高考数学模拟题复习试卷直线与圆锥曲线
2024年高考数学一模好题分类汇编：直线与圆、圆锥曲线(解析版)
直线与圆、圆锥曲线题型01 直线与圆题型02 椭圆题型03 双曲线题型04 抛物线题型01 直线与圆1(2024·浙江·校联考一模)圆C :x 2+y 2-2x +4y =0的圆心C 坐标和半径r 分别为()A.C 1,-2 ,r =5B.C 1,-2 ,r =5C.C -1,2 ,r =5D.C -1,2 ,r =5【答案】A【详解】圆C :x 2+y 2-2x +4y =0，即C :x -1 2+y +2 2=5，它的圆心C 坐标和半径r 分别为C 1,-2 ,r = 5.故选：A .2(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)“a ≤-5或a ≥5”是“圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:(x +a )2+(y -2a )2=36存在公切线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【详解】圆C 1的圆心为0,0 ，半径r 1=1，圆C 2的圆心为-a ,2a ，半径r 2=6，所以两圆的圆心距为d =C 1C 2 =a 2+4a 2=5a 2，两圆内含时，即5a 2<6-1 ，解得-5<a <5，所以当两圆有公切线时，a ≥5或a ≤-5，所以“a ≤-5或a ≥5”是“圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:(x +a )2+(y -2a )2=36存在公切线”的充要条件．故选：C ．3(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知圆C 1:(x -3)2+y 2=1,C 2:x 2+(y -a )2=16，则下列结论正确的有()A.若圆C 1和圆C 2外离，则a >4B.若圆C 1和圆C 2外切，则a =±4C.当a =0时，圆C 1和圆C 2有且仅有一条公切线D.当a =-2时，圆C 1和圆C 2相交【答案】BCD【详解】C 13,0 ,C 20,a ,C 1C 2 =9+a 2,r 1=1,r 2=4.若C1和C 2外离，则C 1C 2 =9+a 2>r 1+r 2=5，解得a >4或a <-4，故A 错误；若C 和C 外切，C C =9+a 2=5，解得a =±4，故B 正确；当a =0时，C 1C 2 =3=r 2-r 1,C 1和C 2内切，故C 正确；当a =-2时，3<C 1C 2 =13<5,C 1和C 2相交，故D 正确.故选：BCD4(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为x =3ty =4t -1 (t 为参数)，直线l 2的参数方程为x =12s y =32s(s 为参数).(1)求这两条直线的普通方程(结果用直线的一般式方程表示)；(2)若这两条直线与圆C :(x -3)2+(y -4)2=m 2都相离，求m 的取值范围.【答案】(1)l 1:4x -3y -3=0，l 2:3x -y =0(2)4-332<m <33-42【详解】(1)直线l 1的参数方程为x =3t y =4t -1 ，则4x =12t3y =12t -3 ，两式相减得4x -3y -3=0直线l 2的参数方程为x =12sy =32s ，则s =2x 代入y =32s ，得y =3x ,3x -y =0；(2)圆C 的圆心为3,4 ，半径为m ，若l 1,l 2与圆C :(x -3)2+(y -4)2=m 2相离，所以12-12-35>m33-42>m，即35>m 33-42>m，解得4-332<m <33-42.5(2024·重庆·统考一模)过点P 作圆C :x 2+y 2-4x -43y +15=0的两条切线，切点分别为A ,B ，若△PAB 为直角三角形，O 为坐标原点，则OP 的取值范围为()A.2-2,2+2B.4-2,4+2C.2-2,2+2D.4-2,4+2【答案】D【详解】圆C :(x -2)2+(y -23)2=1的圆心C (2,23)，半径r =1，由PA ,PB 切圆C 于点A ,B ，且△PAB 为直角三角形，得∠APB =90°,|PA |=|PB |，连接AC ,BC ，则∠CAP =∠CBP =90°，即四边形APBC 是正方形，|PC |=2，因此点P 在以点C 为圆心，2为半径的圆上，而|OC |=22+(23)2=4，于是|OP |max =4+2,|OP |min =4-2，所以OP 的取值范围为4-2,4+2 .故选：D6(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知圆C ：x 2+y 2-4x -14y +45=0及点Q (-2,3)，则下列说法正确的是()A.直线kx -y -2k +1=0与圆C 始终有两个交点B.若M 是圆C 上任一点，则|MQ |的取值范围为22,62C.若点P (m ,m +1)在圆C 上，则直线PQ 的斜率为14D.圆C 与x 轴相切【答案】B【详解】依题意，圆C ：(x -2)2+(y -7)2=8，圆心C (2,7)，半径r =22，对于A ，直线kx -y -2k +1=0恒过定点(2,1)，而点(2,1)在圆C 外，则过点(2,1)的直线与圆C 可能相离，故A 不正确；对于B ，|CQ |=42，点Q 在圆C 外，由CQ -r ≤MQ ≤CQ +r 得：22≤MQ ≤62，故B 正确.对于C ，点P (m ,m +1)在圆C 上，则(m -2)2+(m -6)2=8，解得m =4，而点Q (-2,3)，则直线PQ 的斜率为m -2m +2=13，故C 不正确；对于D ，点C (2,7)到x 轴距离为7，大于圆C 的半径，则圆C 与x 轴相离，即圆C 与x 轴不相切，故D 不正确；故选：B7(2024·河北·校联考一模)已知圆C :x 2+2x +y 2-1=0，直线mx +n y -1 =0与圆C 交于A ，B 两点.若△ABC 为直角三角形，则()A.mn =0B.m -n =0C.m +n =0D.m 2-3n 2=0【答案】A【详解】因为圆C :x 2+2x +y 2-1=0，圆心为C -1,0 ，半径为r =2，即CA =CB =2因为△ABC 为直角三角形，所以AB =CB2+CA 2=2,设圆心C -1,0 到直线mx +n y -1 =0的距离为d ，d =-m -nm 2+n 2=m +nm 2+n 2由弦长公式AB =2r 2-d 2得d =1，所以m +nm 2+n2=1，化简得mn =0.故选：A .8(2024·广东深圳·校考一模)已知圆C ：x 2+y 2-2kx -2y -2k =0，则下列命题是真命题的是()A.若圆C 关于直线y =kx 对称，则k =±1B.存在直线与所有的圆都相切C.当k =1时，P x ,y 为圆C 上任意一点，则y +3x 的最大值为5+3D.当k =1时，直线l :2x +y +2=0,M 为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的切线MA ,MB ，切点为A ，B ，则CM ⋅AB 最小值为4【答案】BCD【详解】解：圆C ：x 2+y 2-2kx -2y -2k =0，整理得：x -k 2+y -1 2=k +1 2，所以圆心C k ,1 ，半径r =k +1 >0，则k ≠-1对于A ，若圆C 关于直线y =kx 对称，则直线过圆心，所以1=k 2，得k =±1，又k =-1时，r =0，方程不能表示圆，故A 是假命题；对于B ，对于圆C ，圆心为C k ,1 ，半径r =k +1 >0，则k ≠-1，当直线为x =-1时，圆心到直线的距离d =k -(-1) =k +1 =r ，故存在直线x =-1，使得与所有的圆相切，故B 是真命题；对于C ，当k =1时，圆的方程为x -1 2+y -1 2=4，圆心为C 1,1 ，半径r =2由于P x ,y 为圆C 上任意一点，设y +3x =m ，则式子可表示直线y =-3x +m ，此时m 表示直线的纵截距，故当直线与圆相切时，可确定m 的取值范围,于是圆心C 1,1 到直线y =-3x +m 的距离d =3+1-m12+32=r =2，解得m =3-3或m =5+3，则3-3≤m ≤5+3，所以y +3x 的最大值为5+3，故C 为真命题；对于D ，圆的方程为x -1 2+y -1 2=4，圆心为C 1,1 ，半径r =2，如图，连接AC ,BC ，因为直线MA ,MB 与圆C 相切，所以MA ⊥AC ,MB ⊥BC ，且可得MA =MB ，又AC =BC =r =2，所以MC ⊥AB ，且MC 平分AB ，所以S =1CM ⋅AB =2S =2×1MA ⋅AC ，则CM ⋅AB =2MA ⋅AC =2CM 2-r 2×2=4CM 2-4，则CM ⋅AB 最小值即CM 的最小值，即圆心C 1,1 到直线l :2x +y +2=0的距离d =CM min =2+1+222+12=5，所以CM ⋅AB 的最小值为4，故D 为真命题.故选：BCD .9(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知直线y =kx +2k ∈R 交圆O :x 2+y 2=9于P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 两点，则3x 1+4y 1+16 +3x 2+4y 2+16 的最小值为()A.9 B.16C.27D.30【答案】D【详解】由题设直线与y 轴的交点为A 0,2 ，设弦PQ 的中点为E x ,y ，连接OE ，则OE ⊥PQ ，即OE ⊥AE ，所以OE ⋅AE=0，即x ,y ⋅x ,y -2 =x 2+y y -2 =0，所以点E 的轨迹方程为x 2+(y -1)2=1，即E 的轨迹是以0,1 为圆心，1为半径的圆，设直线l 为3x +4y +16=0，则E 到l 的最小距离为4+165-1=3，过P ､E ､Q 分别作直线l 的垂线，垂足分别为M ,R ,N ，则四边形MNQP 是直角梯形，且R 是MN 的中点，则ER 是直角梯形的中位线，所以MP +NQ =2ER ，即3x 1+4y 1+165+3x 2+4y 2+165=2ER ，即3x 1+4y 1+6 +3x 2+4y 2+6 =10ER ≥30，所以3x 1+4y 1+16 +3x 2+4y 2+16 的最小值为30.故选：D .10(2024·吉林延边·统考一模)已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是圆O :x 2+y 2=4上的两点，则下列结论中正确的是()A.若点O 到直线AB 的距离为2，则AB =22B.若AB =23，则∠AOB =π3C.若∠AOB =π2，则x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为6D.x 1x 2+y 1y 2的最小值为-4【答案】ACD【详解】依题意，圆O :x 2+y 2=4的圆心O 0,0 ，半径为r =2如图所示：对于A 选项：因为点O 到直线AB 的距离为2，所以AB =2r 2-d 2=22，故选项A 正确；对于B 选项：因为AB =23，且OA =OB =r =2，所以在△ABC 中，由余弦定理可得：cos ∠AOB =OA2+OB 2-AB 22OA OB=4+4-122×2×2=-12,所以∠AOB =2π3，故选项B 错误；对于C 选项：由x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 =2x 1+y 1-12+x 2+y 2-12，其几何意义为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 到直线x +y -1=0的距离之和的2倍设A ,B 的中点为C x 0,y 0 ,结合梯形的中位线可知：则有x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 =22x 0+y 0-12，因为∠AOB =π2，所以AB =4+4=22,在直角三角形△OAB 中，OC =12AB =2,所以点C 的轨迹为以原点0,0 为圆心，2为半径的圆.因为0,0 到x +y -1=0的距离为d =0+0-12=22，所以x 0+y 0-12max=22+2=322，所以x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 max =22x 0+y 0-12max=6，故选项C 正确；对于D 选项：因为x 1x 2+y 1y 2=OA ⋅OB =2×2×cos OA ,OB，所以当OA ,OB所成的角为π时，x 1x 2+y 1y 2 min =2×2×cosπ=-4.故选项D 正确;故选：ACD .题型02椭圆11(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)如果椭圆x 2k +8+y 29=1(k >-8)的离心率为e =12，则k =()A.4B.4或-54C.-45D.4或-45【答案】B【详解】解：因为椭圆x 2k +8+y 29=1(k >-8)的离心率为e =12，当k +8>9时，椭圆焦点在x 轴上，可得：a =k +8,b =3,∴c =a 2-b 2=k -1,∴e =k -1k +8=12，解得k =4，当0<k +8<9时，椭圆焦点在y 轴上，可得：a =3,b =k +8,∴c =a 2-b 2=1-k ,∴e =c a=1-k 3=12，解得k =-54．∴k =4或k =-54.故选：B ．12(2024·福建厦门·统考一模)设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 交于A ，B 两点，若F 1F 2 =2，且△ABF 2的周长为8，则()A.a =2B.C 的离心率为14C.|AB |可以为πD.∠BAF 2可以为直角【答案】AC【详解】由F 1F 2 =2c =2⇒c =1，如下图△ABF 2周长为4a =8⇒a =2，故b 2=a 2-c 2=3，所以，椭圆离心率为e =12，A 对，B 错；当AB ⊥x 轴，即AB 为通径时|AB |min =2b 2a =3，且|AB |<2a =4，所以3≤|AB |<4，故|AB |可以为π，C 对；由椭圆性质知：当A 为椭圆上下顶点时∠BAF 2最大，此时cos ∠BAF 2=a 2+a 2-4c 22a2=12，且∠BAF 2∈(0,π)，故(∠BAF 2)max =π3，即∠BAF 2不可能为直角，D 错.故选：AC13(2024·云南曲靖·统考一模)已知P 为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点，F 1,F 2分别为C 的左、右焦点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2外接圆半径与其内切圆半径之比为52，则C 的离心率为．【答案】57【详解】由题意，在Rt △PF 1F 2中|F 1F 2|=2c ,|PF 1|+|PF 2|=2a ,∠F 1PF 2=90°，所以其外接圆半径R =|F 1F 2|2=c ，内切圆的半径为|PF 1|+|PF 2|-|F 1F 2|2=a -c ，故c a -c =52⇒e =c a =57.故答案为：5714(2024·重庆·统考一模)已知点F 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为π3的直线交椭圆于P ,Q 两点，FP +FQ =FP -FQ ，则该椭圆的离心率为．【答案】3-1/-1+3【详解】令椭圆的左焦点为F ，半焦距为c ，分别连接F P ，F Q ，由FP +FQ =FP -FQ ，得四边形FPF Q 为矩形，而∠FOP =π3，则△OFP 为正三角形，所以|FP |=c ，FP =3c ，∴2a =PF +|PF ∣=(3+1)c ，则椭圆离心率为e =ca =3-1，故答案为：3-1.15(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知P 为椭圆C :x 29+y 23=1上的一个动点，过P 作圆M :(x -1)2+y 2=2的两条切线，切点分别为A ,B ，则AB 的最小值为.【答案】2105/2510【详解】设P x ,y ,∠MAB =θ，由已知MA ⊥AP ，由对称性可得AB ⊥PM ,所以∠PAB +∠MAB =π2,∠MPA +∠PAB =π2，且sin θ=2PM，因为PM =(x -1)2+y 2=(x -1)2+3-x 23=23x -322+52，因为-3≤x ≤3，所以PM ≥102，当且仅当x =32时等号成立，所以sin θ=2PM≤25，又θ∈0,π2 ，所以cos θ=1-sin 2θ≥15=55，所以AB =22cos θ≥22×55=2105.所以AB 的最小值为2105.故答案为：2105.16(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)若椭圆C 1和C 2的方程分别为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和x 2a 2+y 2b2=λ(a >b >0,λ>0且λ≠1)则称C 1和C 2为相似椭圆．己知椭圆C 1:x 24+y 23=1,C 2:x 24+y 23=λ(0<λ<1)，过C 2上任意一点P 作直线交C 1于M ，N 两点，且PM +PN=0，则△MON 的面积最大时，λ的值为()A.13B.12C.34D.32【答案】B【详解】当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为x =x 0，-2λ≤x 0≤2λ，联立x 24+y 23=1x =x，可得x =x 0y =±3×1-x 24 ，所以MN =23×1-x 204，所以△MON 的面积为S △MON =3x 01-x 204，由PM +PN =0 ，可得P 为MN 的中点，所以P x 0,0 ，因为点P 在椭圆C 2上，所以x 0=±2λ，所以S △MON =23×λ1-λ ，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =sx +t ，联立x 24+y 23=1y =sx +t ，消去y 得，4s 2+3 x 2+8stx +4t 2-12=0，∴Δ=64s 2t 2-44s 2+3 4t 2-12 =484s 2-t 2+3 >0，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8st 4s 2+3，x 1x 2=4t 2-124s 2+3，∴y 1+y 22=s x 1+x 2 +2t 2=-4s 2t 4s 2+3+t =3t4s 2+3，所以P 点坐标为-4st 4s 2+3,3t4s 2+3，因为点P 在椭圆C 2上，所以t 2=λ4s 2+3 ，因为原点O 到直线MN 的距离为t1+s 2，MN =1+s 2x 2-x 1 =1+s 2×x 1+x 2 2-4x 1x 2，所以△MON 的面积为S △MON =12t x 1-x 2 =23t 4s 2-t 2+34s 2+3=23×λ4s 2+3 ×1-λ 4s2+34s 2+3=23×λ1-λ ，综上，S △MON =23×λ1-λ ，又0<λ<1，又S △MON =23×λ1-λ =23×-λ-122+14，所以当λ=12时，△MON 的面积最大.故选：B .【点睛】关键点点睛：由PM +PN =0可得P 为MN 的中点，由此得到t 2=λ4s 2+3 ，将此关系代入S △MON 并化简可将S △MON 表示为一个变量的函数，从而利用二次函数求最值.17(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为63，点P 0,2 在椭圆C 上，过点P 的两条直线PA ，PB 分别与椭圆C 交于另一点A ，B ，且直线PA ，PB ，AB 的斜率满足k PA +k PB =4k AB k AB ≠0 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)证明直线AB 过定点；(3)椭圆C 的焦点分别为F 1，F 2，求凸四边形F 1AF 2B 面积的取值范围．【答案】(1)x 212+y 24=1(2)证明见解析(3)24611,82 【详解】(1)由题设得b =2ca =63a 2=b 2+c 2，解得a 2=12，所以C 的方程为x 212+y 24=1；(2)由题意可设l AB :y =kx +m (m ≠2)，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由y =kx +mx 212+y 24=1，整理得1+3k 2 x 2+6kmx +3m 2-12=0，Δ=36k 2m 2-41+3k 2 3m 2-12 =1212k 2-m 2+4 >0．由韦达定理得x 1x 2=3m 2-121+3k 2，x 1+x 2=-6mk1+3k 2，由k PA +k PB =4k AB 得y 1-2x 1+y 2-2x 2=4k ，即kx 1+m -2x 1+kx 2+m -2x 2=4k ，整理得2mk (m -2)=24-m 2 k ，因为k ≠0，得m 2-m -2=0，解得m =2或m =-1，m =2时，直线AB 过定点P (0,2)，不合题意，舍去；m =-1时，满足Δ=364k 2+1 >0，所以直线AB 过定点(0,-1)．(3))由(2)得直线l AB :y =kx -1，所以x =1k(y +1)，由x =1k (y +1)x 212+y 24=1，整理得1k 2+3y 2+2k 2y +1k 2-12=0，Δ=361k2+4>0，由题意得S F 1AF 2B =12F 1F 2 y1-y 2=22y 1-y 2 =1221k 2+41k 2+3，因为k AF 2=122，所以k 2>18，所以0<1k2<8，令t =1k 2+4，t ∈(2,23)，所以S F 1AF 2B =122t t 2-1=1221t -1t，在t ∈(2,23)上单调递减，所以S F 1AF 2B 的范围是24611,82．18(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)如图，D 为圆O ：x 2+y 2=1上一动点，过点D 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，连接BA 并延长至点W ，使得WA =1，点W 的轨迹记为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若过点K -2,0 的两条直线l 1，l 2分别交曲线C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点；于P ，Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得∠ORP +∠ORQ =π2？若存在，求出点R 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析，-65,0 (3)存在，R (0,±2)【详解】(1)设W x ,y ，D (x 0,y 0)，则A (x 0,0),B (0,y 0)，由题意知AB =1，所以WA =AB ，得(x 0-x ,-y )=(-x 0,y 0)，所以x 0=x2y 0=-y，因为x 2+y 20=1，得x 24+y 2=1，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意可知，直线l 1,l 2不平行坐标轴，则可设l 1的方程为：x =my -2，此时直线l 2的方程为x =-1my -2．由x =my -2x 24+y 2=1，消去x 得：(m 2+4)y 2-4my =0，解得：y =4m m 2+4或y =0(舍去)，所以x =m ⋅4m m 2+4-2=2m 2-8m 2+4，所以M 2m 2-8m 2+4,4m m 2+4 ，同理可得：N 2-8m 24m 2+1,-4m4m 2+1．当m ≠±1时，直线MN 的斜率存在，k MN =4mm 2+4+4m 4m 2+12m 2-8m 2+4-2-8m 24m 2+1=4m (5m 2+5)16m 4-16=5m 4m 2-4，则直线MN 的方程为y =5m 4m 2-4x +65，所以直线MN 过定点-65,0 ．当m =±1时，直线MN 斜率不存在，此时直线MN 方程为：x =-65，也过定点-65,0 ，综上所述：直线MN 过定点-65,0 ．(3)假设存在点R 使得∠ORP +∠ORQ =π2，设R 0,t ，因为∠ORP +∠ORQ =π2，所以∠ORQ =∠OPR ，即tan ∠ORQ =tan ∠OPR ，所以|OQ ||OR |=|OR ||OP |，所以|OR |2=|OP |⋅|OQ |，直线x =x 0与曲线C 交于不同的两点G 、H ，易知G 、H 关于x 轴对称，设G (x 0,y 0),H (x 0,-y 0)(y 0≠±1,y 0≠0)，易知点S 0,1，直线SG 方程是y =y 0-1x 0x +1，令y =0得点P 横坐标x P =-x 0y 0-1，直线SH 方程是y =y 0+1-x 0x +1，令y =0得点Q 横坐标x Q =x 0y 0+1，由|OR |2=|OP |⋅|OQ |，得t 2=x 20|y 20-1|，又G (x 0,y 0)在椭圆上，所以x 204+y 20=1，所以t 2=4，解得t =±2，所以存在点R (0,±2)，使得∠ORP +∠ORQ =π2成立．19(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，且点1,-32在椭圆上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点(-1,0)与椭圆交于M ,N 两点，椭圆C 的左、右顶点分别为A ,B ，直线BN 的斜率为k 1，直线AM 的斜率为k 2，求证：k 21+k 22k 1⋅k 2为定值．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【详解】(1)由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且点1,-32 在椭圆上，可得c a =12，所以b 2a 2=1-c 2a 2=1-12 2=34，又点1,-32 在该椭圆上，所以1a 2+94b 2=1，所以a 2=4，b 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)证明：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由于该直线斜率不为0，可设L MN ：x =my -1，联立方程x =my -1和x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2-6my -9=0，Δ>0恒成立，根据韦达定理可知，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1·y 2=-93m 2+4,my 1·y 2=-32y 1+y 2 ，k 1=y 2x -2,k 2=y 1x +2，k 2k 1=y 1(x 2-2)(x 1+2)y 2=y 1(my 2-3)(my 1+1)y 2=my 1y 2-3y 1my 1y 2+y 2，∴k 2k 1=-32(y 1+y 2)-3y 1-32(y 1+y 2)+y 2=3，∴k 21+k 22k 1∙k 2=k 1k 2+k 2k 1=103．20(2024·吉林延边·统考一模)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点为F 2，上顶点为H ，O 为坐标原点，∠OHF 2=30°，点1,32在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设经过点F 2且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点P -2,0 ，Q 2,0 ．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记△MPQ ，△NPQ 的面积分别为S △MPQ ，S △NPQ ，求S △MPQS △NPQ的值．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)13【详解】(1)由∠OHF 2=30°，得b =3c (c 为半焦距)，∵点1,32 在椭圆E 上，则1a 2+94b2=1．又a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =3，c =1．∴椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)由(1)知F 21,0 ．设直线l :x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由x =my +1x 24+y 23=1消去x ，得3m 2+4 y 2+6my -9=0．显然Δ=144m 2+1 >0．则y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4．∴my 1y 2=32y 1+y 2 ．由P -2,0 ，Q 2,0 ，得直线AP 的斜率k 1=y 1x 1+2，直线BQ 的斜率k 2=y 2x 2-2．又k 1 =OM OP ，k 2 =ON OQ，OP =OQ =2，∴OMON =k 1k 2 ．∴S △MPQ S △NPQ =12PQ⋅OM 12PQ⋅ON =OM ON =k 1 k 2 ．∵k 1k 2=y 1x 2-2 x 1+2 y 2=y 1my 2-1 my 1+3 y 2=my 1y 2-y 1my 1y 2+3y 2=32y 1+y 2 -y 132y 1+y 2 +3y 2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=13．∴S △MPQ S△NPQ=13．21(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点为F 2,0 ，点2,3 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 的两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A ,B 两点和P ,Q 两点，设AB ,PQ 的中点分别为M ,N ，求△FMN 面积的最大值．【答案】(1)x 28+y 24=1(2)49【详解】(1)由题意知c =2．又a 2=b 2+c 2，所以a 2=b 2+4．把点2,3 代入椭圆方程，得2b 2+4+3b2=1，解得b 2=4．