角为（ ） A ．30 B ．60 C.120 D ．1507.已知抛物线2:4C yx =的焦点为F ，点(0A -，.若线段F A 与抛物线C 相交于点M ，则M F =（ ）A ．43B 323D 38.设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则目标函数23z x y =-的最小值是（ ）A ．7-B ．6- C.5- D ．3- 9.已知函数()2s in 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A ．()372,288k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．()32,288k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C.()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦10.已知双曲线C 的中心在原点O ，焦点()0F -，点A 为左支上一点，满足O A O F =，且4A F =，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164xy-= B ．2213616xy-= C.221416xy-= D ．2211636xy-=11.在锐角A B C △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()()()sin sin sin a b A B c b C-+=-，若a =22b c +的取值范围是（ ）A ．(]3,6B ．()3,5 C.(]5,6 D ．[]5,612.已知函数()xef x x=，若关于x 的方程()()2223f x a a f x +=有且仅有4个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭C.()0,e D ．()0,+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.s in 47s in 17c o s 30c o s 17-的值等于 ．14.执行如图所示的程序框图，若输入1S =，1k =，则输出的S 为 ．15.若一圆锥的体积与一球的体积相等，且圆锥底面半径与球的半径相等，则圆锥侧面积与球的表面积之比为 ．16.若1b a >>且3lo g 6lo g 11a b b a +=，则321a b +-的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()13122n n S a a n N*=-∈，且11a-，22a ，37a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()92lo g n n b a n N *=∈，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18. 如图，在梯形A B C D 中，90B A D A D C ∠=∠=，2C D =，1A D A B ==，四边形B D E F 为正方形，且平面B D E F ⊥平面A BCD .（1）求证：D F C E ⊥；（2）若A C 与B D 相交于点O ，那么在棱A E 上是否存在点G ，使得平面//O B G 平面E F C ？并说明理由.19. 某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间.现将数据分成五组，第一组[)50,55，第二组[)55,60，…，第五章[]70,75，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为:4:10a.（1）求a 的值，并求这50名同学心率的平均值；（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？说明你的理由.参考数据：参考公式：()()()()()22n a d b c Ka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d =+++.20. 已知直线:l y kx m =+与椭圆()2222:10x y C a b ab+=>>相交于A ，P 两点，与x 轴，y轴分别相交于点N ，M ，且，P M M N =，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，Q M 的延长线交椭圆于点B ，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，1B .（1）若椭圆C 的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点312D ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆C 上，求椭圆C 的方程；（2）当12k =时，若点N 平方线段11A B ，求椭圆C 的离心率.21. 已知函数()xf x xe =.（1）讨论函数()()xg x a f x e =+的单调性；（2）若直线2y x =+与曲线()y f x =的交点的横坐标为t ，且[],1t m m ∈+，求整数m 所有可能的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为o s ,s in x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系x O y 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l s in 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）当,m n A ∈时，证明：1m n m n +≤+.试卷答案一、选择题1-5:CBBDC 6-10:CABDC 11、12：CB 二、填空题13.1214.574 16.1三、解答题 17.解：（1）由13122n n S a a =-，得123n n S a a =-.由()11112=3,232,n n n n S a a S a a n ---⎧⎪⎨=-≥⎪⎩作差得()132n n a a n -=≥.又11a -，22a ，37a +成等差数列，所以213417a a a =-++， 即11112197a a a =-++，解得13a =.所以数列{}n a 是以3为首项、公比为3的等比数列，即3nn a =.（2）由992lo g 2lo g 3nn n b a n ===，得11111n n b b nn +=-+，于是11111122311n n T nn n =-+-++-=++.18.（1）证明：连接E B .∵在梯形A B C D 中，90B A D A D C ∠=∠=，2C D =，1A D A B ==， ∴B D =B C =∴222B D BC CD +=，∴B C B D ⊥. 又∵平面B DEF ⊥平面A B C D ，平面B D E F 平面A B C D B D =，B C ⊂平面A B C D ，∴B C ⊥平面B D E F ，∴B C D F ⊥.又∵正方形B D E F 中，D F E B ⊥且E B ，B C ⊂平面B C E ，E B B C B =，∴D F ⊥平面B C E .