故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．(2)由题意知直线AB ,PQ 的斜率均存在且不为零．设直线AB 的方程为y =k x -2 k ≠0 ，且A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．由y =k x -2x 28+y 24=1消去y ，得1+2k 2 x 2-8k 2x +8k 2-8=0．所以x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2-81+2k 2．而y 1+y 2=k x 1-2 +k x 2-2 =k x 1+x 2 -4k =-4k1+2k 2，所以M 4k 21+2k 2,-2k 1+2k 2 ．同理得N 42+k 2,2k 2+k 2．若4k 21+2k 2=42+k 2，则k =±1，此时直线MN 的斜率不存在，可得直线MN :x =43．此时MN =43，所以S △FMN =12×43×23=49；若k ≠±1，则直线MN 的斜率为-2k1+2k 2-2k 2+k 24k 21+2k 2-42+k 2=3k21-k 2，可得直线MN ：y +2k 1+2k 2=3k 21-k 2 x -4k 21+2k 2．化简，得y =3k 21-k 2x -43 ．所以直线MN 过定点T 43,0 ．所以S △FMN =S △FTM +S △FTN =12×23×-2k 1+2k 2 +12×23×2k2+k 2=13×2k 1+2k 2+13×2k 2+k 2=13×2k 3+3k 21+2k 2 2+k 2 =2k 1+k 22k 4+5k 2+2=2k +1k 2k 2+1k2 +5．令t =k +1k∈2,+∞ ，则S △FMN =f t =2t 2t 2-2 +5=2t2t 2+1．因为f t =21-2t22t2+12<0，所以f t 在t∈2,+∞上单调递减．所以f t <f2 =49，即S△FMN<49.综上，S△FMN≤4 9 .所以当k=±1时，△FMN的面积取得最大值4 9．【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，定点问题，最值问题；意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，分类讨论的思想，根据韦达定理得到根与系数的关系，是解题的关键，此方法是考查的重点，需要熟练掌握.22(2024·山西晋城·统考一模)已知椭圆P:x26+y22=1的焦点是椭圆E的顶点，椭圆Q:x26+y29=1的焦点也是E的顶点．(1)求E的方程；(2)若F x0,y0，C，D三点均在E上，且CF⊥DF，直线CF，DF，CD的斜率均存在，证明：直线CD过定点(用x0，y0表示)．【答案】(1)x24+y23=1(2)过定点x07,-y07,证明见解析.【详解】(1)因为6-2=2，所以P的焦点为(-2,0)，(2,0)，因为9-6=3，所以Q的焦点为(0,-3)，(0,3)，所以可设E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则a=2，b=3，故E的方程为x24+y23=1．(2)证明：设C x1,y1，D x2,y2，直线CD:y=kx+m．k FC=y1-y0x1-x0，k FD=y2-y0x2-x0．因为CF⊥DF，所以k CF⋅k FD=-1，即x1-x0x2-x0+y1-y0y2-y0=0，即x1x2-x0x1+x2+x20+y1y2-y0y1+y2+y20=0①，将y=kx+m代入E的方程，得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，则Δ=483+4k2-m2>0，x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，y1+y2=k x1+x2+2m=6m3+4k2，y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+km x1+x2+m2=-12k2+3m23+4k2，将以上4个式子代入①，得x20-x0⋅-8km3+4k2+4m2-123+4k2+y20-y0⋅6m3+4k2+-12k2+3m23+4k2=0，即4kx0+m2+34x20-3+3y0-m2+4k2y203-4k2=0②，34y20代入②得4kx 0+m +y 0 kx 0+m -y 0 =3kx 0+m -y 0 kx 0-m +y 0 ，即kx 0+m -y 0 kx 0+7m +y 0 =0，因为CF ⊥DF ，所以F 不在直线CD 上，则kx 0+m -y 0≠0，则m =-y 0+kx 07，所以直线CD :y =k x -x 07 -y 07过定点x 07,-y 07 .【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，将韦达定理代入表达式化简为4kx 0+m 2+34x 20-3 +3y 0-m 2+4k 2y 203-4k 2 =0并利用点在椭圆上进一步化简是本题关键.23(2024·浙江·校联考一模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1,F 2，点P x 0,y 0 为椭圆C 上异于顶点的一动点，∠F 1PF 2的角平分线分别交x 轴、y 轴于点M 、N ．(1)若x 0=12，求PF 1 ；(2)求证：PM PN为定值；(3)当△F 1PN 面积取到最大值时，求点P 的横坐标x 0．【答案】(1)PF 1 =94(2)证明见解析(3)x 0=3-1【详解】(1)由已知得F 1-1,0 ，x 204+y 203=1⇒y 20=3-3x 204则PF 1 =x 0+1 2+y 20=2+12x 0．所以当x 0=12时，PF 1 =94；(2)设M m ,0 ，在△F 1PF 2中，PM 是∠F 1PF 2的角平分线，所以PF 1 PF 2=MF 1 MF 2，由(1)知PF 1 =2+12x 0，同理PF 2 =x 0-1 2+y 20=2-12x 0，即2+12x 02-1x =m +11-m ，解得m =14x 0，所以M 14x 0,0 ，过P 作PH ⊥x 轴于H ．所以PM PN=MH OH=34．(3)记△F 1PN 面积的面积为S ，由(1)可得，S =12F 1M ⋅y 0+13y 0 =16x 0+4 344-x 20 =312x 0+4 4-x 20，其中x 0∈-2,0 ∪0,2 ，则S =-364-x 2x 20+2x 0-2 ，当x 0∈-2,0 ∪0,3-1 时，S >0,S 单调递增；当x 0∈3-1,2 时，S <0,S 单调递减．所以当x 0=3-1时，S 最大．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用导函数求解面积表达式的最值，注意函数的定义域.24(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知如图，点B 1,B 2为椭圆C 的短轴的两个端点，且B 2的坐标为0,1 ，椭圆C 的离心率为22.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 不经过椭圆C 的中心，且分别交椭圆C 与直线y =-1于不同的三点D ,E ,P (点E 在线段DP 上)，直线PO 分别交直线DB 2,EB 2于点M ,N .求证：四边形B 1MB 2N 为平行四边形.【答案】(1)x 22+y 2=1(2)证明见解析【详解】(1)由题知b =1,c a =22,a 2=b 2+c 2. 解得a 2=2,b 2=1.故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)方法一：显然直线l 不能水平，故设直线l 方程为x =k y +t t ≠0 ，设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,N x N ,y N ,M x M ,y M ，由x =k y +t ,x 22+y 2=1得k 2+2 y 2+2k t y +t 2-2=0，令Δ>0得，k 2-t 2+2>0.所以y 1+y 2=-2k t k 2+2,y 1y 2=t 2-2k 2+2，令y =-1，得P t -k ,-1 .故直线PO 方程为y =1k-tx ，直线DB 方程为y =y 1-1x +1.由y =1k -txy =y 1-1x 1x +1 得x M =k -tx 1x 1+k -t 1-y 1=k -tx 1k +t y 1，将x M 中x 1,y 1换成x 2,y 2得x N =k-tx 2k +t y 2.∴x M +x N =k-tx 1k +t y 1+k-tx 2k +t y 2=k-tx 1k +t y 2 +x 2k +t y 1k +t y 1 k +ty 2，∵x 1k +t y 2 +x 2k +t y 1 =k x 1+x 2 +t x 1y 2+x 2y 1 =k k y 1+t +k y 2+t +t k y 1+t y 2+k y 2+t y 1 =k 2+t 2y 1+y 2 +2k ty 1y 2+1 =-2k t k 2+t 2 +2k t k 2+t 2k 2+2=0,∴O 为线段MN 中点，又O 为B 1B 1中点，∴四边形B 1MB 2N 为平行四边形.方法二：设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,M x M ,y M ,N x N ,y N .直线B 2D 方程为y =y 1-1x 1x +1，当直线l 的斜率不存在时，设l 方程为x =x 0x 0≠0 ，此时P x 0,-1 ，直线PO 方程的为y =-1x 0x ，由y =-1x 0xy =y 1-1x 0x +1得x M=-x 0y 1，同理x N =-x 0y 2,∵y 1=-y 2∴x M +x N =0，当直线l 斜率存在时，设l 方程为y =kx +t t ≠0 ，由y =kx +t ,x22+y 2=1 得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-2=0.令Δ>0得，1+2k 2-t 2>0.由韦达定理得x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-21+2k 2.将y =-1代入y =kx +t 得P -1-tk,-1 ∴直线PO 的方程为y =kt +1x 由y =y 1-1x 1x +1y =k t +1x得x M=-x 11+t y 1-1 1+t -kx 1=-x 11+t ktx 1+t 2-1同理可得x N =-x 21+tktx 2+t 2-1.∴x M +x N =-t +1 x 1ktx 1+t 2-1+x 2ktx 2+t 2-1=-t +12ktx 1x 2+t 2-1 x 1+x 2ktx 1+t 2-1 ktx 2+t 2-1∵2ktx 1x 2+t 2-1 x 1+x 2 =2kt 2t 2-2 +t 2-1 -4kt=0，∴x M +x N =0，综上所述，x M +x N =0,∴O 为线段MN 中点，又O 为B 1B 1中点，∴四边形B 1MB 2N 为平行四边形.【点睛】关键点点睛：证明四边形B 1MB 2N 为平行四边形的方法用对角线相互平分得到.25(2024·河北·校联考一模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为12，经过点F 1且倾斜角为θ0<θ<π2的直线l 与椭圆交于A 、B 两点(其中点A 在x 轴上方)，△ABF 2的周长为8．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面(平面AF 1F 2)与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面(平面BF 1F 2)互相垂直．①若θ=π3，求异面直线AF 1和BF 2所成角的余弦值；②是否存在θ0<θ<π2 ，使得折叠后△ABF 2的周长为152？若存在，求tan θ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)①1328；②存在；tan θ=33514．【详解】解：(1)由椭圆的定义知：AF 1 +AF 2 =2a ,BF 1 +BF 2 =2a ，所以△ABF 2的周长L =4a =8，所以a =2，又椭圆离心率为12，所以c a =12，所以c =1，b 2=a 2-c 2=3，由题意，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)①由直线l ：y -0=3x +1 与x 24+y 23=1，联立求得A 0,3 ，(因为点A 在x 轴上方)以及B -85,-353 ，再以O 为坐标原点，折叠后原y 轴负半轴，原x 轴，原y 轴正半轴所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则F 10,-1,0 ，A 0,0,3 ，B 353,-85,0，F 20,1,0 ，F 1A =0,1,3 ，BF 2 =-353,135,0 ．记异面直线AF 1和BF 2所成角为φ，则cos φ=cos <F 1A ,BF 2 > =F 1A ⋅BF2 F 1A BF 2=1328；②设折叠前A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，折叠后A ，B 在新图形中对应点记为A ′，B ′，A ′x 1,y 1,0 ，B ′x 2,0,-y 2 ，由A ′F 2 +B ′F 2 +A ′B ′ =152，AF 2 +BF 2 +|AB |=8，故AB -A ′B ′ =12，将直线l 方程与椭圆方程联立my =x +1x 24+y 23=1，得3m 2+4 y 2-6my -9=0，y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系(原x 轴仍然为x 轴，原y 轴正半轴为y 轴，原y 轴负半轴为z 轴)；A ′B ′ =x 1-x 22+y 12+y 22，AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2，所以AB -A ′B ′ =x 1-x 22+y 1-y 2 2-x 1-x 22+y 21+y 22=12，(i )又-2y 1y 2x 1-x 22+y 1-y 2 2+x 1-x 22+y 21+y 22=12，所以x 1-x 1 2+y 1-y 2 2+x 1-x 2 2+y 21+y 21=-4y 1y 2，(ii )由(i )(ii )可得x 1-x 22+y 1-y 2 2=14-2y 1y 2，因为x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=1+m 2 y 1-y 2 2=14-2y 1y 2 2，所以1+m 26m 3m 2+42+363m 2+4=14+183m 2+42，即1441+m3m 2+42=14+183m 2+42，所以12+12m 23m 2+4=14+183m 2+4，解得m 2=2845，因为0<θ<π2，所以tan θ=1m =33514．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是根据折叠前、后三角形△ABF 2周长的变化，得到AB -A ′B ′ =12，进而根据两点间的距离公式及韦达定理进行求解.题型03 双曲线26(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1-22,0 ,F 222,0 ，且满足条件p ，可以解得双曲线C 的方程为x 2-y 2=4，则条件p 可以是()A.实轴长为4B.双曲线C 为等轴双曲线C.离心率为22D.渐近线方程为y =±x【答案】ABD【详解】设该双曲线标准方程为x 2a 2-y 2b2=1，则c =2 2.对于A 选项，若实轴长为4，则a =2，∴b 2=c 2-a 2=4，符合题意；对于B 选项，若该双曲线为等轴双曲线，则a =b ，又c =22，a 2+b 2=c 2=8，可解得a 2=b 2=4，符合题意；对于C 选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；对于D 选项，若渐近线方程为y =±x ，则a =b ，结合a 2+b 2=c 2=8，可解得a 2=b 2=4，符合题意，故选：ABD .27(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知A 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点，O 为坐标原点，B ,C 为双曲线E 上两点，且AB +AC =2AO ，直线AB ,AC 的斜率分别为2和14，则双曲线E 的离心率为()A.2B.52C.62D.2【答案】C【详解】A a ,0 ，设B x 0,y 0 ,C -x 0,-y 0 ，则x 20a 2-y 20b2=1，则k AB =y 0x 0-a =2,k AC =y 0x 0+a =14，k AB ⋅k AC =y 20x 20-a 2=b 2x 20a2-1 x 20-a 2=b 2a 2=14×2=12，∴e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b a 2=1+12=62.故选：C【点睛】求解双曲线离心率有关的问题，可以利用直接法来进行求解，也即通过已知条件求得a 和c ，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也即通过已知条件求得a 2,c 2或a 2,b 2的等量关系式，由此来求得离心率.28(2024·云南曲靖·统考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 ，过其右焦点F 作一条直线分别交两条渐近线于A ,B 两点，若A 为线段BF 的中点，且OA ⊥BF ，则双曲线C 的渐近线方程为()A.y =±2xB.y =±3xC.y =±5xD.y =±12x【答案】B【详解】由题设作出图形，双曲线渐近线为y =±b a x ，F (c ,0)，则直线BF :y =-ab (x -c )，故y =-a b(x -c )y =-b a x，可得x =a 2c a 2-b 2，故y =-abc a 2-b 2，即B a 2c a 2-b 2,-abca 2-b2，又三角形BOF 为等腰三角形，所以|OB |2=a 2ca 2-b22+abc a 2-b22=c 2，则a 4+a 2b 2=(a 2-b 2)2，整理得b 2a 2=3⇒ba =3，即双曲线C 的渐近线方程为y =±3x .故选：B29(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右顶点分别为A 1,A 2,F 为C 的右焦点，C 的离心率为2，若P 为C 右支上一点，PF ⊥FA 2，记∠A 1PA 2=θ0<θ<π2，则tan θ=()【答案】A【详解】设C 的焦距为2c ，点P x 0,y 0 ，由C 的离心率为2可知c =2a ,b =3a ，因为PF ⊥FA 2，所以x 0=c ，将P c ,y 0 代入C 的方程得c 2a 2-y 20b 2=1，即y 0 =3b ，所以tan ∠PA 2F =3b c -a =3,tan ∠PA 1F =3bc --a=1，故tan θ=tan ∠PA 2F -∠PA 1F =3-11+3×1=12．故选:A ．30(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是右支上一点，满足AF 1⊥AF 2，直线AF 2交双曲线于另一点B ，且BF 1 -AF 1 =2a ，则双曲线的离心率为．【答案】102【详解】AF 2 =x ，则AF 1 =2a +x ，又BF 1 -AF 1 =2a ，所以BF 2 =AF 1 =2a +x ，则AB =AF 2 +BF 2 =2a +2x ，BF 1 =2a +AF 1 =4a +x ，又AF 1⊥AF 2，所以三角形AF 1B 为直角三角形，则AF 1 2+AB 2=BF 1 2,即2a +x 2+2a +2x 2=4a +x 2，化为x 2+ax -2a 2=0，解得x =a 或者x =-2a (舍)，此时AF 1 =3a ，在直角三角形AF 1F 2中，AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2,即9a 2+a 2=4c 2，所以c 2a2=e 2=52，所以e =102.故答案为：102.31(2024·浙江·校联考一模)已知A ,B 分别是双曲线C :x 24-y 2=1的左，右顶点，P 是双曲线C 上的一动点，直线PA ，PB 与x =1交于M ,N 两点，△PMN ,△PAB 的外接圆面积分别为S 1,S 2，则S1S 2的最小值为()【答案】A【详解】由已知得，A -2,0 ，B 2,0 ，由双曲线的对称性，不妨设P x ,y 在第一象限，所以k PA =y x +2，k PB =yx -2，所以k PA ⋅k PB =y x +2⋅y x -2=y 2x 2-4=x 24-1x 2-4=14，设直线PA 的方程为：y =k x +2 ,k >0，则直线PB 的方程为：y =14kx -2 ，同时令x =1，则y M =3k ，y N =-14k，所以MN =3k +14k,k >0，设△PMN ,△PAB 的外接圆的半径分别为r 1，r 2，由正弦定理得，2r 1=MNsin ∠MPN=MNsin ∠APB，2r 2=ABsin ∠APB，所以r 1r 2=MN AB =3k +14k 4≥23k ⋅14k 4=34，当且仅当3k =14k，即k =36时取等号，所以S 1S 2=πr 21πr 22=r 1r 22=316.故选：A【点睛】结论点睛：若A 、B 分别为双曲线的左、右顶点，P 为双曲线上一动点，则直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值.32(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知O 为坐标原点，双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为62，点P x 1,y 1 是C 的右支上异于顶点的一点，过F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足是M ，|MO |=2，若双曲线C 上一点T 满足F 1T ⋅F 2T=5，则点T 到双曲线C 的两条渐近线距离之和为()A.22B.23C.25D.26【答案】A【详解】设半焦距为c ，延长F 2M 交PF 1于点N ，由于PM 是∠F 1PF 2的平分线，F 2M ⊥PM ，所以△NPF 2是等腰三角形，所以PN =PF 2 ，且M 是NF 2的中点.根据双曲线的定义可知PF 1 -PF 2 =2a ，即NF 1 =2a ，由于O 是F 1F 2的中点，所以MO 是△NF 1F 2的中位线，所以MO =12NF 1 =a =2，又双曲线的离心率为62，所以c =3，b =1，所以双曲线C 的方程为x 22-y 2=1.所以F 1(-3,0)，F 2(3,0)，双曲线C 的渐近线方程为x ±2y =0，设T (u ,v )，T 到两渐近线的距离之和为S ，则S =|u +2v |3+|u -2v |3，由F 1T ⋅F 2T=(u -3)(u +3)+v 2=u 2+v 2-3=5，即u 2+v 2=8，又T 在x 22-y 2=1上，则u 22-v 2=1，即u 2-2v 2=2，解得u 2=6，v 2=2，由|u |>2|v |，故S =2u3=22，即距离之和为2 2.故选：A .【点睛】由平面几何知识，PN =PF 2 ，依据双曲线的定义，可将|MO |=2转化为用a 表示，进而的双曲线的标准方程.33(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知F 1，F 2分别是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，CB =3F 2A，BF 2平分∠F 1BC ，则双曲线Γ的离心率为()A.7B.5C.3D.2【答案】A【详解】因为CB =3F 2A ，所以△F 1AF 2∽△F 1BC ，设F 1F 2 =2c ，则F 2C =4c ，设AF 1 =t ，则BF 1 =3t ，AB =2t ．因为BF 2平分∠F 1BC ，由角平分线定理可知，BF 1 BC=F 1F 2 F 2C=2c 4c =12，所以BC =2BF 1 =6t ，所以AF 2 =13BC =2t ，由双曲线定义知AF 2 -AF 1 =2a ，即2t -t =2a ，t =2a ，①又由BF 1 -BF 2 =2a 得BF 2 =3t -2a =2t ，所以BF 2 =AB =AF 2 =2t ，即△ABF 2是等边三角形，所以∠F 2BC =∠ABF 2=60°．在△F 1BF 2中，由余弦定理知cos ∠F 1BF 2=BF 12+BF 2 2-F 1F 2 22⋅BF 1 ⋅BF 2，即12=4t 2+9t 2-4c 22⋅2t ⋅3t，化简得7t 2=4c 2，把①代入上式得e =ca =7，所以离心率为7．故选：A ．34(2024·山西晋城·统考一模)双曲线C :x 2-y 2=m 2(m >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P (t ,s )(s ≠0)为C 的右支上一点，分别以线段PF 1，PF 2为直径作圆O 1，圆O 2，线段OO 2与圆O 2相交于点M ，其中O 为坐标原点，则()A.O 1O 2 =3mB.OM =mC.点(t ,0)为圆O 1和圆O 2的另一个交点D.圆O 1与圆O 2有一条公切线的倾斜角为π4【答案】BCD【详解】C 的方程可化为x 2m 2-y 2m2=1，可得a =m ，b =m ，c =2m ．由O 1为PF 1的中点，O 2为PF 2的中点，得O 1O 2 =12F 1F 2 =2m ，A 错误．由O 2为PF 2的中点，O 为F 1F 2的中点，得OO 2 =12PF 1 ，则OM =OO 2 -MO 2 =12PF 1 -PO 2 =12PF 1 -12PF 2 =a =m ，B 正确．设点Q 为圆O 1和圆O 2的另一个交点，连接PQ ，由O 1O 2⎳x 轴，可得O 1O 2⊥PQ ，O 1O 2为△PF 1F 2的中位线，则直线O 1O 2平分线段PQ ，则点Q 必在x 轴上，可得点Q 的坐标为(t ,0)，C 正确．如图，若BD 为圆O 1与圆O 2的一条公切线，B ，D 为切点，连接O 1B ，O 2D ，过点O 2作O 2A ⊥O 1B ，垂足为A ．由O 1O 2 =2m ，O 1A =O 1B -O 2D =12PF 1 -12PF 2 =a =m ，得sin ∠AO 2O 1=AO 1 O 1O 2=m 2m=22，。
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷专练（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
则由椭圆的中心对称性可知可知AF1BF2为平行四边形，则可得△ABF2的周长为|AF当AB位于短轴的端点时，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，当围成的等腰三角形底边在直线l因为tanα=2tanα21―tan2α2=2，且tanα2>所以k=tanθ=tanα2=5―12，或故选：B．5．（5分）（2024·西藏拉萨的最小值为（）A．1453【解题思路】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可6．（5分）（2024·湖南邵阳点B在C上且位于第一象限，B．8 A．453【解题思路】由点A―1,8由点A―1,8在抛物线y23所以抛物线C的方程为y2设B(x0,y0)，则x0>0,y0>由题意知F p2,0，又OP 显然直线AB的斜率不为由y2=2pxx=ty+p2，得y2―2pty显然直线BD的斜率不为由y2=2pxλp，得y2故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
如图，因为K OA=∠PDA=∠ODB，所以×|PA|⋅S△PAB=12故选：ABD.11．（6分）（2024·福建龙岩|AB|=8.过焦点F的直线C的准线与坐标轴的交点，则（A．若MF=3FN，则直线C．∠MON为钝角设M(x1,y1),N(x2,y 得y2―8my―16=所以y1y2=―16,x1∴x1x2+y1y2=4⟨⟩三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高考数学专题复习解析几何直线圆锥曲线练习题
高考数学专题复习 直线 圆锥曲线 练习题选择题1已知椭圆2215x y k +=的离心率e =,则实数k 的值为A,3 B,3或253 2一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切,则动圆圆心的轨迹为 A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线3已知双曲线的顶点为(2,1)-与(2,5),它的一条渐近线与直线340x y -=平行,则双曲 线的准线方程是 A,925y =±B,925x =± C,1225y =± D,1225x =± 4抛物线22y x =上的点P 到直线4y x =+有最短的距离,则P 的坐标是 A,(0,0) B,1(1,)2 C,1(,1)2 D,11(,)225已知点F 1(,0)4,直线l :14x =-,点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点M,则点M 的轨迹是A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线 填空题6椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离为103,则此椭圆的方程为 . 7与方程3x y =的图形关于y x =-对称的图形的方程是 .8设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,且分PA所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 .9设椭圆与双曲线有共同的焦点12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍, 则椭圆与双曲线的交点轨迹是 . 解答题10已知点H (3,0)-,点P 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线PQ 上,且满足0HP PM ⋅= ,32PM MQ =-.(I)当点P 在y 轴上移动时,求点M 的轨迹C;(II)过点T (1,0)-作直线l 与轨迹C 交于A,B 两点,若在x 轴上存在一点E 0(,0)x , 使得ABE ∆是等边三角形,求0x 的值.11已知双曲线C:22221x y a b-=(0,0)a b >>,点B,F 分别是双曲线C 的右顶点和右焦点,O 为坐标原点.点A 在x 轴正半轴上,且满足,,OA OB OF成等比数列,过点F 作双曲线C 在第一,第三象限的渐近线的垂线l ,垂足为P.(I)求证:PA OP ⋅= PA FP ⋅; (II)设1,2a b ==,直线l 与双曲线C 的左,右两分支分别相交于点D,E,求DFDE的值.12已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.四 参考答案问题1解:(1)当直线AB ⊥x 轴时,在22y x =中,令12x =,有1y =±,则 11(,1),(,1)22A B -,得113(,1)(,1)224OA OB ⋅=⋅-=- . (2)当直线AB 与x 轴不互相垂直时,设AB 的方程为:1()2y k x =-由21()22y k x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,消去y ,整理得22221(2)04k x k x k -++=,显然0k ≠.设1122(,),(,)A x y B x y ,则21212221,4k x x x x k ++=⋅=,得 OA OB ⋅= 1122(,)(,)x y x y ⋅=12x x ⋅+1y 2y =12x x ⋅+11(2k x -21()2k x ⋅-=22212121(1)()24k k x x x x k +⋅-++ =22222121(1)424k k k k k ++-⋅+=34-. 综(1),(2)所述,有34OA OB ⋅=- .问题2解:设点P,Q,M 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,(,)x y由条件知2211221x y a b += ①2222221x y a b += ②122x x x +=,122y y y += ③212212y y b x x a=- ④①+②得22221212222x x y y a b +++= 即22121212122222()()222x x y y x x y y a b a b +++--=,将③,④代入得2222442x y a b+=,于是点M 的轨迹方程为2222122x y a b +=.问题3解:(I)C 的焦点为F(1,0),直线l 的斜率为1,所以l 的方程为1y x =-, 把它代入24y x =,整理得2610x x -+= 设A 11(,)x y ,B 22(,)x y 则有12126,1x x x x +==.112212121212(,)(,)2()OA OB x y x y x x y y x x x x ⋅=⋅=+=-++1=3-.OA OB =cos ,41OA OB OA OB OA OB⋅<>==-, 所以OA 与OB夹角的大小为π-.(II)由题设FB AF λ=得2211(1,)(1,)x y x y λ-=--,即21211(1)x x y y λλ-=-⎧⎨=-⎩.得22221y y λ=,又2211224,4y x y x ==,有221x x λ=,可解得2x λ=,由题意知0λ>, 得B (λ或(,λ-,又F(1,0),得直线l 的方程为(1)1)y x λ-=-或(1)1)y x λ-=--,当[4,9]λ∈时,l 在y轴上的截距为1λ-或1λ--,21λ=+-,可知[4,9]上是递减的,于是3443≤≤,4334-≤≤-, 所以直线l 在y 轴上的截距为[43,34--]34[,]43. 问题4解:设M (,)x y 为曲线C 上任一点,曲线C 的离心率为e (0,1)e e >≠,由条件①,②得e =,化简得:22222(1)20e x y e x e -++-= (i)设弦AB 所在的直线方程为y x m =+ (ii) (ii)代入(i)整理后得:22222(2)2()0e x m e x m e -+++-= (iii),可知22e =不合题意,有220e -≠,设弦AB 的端点坐标为A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,AB 的中点P 00(,)x y .则1x ,2x 是方程(iii)的两根.21222()2m e x x e ++=--,2121222()()()22m e y y x m x m m e++=+++=-+- 2120222x x m e x e ++==-,21202(1)22y y m e my e ++-==-,又中点P 00(,)x y 在直线0x y +=上,有222m e e +-+22(1)2m e me +--=0,解得2m =-,即AB 的方程为2y x =-,方程(iii)为 2222(2)2(2)40e x e x e -+-+-=,它的28(2)0e ∆=->,得22e >.21222(2)22e x x e -++=-=-,212242e x x e -⋅=-由12AB x =-,得22222121212()(1)[()4](1)AB x x k x x x x k =-+=+-+即222224(24)(11)2e e-=-⋅+-,得242e =>,将它代入(i)得223840x y x --+=. 所求的曲线C 的方程为双曲线方程:224()314493x y --=.1焦点在x 轴得3k =;焦点在y 轴得253k =,选B.2设圆心O(0,0),1(4,0)O -,'O 为动圆的圆心,则''1(4)(1)3O O O O r r -=+-+=,选C.3知双曲线的中心为(2,2),由340x y -=变形得220916y x -=,于是所求双曲线方程为 22(2)(2)1916y x ---=,它的准线为925y -=±,即925y =±,选A.4设直线y x m =+与22y x =相切,联立整理得222(1)0x m x m +-+=,由224(1)40m m ∆=--=,得12m =,这时得切点(12,1),选B.5由MF MB =知点M 的轨迹是抛物线,选D.6可得28103a c a a c+=⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去c ,整理得237400a a --=,有5a =或83-(舍去),得3c =, 4b =,所以所求的椭圆方程为2212516x y +=.7设点P (,)x y 是所求曲线上任一点,它关于y x =-对称的点'(,)P y x --在3x y =上, 有3()y x -=-,即3y x =. 8设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.9由条件可得123PF PF =或213PF PF =,设P (,)x y 代入可知交点的轨迹是两个圆.10解:(I) 设点M (,)x y ,由32PM MQ =- ,得P (0,),(,0)23y xQ -由0HP PM ⋅= ,得3(3,)(,)0,22y y x -⋅=所以24y x =.又点Q 在x 轴的正半轴上,得0x >.所以,动点M 的轨迹C 是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点.(II)设直线l :(1)y k x =+,其中0k ≠,代入24y x =,整理得22222(2)0k x k x k +-+= ①设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,2121222(2),1k x x x x k -+=-=,1212(1)(1)y y k x k x +=+++ =124()2k x x k k ++=,有AB 的中点为2222(,)k k k-, AB 的垂直平分线方程为22212()k y x k k k--=--,令0y =,0221x k =+,有E 22(1,0)k + 由ABE ∆为正三角形,E 到直线ABAB ,知2AB k ==,解得k =,所以0113x =. 11(I)证明:直线l 的方程为:()ay x c b=--由()a y x c b b y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,得P 2(,)a abc c ,又,,OA OB OF 成等差数列,得A(2a c ,0),有22(0,),(,),(,)ab a ab b ab PA OP FP c c c c c =-==- ,于是222a b PA OP c ⋅=- ,222a b PA FP c⋅=- ,因此PA OP ⋅= PA FP ⋅ .(II)由1,2a b ==,得c =l:1(2y x =--由221(214y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,消去x ,整理得215160y -+= ① 设D 11(,)x y ,E 22(,)x y ,由已知有12y y >,且1y ,2y 是方程①的两个根.12y y +=,121615y y =,21212122112()2103y y y y y y y y y y +-+==,解得213y y =或13.又12y y >,得21y y =13,因此121211321DF y y y y DE y ===--. 12解:(I)1(1,0)F,12AF BF ==设2(,)F x y 则121220AF AF BF BF a -=-=>,去掉绝对值号有两种情况,分别得2F 的轨迹方程为1x =和22(1)(2)184x y --+=(0,4y y ≠≠) (II)直线1l :1x =,2l :y x m =+,D(1,4),椭圆Q:22(1)(2)184x y --+= ①若2l 过点1F 或D,由1F ,D 两点既在直线1l 上,又在椭圆Q 上,但不在2F 的轨迹上, 知2l 与2F 的轨迹只有一个公共点,不合题意.②若2l 不过1F ,D 两点(1,3m m ≠-≠).则2l 与1l 必有一个公共点E,且点E 不在椭圆Q 上, 所以要使2l 与2F 的轨迹有且只有两个公共点,必须使2l 与Q 有且只有一个公共点,把y x m =+代入椭圆的方程并整理得223(104)2810x m x m m --+-+=由0∆=,得1m =±。
(完整版)数学高职高考专题复习__直线、圆锥曲线问题
高考直线、圆锥曲线问题专题复习一、直线基础题1、已知直线L 与直线2x -5y -1=0平行，则L 的斜率为 ( ) A.52 B.52- C.25 D.25- 2、平行直线2x+3y-6=0和4x+6y-7=0之间的距离等于 ( ) A.1313 B.26135 C.13132 D.26133、已知点A （1，3）和B （-5，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是 ( ) A.3x +y+4=0 B.x -3y+8=0 C.x+3y -4=0 D.3x -y+8=04、 过点（-3，1）且与直线3x -y -3=0垂直的直线方程是 ( ) A.x +3y=0 B.3x +y=0 C.x -3y +6=0 D.3x -y -6=05、已知M （3，-1），N （-3，5），则线段MN 的垂直平分线方程为 ( )A.x -y -2=0B.x +y -2=0C.3x -2y +3=0D.x -y +2=06、如果点(4，a)到直线4x -3y -1=0的距离不大于3，那么a 的取值范围是区间 ( ) A.[2，12] B.[1，12] C. [0，10] D. [-1，9]7、实数a=0是直线ax -2y -1=0与2ax -2y -3=0平行的 ( ) A.充分而非必要的条件 B.充分且必要的条件C.必要而非充分的条件D.既非必要又非充分的条件 8、已知P ，M 和N 三点共线，且点M 分有向线段所成的比为2，那么点N 分有向线段所成的比为 ( ) A.31-B.-3C.31D.3 9、已知A （-2，1）,B （2，5），则线段AB 的垂直平分线的方程是_________.10、在x 轴上截距为3且垂直于直线x+2y=0的直线方程为___ _______________.二、圆锥曲线基础题11、已知抛物线方程为y 2=8x ，则它的焦点到准线的距离是 ( ) A.8 B.4 C.2 D.6 12、已知椭圆上一点到两焦点（-2，0），（2，0）的距离之和等于6，则椭圆的短轴长为 A.5 B.10 C.5 D.52 ( )13、椭圆9x 2+16y 2=144的焦距为 ( ) A.10 B.5 C.72 D.1414、已知双曲线上有一点到两焦点（-2，0），（2，0）的距离差是2，则双曲线方程为 ( )A.1322=-y x B.1322-=-y x C.1322-=-y x D.1322=-y x 15、P 为椭圆25X 2+9Y 2=225上一点，F 1，F 2是该椭圆的焦点，则| PF 1 |+| PF 2|的值为A.6B.5C.10D.3 (01年成人) ( )16、过双曲线193622=-y x 的左焦点F 1的直线与这双曲线交于A ，B 两点，且|AB|=3.F 2是右焦点，则|AF 2|+|BF 2|的值是 ( ) A.21 B.30 C.15 D.27 17、平面上到两定点F 1（-7，0），F 2（7，0）距离之差的绝对值等于10的点的轨迹方程为 ( )A.11610022=-y x B.14910022=-y x C.1242522=+y x D.1242522=-y x 18、抛物线x y 82=的准线方程是 ( ) A.x =﹣4 B.x =﹣2 C.=y ﹣4 D.=y ﹣219、椭圆15922=+y x 的焦距等于 ( ) A.6 B.214 C.4 D.1420、长为2的线段MN 的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动,则线段MN 的中点的轨迹方程是 ( )A.222=+y xB.422=+y x C.222=+y x D.122=+y x21、记双曲线15422=-y x 的右焦点为F,右准线为l .若双曲线上的点P 到l 的距离为35,则=PF ( )A.25 B.35 C.27D.10922、若抛物线px y 22=上到焦点距离为3的点之横坐标为2,则P= ( ) A.4 B.3 C.2D.123、设P 是双曲线191622=-y x 上一点，已知P 到双曲线的一个焦点的距离等于10，则P 到另一个焦点的距离是 ( )A.2B.18C.20D.2或18 24、中心在坐标原点,焦点在x 轴，且离心率为22、焦距为1的椭圆方程是 ( ) A.14222=+y xB.14222=+y x C.12422=+y xD.12422=+y x 25、方程0)()(22=-+-b y a x 的图形是 ( ) A.一个圆 B.两条直线 C.两条射线 D.一个点26、方程0)2)(1(2=+-y x 的图形是 ( ) A.一条直线 B.两条直线 C.一条抛物线 D.直线或抛物线27、如果圆x 2+y 2= r 2 (r>0) 与圆x 2+y 2-24x -10y +165=0相交，那么r 的取值范围是区间 A.（5，9） B.（6，10） C.（10，12） D.（11，15）( ) 28、椭圆21222=+y x 的准线方程是 ( ) A.x=±1 B. y=±1 C. y=±2 D. x=±2 29、焦点在x 轴上，以直线x y 3=与x y 3-=为渐近线的双曲线的离心率为 ( )A.4B.2C.2D.0.530、焦距为2，离心率为33的椭圆，它的两条准线的距离为 ( ) A.6 B.8 C.34 D.3331、如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是区间( ) A.（0，+∞） B.（0，2） C.（1，+∞） D.（0，1）32、如果方程192222=-+-a y a x 表示焦点在y 轴上的双曲线，那么实数a 的取值范围是区间 ( )A.（-3，2）B.（-3，3）C.（-3，+∞）D.（-∞，2）33、已知椭圆2222b x a y +=1(a ＞b ＞0)的离心率为53，两焦点的距离为3，则a+b=_______.三、直线、圆锥曲线综合题35、过圆x 2+y 2=25上一点P （3，4）并与该圆相切的直线方程是 ( ) A.3x －4y=0 B.3x+4y=0 C. 3x －4y －25=0 D.3x +4y －25=0 36、圆x 2+y 2-10y=0的圆心到直线3x +4y -5=0的距离等于 ( )A.53 B.3 C.75D.15 37、如果直线4x -3y+5=0与圆x 2+y 2-4x -2y+m=0相离，那么m 的取值范围是区间( )A.（0，5）B.（1，5）C.（2，6）D.（-1，4）38、直线012=++y x 被圆9)1()2(22=-+-y x 所截得的线段长等于 . 39、（8分）设双曲线x 2－y 2=1上一点P （a ，b ）到直线y=x 的距离等于2，其中a>b,求a,b.40、（10分）已知椭圆1222=+y x ,过点P （1，0）作直线L,使得L 与该椭圆交于A 、B 两点，L 与y 轴交于Q 点，P 、Q 在线段AB 上,且︱AQ ︱=︱BP ︱，求L 的方程.41、(8分) 已知圆的方程为x 2+y 2-6x -4y+12=0，求圆的过点P(2,0)的切线方程.42、(10分) 已知抛物线以原点为顶点，x 轴为对称轴，开口向左，且焦点与顶点的距离为p.在此抛物线上取A 、B 、C 、D 四点，分别记M 和N 为AB 和CD 的中点，如果AB ⊥CD ，求点M 和点N 的纵坐标的乘积.43、(10分) 已知斜率为a ，在y 轴上的截距为2的直线与椭圆132222=+ay a x 有两个不同的交点，求实数a 的取值范围.44、(8分) 已知直线在x 轴上的截距为-1，在y 轴上的截距为1，又抛物线y=x 2+bx+c的顶点坐标为（2，-8），求直线和抛物线两个交点横坐标的平方和.45、(10分) 设F 1和F 2分别是椭圆1422=+y x 的左焦点和右焦点，A 是该椭圆与y 轴负半轴的交点.在椭圆上求点P 使得| PF 1 |，| PA |，| PF 2 |成等差数列.46、(11分) 已知椭圆12222=+by a x 和点P （a ，0）.设该椭圆有一关于x 轴对称的内接正三角形，使得P 为其一个顶点，求该正三角形的边长.47、(11分) 设椭圆)0(16222φλλ=+y x 的焦点在x 轴上，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两点，使得OP 所在直线的斜率为1，OP ⊥OQ ，若△POQ 的面积恰为λ423，求该椭圆的焦距.48、(12分) 已知正方形ABCD 对角的两个顶点A,C 都在抛物线x y 42=上,另外两个顶点B,D 在直线942=-y x 上,求正方形的中心N 的坐标和正方形的面积.49、( 12分) 已知直线b x y +=2与椭圆18222=+y x 相交于不同的两点..、B A 定点P的坐标为(1,2).求b 值,使PAB ∆的面积最大,并求这个最大值.50、给出定点P （2，2）和Q （-2，0），动点M 满足：直线PM 的斜率与QM 的斜率的比值等于2.求动点M 的轨迹方程. 51、经过点P （2，0）且与定圆0422=++x y x 相切的圆的圆心轨迹如何？52、已知椭圆的焦点是F 1（0，50-）和F 2（0，50），且直线y=3x -2被它截得的线段的中点之横坐标为21，求这个椭圆的方程.53、给定抛物线y 2=8x 和定点P （3，2）.在抛物线上求点M ，使M 到P 的距离与到抛物线焦点的距离之和最小，并求这个最小值.附：参考答案 1-8 ABAAD CBA 9.x+y -3=0 10.2x -y -6=0 11-32.BDCAC DDBCDACDAD ADBBA DA 33.29 35-37 DBB 38.4 39.43,45-==b a 40.2222,2222+-=-=x y x y 41.3x -4y -6=0或x=2 42.-4p 243.a ＞1或a＜-1 44.35 45.)31,324(,)31,324(),1,0(--- 46.222334b a ab + 47.4 48.N （25，-1），24549.当b=±22时，面积有最大值250．xy+2x -6y+4=0（x ≠±2） 51.双曲线1322=-y x 52.1752522=+y x 53.)2,21(M ，5。
圆锥曲线(解析版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编
圆锥曲线1(新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C ：x 2+y 2=16(y >0)，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为()A.x 216+y 24=1(y >0)B.x 216+y 28=1(y >0)C.y 216+x 24=1(y >0)D.y 216+x 28=1(y >0)【答案】A【分析】设点M (x ,y )，由题意，根据中点的坐标表示可得P (x ,2y )，代入圆的方程即可求解.【详解】设点M (x ,y )，则P (x ,y 0),P (x ,0)，因为M 为PP 的中点，所以y 0=2y ，即P (x ,2y )，又P 在圆x 2+y 2=16(y >0)上，所以x 2+4y 2=16(y >0)，即x 216+y 24=1(y >0)，即点M 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y >0).故选：A2(全国甲卷数学(理))已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 10,4 ,F 20,-4 ，点P -6,4 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】由题意，F 10,-4 、F 20,4 、P -6,4 ，则F 1F 2 =2c =8，PF 1 =62+4+4 2=10，PF 2 =62+4-4 2=6，则2a =PF 1 -PF 2 =10-6=4，则e =2c 2a =84=2.故选：C .3(新高考天津卷)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2．△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=1【答案】C【分析】可利用△PF 1F 2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设PF 2 =m ，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，∠F 1PF 2=90°，设PF 2 =m ，∠PF 2F 1=θ1,∠PF 1F 2=θ2，由k PF 2=tan θ1=2，求得sin θ1=25，因为∠F 1PF 2=90°，所以k PF 1⋅k PF 2=-1，求得k PF 1=-12，即tan θ2=12，sin θ2=15，由正弦定理可得：PF 1 :PF 2 :F 1F 2 =sin θ1:sin θ2:sin90°=2:1:5，则由PF 2 =m 得PF 1 =2m ,F 1F 2 =2c =5m ，由S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 =12m ⋅2m =8得m =22，则PF 2 =22,PF 1 =42,F 1F 2 =2c =210,c =10，由双曲线第一定义可得：PF 1 -PF 2 =2a =22，a =2,b =c 2-a 2=8，所以双曲线的方程为x 22-y 28=1.故选：C4(新课标全国Ⅰ卷)(多选)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于-2，到点F (2,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为4，则()A.a =-2B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时，y 0≤4x 0+2【答案】ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点P x,y，则x>-2且x-22+y2×x-a=4，因为曲线过坐标原点，故0-22+02×0-a=4，解得a=-2，故A正确.对于B：又曲线方程为x-22+y2×x+2=4，而x>-2，故x-22+y2×x+2=4.当x=22,y=0时，22-22×22+2=8-4=4，故22,0在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得y2=16x+22-x-22，取x=32，则y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×4>0，故此时y2>1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点x0,y0在曲线上时，由C的分析可得y20=16x0+22-x0-22≤16x0+22，故-4x0+2≤y0≤4x0+2，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.5(新课标全国Ⅱ卷)(多选)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则()A.l与⊙A相切B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=15C.当|PB|=2时，PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项，抛物线准线为x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C选项，根据PB=2先算出P的坐标，然后验证k PA k AB=-1是否成立；D选项，根据抛物线的定义，PB=PF，于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1，⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和⊙A相切，A选项正确；B选项，P,A,B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标y P=4，由y2P=4x P，得到x P=4，故P(4,4)，此时切线长PQ=PA2-r2=42-12=15，B选项正确；C选项，当PB=2时，xP=1，此时y2P=4x P=4，故P(1,2)或P(1,-2)，当P(1,2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-20-1=-2，k AB=4-20-(-1)=2，不满足k PA k AB=-1；当P(1,-2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-(-2)0-1=-6，k AB=4-(-2)0-(-1)=6，不满足k PA k AB=-1；于是PA⊥AB不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB=PF，这里F(1,0)，于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题，A(0,4),F(1,0)，AF中点12,2，AF中垂线的斜率为-1kAF =14，于是AF的中垂线方程为：y=2x+158，与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0，Δ=162-4×30=136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得PA=PF，D选项正确.方法二：(设点直接求解)设Pt24,t，由PB⊥l可得B-1,t，又A(0,4)，又PA=PB，根据两点间的距离公式，t416+(t-4)2=t24+1，整理得t2-16t+30=0，Δ=162-4×30=136>0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确.故选：ABD6(新课标全国Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为．【答案】3 2【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF2，结合双曲线第一定义求出AF1，即可得到a,b,c的值，从而求出离心率.【详解】由题可知A ,B ,F 2三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1得y =±b 2a ，即A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ，故AB =2b 2a =10，AF 2 =b 2a=5，又AF 1 -AF 2 =2a ，得AF 1 =AF 2 +2a =2a +5=13，解得a =4，代入b 2a=5得b 2=20，故c 2=a 2+b 2=36,，即c =6，所以e =c a =64=32.故答案为：327(新高考北京卷)已知抛物线y 2=16x ，则焦点坐标为．【答案】4,0【分析】形如y 2=2px ,p ≠0 的抛物线的焦点坐标为p2,0，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为y 2=16x ，所以其焦点坐标为4,0 .故答案为：4,0 .8(新高考北京卷)已知双曲线x 24-y 2=1，则过3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．【答案】±12【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立x =3与x 24-y 2=1，解得y =±52，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点3,0 且斜率为k 的直线方程为y =k x -3 ，联立x 24-y 2=1y =k x -3 ，化简并整理得：1-4k 2x 2+24k 2x -36k 2-4=0，由题意得1-4k 2=0或Δ=24k 2 2+436k 2+4 1-4k 2 =0，解得k =±12或无解，即k =±12，经检验，符合题意.