又∵C E ⊂平面B C E ，∴D F C E ⊥.（2）解：如图所示，在棱A E 上存在点G ，使得平面//O B G 平面E F C ，且12A G G E=.证明如下：∵在梯形A B C D 中，90B A D A D C ∠=∠=，2C D =，1A B =， ∴//A B D C ，∴12A O AB OCD C ==.又∵12A G G E=，∴A O A G O CG E=，∴//O G C E .又∵正方形B D E F 中，//E F O B ，且O B ，O G ⊄平面E F C ，E F ，C E ⊂平面E F C ， ∴//O B 平面E F C ，//O G 平面E F C ， 又∵O BO G O =，且O B ，O G ⊂平面O B G ，∴平面//O B G 平面E F C .19.解（1）因为第二组数据的频率为0.03250.16⨯=，故第二组的频数为0.16508⨯=，由已知得，前三组频数之比为:4:10a ，所以第一组的频数为2a ，第三组的频数为20，第四组的频数为16，第五组的数为4.所以2502016842a =----=，解得1a =. 这50名同学心率的平均值为282016452.557.562.567.572.5=63.75050505050⨯+⨯+⨯+⨯+⨯.（2）由（1）知，第一组和第二组的学生（即心率小于60次/分的学生）共10名，从而体育生有100.8=8⨯名，故列联表补充如下.所以()22508282128.3337.87910402030K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关.20.解：（1）由题意得22222,191,4,b ab a bc ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩ ∴223,4,b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为22143xy+=.（2）当12k =时，由12y x m =+，得()0,Mm ，()2,0N m -.∵P M M N =，∴()2,2P m m ，()2,2Q m m -， ∴直线Q M 的方程为32y x m =-+.设()11,A x y ，由22221,21,y x m x y ab ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2222222104a b x a m x a m b ⎛⎫+++-=⎪⎝⎭，∴2122424a m x m a b-+=+，∴()221222344m a bx a b+=-+；设()22,B x y ，由22223,21,y x m x y ab ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()22222229304a b x a m x a m b ⎛⎫+-+-=⎪⎝⎭，∴222212294a m x m a b+=+，∴()2222223494m a bx a b+=-+.∵点N 平方线段11A B ，∴124x x m +=-，∴()()222222222342344494m a bm a bm a ba b++--=-++，∴2234ab =，∴13x m =-，112y m =-，代入椭圆方程得22217mbb =<，符合题意.∵222a b c =+，∴2a c =，∴12c e a ==.21.解：（1）由题意，知()()x x x g x a f x e a xe e =+=+，∴()()'1x g x ax a e =++. ①若0a =时，()'x g x e =，()'0g x >在R 上恒成立，所以函数()g x 在R 上单调递增； ②若0a >时，当1a x a+>-时，()'0g x >，函数()g x 单调递增，当1a x a+<-时，()'0g x <，函数()g x 单调递减；③若0a <时，当1a x a+>-时，()'0g x <，函数()g x 单调递减；当1a x a+<-时，()'0g x >，函数()g x 单调递增.综上，若0a =时，()g x 在R 上单调递增；若0a >时，函数()g x 在1,a a +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递增； 当0a <时，函数()g x 在区间1,a a +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递增，在区间1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递减.（2）由题可知，原命题等价于方程2xx e x =+在[],1x m m ∈+上有解， 由于0xe >，所以0x =不是方程的解， 所以原方程等价于210xe x--=，令()21xr x e x=--，因为()'220xr x e x=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞恒成立，所以()r x 在(),0-∞和()0,+∞内单调递增. 又()130r e =-<，()2220r e =->，()311303r e-=-<，()2120r e-=>，所以直线2y x =+与曲线()y f x =的交点仅有两个， 且两交点的横坐标分别在区间[]1,2和[]3,2--内， 所以整数m 的所有值为3-，1.22.解：（1）因为2222c o s s in 1x y θθ⎛+=+= ⎝， 所以曲线C 的普通方程为2213xy+=；- 11 -s in 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开得sin c o s 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（2）设()s ,sin P θθ，则点P 到直线l的距离为2d ==≤， 当且仅当s in 13πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()1126k k Z πθπ=+∈时等号成立，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因此点P 到直线l的距离的最大值为2.23.（1）解：由211x -≤，得1211x -≤-≤，即1x ≤， 解得11x -≤≤，所以[]11A =-，.（2）证明：（解法一）()()()222222221111m n m n m n m n m n +-+=+--=---. 因为,m n A ∈，所以11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤， 所以()()22110m n ---≤，()221m n m n +≤+. 又10m n +≥，故1m n m n +≤+.（解法二）因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤， 而()()()1110m n m n m n +-+=--≤()()()1110m n m n m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，即()11m n m n m n -+≤+≤+，故1m n m n +≤+.。