故答案为：±12.9(新高考天津卷)(x -1)2+y 2=25的圆心与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆(x -1)2+y 2=25的圆心为F 1,0 ，故p2=1即p =2，由x -12+y 2=25y 2=4x可得x 2+2x -24=0，故x =4或x =-6(舍)，故A 4,±4 ，故直线AF :y =±43x -1 即4x -3y -4=0或4x +3y -4=0，故原点到直线AF 的距离为d =45=45，故答案为：4510(新高考上海卷)已知抛物线y 2=4x 上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．【答案】42【分析】根据抛物线的定义知x P =8，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由y 2=4x 知抛物线的准线方程为x =-1，设点P x 0,y 0 ，由题意得x 0+1=9，解得x 0=8，代入抛物线方程y 2=4x ，得y 20=32，解得y 0=±42，则点P 到x 轴的距离为42．故答案为：42．11(新课标全国Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【分析】(1)代入两点得到关于a ,b 的方程，解出即可；(2)方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设B x 0,y 0 ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线y =kx +3，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设PB :y -32=k (x -3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】(1)由题意得b=39a2+94b2=1，解得b2=9a2=12，所以e=1-b2a2=1-912=12.(2)法一：k AP=3-320-3=-12，则直线AP的方程为y=-12x+3，即x+2y-6=0，AP=0-32+3-3 22=352，由(1)知C:x212+y29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B 23cos θ,3sin θ ，其中θ∈0,2π ，则有23cos θ+6sin θ-6 5=1255，联立cos 2θ+sin 2θ=1，解得cos θ=-32sin θ=-12或cos θ=0sin θ=-1，即B 0,-3 或-3,-32，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时B 0,-3 ，S △PAB =12×6×3=9，符合题意，此时k l =32，直线l 的方程为y =32x -3，即3x -2y -6=0，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32 k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k 2x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，其中Δ=8k 23k -322-43+4k 2 36k 2-36k -27 >0，且k ≠-12，则3x B =36k 2-36k -273+4k 2,x B =12k 2-12k -93+4k 2，则S =12AQ x P -x B =123k +32 12k +183+4k 2=9，解的k =12或k =32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.12(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1．按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ，过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12，求x 2,y 2；(2)证明：数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明：对任意的正整数n ，S n =S n +1.【答案】(1)x 2=3，y 2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P 2的坐标即可；(2)根据等比数列的定义即可验证结论；(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m =52-42=9，故C 的方程为x 2-y 2=9.当k =12时，过P 15,4 且斜率为12的直线为y =x +32，与x 2-y 2=9联立得到x 2-x +322=9.解得x =-3或x =5，所以该直线与C 的不同于P 1的交点为Q 1-3,0 ，该点显然在C 的左支上.故P 23,0 ，从而x 2=3，y 2=0.(2)由于过P n x n ,y n 且斜率为k 的直线为y =k x -x n +y n ，与x 2-y 2=9联立，得到方程x 2-k x -x n +y n 2=9.展开即得1-k 2 x 2-2k y n -kx n x -y n -kx n 2-9=0，由于P n x n ,y n 已经是直线y =k x -x n +y n 和x 2-y 2=9的公共点，故方程必有一根x =x n .从而根据韦达定理，另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2，相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW =c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW =12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.13(全国甲卷数学(理)(文))设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，点M 1,32 在C 上，且MF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点P 4,0 的直线与C 交于A ,B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ ⊥y 轴．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)设F c ,0 ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.(2)设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线方程和椭圆方程，用A ,B 的坐标表示y 1-y Q ，结合韦达定理化简前者可得y 1-y Q =0，故可证AQ ⊥y 轴.【详解】(1)设F c ,0 ，由题设有c =1且b 2a =32，故a 2-1a =32，故a =2，故b =3，故椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)直线AB 的斜率必定存在，设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由3x 2+4y 2=12y =k (x -4) 可得3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，故Δ=1024k 4-43+4k 2 64k 2-12 >0，故-12<k <12，又x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2，而N 52,0 ，故直线BN :y =y 2x 2-52x -52 ，故y Q =-32y 2x 2-52=-3y 22x 2-5，所以y 1-y Q =y 1+3y 22x 2-5=y 1×2x 2-5 +3y 22x 2-5=k x 1-4 ×2x 2-5 +3k x 2-42x 2-5=k 2x 1x 2-5x 1+x 2 +82x 2-5=k2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+82x 2-5=k128k 2-24-160k 2+24+32k 23+4k 22x 2-5=0，故y 1=y Q ，即AQ ⊥y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.14(新高考北京卷)已知椭圆方程C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过0,t t >2 的直线l 与椭圆交于A ，B ，C 0,1 ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【分析】(1)由题意得b =c =2，进一步得a ，由此即可得解；(2)说明直线AB 斜率存在，设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立椭圆方程，由韦达定理有x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，而AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，令x =0，即可得解.【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)显然直线AB 斜率存在，否则B ,D 重合，直线BD 斜率不存在与题意不符，同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t ，化简并整理得1+2k 2x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.15(新高考天津卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC=12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k 2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t-3≤t ≤32 ，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.16(新高考上海卷)已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1,(b >0),左右顶点分别为A 1,A 2，过点M -2,0 的直线l 交双曲线Γ于P ,Q 两点.(1)若离心率e =2时，求b 的值．(2)若b =263,△MA 2P 为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若A 1R ⋅A 2P=1，求b 的取值范围．【答案】(1)b =3(2)P 2,22 (3)0,3 ∪3,303【详解】(1)由题意得e =c a =c1=2，则c =2，b =22-1=3．(2)当b =263时，双曲线Γ:x 2-y 283=1，其中M -2,0 ，A 21,0 ，因为△MA 2P 为等腰三角形，则①当以MA 2为底时，显然点P 在直线x =-12上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以A 2P 为底时，MP =MA 2 =3，设P x ,y ，则 x 2-3y 28=1(x +2)2+y 2=9, 联立解得x =-2311y =-81711 或x =-2311y =81711或x =1y =0 ，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；(或者由双曲线性质知MP >MA 2 ，矛盾，舍去)；③当以MP 为底时，A 2P =MA 2 =3，设P x 0,y 0 ，其中x 0>0,y 0>0，则有x 0-1 2+y 20=9x 20-y 2083=1，解得x 0=2y 0=22，即P 2,22 ．综上所述：P 2,22 .(3)由题知A 1-1,0 ,A 21,0 ， 当直线l 的斜率为0时，此时A 1R ⋅A 2P=0，不合题意，则k l ≠0，则设直线l :x =my -2，设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知R -x 2,-y 2 ， 联立有x =my -2x 2-y 2b2=1⇒b 2m 2-1 y 2-4b 2my +3b 2=0，显然二次项系数b 2m 2-1≠0，其中Δ=-4mb 2 2-4b 2m 2-1 3b 2=4b 4m 2+12b 2>0，y 1+y 2=4b 2m b 2m 2-1①，y 1y 2=3b 2b 2m 2-1②，A 1R =-x 2+1,-y 2 ,A 2P=x 1-1,y 1 ，则A 1R ⋅A 2P=-x 2+1 x 1-1 -y 1y 2=1，因为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 在直线l 上，则x 1=my 1-2，x 2=my 2-2，即-my 2-3 my 1-3 -y 1y 2=1，即y 1y 2m 2+1 -y 1+y 2 3m +10=0，将①②代入有m 2+1 ⋅3b 2b 2m 2-1-3m ⋅4b 2m b 2m 2-1+10=0，即3b 2m 2+1 -3m ⋅4b 2m +10b 2m 2-1 =0化简得b 2m 2+3b 2-10=0，所以 m 2=10b 2-3, 代入到 b 2m 2-1≠0, 得 b 2=10-3b 2≠1, 所以 b 2≠3,且m 2=10b 2-3≥0，解得b 2≤103，又因为b >0，则0<b 2≤103，综上知，b 2∈0,3 ∪3,103 ，∴b ∈0,3 ∪3,303．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设l :x =my -2，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.一、单选题1(2024·福建泉州·二模)若椭圆x 2a 2+y 23=1(a >0)的离心率为22，则该椭圆的焦距为()A.3B.6C.26或3D.23或6【答案】D【分析】分焦点在x 轴或y 轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数a ，再求椭圆的焦距.【详解】若椭圆的焦点在x 轴，则离心率e =a 2-3a =22，得a 2=6，此时焦距2c =26-3=23，若椭圆的焦点在y 轴，则离心率e =3-a 23=22，得a 2=32，此时焦距2c =23-32=6，所以该椭圆的焦距为23或6.故选：D2(2024·河北衡水·三模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)，圆O 1:(x -2)2+y 2=4与圆O 2:x 2+(y -1)2=1的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为()A.3B.2C.5D.6【答案】C【详解】因为O 1:(x -2)2+y 2=4，O 2:x 2+(y -1)2=1，所以两圆方程相减可得y =2x ，由题意知C 的一条渐近线为y =2x ，即ba =2，双曲线C 的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=5．故选：C ．3(2024·北京·三模)已知双曲线E :3mx 2-my 2=3的一个焦点坐标是0,2 ，则m 的值及E 的离心率分别为()A.-1,233B.-1,2C.1，2D.102,10【答案】A【详解】依题意，双曲线E :3mx 2-my 2=3化为：y 2-3m -x 2-1m=1，则-3m +-1m =22，解得m =-1，双曲线y 23-x 2=1的离心率e =23=233.故选：A4(2024·贵州贵阳·三模)过点A (-3,-4)的直线l 与圆C :(x -3)2+(y -4)2=9相交于不同的两点M ，N ，则线段MN 的中点P 的轨迹是()A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分【答案】D【详解】设P (x ,y )，根据线段MN 的中点为P ，则CP ⊥MN ，即CP ⊥AP ，所以CP ⋅AP =0，又A (-3,-4),C (3,4),AP =(x +3,y +4),CP =(x -3,y -4)，所以(x +3)(x -3)+(y +4)(y -4)=0，即x 2+y 2=25，所以点P 的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为5的圆在圆C 内的一部分，故选：D .5(2024·湖南·模拟预测)已知点A 1,0 ，点B -1,0 ，动点M 满足直线AM ，BM 的斜率之积为4，则动点M 的轨迹方程为()A.x 24-y 2=1B.x 24-y 2=1(x ≠±1)C.x 2-y 24=1D.x 2-y 24=1(x ≠±1)【答案】D【详解】设动点M (x ,y )由于A 1,0 ，B -1,0 ，根据直线AM 与BM 的斜率之积为4．整理得y x +1⋅y x -1=4，化简得：x 2-y 24=1(x ≠±1)．故选：D6(2024·陕西榆林·三模)在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F 1-a ,0 ,F 2a ,0 距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线.若a =2，点P x 0,y 0 为双纽线C 上任意一点，则下列结论正确的个数是()①C 关于x 轴不对称②C 关于y 轴对称③直线y =x 与C 只有一个交点④C 上存在点P ，使得PF 1 =PF 2 A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】①设M x ,y 到定点F 1-2,0 ,F 22,0 的距离之积为4，可得(x +2)2+y 2.(x -2)2+y 2=4，整理得x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，即曲线C 的方程为x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，由x 用-x 代换，方程没变，可知曲线C 关于y 轴对称，由y 用-y 代换，方程没变，可知曲线C 关于x 轴对称，由x 用-x 代换，y 用-y 同时代换，方程没变，可知曲线C 关于原点对称，图象如图所示：所以①不正确，②正确；③联立方程组x 2+y 2 2=8x 2-y 2y =x，可得x 4=0，即x =0，所以y =0，所以直线y =x 与曲线C 只有一个交点O (0,0)，所以③正确.④原点O 0,0 满足曲线C 的方程，即原点O 在曲线C 上，则OF 1 =OF 2 ，即曲线C 上存在点P 与原点O 重合时，满足PF 1 =PF 2 ，所以④正确.故选:C .7(2024·福建泉州·二模)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点，与其两条渐近线分别交于R ，S 两点，则下列命题正确的是()A.存在直线l ，使得BQ ⎳OSB.当且仅当直线l 平行于x 轴时，|PR |=|SQ |C.存在过(0,b )的直线l ，使得S △ORB 取到最大值D.若直线l 的方程为y =-22(x -a ),BR =3BS ，则双曲线C 的离心率为3【答案】D【详解】解：对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线l :y =kx +t ，与双曲线联立y =kx +tx 2a2-y 2b2=1，得：b 2-a 2k 2 x 2-2a 2ktx -a 2t 2+a 2b 2 =0，其中b 2-a 2k 2≠0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，由根与系数关系得：x 1+x 2=2a 2kt b 2-a 2k 2,x 1x 2=-a 2b 2+a 2t 2b 2-a 2k 2，所以线段PQ 中点N x 1+x 22,y 1+y 22 =a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，将直线l :y =kx +t ，与渐近线y =b a x 联立得点S 坐标为S at b -ak ,btb -ak，将直线l :y =kx +t 与渐近线y =-b a x 联立得点R 坐标为R -at b +ak ,btb +ak ，所以线段RS 中点M a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合．所以，对任意的直线l ，都有|PR |=|PQ |-|RS |2=|SQ |，故B 项不正确；对于C 项：因为|OB |为定值，当k 越来越接近渐近线y =-b a x 的斜率-ba 时，S △ORB 趋向于无穷，所以S △ORB 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线y =bax ，解得Sa 22b +a ,ab2b +a，联立直线l 与渐近线y =-b a x ，解得R a 2-2b +a ,ab2b -a由题可知，BR =3BS ，3y S =y R +2y B ,3ab2b +a =ab2b -a ，解得b =2a ，所以e =1+b 2a2=1+(2a )2a 2=3，故D 项正确．故选：D ．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得a ,c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法：由已知条件得出关于a ,c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8(2024·河南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点，焦距为82，点P 在双曲线C 上，OP =OF 2 ，且△POF 2的面积为8，则双曲线的离心率为()A.2B.22C.2D.4【答案】C【详解】因为△POF 2的面积为8，所以△PF 1F 2的面积为16.又OP =OF 2 ，所以OP =OF 2 =OF 1 =12F 1F 2，所以△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2.设PF 1 =m ，PF 2 =n ，所以m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2，所以mn =m 2+n 2 -(m -n )22=4c 2-4a 22=2b 2，所以S △PF 1F 2=12mn =b 2=16，又b >0，所以b =4.焦距为2c =82，所以c =42，则a 2=c 2-b 2=(42)2-16=16，所以a =4，则离心率e =424=2.故选：C .9(2024·重庆·三模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，点A 在第一象限，点O 为坐标原点，且S △AOF =2S △BOF ，则直线l 的斜率为()A.22B.3C.1D.-1【答案】A 【详解】如图：设直线倾斜角为α，抛物线的准线l ：x =-1作AM ⊥l 于M ，根据抛物线的定义，AM =AF =DF +AF ⋅cos α=2+AF ⋅cos α，所以|AF |=21-cos α，类似的|BF |=21+cos α.由S △AOF =2S △BOF 知|AF |=2|BF |，得cos α=13，故k =tan α=22.故选：A10(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设F 为抛物线C :y =ax 2的焦点，若点P (1,2)在C 上，则|PF |=()A.3B.52C.94D.178【答案】D【详解】依题意，2=a ×12，解得a =2，所以C :x 2=y 2的准线为y =-18，所以|PF |=2+18=178，故选:D ．11(2024·山东泰安·二模)设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过抛物线上点P 作准线的垂线，设垂足为Q ，若∠PQF =30°，则PQ =()A.43B.433C.3D.233【答案】A【详解】如图所示：设 M 为准线与x 轴的交点，因为∠PQF =30°，且PF =PQ ，所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°，因为FM ⎳PQ ，所以∠QFM =30°，而在Rt△QMF中，QF=FMcos30°=232=433，所以PF=PQ=QF2÷cos30°=233÷32=43.故选：A.二、多选题12(2024·江西·模拟预测)已知A-2,0，B2,0，C1,0，动点M满足MA与MB的斜率之积为-3 4，动点M的轨迹记为Γ，过点C的直线交Γ于P，Q两点，且P，Q的中点为R，则()A.M的轨迹方程为x24+y23=1B.MC的最小值为1C.若O为坐标原点，则△OPQ面积的最大值为32D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D，则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍【答案】BCD【详解】对于选项A，设M x,y，因为A-2,0，B2,0，所以k MA⋅k MB=yx+2⋅yx-2=-34，化简得x24+y23=1x≠±2，故A错误；对于选项B，因为x24+y23=1x≠±2，则a=2，b=3，则c=a2-b2=1，所以C1,0为椭圆的右焦点，则MCmin=a-c=2-1=1，故B正确；对于选项C，设PQ的方程 x=my+1，代入椭圆方程，得3m2+4y2+6my-9=0，设P x1,y1,Q x2,y2，则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，Δ=36m2+363m2+4>0，所以S△OPQ=12OCy1-y2=12y1+y22-4y1y2=12-6m3m2+42+363m2+4=6m2+13m2+4，令m2+1=t≥1，则S△OPQ=6t3t2+1=63t+1t，令g t =3t+1tt≥1，则S△OPQ=6g t，t≥1,g t =3-1t2=3t2-1t2>0，g t 在1,+∞为增函数，g t ≥g1 =4，g t min=4，所以S△OPQmax=64=32，当且仅当t=1时即m=0等号成立，故C正确；对于选项D，因为Rx1+x22,y1+y22，x1+x22=m y1+y22+1=-3m23m2+4+1=43m2+4，y1+y22=-3m3m2+4，所以R43m2+4,-3m3m2+4，则x R=43m2+4，设D x D ,0 ，则k PQ ⋅k RD =1m ⋅3m3m 2+4x D -43m 2+4=-1，则x D =13m 2+4，所以x R x D=43m 2+413m 2+4=4，则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍，故D 正确.故选：BCD .【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用面积公式得出面积表达式，结合导数得出最值；二是根据垂直平分得出点之间的关系.13(2024·江苏常州·二模)双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线E :x 24-y 26=1的左、右焦点分别为F 1,F 2，从F 2发出的两条光线经过E 的右支上的A ,B 两点反射后，分别经过点C 和D ，其中AF 2 ,BF 2共线，则()A.若直线AB 的斜率k 存在，则k 的取值范围为-∞,-62 ∪62,+∞ B.当点C 的坐标为210,10 时，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为6C.当AB ⋅AD =AB 2时，△BF 1F 2的面积为12D.当AB ⋅AD =AB 2时，cos ∠F 1F 2A =-1010【答案】ABD【详解】如图所示，过点F 2分别作E 的两条渐近线的平行线l 1,l 2，则l 1,l 2的斜率分别为62和-62，对于A 中，由图可知，当点A ,B 均在E 的右支时，k <-62或k >62，所以A 正确；对于B 中，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为F 2A +AC =F 1A -2a +AC =F 1C -2a =(210+10)2+(10-0)2-4=6，所以B 正确；对于C 中，由AB ⋅AD =AB 2，得AB ⋅AD -AB =0，即AB ⋅BD=0，所以AB ⊥BD ，设BF 1 =n ，则BF 2 =n -2a =n -4，因为∠ABD =π2，所以n 2+(n -4)2=(2c )2=40，整理得n 2-4n -12=0，解得n =6或n =-2(舍去)，所以BF 1 =6，BF 2 =2，所以△BF 1F 2的面积S =12BF 1 ⋅BF 2 =6，所以C 错误；对于D 项，在直角△F 1BF 2中，cos ∠F 1F 2B =BF 2 F 1F 2=2210=1010，所以cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =-1010，所以D 正确．故选：ABD ．14(2024·重庆·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 216=1(a >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上点，且△PF 1F 2的内切圆圆心为I (3,1)，则下列说法正确的是()A.a =3B.直线PF 1的斜率为14C.△PF 1F z 的周长为643D.△PF 1F 2的外接圆半径为6512【答案】ACD【详解】如图1，由条件，点P 应在双曲线C 的右支上，设圆I 分别与△PF 1F 2的三边切于点M ､N ､A ，则由题A 3,0 ，且PM =PN ,F 1M =F 1A ，F 2N =F 2A ，又∵PF 1 -PF 2 =F 1M -F 2N =AF 1 -F 2A =x A +c -c -x A =2x A =2a ∴a =x A =3，A 选项正确；由选项A 得F 1-5,0 ,F 25,0 ，连接IF 1、IF 2、IA ，则tan ∠IF 1A =IA AF 1=18，所以k PF 1=tan ∠PF 1A =tan2∠IF 1A =2tan ∠IF 1A 1-tan 2∠IF 1A=1663，B 选项错误；同理，tan ∠PF 2A =tan2∠IF 2A =43，∴tan ∠F 1PF 2=-tan ∠PF 1A +∠PF 2A =-125，∴⇒tan∠F 1PF 22=32，所以由焦三角面积公式得S △F 1PF 2=b 2tan∠F 1PF 22=323，又S △F 1PF 2=PF 1+PF 2+F 1F 2 r2，故得PF 1 +PF 2 +F 1F 2 =643，∴△PF 1F 2的周长为643，C 选项正确；由tan ∠F 1PF 2=-125⇒sin ∠F 1PF 2=1213，由正弦定理F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2R 得R =6512，D 选项正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：求直线PF 1的斜率、△PF 1F z 的周长、△PF 1F 2的外接圆半径的关键是根据已知条件F 1A 、F 2A 、IA 以及与各个所需量的关系即可求出∠PF 1A =2∠IF 1A 、∠PF 2A =2∠IF 2A 和∠F 2PF 1.15(2024·湖北襄阳·二模)抛物线C :x 2=2py 的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到(t ,1)时，|PF |=2，直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，下列结论正确的是()A.抛物线的方程为：x 2=8yB.抛物线的准线方程为：y =-1。
直线与圆锥曲线的位置关系(解析版)
直线与圆锥曲线的位置关系第一部分真题分类1．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB =．则双曲线的离心率为（）AB C ．2D ．3【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22b AB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.2．（2021·全国高考真题（文））已知12,F F 为椭圆C ：221164x y +=的两个焦点，P ，Q 为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.3．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>.（1）证明：a =；（2）若点9,10M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥.①求直线l 的方程；②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【解析】（1）3c e a =====，3b a ∴=，因此，a =；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝⎭在椭圆C的内部时，2229331010b ⎛⎫⎛⎫+⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得10b >.设点()11,P x y 、()22,Q x y，则12129210210x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，所以，1212y y x x +=+由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=，所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝，所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝⎭，即y =所以，直线l0y -=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->，由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥ ，而()11,OP x y = ，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.4．（2021·天津高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，，且BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．【答案】（1）2215x y +=；（2）0x y -=.【解析】（1）易知点(),0F c 、()0,B b，故BF a ===因为椭圆的离心率为c e a ==2c =，1b ==，因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215xy +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=，联立00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x -+=，2200440x x ∆=-=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫⎪⎝⎭，直线BF 的斜率为12BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+，在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =-，即点01,02P y ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为//MP BF ，则MPBF k k =，即20000002112122y y x y x y ==-++，整理可得()20050x y +=，所以，005x y =-，因为222000615x y y +==，00y ∴>，故06y =，06x =-，所以，直线l的方程为166x y +=，即0x y -=.5．（2021·全国高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，且离心率为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN ．【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，所以a 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =-即0kx y -=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN =所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN ==213k=+=化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩或1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线:MN y x =y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN =6．（2021·全国高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()10F、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【解析】因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-，所以，()()()()22122121121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116tk TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=.因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.7．（2021·全国高考真题（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．【答案】（1）2p =；（2）【解析】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =；（2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ==，点P 到直线AB的距离为d =，所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++ ，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=8．（2020·海南高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）18.【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y .当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=，解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y+=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=，直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：5514d ==+，由两点之间距离公式可得22||(24)335AM ++=.所以△AMN 的面积的最大值：1125351825⨯.9．（2020·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F 由椭圆定义可得：124AF AF +=.∴12AF F △的周长为426+=（2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠.∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥∴31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭∵准线方程为4x =∴()4,QQ y ∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d .∵31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F -∴直线1AF 的方程为()314y x =+∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S =∴2113133252S S AB AB d==⨯⨯⨯=⋅∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=②∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.第二部分模拟训练一、单选题1．已知抛物线26y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且12FA FB ⋅=，则AB =（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】由26y x =得3p =，所以3(,0)2F ，准线为32x =-，设直线3:2AB x ty =+，联立2326x ty y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理得2690y ty --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则126y y t +=，129y y =-，所以21212()363x x t y y t +=++=+，222121212()966364y y y y x x =⨯==，因为13||2AF x =+，23||2BF x =+，12FA FB ⋅=，所以1233()()1222x x ++=，所以()1212391224x x x x +++=，所以()1293912424x x +++=，所以125x x +=，所以121233||||||3822AB AF BF x x x x =+=+++=++=.故选：C2．已知过抛物线2y =焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且2AF FB =，则AOB (O 为坐标原点)的面积为（）A ．32B．2C ．3D．【答案】D【解析】由题意，抛物线2y =的焦点坐标为F ，设直线AB为x my =，()11,A x y ，()22,B x y ，因为2AF FB =，可得122y y =-，由2y x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩280y --=，所以128y y =-，又由121282y y y y =-⎧⎨=-⎩，可得224y =，解得22y =-或22y =，当22y =-时，14y =，可得1211||622AOB S OF y y ∆=⨯⨯-==；当22y =时，14y =-，可得1211||622AOB S OF y y ∆=⨯⨯-==.故选：D.3．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线(2)y k x =+与抛物线C 交于点()1,2A ，B ，则FB =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由点()1,2A 在抛物线C 上得2p =，设2,4t B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由直线过定点()2,0-得()()221224tk t==----，解得4t =（舍去2），()4,4B ，所以||452pFB =+=．故选：C ．4．已知点()15,0F -，()25,0F ．设点P 满足126PF PF -=，且12MF =，21NF =，则PM PN -的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】解：因为12610PF PF -=<，所以点P 在以1F ，2F 为焦点，实轴长为6，焦距为10的双曲线的右支上，则双曲线的方程为221916x y -=．由题意知M 在圆()221:54F x y ++=上，N 在圆()222:51F x y -+=上，如图所示，12PM PF ≤+，21PN PF ≥-，则()()12122139PM PN PF PF PF PF -≤+--=-+=．当M 是1PF 延长线与圆1F 的交点，N 是2PF 与圆2F 的交点时取等号．故选：C ．5．已知双曲线C 的方程为2214y x -=，点P ，Q 分别在双曲线的左支和右支上，则直线PQ 的斜率的取值范围是（）A ．()2,2-B ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()(),22,-∞-+∞ D ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】由双曲线的方程2214y x -=可得其渐近线方程为2y x =±，故当点P ，Q 分别在双曲线的左支和右支上时，直线PQ 的斜率的取值范围是()2,2-.故选：A.6．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，M 是抛物线C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N .若:2:1MF NF =，2NF =，则抛物线C 的方程为（）A ．2y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．216y x=【答案】B【解析】由题意，抛物线()2:20C y px p =>，可得焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，作MA 垂直于y 轴交y 轴于点A ，因为:2:1MF NF =，2NF =，所以F 为线段MN 的三等分点，且24MF NF ==，由NFO NMA △△∽，得13OF MA =，即332p MA OF ==，所以32422p pMF p =+==，所以抛物线C 的方程为24y x =.故选：B.二、填空题7．过抛物线22y px =(0p >)的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ､B 两点，且||4AB =，则p =___________.【答案】2【解析】设抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由条件可知2A B F p x x x ===，所以222A B p pAB AF BF x x p =+=+++=，又AB 4=，所以2p =，故答案为：2.8．已知抛物线C ：y 2＝x ，过C 的焦点的直线与C 交于A ，B 两点．弦AB 长为2，则线段AB 的中垂线与x 轴交点的横坐标为__________．【答案】54【解析】抛物线的焦点为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，则可设直线AB 为：()104x ky k =+≠，联立2y x ＝，消x 得，2104y ky --=，设()()1122,,,A x y B x y ，12y y k +=,212121111122442AB x x ky ky k ⎛⎫⎛⎫=++=++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得1k =±，当1k =时，得12122y y +=，所以AB 中点坐标为31,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，则AB 的中垂线方程为1324y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，则与x 轴的交点的横坐标为54；同理，当1k =-时，线段AB 的中垂线与x 轴交点的横坐标为54.故答案为：549．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A ，若以点A 为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于点B ，与x 轴正半轴交于点D ，且线段BD 交双曲线于点C ，3DC CB =，则双曲线的离心率是______．【解析】由题意知(),0A a 、()2,0D a ，以点A 为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆的方程为()222x a y a -+=．不妨设点B 在第一象限，联立()2220x a y a b y x a x ⎧-+=⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，解得322222a x ca by c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点322222,a a b B cc ⎛⎫⎪⎝⎭，设点(),C m n ，()2,DC m a n =- ，322222,a a bCB m n c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，可得322222323a m a m c a b n n c ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2231232a m e bn e ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，根据点C 在双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上，得22223314e e ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得22e =，所以，e =..10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>右顶点为()2,0A ，上顶点为B ，该椭圆上一点P 与A 的连线的斜率114k =-，中点为E ，记OE 的斜率为OE k ，且满足140OE k k +=.若C 、D 分别是x 轴、y 轴负半轴上的动点，且四边形ABCD 的面积为2，则三角形COD 面积的最大值是______.【答案】3-【解析】解：设()11,P x y ，()22,A x y ，PA 中点()00,E x y ，则有2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，即2121221212y y y y b x x x x a+-⋅=-+-，则212OEb k k a⋅=-，由()2,0A 为椭圆右顶点，所以2a =，又114k =-，140OE k k +=，得到1OE k =，1b =.设(),0C m -，()0,D n -，0m >，0n >，则由四边形ABCD 的面积为2，又B 为上顶点，则()()12122m n ++=，即22mn m n ++=，由基本不等式得2mn ≥+2≤，所以三角形COD 的面积(2112322S mn =≤=-，当且仅当2m n =，即2m =-，1n =时取等号.故答案为：3-。
2024年新高考新题型数学一模好题分类汇编：直线与圆、圆锥曲线(解析版)
直线与圆、圆锥曲线题型01 直线与圆题型02 椭圆题型03 双曲线题型04 抛物线题型01 直线与圆1(2024·浙江·校联考一模)圆C :x 2+y 2-2x +4y =0的圆心C 坐标和半径r 分别为()A.C 1,-2 ,r =5B.C 1,-2 ,r =5C.C -1,2 ,r =5D.C -1,2 ,r =5【答案】A【详解】圆C :x 2+y 2-2x +4y =0，即C :x -1 2+y +2 2=5，它的圆心C 坐标和半径r 分别为C 1,-2 ,r = 5.故选：A .2(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)“a ≤-5或a ≥5”是“圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:(x +a )2+(y -2a )2=36存在公切线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【详解】圆C 1的圆心为0,0 ，半径r 1=1，圆C 2的圆心为-a ,2a ，半径r 2=6，所以两圆的圆心距为d =C 1C 2 =a 2+4a 2=5a 2，两圆内含时，即5a 2<6-1 ，解得-5<a <5，所以当两圆有公切线时，a ≥5或a ≤-5，所以“a ≤-5或a ≥5”是“圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:(x +a )2+(y -2a )2=36存在公切线”的充要条件．故选：C ．3(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知圆C 1:(x -3)2+y 2=1,C 2:x 2+(y -a )2=16，则下列结论正确的有()A.若圆C 1和圆C 2外离，则a >4B.若圆C 1和圆C 2外切，则a =±4C.当a =0时，圆C 1和圆C 2有且仅有一条公切线D.当a =-2时，圆C 1和圆C 2相交【答案】BCD【详解】C 13,0 ,C 20,a ,C 1C 2 =9+a 2,r 1=1,r 2=4.若C1和C 2外离，则C 1C 2 =9+a 2>r 1+r 2=5，解得a >4或a <-4，故A 错误；若C 和C 外切，C C =9+a 2=5，解得a =±4，故B 正确；当a =0时，C 1C 2 =3=r 2-r 1,C 1和C 2内切，故C 正确；当a =-2时，3<C 1C 2 =13<5,C 1和C 2相交，故D 正确.故选：BCD4(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为x =3ty =4t -1 (t 为参数)，直线l 2的参数方程为x =12s y =32s(s 为参数).(1)求这两条直线的普通方程(结果用直线的一般式方程表示)；(2)若这两条直线与圆C :(x -3)2+(y -4)2=m 2都相离，求m 的取值范围.【答案】(1)l 1:4x -3y -3=0，l 2:3x -y =0(2)4-332<m <33-42【详解】(1)直线l 1的参数方程为x =3t y =4t -1 ，则4x =12t3y =12t -3 ，两式相减得4x -3y -3=0直线l 2的参数方程为x =12sy =32s ，则s =2x 代入y =32s ，得y =3x ,3x -y =0；(2)圆C 的圆心为3,4 ，半径为m ，若l 1,l 2与圆C :(x -3)2+(y -4)2=m 2相离，所以12-12-35>m33-42>m，即35>m 33-42>m，解得4-332<m <33-42.5(2024·重庆·统考一模)过点P 作圆C :x 2+y 2-4x -43y +15=0的两条切线，切点分别为A ,B ，若△PAB 为直角三角形，O 为坐标原点，则OP 的取值范围为()A.2-2,2+2B.4-2,4+2C.2-2,2+2D.4-2,4+2【答案】D【详解】圆C :(x -2)2+(y -23)2=1的圆心C (2,23)，半径r =1，由PA ,PB 切圆C 于点A ,B ，且△PAB 为直角三角形，得∠APB =90°,|PA |=|PB |，连接AC ,BC ，则∠CAP =∠CBP =90°，即四边形APBC 是正方形，|PC |=2，因此点P 在以点C 为圆心，2为半径的圆上，而|OC |=22+(23)2=4，于是|OP |max =4+2,|OP |min =4-2，所以OP 的取值范围为4-2,4+2 .故选：D6(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知圆C ：x 2+y 2-4x -14y +45=0及点Q (-2,3)，则下列说法正确的是()A.直线kx -y -2k +1=0与圆C 始终有两个交点B.若M 是圆C 上任一点，则|MQ |的取值范围为22,62C.若点P (m ,m +1)在圆C 上，则直线PQ 的斜率为14D.圆C 与x 轴相切【答案】B【详解】依题意，圆C ：(x -2)2+(y -7)2=8，圆心C (2,7)，半径r =22，对于A ，直线kx -y -2k +1=0恒过定点(2,1)，而点(2,1)在圆C 外，则过点(2,1)的直线与圆C 可能相离，故A 不正确；对于B ，|CQ |=42，点Q 在圆C 外，由CQ -r ≤MQ ≤CQ +r 得：22≤MQ ≤62，故B 正确.对于C ，点P (m ,m +1)在圆C 上，则(m -2)2+(m -6)2=8，解得m =4，而点Q (-2,3)，则直线PQ 的斜率为m -2m +2=13，故C 不正确；对于D ，点C (2,7)到x 轴距离为7，大于圆C 的半径，则圆C 与x 轴相离，即圆C 与x 轴不相切，故D 不正确；故选：B7(2024·河北·校联考一模)已知圆C :x 2+2x +y 2-1=0，直线mx +n y -1 =0与圆C 交于A ，B 两点.若△ABC 为直角三角形，则()A.mn =0B.m -n =0C.m +n =0D.m 2-3n 2=0【答案】A【详解】因为圆C :x 2+2x +y 2-1=0，圆心为C -1,0 ，半径为r =2，即CA =CB =2因为△ABC 为直角三角形，所以AB =CB2+CA 2=2,设圆心C -1,0 到直线mx +n y -1 =0的距离为d ，d =-m -nm 2+n 2=m +nm 2+n 2由弦长公式AB =2r 2-d 2得d =1，所以m +nm 2+n2=1，化简得mn =0.故选：A .8(2024·广东深圳·校考一模)已知圆C ：x 2+y 2-2kx -2y -2k =0，则下列命题是真命题的是()A.若圆C 关于直线y =kx 对称，则k =±1B.存在直线与所有的圆都相切C.当k =1时，P x ,y 为圆C 上任意一点，则y +3x 的最大值为5+3D.当k =1时，直线l :2x +y +2=0,M 为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的切线MA ,MB ，切点为A ，B ，则CM ⋅AB 最小值为4【答案】BCD【详解】解：圆C ：x 2+y 2-2kx -2y -2k =0，整理得：x -k 2+y -1 2=k +1 2，所以圆心C k ,1 ，半径r =k +1 >0，则k ≠-1对于A ，若圆C 关于直线y =kx 对称，则直线过圆心，所以1=k 2，得k =±1，又k =-1时，r =0，方程不能表示圆，故A 是假命题；对于B ，对于圆C ，圆心为C k ,1 ，半径r =k +1 >0，则k ≠-1，当直线为x =-1时，圆心到直线的距离d =k -(-1) =k +1 =r ，故存在直线x =-1，使得与所有的圆相切，故B 是真命题；对于C ，当k =1时，圆的方程为x -1 2+y -1 2=4，圆心为C 1,1 ，半径r =2由于P x ,y 为圆C 上任意一点，设y +3x =m ，则式子可表示直线y =-3x +m ，此时m 表示直线的纵截距，故当直线与圆相切时，可确定m 的取值范围,于是圆心C 1,1 到直线y =-3x +m 的距离d =3+1-m12+32=r =2，解得m =3-3或m =5+3，则3-3≤m ≤5+3，所以y +3x 的最大值为5+3，故C 为真命题；对于D ，圆的方程为x -1 2+y -1 2=4，圆心为C 1,1 ，半径r =2，如图，连接AC ,BC ，因为直线MA ,MB 与圆C 相切，所以MA ⊥AC ,MB ⊥BC ，且可得MA =MB ，又AC =BC =r =2，所以MC ⊥AB ，且MC 平分AB ，所以S =1CM ⋅AB =2S =2×1MA ⋅AC ，则CM ⋅AB =2MA ⋅AC =2CM 2-r 2×2=4CM 2-4，则CM ⋅AB 最小值即CM 的最小值，即圆心C 1,1 到直线l :2x +y +2=0的距离d =CM min =2+1+222+12=5，所以CM ⋅AB 的最小值为4，故D 为真命题.故选：BCD .9(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知直线y =kx +2k ∈R 交圆O :x 2+y 2=9于P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 两点，则3x 1+4y 1+16 +3x 2+4y 2+16 的最小值为()A.9 B.16C.27D.30【答案】D【详解】由题设直线与y 轴的交点为A 0,2 ，设弦PQ 的中点为E x ,y ，连接OE ，则OE ⊥PQ ，即OE ⊥AE ，所以OE ⋅AE=0，即x ,y ⋅x ,y -2 =x 2+y y -2 =0，所以点E 的轨迹方程为x 2+(y -1)2=1，即E 的轨迹是以0,1 为圆心，1为半径的圆，设直线l 为3x +4y +16=0，则E 到l 的最小距离为4+165-1=3，过P ､E ､Q 分别作直线l 的垂线，垂足分别为M ,R ,N ，则四边形MNQP 是直角梯形，且R 是MN 的中点，则ER 是直角梯形的中位线，所以MP +NQ =2ER ，即3x 1+4y 1+165+3x 2+4y 2+165=2ER ，即3x 1+4y 1+6 +3x 2+4y 2+6 =10ER ≥30，所以3x 1+4y 1+16 +3x 2+4y 2+16 的最小值为30.故选：D .10(2024·吉林延边·统考一模)已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是圆O :x 2+y 2=4上的两点，则下列结论中正确的是()A.若点O 到直线AB 的距离为2，则AB =22B.若AB =23，则∠AOB =π3C.若∠AOB =π2，则x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为6D.x 1x 2+y 1y 2的最小值为-4【答案】ACD【详解】依题意，圆O :x 2+y 2=4的圆心O 0,0 ，半径为r =2如图所示：对于A 选项：因为点O 到直线AB 的距离为2，所以AB =2r 2-d 2=22，故选项A 正确；对于B 选项：因为AB =23，且OA =OB =r =2，所以在△ABC 中，由余弦定理可得：cos ∠AOB =OA2+OB 2-AB 22OA OB=4+4-122×2×2=-12,所以∠AOB =2π3，故选项B 错误；对于C 选项：由x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 =2x 1+y 1-12+x 2+y 2-12，其几何意义为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 到直线x +y -1=0的距离之和的2倍设A ,B 的中点为C x 0,y 0 ,结合梯形的中位线可知：则有x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 =22x 0+y 0-12，因为∠AOB =π2，所以AB =4+4=22,在直角三角形△OAB 中，OC =12AB =2,所以点C 的轨迹为以原点0,0 为圆心，2为半径的圆.因为0,0 到x +y -1=0的距离为d =0+0-12=22，所以x 0+y 0-12max=22+2=322，所以x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 max =22x 0+y 0-12max=6，故选项C 正确；对于D 选项：因为x 1x 2+y 1y 2=OA ⋅OB =2×2×cos OA ,OB，所以当OA ,OB所成的角为π时，x 1x 2+y 1y 2 min =2×2×cosπ=-4.故选项D 正确;故选：ACD .题型02椭圆11(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)如果椭圆x 2k +8+y 29=1(k >-8)的离心率为e =12，则k =()A.4B.4或-54C.-45D.4或-45【答案】B【详解】解：因为椭圆x 2k +8+y 29=1(k >-8)的离心率为e =12，当k +8>9时，椭圆焦点在x 轴上，可得：a =k +8,b =3,∴c =a 2-b 2=k -1,∴e =k -1k +8=12，解得k =4，当0<k +8<9时，椭圆焦点在y 轴上，可得：a =3,b =k +8,∴c =a 2-b 2=1-k ,∴e =c a=1-k 3=12，解得k =-54．∴k =4或k =-54.故选：B ．12(2024·福建厦门·统考一模)设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 交于A ，B 两点，若F 1F 2 =2，且△ABF 2的周长为8，则()A.a =2B.C 的离心率为14C.|AB |可以为πD.∠BAF 2可以为直角【答案】AC【详解】由F 1F 2 =2c =2⇒c =1，如下图△ABF 2周长为4a =8⇒a =2，故b 2=a 2-c 2=3，所以，椭圆离心率为e =12，A 对，B 错；当AB ⊥x 轴，即AB 为通径时|AB |min =2b 2a =3，且|AB |<2a =4，所以3≤|AB |<4，故|AB |可以为π，C 对；由椭圆性质知：当A 为椭圆上下顶点时∠BAF 2最大，此时cos ∠BAF 2=a 2+a 2-4c 22a2=12，且∠BAF 2∈(0,π)，故(∠BAF 2)max =π3，即∠BAF 2不可能为直角，D 错.故选：AC13(2024·云南曲靖·统考一模)已知P 为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点，F 1,F 2分别为C 的左、右焦点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2外接圆半径与其内切圆半径之比为52，则C 的离心率为．【答案】57【详解】由题意，在Rt △PF 1F 2中|F 1F 2|=2c ,|PF 1|+|PF 2|=2a ,∠F 1PF 2=90°，所以其外接圆半径R =|F 1F 2|2=c ，内切圆的半径为|PF 1|+|PF 2|-|F 1F 2|2=a -c ，故c a -c =52⇒e =c a =57.故答案为：5714(2024·重庆·统考一模)已知点F 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为π3的直线交椭圆于P ,Q 两点，FP +FQ =FP -FQ ，则该椭圆的离心率为．【答案】3-1/-1+3【详解】令椭圆的左焦点为F ，半焦距为c ，分别连接F P ，F Q ，由FP +FQ =FP -FQ ，得四边形FPF Q 为矩形，而∠FOP =π3，则△OFP 为正三角形，所以|FP |=c ，FP =3c ，∴2a =PF +|PF ∣=(3+1)c ，则椭圆离心率为e =ca =3-1，故答案为：3-1.15(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知P 为椭圆C :x 29+y 23=1上的一个动点，过P 作圆M :(x -1)2+y 2=2的两条切线，切点分别为A ,B ，则AB 的最小值为.【答案】2105/2510【详解】设P x ,y ,∠MAB =θ，由已知MA ⊥AP ，由对称性可得AB ⊥PM ,所以∠PAB +∠MAB =π2,∠MPA +∠PAB =π2，且sin θ=2PM，因为PM =(x -1)2+y 2=(x -1)2+3-x 23=23x -322+52，因为-3≤x ≤3，所以PM ≥102，当且仅当x =32时等号成立，所以sin θ=2PM≤25，又θ∈0,π2 ，所以cos θ=1-sin 2θ≥15=55，所以AB =22cos θ≥22×55=2105.所以AB 的最小值为2105.故答案为：2105.16(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)若椭圆C 1和C 2的方程分别为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和x 2a 2+y 2b2=λ(a >b >0,λ>0且λ≠1)则称C 1和C 2为相似椭圆．己知椭圆C 1:x 24+y 23=1,C 2:x 24+y 23=λ(0<λ<1)，过C 2上任意一点P 作直线交C 1于M ，N 两点，且PM +PN=0，则△MON 的面积最大时，λ的值为()A.13B.12C.34D.32【答案】B【详解】当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为x =x 0，-2λ≤x 0≤2λ，联立x 24+y 23=1x =x，可得x =x 0y =±3×1-x 24 ，所以MN =23×1-x 204，所以△MON 的面积为S △MON =3x 01-x 204，由PM +PN =0 ，可得P 为MN 的中点，所以P x 0,0 ，因为点P 在椭圆C 2上，所以x 0=±2λ，所以S △MON =23×λ1-λ ，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =sx +t ，联立x 24+y 23=1y =sx +t ，消去y 得，4s 2+3 x 2+8stx +4t 2-12=0，∴Δ=64s 2t 2-44s 2+3 4t 2-12 =484s 2-t 2+3 >0，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8st 4s 2+3，x 1x 2=4t 2-124s 2+3，∴y 1+y 22=s x 1+x 2 +2t 2=-4s 2t 4s 2+3+t =3t4s 2+3，所以P 点坐标为-4st 4s 2+3,3t4s 2+3，因为点P 在椭圆C 2上，所以t 2=λ4s 2+3 ，因为原点O 到直线MN 的距离为t1+s 2，MN =1+s 2x 2-x 1 =1+s 2×x 1+x 2 2-4x 1x 2，所以△MON 的面积为S △MON =12t x 1-x 2 =23t 4s 2-t 2+34s 2+3=23×λ4s 2+3 ×1-λ 4s2+34s 2+3=23×λ1-λ ，综上，S △MON =23×λ1-λ ，又0<λ<1，又S △MON =23×λ1-λ =23×-λ-122+14，所以当λ=12时，△MON 的面积最大.故选：B .【点睛】关键点点睛：由PM +PN =0可得P 为MN 的中点，由此得到t 2=λ4s 2+3 ，将此关系代入S △MON 并化简可将S △MON 表示为一个变量的函数，从而利用二次函数求最值.17(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为63，点P 0,2 在椭圆C 上，过点P 的两条直线PA ，PB 分别与椭圆C 交于另一点A ，B ，且直线PA ，PB ，AB 的斜率满足k PA +k PB =4k AB k AB ≠0 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)证明直线AB 过定点；(3)椭圆C 的焦点分别为F 1，F 2，求凸四边形F 1AF 2B 面积的取值范围．【答案】(1)x 212+y 24=1(2)证明见解析(3)24611,82 【详解】(1)由题设得b =2ca =63a 2=b 2+c 2，解得a 2=12，所以C 的方程为x 212+y 24=1；(2)由题意可设l AB :y =kx +m (m ≠2)，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由y =kx +mx 212+y 24=1，整理得1+3k 2 x 2+6kmx +3m 2-12=0，Δ=36k 2m 2-41+3k 2 3m 2-12 =1212k 2-m 2+4 >0．由韦达定理得x 1x 2=3m 2-121+3k 2，x 1+x 2=-6mk1+3k 2，由k PA +k PB =4k AB 得y 1-2x 1+y 2-2x 2=4k ，即kx 1+m -2x 1+kx 2+m -2x 2=4k ，整理得2mk (m -2)=24-m 2 k ，因为k ≠0，得m 2-m -2=0，解得m =2或m =-1，m =2时，直线AB 过定点P (0,2)，不合题意，舍去；m =-1时，满足Δ=364k 2+1 >0，所以直线AB 过定点(0,-1)．(3))由(2)得直线l AB :y =kx -1，所以x =1k(y +1)，由x =1k (y +1)x 212+y 24=1，整理得1k 2+3y 2+2k 2y +1k 2-12=0，Δ=361k2+4>0，由题意得S F 1AF 2B =12F 1F 2 y1-y 2=22y 1-y 2 =1221k 2+41k 2+3，因为k AF 2=122，所以k 2>18，所以0<1k2<8，令t =1k 2+4，t ∈(2,23)，所以S F 1AF 2B =122t t 2-1=1221t -1t，在t ∈(2,23)上单调递减，所以S F 1AF 2B 的范围是24611,82．18(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)如图，D 为圆O ：x 2+y 2=1上一动点，过点D 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，连接BA 并延长至点W ，使得WA =1，点W 的轨迹记为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若过点K -2,0 的两条直线l 1，l 2分别交曲线C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点；于P ，Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得∠ORP +∠ORQ =π2？若存在，求出点R 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析，-65,0 (3)存在，R (0,±2)【详解】(1)设W x ,y ，D (x 0,y 0)，则A (x 0,0),B (0,y 0)，由题意知AB =1，所以WA =AB ，得(x 0-x ,-y )=(-x 0,y 0)，所以x 0=x2y 0=-y，因为x 2+y 20=1，得x 24+y 2=1，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意可知，直线l 1,l 2不平行坐标轴，则可设l 1的方程为：x =my -2，此时直线l 2的方程为x =-1my -2．由x =my -2x 24+y 2=1，消去x 得：(m 2+4)y 2-4my =0，解得：y =4m m 2+4或y =0(舍去)，所以x =m ⋅4m m 2+4-2=2m 2-8m 2+4，所以M 2m 2-8m 2+4,4m m 2+4 ，同理可得：N 2-8m 24m 2+1,-4m4m 2+1．当m ≠±1时，直线MN 的斜率存在，k MN =4mm 2+4+4m 4m 2+12m 2-8m 2+4-2-8m 24m 2+1=4m (5m 2+5)16m 4-16=5m 4m 2-4，则直线MN 的方程为y =5m 4m 2-4x +65，所以直线MN 过定点-65,0 ．当m =±1时，直线MN 斜率不存在，此时直线MN 方程为：x =-65，也过定点-65,0 ，综上所述：直线MN 过定点-65,0 ．(3)假设存在点R 使得∠ORP +∠ORQ =π2，设R 0,t ，因为∠ORP +∠ORQ =π2，所以∠ORQ =∠OPR ，即tan ∠ORQ =tan ∠OPR ，所以|OQ ||OR |=|OR ||OP |，所以|OR |2=|OP |⋅|OQ |，直线x =x 0与曲线C 交于不同的两点G 、H ，易知G 、H 关于x 轴对称，设G (x 0,y 0),H (x 0,-y 0)(y 0≠±1,y 0≠0)，易知点S 0,1，直线SG 方程是y =y 0-1x 0x +1，令y =0得点P 横坐标x P =-x 0y 0-1，直线SH 方程是y =y 0+1-x 0x +1，令y =0得点Q 横坐标x Q =x 0y 0+1，由|OR |2=|OP |⋅|OQ |，得t 2=x 20|y 20-1|，又G (x 0,y 0)在椭圆上，所以x 204+y 20=1，所以t 2=4，解得t =±2，所以存在点R (0,±2)，使得∠ORP +∠ORQ =π2成立．19(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，且点1,-32在椭圆上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点(-1,0)与椭圆交于M ,N 两点，椭圆C 的左、右顶点分别为A ,B ，直线BN 的斜率为k 1，直线AM 的斜率为k 2，求证：k 21+k 22k 1⋅k 2为定值．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【详解】(1)由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且点1,-32 在椭圆上，可得c a =12，所以b 2a 2=1-c 2a 2=1-12 2=34，又点1,-32 在该椭圆上，所以1a 2+94b 2=1，所以a 2=4，b 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)证明：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由于该直线斜率不为0，可设L MN ：x =my -1，联立方程x =my -1和x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2-6my -9=0，Δ>0恒成立，根据韦达定理可知，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1·y 2=-93m 2+4,my 1·y 2=-32y 1+y 2 ，k 1=y 2x -2,k 2=y 1x +2，k 2k 1=y 1(x 2-2)(x 1+2)y 2=y 1(my 2-3)(my 1+1)y 2=my 1y 2-3y 1my 1y 2+y 2，∴k 2k 1=-32(y 1+y 2)-3y 1-32(y 1+y 2)+y 2=3，∴k 21+k 22k 1∙k 2=k 1k 2+k 2k 1=103．20(2024·吉林延边·统考一模)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点为F 2，上顶点为H ，O 为坐标原点，∠OHF 2=30°，点1,32在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设经过点F 2且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点P -2,0 ，Q 2,0 ．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记△MPQ ，△NPQ 的面积分别为S △MPQ ，S △NPQ ，求S △MPQS △NPQ的值．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)13【详解】(1)由∠OHF 2=30°，得b =3c (c 为半焦距)，∵点1,32 在椭圆E 上，则1a 2+94b2=1．又a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =3，c =1．∴椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)由(1)知F 21,0 ．设直线l :x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由x =my +1x 24+y 23=1消去x ，得3m 2+4 y 2+6my -9=0．显然Δ=144m 2+1 >0．则y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4．∴my 1y 2=32y 1+y 2 ．由P -2,0 ，Q 2,0 ，得直线AP 的斜率k 1=y 1x 1+2，直线BQ 的斜率k 2=y 2x 2-2．又k 1 =OM OP ，k 2 =ON OQ，OP =OQ =2，∴OMON =k 1k 2 ．∴S △MPQ S △NPQ =12PQ⋅OM 12PQ⋅ON =OM ON =k 1 k 2 ．∵k 1k 2=y 1x 2-2 x 1+2 y 2=y 1my 2-1 my 1+3 y 2=my 1y 2-y 1my 1y 2+3y 2=32y 1+y 2 -y 132y 1+y 2 +3y 2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=13．∴S △MPQ S△NPQ=13．21(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点为F 2,0 ，点2,3 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 的两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A ,B 两点和P ,Q 两点，设AB ,PQ 的中点分别为M ,N ，求△FMN 面积的最大值．【答案】(1)x 28+y 24=1(2)49【详解】(1)由题意知c =2．又a 2=b 2+c 2，所以a 2=b 2+4．把点2,3 代入椭圆方程，得2b 2+4+3b2=1，解得b 2=4．故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．(2)由题意知直线AB ,PQ 的斜率均存在且不为零．设直线AB 的方程为y =k x -2 k ≠0 ，且A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．由y =k x -2x 28+y 24=1消去y ，得1+2k 2 x 2-8k 2x +8k 2-8=0．所以x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2-81+2k 2．而y 1+y 2=k x 1-2 +k x 2-2 =k x 1+x 2 -4k =-4k1+2k 2，所以M 4k 21+2k 2,-2k 1+2k 2 ．同理得N 42+k 2,2k 2+k 2．若4k 21+2k 2=42+k 2，则k =±1，此时直线MN 的斜率不存在，可得直线MN :x =43．此时MN =43，所以S △FMN =12×43×23=49；若k ≠±1，则直线MN 的斜率为-2k1+2k 2-2k 2+k 24k 21+2k 2-42+k 2=3k21-k 2，可得直线MN ：y +2k 1+2k 2=3k 21-k 2 x -4k 21+2k 2．化简，得y =3k 21-k 2x -43 ．所以直线MN 过定点T 43,0 ．所以S △FMN =S △FTM +S △FTN =12×23×-2k 1+2k 2 +12×23×2k2+k 2=13×2k 1+2k 2+13×2k 2+k 2=13×2k 3+3k 21+2k 2 2+k 2 =2k 1+k 22k 4+5k 2+2=2k +1k 2k 2+1k2 +5．令t =k +1k∈2,+∞ ，则S △FMN =f t =2t 2t 2-2 +5=2t2t 2+1．因为f t =21-2t22t2+12<0，所以f t 在t∈2,+∞上单调递减．所以f t <f2 =49，即S△FMN<49.综上，S△FMN≤4 9 .所以当k=±1时，△FMN的面积取得最大值4 9．【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，定点问题，最值问题；意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，分类讨论的思想，根据韦达定理得到根与系数的关系，是解题的关键，此方法是考查的重点，需要熟练掌握.22(2024·山西晋城·统考一模)已知椭圆P:x26+y22=1的焦点是椭圆E的顶点，椭圆Q:x26+y29=1的焦点也是E的顶点．(1)求E的方程；(2)若F x0,y0，C，D三点均在E上，且CF⊥DF，直线CF，DF，CD的斜率均存在，证明：直线CD过定点(用x0，y0表示)．【答案】(1)x24+y23=1(2)过定点x07,-y07,证明见解析.【详解】(1)因为6-2=2，所以P的焦点为(-2,0)，(2,0)，因为9-6=3，所以Q的焦点为(0,-3)，(0,3)，所以可设E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则a=2，b=3，故E的方程为x24+y23=1．(2)证明：设C x1,y1，D x2,y2，直线CD:y=kx+m．k FC=y1-y0x1-x0，k FD=y2-y0x2-x0．因为CF⊥DF，所以k CF⋅k FD=-1，即x1-x0x2-x0+y1-y0y2-y0=0，即x1x2-x0x1+x2+x20+y1y2-y0y1+y2+y20=0①，将y=kx+m代入E的方程，得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，则Δ=483+4k2-m2>0，x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，y1+y2=k x1+x2+2m=6m3+4k2，y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+km x1+x2+m2=-12k2+3m23+4k2，将以上4个式子代入①，得x20-x0⋅-8km3+4k2+4m2-123+4k2+y20-y0⋅6m3+4k2+-12k2+3m23+4k2=0，即4kx0+m2+34x20-3+3y0-m2+4k2y203-4k2=0②，34y20代入②得4kx 0+m +y 0 kx 0+m -y 0 =3kx 0+m -y 0 kx 0-m +y 0 ，即kx 0+m -y 0 kx 0+7m +y 0 =0，因为CF ⊥DF ，所以F 不在直线CD 上，则kx 0+m -y 0≠0，则m =-y 0+kx 07，所以直线CD :y =k x -x 07 -y 07过定点x 07,-y 07 .【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，将韦达定理代入表达式化简为4kx 0+m 2+34x 20-3 +3y 0-m 2+4k 2y 203-4k 2 =0并利用点在椭圆上进一步化简是本题关键.23(2024·浙江·校联考一模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1,F 2，点P x 0,y 0 为椭圆C 上异于顶点的一动点，∠F 1PF 2的角平分线分别交x 轴、y 轴于点M 、N ．(1)若x 0=12，求PF 1 ；(2)求证：PM PN为定值；(3)当△F 1PN 面积取到最大值时，求点P 的横坐标x 0．【答案】(1)PF 1 =94(2)证明见解析(3)x 0=3-1【详解】(1)由已知得F 1-1,0 ，x 204+y 203=1⇒y 20=3-3x 204则PF 1 =x 0+1 2+y 20=2+12x 0．所以当x 0=12时，PF 1 =94；(2)设M m ,0 ，在△F 1PF 2中，PM 是∠F 1PF 2的角平分线，所以PF 1 PF 2=MF 1 MF 2，由(1)知PF 1 =2+12x 0，同理PF 2 =x 0-1 2+y 20=2-12x 0，即2+12x 02-1x =m +11-m ，解得m =14x 0，所以M 14x 0,0 ，过P 作PH ⊥x 轴于H ．所以PM PN=MH OH=34．(3)记△F 1PN 面积的面积为S ，由(1)可得，S =12F 1M ⋅y 0+13y 0 =16x 0+4 344-x 20 =312x 0+4 4-x 20，其中x 0∈-2,0 ∪0,2 ，则S =-364-x 2x 20+2x 0-2 ，当x 0∈-2,0 ∪0,3-1 时，S >0,S 单调递增；当x 0∈3-1,2 时，S <0,S 单调递减．所以当x 0=3-1时，S 最大．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用导函数求解面积表达式的最值，注意函数的定义域.24(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知如图，点B 1,B 2为椭圆C 的短轴的两个端点，且B 2的坐标为0,1 ，椭圆C 的离心率为22.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 不经过椭圆C 的中心，且分别交椭圆C 与直线y =-1于不同的三点D ,E ,P (点E 在线段DP 上)，直线PO 分别交直线DB 2,EB 2于点M ,N .求证：四边形B 1MB 2N 为平行四边形.【答案】(1)x 22+y 2=1(2)证明见解析【详解】(1)由题知b =1,c a =22,a 2=b 2+c 2. 解得a 2=2,b 2=1.故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)方法一：显然直线l 不能水平，故设直线l 方程为x =k y +t t ≠0 ，设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,N x N ,y N ,M x M ,y M ，由x =k y +t ,x 22+y 2=1得k 2+2 y 2+2k t y +t 2-2=0，令Δ>0得，k 2-t 2+2>0.所以y 1+y 2=-2k t k 2+2,y 1y 2=t 2-2k 2+2，令y =-1，得P t -k ,-1 .故直线PO 方程为y =1k-tx ，直线DB 方程为y =y 1-1x +1.由y =1k -txy =y 1-1x 1x +1 得x M =k -tx 1x 1+k -t 1-y 1=k -tx 1k +t y 1，将x M 中x 1,y 1换成x 2,y 2得x N =k-tx 2k +t y 2.∴x M +x N =k-tx 1k +t y 1+k-tx 2k +t y 2=k-tx 1k +t y 2 +x 2k +t y 1k +t y 1 k +ty 2，∵x 1k +t y 2 +x 2k +t y 1 =k x 1+x 2 +t x 1y 2+x 2y 1 =k k y 1+t +k y 2+t +t k y 1+t y 2+k y 2+t y 1 =k 2+t 2y 1+y 2 +2k ty 1y 2+1 =-2k t k 2+t 2 +2k t k 2+t 2k 2+2=0,∴O 为线段MN 中点，又O 为B 1B 1中点，∴四边形B 1MB 2N 为平行四边形.方法二：设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,M x M ,y M ,N x N ,y N .直线B 2D 方程为y =y 1-1x 1x +1，当直线l 的斜率不存在时，设l 方程为x =x 0x 0≠0 ，此时P x 0,-1 ，直线PO 方程的为y =-1x 0x ，由y =-1x 0xy =y 1-1x 0x +1得x M=-x 0y 1，同理x N =-x 0y 2,∵y 1=-y 2∴x M +x N =0，当直线l 斜率存在时，设l 方程为y =kx +t t ≠0 ，由y =kx +t ,x22+y 2=1 得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-2=0.令Δ>0得，1+2k 2-t 2>0.由韦达定理得x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-21+2k 2.将y =-1代入y =kx +t 得P -1-tk,-1 ∴直线PO 的方程为y =kt +1x 由y =y 1-1x 1x +1y =k t +1x得x M=-x 11+t y 1-1 1+t -kx 1=-x 11+t ktx 1+t 2-1同理可得x N =-x 21+tktx 2+t 2-1.∴x M +x N =-t +1 x 1ktx 1+t 2-1+x 2ktx 2+t 2-1=-t +12ktx 1x 2+t 2-1 x 1+x 2ktx 1+t 2-1 ktx 2+t 2-1∵2ktx 1x 2+t 2-1 x 1+x 2 =2kt 2t 2-2 +t 2-1 -4kt=0，∴x M +x N =0，综上所述，x M +x N =0,∴O 为线段MN 中点，又O 为B 1B 1中点，∴四边形B 1MB 2N 为平行四边形.【点睛】关键点点睛：证明四边形B 1MB 2N 为平行四边形的方法用对角线相互平分得到.25(2024·河北·校联考一模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为12，经过点F 1且倾斜角为θ0<θ<π2的直线l 与椭圆交于A 、B 两点(其中点A 在x 轴上方)，△ABF 2的周长为8．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面(平面AF 1F 2)与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面(平面BF 1F 2)互相垂直．①若θ=π3，求异面直线AF 1和BF 2所成角的余弦值；②是否存在θ0<θ<π2 ，使得折叠后△ABF 2的周长为152？若存在，求tan θ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)①1328；②存在；tan θ=33514．【详解】解：(1)由椭圆的定义知：AF 1 +AF 2 =2a ,BF 1 +BF 2 =2a ，所以△ABF 2的周长L =4a =8，所以a =2，又椭圆离心率为12，所以c a =12，所以c =1，b 2=a 2-c 2=3，由题意，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)①由直线l ：y -0=3x +1 与x 24+y 23=1，联立求得A 0,3 ，(因为点A 在x 轴上方)以及B -85,-353 ，再以O 为坐标原点，折叠后原y 轴负半轴，原x 轴，原y 轴正半轴所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则F 10,-1,0 ，A 0,0,3 ，B 353,-85,0，F 20,1,0 ，F 1A =0,1,3 ，BF 2 =-353,135,0 ．记异面直线AF 1和BF 2所成角为φ，则cos φ=cos <F 1A ,BF 2 > =F 1A ⋅BF2 F 1A BF 2=1328；②设折叠前A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，折叠后A ，B 在新图形中对应点记为A ′，B ′，A ′x 1,y 1,0 ，B ′x 2,0,-y 2 ，由A ′F 2 +B ′F 2 +A ′B ′ =152，AF 2 +BF 2 +|AB |=8，故AB -A ′B ′ =12，将直线l 方程与椭圆方程联立my =x +1x 24+y 23=1，得3m 2+4 y 2-6my -9=0，y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系(原x 轴仍然为x 轴，原y 轴正半轴为y 轴，原y 轴负半轴为z 轴)；A ′B ′ =x 1-x 22+y 12+y 22，AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2，所以AB -A ′B ′ =x 1-x 22+y 1-y 2 2-x 1-x 22+y 21+y 22=12，(i )又-2y 1y 2x 1-x 22+y 1-y 2 2+x 1-x 22+y 21+y 22=12，所以x 1-x 1 2+y 1-y 2 2+x 1-x 2 2+y 21+y 21=-4y 1y 2，(ii )由(i )(ii )可得x 1-x 22+y 1-y 2 2=14-2y 1y 2，因为x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=1+m 2 y 1-y 2 2=14-2y 1y 2 2，所以1+m 26m 3m 2+42+363m 2+4=14+183m 2+42，即1441+m3m 2+42=14+183m 2+42，所以12+12m 23m 2+4=14+183m 2+4，解得m 2=2845，因为0<θ<π2，所以tan θ=1m =33514．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是根据折叠前、后三角形△ABF 2周长的变化，得到AB -A ′B ′ =12，进而根据两点间的距离公式及韦达定理进行求解.题型03 双曲线26(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1-22,0 ,F 222,0 ，且满足条件p ，可以解得双曲线C 的方程为x 2-y 2=4，则条件p 可以是()A.实轴长为4B.双曲线C 为等轴双曲线C.离心率为22D.渐近线方程为y =±x【答案】ABD【详解】设该双曲线标准方程为x 2a 2-y 2b2=1，则c =2 2.对于A 选项，若实轴长为4，则a =2，∴b 2=c 2-a 2=4，符合题意；对于B 选项，若该双曲线为等轴双曲线，则a =b ，又c =22，a 2+b 2=c 2=8，可解得a 2=b 2=4，符合题意；对于C 选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；对于D 选项，若渐近线方程为y =±x ，则a =b ，结合a 2+b 2=c 2=8，可解得a 2=b 2=4，符合题意，故选：ABD .27(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知A 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点，O 为坐标原点，B ,C 为双曲线E 上两点，且AB +AC =2AO ，直线AB ,AC 的斜率分别为2和14，则双曲线E 的离心率为()A.2B.52C.62D.2【答案】C【详解】A a ,0 ，设B x 0,y 0 ,C -x 0,-y 0 ，则x 20a 2-y 20b2=1，则k AB =y 0x 0-a =2,k AC =y 0x 0+a =14，k AB ⋅k AC =y 20x 20-a 2=b 2x 20a2-1 x 20-a 2=b 2a 2=14×2=12，∴e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b a 2=1+12=62.故选：C【点睛】求解双曲线离心率有关的问题，可以利用直接法来进行求解，也即通过已知条件求得a 和c ，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也即通过已知条件求得a 2,c 2或a 2,b 2的等量关系式，由此来求得离心率.28(2024·云南曲靖·统考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 ，过其右焦点F 作一条直线分别交两条渐近线于A ,B 两点，若A 为线段BF 的中点，且OA ⊥BF ，则双曲线C 的渐近线方程为()A.y =±2xB.y =±3xC.y =±5xD.y =±12x【答案】B【详解】由题设作出图形，双曲线渐近线为y =±b a x ，F (c ,0)，则直线BF :y =-ab (x -c )，故y =-a b(x -c )y =-b a x，可得x =a 2c a 2-b 2，故y =-abc a 2-b 2，即B a 2c a 2-b 2,-abca 2-b2，又三角形BOF 为等腰三角形，所以|OB |2=a 2ca 2-b22+abc a 2-b22=c 2，则a 4+a 2b 2=(a 2-b 2)2，整理得b 2a 2=3⇒ba =3，即双曲线C 的渐近线方程为y =±3x .故选：B29(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右顶点分别为A 1,A 2,F 为C 的右焦点，C 的离心率为2，若P 为C 右支上一点，PF ⊥FA 2，记∠A 1PA 2=θ0<θ<π2，则tan θ=()【答案】A【详解】设C 的焦距为2c ，点P x 0,y 0 ，由C 的离心率为2可知c =2a ,b =3a ，因为PF ⊥FA 2，所以x 0=c ，将P c ,y 0 代入C 的方程得c 2a 2-y 20b 2=1，即y 0 =3b ，所以tan ∠PA 2F =3b c -a =3,tan ∠PA 1F =3bc --a=1，故tan θ=tan ∠PA 2F -∠PA 1F =3-11+3×1=12．故选:A ．30(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是右支上一点，满足AF 1⊥AF 2，直线AF 2交双曲线于另一点B ，且BF 1 -AF 1 =2a ，则双曲线的离心率为．【答案】102【详解】AF 2 =x ，则AF 1 =2a +x ，又BF 1 -AF 1 =2a ，所以BF 2 =AF 1 =2a +x ，则AB =AF 2 +BF 2 =2a +2x ，BF 1 =2a +AF 1 =4a +x ，又AF 1⊥AF 2，所以三角形AF 1B 为直角三角形，则AF 1 2+AB 2=BF 1 2,即2a +x 2+2a +2x 2=4a +x 2，化为x 2+ax -2a 2=0，解得x =a 或者x =-2a (舍)，此时AF 1 =3a ，在直角三角形AF 1F 2中，AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2,即9a 2+a 2=4c 2，所以c 2a2=e 2=52，所以e =102.故答案为：102.31(2024·浙江·校联考一模)已知A ,B 分别是双曲线C :x 24-y 2=1的左，右顶点，P 是双曲线C 上的一动点，直线PA ，PB 与x =1交于M ,N 两点，△PMN ,△PAB 的外接圆面积分别为S 1,S 2，则S1S 2的最小值为()【答案】A【详解】由已知得，A -2,0 ，B 2,0 ，由双曲线的对称性，不妨设P x ,y 在第一象限，所以k PA =y x +2，k PB =yx -2，所以k PA ⋅k PB =y x +2⋅y x -2=y 2x 2-4=x 24-1x 2-4=14，设直线PA 的方程为：y =k x +2 ,k >0，则直线PB 的方程为：y =14kx -2 ，同时令x =1，则y M =3k ，y N =-14k，所以MN =3k +14k,k >0，设△PMN ,△PAB 的外接圆的半径分别为r 1，r 2，由正弦定理得，2r 1=MNsin ∠MPN=MNsin ∠APB，2r 2=ABsin ∠APB，所以r 1r 2=MN AB =3k +14k 4≥23k ⋅14k 4=34，当且仅当3k =14k，即k =36时取等号，所以S 1S 2=πr 21πr 22=r 1r 22=316.故选：A【点睛】结论点睛：若A 、B 分别为双曲线的左、右顶点，P 为双曲线上一动点，则直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值.32(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知O 为坐标原点，双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为62，点P x 1,y 1 是C 的右支上异于顶点的一点，过F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足是M ，|MO |=2，若双曲线C 上一点T 满足F 1T ⋅F 2T=5，则点T 到双曲线C 的两条渐近线距离之和为()A.22B.23C.25D.26【答案】A【详解】设半焦距为c ，延长F 2M 交PF 1于点N ，由于PM 是∠F 1PF 2的平分线，F 2M ⊥PM ，所以△NPF 2是等腰三角形，所以PN =PF 2 ，且M 是NF 2的中点.根据双曲线的定义可知PF 1 -PF 2 =2a ，即NF 1 =2a ，由于O 是F 1F 2的中点，所以MO 是△NF 1F 2的中位线，所以MO =12NF 1 =a =2，又双曲线的离心率为62，所以c =3，b =1，所以双曲线C 的方程为x 22-y 2=1.所以F 1(-3,0)，F 2(3,0)，双曲线C 的渐近线方程为x ±2y =0，设T (u ,v )，T 到两渐近线的距离之和为S ，则S =|u +2v |3+|u -2v |3，由F 1T ⋅F 2T=(u -3)(u +3)+v 2=u 2+v 2-3=5，即u 2+v 2=8，又T 在x 22-y 2=1上，则u 22-v 2=1，即u 2-2v 2=2，解得u 2=6，v 2=2，由|u |>2|v |，故S =2u3=22，即距离之和为2 2.故选：A .【点睛】由平面几何知识，PN =PF 2 ，依据双曲线的定义，可将|MO |=2转化为用a 表示，进而的双曲线的标准方程.33(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知F 1，F 2分别是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，CB =3F 2A，BF 2平分∠F 1BC ，则双曲线Γ的离心率为()A.7B.5C.3D.2【答案】A【详解】因为CB =3F 2A ，所以△F 1AF 2∽△F 1BC ，设F 1F 2 =2c ，则F 2C =4c ，设AF 1 =t ，则BF 1 =3t ，AB =2t ．因为BF 2平分∠F 1BC ，由角平分线定理可知，BF 1 BC=F 1F 2 F 2C=2c 4c =12，所以BC =2BF 1 =6t ，所以AF 2 =13BC =2t ，由双曲线定义知AF 2 -AF 1 =2a ，即2t -t =2a ，t =2a ，①又由BF 1 -BF 2 =2a 得BF 2 =3t -2a =2t ，所以BF 2 =AB =AF 2 =2t ，即△ABF 2是等边三角形，所以∠F 2BC =∠ABF 2=60°．在△F 1BF 2中，由余弦定理知cos ∠F 1BF 2=BF 12+BF 2 2-F 1F 2 22⋅BF 1 ⋅BF 2，即12=4t 2+9t 2-4c 22⋅2t ⋅3t，化简得7t 2=4c 2，把①代入上式得e =ca =7，所以离心率为7．故选：A ．34(2024·山西晋城·统考一模)双曲线C :x 2-y 2=m 2(m >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P (t ,s )(s ≠0)为C 的右支上一点，分别以线段PF 1，PF 2为直径作圆O 1，圆O 2，线段OO 2与圆O 2相交于点M ，其中O 为坐标原点，则()A.O 1O 2 =3mB.OM =mC.点(t ,0)为圆O 1和圆O 2的另一个交点D.圆O 1与圆O 2有一条公切线的倾斜角为π4【答案】BCD【详解】C 的方程可化为x 2m 2-y 2m2=1，可得a =m ，b =m ，c =2m ．由O 1为PF 1的中点，O 2为PF 2的中点，得O 1O 2 =12F 1F 2 =2m ，A 错误．由O 2为PF 2的中点，O 为F 1F 2的中点，得OO 2 =12PF 1 ，则OM =OO 2 -MO 2 =12PF 1 -PO 2 =12PF 1 -12PF 2 =a =m ，B 正确．设点Q 为圆O 1和圆O 2的另一个交点，连接PQ ，由O 1O 2⎳x 轴，可得O 1O 2⊥PQ ，O 1O 2为△PF 1F 2的中位线，则直线O 1O 2平分线段PQ ，则点Q 必在x 轴上，可得点Q 的坐标为(t ,0)，C 正确．如图，若BD 为圆O 1与圆O 2的一条公切线，B ，D 为切点，连接O 1B ，O 2D ，过点O 2作O 2A ⊥O 1B ，垂足为A ．由O 1O 2 =2m ，O 1A =O 1B -O 2D =12PF 1 -12PF 2 =a =m ，得sin ∠AO 2O 1=AO 1 O 1O 2=m 2m=22，。
高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题（含答案）一、单选题1．双曲线2228x y -=的渐近线方程是（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±2．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．2C ．21+D ．21-3．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，1AP =，若点M 是侧面CBP 内一动点，且满足AM BC ⊥，则点M 的轨迹长度的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．23D ．324．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）．A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（ ） A ．32B ．2C ．3D ．46．已知抛物线M ：24y x =的焦点为F ，O 是坐标原点，斜率为()0k k >的直线l 交抛物线M 于A ，B 两点，且点A ，B 分别位于第一、四象限，交抛物线的准线l '于点C ．若2ACFABFSS=，2BF =，则AOBS=（ ）A ．33-B ．33+C ．2D ．231+7．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．33y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±8．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点.若点P 在E 上，2OP OQ =-，22PF OF =，1132QF OF =，则E 的离心率为A ．2B ．2C ．5D ．31+9．设1F ，2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于A ．42B ．83C ．24D ．4810．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，直线20l :x y '-+=，动点M 在C 上运动，记点M 到直线l 与l ′的距离分别为d 1，d 2，O 为坐标原点，则当d 1+d 2最小时，cos ∠MFO ＝（ ） A ．22B ．23C ．24D ．2611．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别是棱1,AA BC 上的动点，若2MN =，则线段MN 的中点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．一段圆弧C ．一部分球面D ．两条平行线段12．已知拋物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 为椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且1C与2C 的公共弦经过F ，则椭圆的离心率为（ ）A 1B C D二、填空题13．已知点(3，2)在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.14．过点且渐近线与双曲线22:12x C y -=的渐近线相同的双曲线方程为______.15．焦点在y 轴上的双曲线221y mx -=，则m 的值为___________.16．已知过抛物线C ：y 2＝8x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，AB BM =，则A 点的横坐标为___．三、解答题17．求经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．18．已知椭圆C ：22143x y +=，过椭圆右焦点的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求MN 的取值范围．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且椭圆C 经过点31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程.(2)不过点P 的直线:2l y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，记直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y b C b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．21．已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>上的两点.（1）求椭圆G 的离心率；（2）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程.22．已知椭圆C 的离心率2e =()10,1B -，()20,1B . (1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.23．已知点P 在圆22:4O x y +=上运动，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点A 满足12AQ PQ =. （1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线E 交于,M N 两点，记OMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.24．已知抛物线1C ：()220x py p =>的焦点为F ，圆2C ：()()22284x y +++=，过y 轴上点G 且与y 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于A 、B 两点，B 关于y 轴的对称点为D ，O 为坐标原点，连接2GC 交x 轴于点E ，且点E 、F 分别是2GC 、OG 的中点. （1）求抛物线1C 的方程； （2）证明：直线AD 与圆2C 相交参考答案1．C2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．D9．C10．A11．B12．A 13．点在椭圆外 14．22163x y -=15．4 16．417．设所求的等轴双曲线的方程为：()220x y λλ-=≠，将(3,1)A -代入得：()2231λ--=，即=8λ， 所以等轴双曲线的标准方程：22188x y -=18．解：由椭圆C ：22143x y +=知，2a =，b =1c =，所以椭圆C 的右焦点为()1,0F ．当直线l 的斜率不存在时，223b MN a==． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆C 的方程得()22223484120kxk x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 所以=MN ()222121333434+==+++k k k因为20k ≥，所以(]3,4MN ∈． 综上，MN 的取值范围是[]3,4． 19．(1)因为12c e a ==，所以2a c =，所以222234b a c a =-=.因为椭圆C 过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以221914a b +=，所以24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)因为直线l 不过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且直线P A ，PB 的斜率存在，所以72k ≠且12k ≠.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22341640k x kx +++=， 则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 由()()221616340k k ∆=-+>，得214k >且72k ≠.因为()()12121212121212121273377272222211111kx x k x x y y kx kx k k x x x x x x x x ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭+=+=+=+++++++， 所以2221222271682712482134343416416713434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-++++===-+-+++， 即12k k +为定值，且123k k +=.20．（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==， 椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23= 因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=．（2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线， 设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以1,2y ==， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSS SOF y OFy O y y y F y =+=+=-=-==， 化简得4259m=，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上， 所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =． 代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =从而得，113,4x y ==即321,,48A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC的方程为y x =， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形． 21．解：（1）由已知2b =， 由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==所以2228,c a b c =-== 所以椭圆G的离心率是c e a ==； （2）当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件； 设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-），点(),C C C x y ，由22131124y kx kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222316(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B 和点C 的横坐标， 所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)431C k x k --=+，所以2236131C k k y k --+=+，因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=，2222963961(3,1),3131k k k k AB AC k k ⎛⎫-----⋅=-⋅ ⎪++⎝⎭2236128031k k k --==+， 即(32)(31)0k k -+=， 123k ，213k =-， 当213k =-时，即直线AB ，与已知点C 不同于点A 矛盾，所以123BC k k ==， 所以直线BC 的方程为213y x =-. 22．（1）由题意可设椭圆为22221x y a b+=由题意可得c e a ==1b =，可得a =所以椭圆的方程为：2212x y +=.（2）联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：()222124220k x kmx m +++-=， 由题意可得()()222216412220k m k m ∆=-+-=，可得2212m k =+；可得()242212P km k x m k -==-+，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 联立2y kx mx =+⎧⎨=⎩，可得2Q x =，2Q y k m =+，即()2,2Q k m +，设在x 轴上存在()0,0N x .由0PN QN ⋅=，可得()0021,2,20k x x k m m m ⎛⎫+-⋅---= ⎪⎝⎭，可得200242210k k k x x m m m ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即()200022110kx x x m-++-=， 可得20002101x x x ⎧-+=⎨=⎩，可得01x =，即定点()1,0N .23．（1）设(,)A x y ，11(,)P x y ， ∵12AQ PQ =，∴A 为PQ 的中点， ∴11,2,x x y y =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +=，即2214x y +=.∴点A 的轨迹E 的方程2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为32y kx =+，将直线方程代入椭圆方程中得22(14)1250k x kx +++=， ∴222251444(14)56420016k k k k ∆=-⨯+=->⇒>. 设1122(,),(,)M x y N x y ，∴12133||224OMN POM PON S S S x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=令2914()4t k t =+>，则214k t -=，∴3344OMN S S ∆====∵914049t t >⇒<<，∴129t =时，34143OMN S ∆≤⨯=，∴S 的最大值1.24．（1）设点()0,0E x ，()00,G y ，因为圆2C ：()()22284x y +++=，所以圆心()22,8C --，因为点E 是2GC 的中点，所以00202820x y -+=⎧⎨-+=⨯⎩，解得0018x y =-⎧⎨=⎩，则点()0,8G ，因为点F 是OG 的中点， 所以()0,4F ，则42p=，解得8p =， 故抛物线的方程为216x y =.（2）因为B 关于y 轴的对称点为D ， 所以设()11,B x y ，()22,A x y ，()11,D x y -，设直线AB 的方程为8y kx -=，即80kx y -+=，联立28016kx y x y-+=⎧⎨=⎩，消去x 得()22161640y k y -++=，则1264y y =， 设直线AD 的方程为y mx n =+，联立216y mx n x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得()2221620y m n y n -++=，则212y y n =， 故264n =，易知0n <，则8n =-，直线AD 的方程为8y mx =-，必过定点()0,8-， 而圆2C ：()()22284x y +++=正好与y 轴交于定点()0,8-， 且过点()0,8-的所有直线中，只有与y 轴重合的直线才能与圆2C ：()()22284x y +++=相切，直线AD 显然不可能是y 轴，因此，直线AD 与圆2C 相交.。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(直线与圆锥曲线)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（直线与圆锥曲线）练习一. 基础小题练透篇1.已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m (m >0)恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3)2．过双曲线x 2－y 2b 2 ＝1(b >0)的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的两条渐近线分别交于B ，C ，且2AB → ＝BC →，则该双曲线的离心率为( )A ．10B ．103C ．5D ．53．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－944．[2023ꞏ安徽合肥调研]设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，斜率为k 的直线过F 且交C 于点A ，B ，AF → ＝2FB →，则k ＝( )A ．22B ．23C ．±22D ．±235．[2023ꞏ陕西省西安市高三模拟]已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)的左、右焦点， 过F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P 、Q 两点， 且PQ ⊥PF 1. 若|PQ |＝||PF 1 ， 则双曲线C 的离心率为( )A ．6 －3B ．5－22C ．5＋22D ．1＋226．[2023ꞏ四川省月考]如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25 ，0)为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A ．x 225 ＋y 25 ＝1B ．x 245 ＋y225 ＝1C ．x 230 ＋y 210 ＝1 D ．x 236 ＋y 216 ＝17．已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－2，0)，过点F 1作倾斜角为30°的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3 b ，则椭圆的标准方程为________．8．过椭圆x 236 ＋y 227 ＝1上一动点P 分别向圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2＋2|PN |2的最小值为________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ安徽黄山模拟]已知双曲线x 216 －y 29 ＝1的左焦点为F 1，过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则l 的斜率的范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫－43，43B ．⎝⎛⎭⎫－∞，－34 ∪⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C ．⎝⎛⎭⎫－34，34 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－43 ∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ 2．[2023ꞏ湖南衡阳模拟]已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线与C 交于A 、B两点，且线段AB 中点的纵坐标为2，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( )A ．22B ．2C ．2D ．43．[2023ꞏ福建莆田模拟]已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，过F 作直线l 与C 交于A ，B 两点．若|AB |＝10，则△OAB 的重心的横坐标为( )A ．43B ．2C ．83 D ．34．[2023ꞏ湖南郴州一模]已知椭圆x 24 ＋y 2b 2 ＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过左焦点F 1作斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，AB 的中点是P ，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为－14 ，则b 的值是( )A ．2B ．3C ．32 D ．25．[2023ꞏ重庆市高三月考]已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为抛物线上第一象限内一点，直线AF 与y 轴交于点B ，且AF → ＝FB →，则直线AB 的斜率为__________．6．[2023ꞏ安徽芜湖月考]已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为－1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，直线l 与抛物线相切且l ∥MN ，P 为l 上的动点，则PM → ꞏPN →的最小值是________.三. 高考小题重现篇1.[全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36 的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．142．[2020ꞏ天津卷]设双曲线C 的方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24 －y 24 ＝1B ．x 2－y 24 ＝1 C ．x 24 －y 2＝1 D ．x 2－y 2＝13．[全国卷Ⅰ]设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM → ꞏFN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 4．[2020ꞏ山东卷]斜率为3 的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________．5．[2021ꞏ浙江卷]已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，若过F 1的直线和圆⎝⎛⎭⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ广东省梅州月考]在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx 交双曲线C 于M ，N 两点．(1)若M (2，3)，四边形MF 1NF 2的面积为12，求双曲线C 的方程；(2)若33 ≤k ≤3 ，且四边形MF 1NF 2是矩形，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．2．[2023ꞏ四川省成都市高三月考]已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a >b >0 的长轴长是短轴长的两倍，且过点⎝⎛⎭⎫－3，12 . (1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的下顶点为点A ，若不过点A 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与x 轴交于M ，N 两点．若M ，N 的横坐标之积是2，证明：直线l 过定点．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：A答案解析：直线y ＝kx －k －1恒过定点（1，－1）.因为直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m （m >0）恒有公共点，则曲线C 表示椭圆，点（1，－1）在椭圆内或椭圆上，所以12＋2×（－1）2≤m ，所以m ≥3，选A.2．答案：C答案解析：由题意可知，左顶点A （－1，0）.又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，若直线l 与双曲线的渐近线有交点，则b ≠1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为y ＝－bx ，y ＝bx ，所以可得x B ＝－1b ＋1 ，x C ＝1b －1.由2AB → ＝BC →，可得2（x B －x A ）＝x C －x B ，故2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＋1＋1 ＝1b －1 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＋1 ，得b ＝2，故e ＝12＋221 ＝5 . 3．答案：A 答案解析：设以P 为中点的弦所在直线与椭圆交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），斜率为k ，则4x 21 ＋9y 21 ＝144，4x 22 ＋9y 22 ＝144，两式相减得4（x 1＋x 2）（x 1－x 2）＋9（y 1＋y 2）（y 1－y 2）＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2 ＝k ，代入解得k ＝－23.4．答案：C答案解析：由题意知k ≠0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p2 ，代入抛物线方程，得y 2－2p ky －p 2＝0，则y 1y 2＝－p 2.不妨设A （x 1，y 1）（x 1>0，y 1>0），B （x 2，y 2），因为AF → ＝2FB → ，所以y 1＝－2y 2.又y 1y 2＝－p 2，所以y 2＝－22 p ，x 2＝p 4 ，所以k ＝－22p －0p 4－p2＝22 .根据对称性可得直线AB 的斜率为±22 .5．答案：B答案解析：因为PQ ⊥PF 1，|PQ |＝||PF 1 ，由双曲线的定义可得：|PF 1|－|PF 2|＝|PQ |－|PF 2|＝|QF 2|＝2a ， |QF 1|－|QF 2|＝2a ，则|QF 1|＝4a ，易得∠F 1QF 2＝45°，|F 1F 2|＝2c ，在△QF 1F 2中，由余弦定理可得16a 2＋4a 2－2×4a ×2a ×22＝4c 2， 化简得（5－22）a 2＝c 2，所以双曲线的离心率e ＝c 2a 2＝5－22 . 故选B. 6．答案：D答案解析：如图，设椭圆的右焦点为F ′，则F ′（25 ，0），连接PF ′， 因为|OP |＝|OF |＝||OF ′ ，所以PF ⊥PF ′，所以||PF ′ ＝||FF ′2－|PF |2 ＝ （45）2－42＝8， 由椭圆的定义可得2a ＝|PF |＋||PF ′ ＝12，则a ＝6，又因为c ＝|OF |＝25 ，所以b 2＝a 2－c 2＝62－（25 ）2＝16， 所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.故选D.7．答案：x 28 ＋y 24＝1答案解析：由左焦点为F 1（－2，0），可得a 2－b 2＝4，过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33 （x ＋2），圆心（0，0）到直线的距离d ＝2331＋（33）2＝1.由直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3 b ，可得2b 2－1 ＝3 b ，解得b ＝2，a ＝22 ，则椭圆方程为x 28＋y 24＝1.8．答案：90答案解析：∵a ＝6，b ＝33 ，c ＝a 2－b 2＝3，易知C 1（－3，0）、C 2（3，0）为椭圆的两个焦点，|PM |2＋2|PN |2＝|PC 1|2－4＋2（|PC 2|2－1）＝|PC 1|2＋2|PC 2|2－6， 根据椭圆定义|PC 1|＋|PC 2|＝2a ＝12，设|PC 2|＝t ，则a －c ≤t ≤a ＋c ，即3≤t ≤9，则|PM |2＋2|PN |2＝（12－t ）2＋2t 2－6＝3t 2－24t ＋138＝3（t 2－8t ＋46）＝3（t －4）2＋90，当t ＝4时，|PM |2＋2|PN |2取到最小值90.二 能力小题提升篇1．答案：B答案解析：由题意得双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，所以l 的斜率满足|k |>34 ，即k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－34 ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ . 2．答案：A答案解析：方法一 设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x消去x 得y 2－4ty －4＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1·y 2＝－4. 由y M ＝y 1＋y 22 ＝2t ＝2，得t ＝1，∴S △AOB ＝12 |OF ||y 1－y 2|＝12（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝22 . 方法二 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.由⎩⎨⎧y 21 ＝4x 1，y 22 ＝4x 2得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝4y 1＋y 2＝1， 从而直线AB 的方程为y ＝x －1，由抛物线定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋2＝y 1＋y 2＋4＝8，而点O 到直线AB 的距离d ＝12＝22 ，从而S △AOB ＝12|AB |d ＝22 .3．答案：B答案解析：由题意知抛物线的焦点F 的坐标为（2，0）， 设过焦点F （2，0）的直线为y ＝k （x －2）（k ≠0）， A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.将y ＝k （x －2）代入抛物线方程消去y 得k 2x 2－4（k 2＋2）x ＋4k 2＝0.∵k 2≠0，∴x 1＋x 2＝4（k 2＋2）k 2 ＝4＋8k2 ，x 1x 2＝4.∵|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋8k 22－16 ＝10，∴k 2＝4，∴x 1＋x 2＝6， ∴△OAB 的重心的横坐标为x 1＋x 2＋03＝2.4．答案：D答案解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （m ，n ），则x 21 4 ＋y 21b2 ＝1，x 22 4 ＋y 22 b 2 ＝1，作差可得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）4＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2 ＝0，把x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝2n ，y 1－y 2x 1－x 2 ＝2代入，可得n m ＝－b 28 ＝－14，解得b ＝2 .5．答案：22答案解析：由题意可设A （x 1，y 1），F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ，B ()0，y 2 ，∵ AF → ＝FB → ，AF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，0－y 1 ，FB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－p 2，y 2－0∴ p 2 －x 1＝0－p2 ，∴x 1＝p ， ∴y 21 ＝2px 1＝2p 2.∵A 为抛物线上第一象限内一点， ∴y 1＝2 p,∴直线AF 的斜率为k ＝y 1－0x 1－p 2 ＝2pp －p 2＝22 ， ∴直线AB 的斜率为22 .6．答案：－14答案解析：设l 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y 2＝4x ，得x 2－（2b ＋4）x ＋b 2＝0，∵l 为抛物线C 的切线，∴Δ＝0，即[－（2b ＋4）]2－4b 2＝0， 解得b ＝－1，∴l ：y ＝－x －1.由题意知MN 所在直线方程为y ＝－x ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0. 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1.设P （m ，－m －1）， 则PM → ＝（x 1－m ，y 1＋m ＋1），PN →＝（x 2－m ，y 2＋m ＋1）. ∴PM → ·PN →＝（x 1－m ）（x 2－m ）＋（y 1＋m ＋1）（y 2＋m ＋1） ＝x 1x 2－m （x 1＋x 2）＋m 2＋y 1y 2＋（m ＋1）（y 1＋y 2）＋（m ＋1）2. ∵x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴（y 1y 2）2＝16x 1x 2＝16，则y 1y 2＝－4，y 21 －y 22 ＝4（x 1－x 2），∴y 1＋y 2＝4（x 1－x 2）y 1－y 2＝－4，∴PM → ·PN → ＝1－6m ＋m 2－4－4（m ＋1）＋（m ＋1）2＝2（m 2－4m －3）＝2[（m －2）2－7]≥－14.当且仅当m ＝2时，即点P 的坐标为（2，－3）时，PM → ·PN →取最小值，为－14.三 高考小题重现篇1．答案：D答案解析：如图，由题知直线AP 的方程为y ＝36（x ＋a ），直线F 2P 的方程为y ＝3 （x －c ），过点P 作PB ⊥x 轴，交x 轴于点B .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝36（x ＋a ），y ＝3（x －c ）， 解得x P ＝6c ＋a 5 ，∴|F 2B |＝6c ＋a 5 －c ＝a ＋c 5.∵∠PF 2B ＝180°－120°＝60°，∴|F 2P |＝2（a ＋c ）5. 又∵△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，∴|F 2P |＝|F 1F 2|，即2c ＝2（a ＋c ）5，∴e ＝c a ＝14. 2．答案：D答案解析：方法一 由题知y 2＝4x 的焦点坐标为（1，0），则过焦点和点（0，b ）的直线方程为x ＋y b ＝1，而x 2a 2 －y 2b2 ＝1的渐近线方程为x a ＋y b ＝0和x a －yb ＝0，由l 与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a ＝1，b ＝1.方法二 由题知双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则a ＝b ，即渐近线方程为x ±y ＝0，排除B ，C.又知y 2＝4x 的焦点坐标为（1，0），l 过点（1，0），（0，b ），所以b －00－1＝－1，b ＝1.3．答案：D答案解析：由题意知直线MN 的方程为y ＝23（x ＋2），联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.不妨设M 为（1，2），N 为（4，4）.又∵抛物线焦点为F （1，0），∴FM → ＝（0，2），FN →＝（3，4）. ∴FM → ·FN →＝0×3＋2×4＝8.4．答案：163答案解析：由题意得直线方程为y ＝3 （x －1），联立方程，得⎩⎨⎧y ＝3（x －1），y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0，∴x A ＋x B ＝103 ，故|AB |＝1＋x A ＋1＋x B ＝2＋103 ＝163.5．答案：255 55答案解析：如图，设圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12c 2＋y 2＝c 2的圆心为A ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，0 ，所以|F 1A |＝12 c＋c ＝32 c .设过点F 1且斜率为正的直线与圆A 切于点B ，连接AB ，则|AB |＝c ，所以在Rt△F 1AB中，|F 1B |＝|F 1A |2－|AB |2＝52c .所以直线F 1B 的斜率k ＝tan ∠BF 1A ＝|AB ||F 1B | ＝c 52c ＝255 .方法一 设P （c ，y 1）（y 1>0）.由点P 在椭圆上，得c 2a 2 ＋y 21 b2 ＝1，所以y 1＝b 2a（负值已舍去），所以|PF 2|＝b 2a .易得△F 1AB ∽△F 1PF 2，所以|AB ||PF 2| ＝|F 1B ||F 1F 2| ，即cb2a＝52c 2c ，所以4ac ＝5 b 2，即4ac ＝5 （a 2－c 2），所以5 e 2＋4e －5 ＝0，解得e ＝55（负值已舍去）. 方法二 设P （c ，y 1）（y 1>0）.由点P 在椭圆上，得c 2a 2 ＋y 21 b2 ＝1，所以y 1＝b 2a （负值已舍去），所以|PF 2|＝b 2a .所以tan ∠PF 1F 2＝|PF 2||F 1F 2| ＝b 2a 2c ＝255，则4ac ＝5 b 2，即4ac＝5 （a 2－c 2），所以5 e 2＋4e －5 ＝0，解得e ＝55（负值已舍去）. 方法三 设P （c ，y 1）（y 1>0）.由点P 在椭圆上，得c 2a2 ＋y 21 b2 ＝1，所以y 1＝b 2a（负值已舍去），所以|PF 2|＝b 2a .由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得|PF 1|＝2a －b2a ，所以sin ∠PF 1F 2＝|AB ||F 1A |＝|PF 2||PF 1| ，即c 3c 2 ＝b 2a 2a －b 2a，可得b 2＝45 a 2.所以c ＝a 2－b 2 ＝55 a ，则e ＝c a ＝55. 四 经典大题强化篇1．答案解析：（1） 因为直线y ＝kx 交双曲线C 于M ，N 两点，所以M ，N 两点关于原点对称， 从而四边形MF 1NF 2是平行四边形． 设双曲线C 的焦距为2c ，则四边形MF 1NF 2的面积S ＝2×12×2c ×3＝12，解得c ＝2，从而F 1（－2，0），F 2（2，0），所以|MF 2|＝3，|MF 1|＝5于是2a ＝|MF 1|－|MF 2|＝2，解得a ＝1，b ＝3所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.（2）设M （x 1，y 1），则N （－x 1，－y 1），由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1y ＝kx，得x 2a 2 －k 2b 2 x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－k 2b 2 x 2＝1， 因为MF 1·NF 1＝（－x 1－c ，－kx 1）（x 1－c ，kx 1）＝c 2－（k 2＋1）x 21 ＝0 所以c 2－（k 2＋1）11a 2－k2b2＝0，化简得k 2＝b 4a 2（b 2＋c 2） . 因为13≤k 2≤3，所以13 ≤b 4a 2（b 2＋c 2） ≤3. 由b 2a 2（b 2＋c 2）≤3，得e 4－8e 2＋4≤0， 解得1<e ≤3 ＋1 由13≤b 4a 2（b 2＋c 2） 得3e 4－8e 2＋4≥0， 解得e ≥2 .因此，e 的取值范围为[2 ，3 ＋1].2．答案解析：（1）依题意，a ＝2b ，椭圆E 的方程为：x 24b 2 ＋y 2b 2 ＝1，又椭圆E 过⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12 ，于是有34b2 ＋14b 2 ＝1，解得b 2＝1，a 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.（2）由（1）知A （0，－1），依题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m （k ≠0，m ≠－1），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），直线AP 的方程为y ＝y 1＋1x 1 x －1，令y ＝0，得点M 的横坐标为x M ＝x 1y 1＋1 ，同理得点N的横坐标为x N ＝x 2y 2＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＋4y 2＝4消去y 并整理得，（4k 2＋1）x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， Δ＝64k 2m 2－4（4k 2＋1）（4m 2－4）>0，即m 2<4k 2＋1，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1 ，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1， 因此，x M x N ＝x 1x 2（y 1＋1）（y 2＋1） ＝x 1x 2（kx 1＋m ＋1）（kx 2＋m ＋1）＝x 1x 2k 2x 1x 2＋k （m ＋1）（x 1＋x 2）＋（m ＋1）2＝4m 2－44k 2＋1k 2·4m 2－44k 2＋1＋k （m ＋1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋（m ＋1）2 ＝2，即4（m －1）m ＋1 ＝2，解得m ＝3， 直线l 的方程为y ＝kx ＋3，l 过定点（0，3）， 所以直线l 过定点（0，3）.。
专题9.6 直线与圆锥曲线(练)(解析版)
专题9.6 直线与圆锥曲线1．（四川省成都市龙泉驿区第一中学校2019届高三上入学）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ）A ．B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】C 【解析】由题意，是抛物线的焦点，所以，准线方程为， 设，所以，解得，所以线段的中点的横坐标为，所以线段的中点到该抛物线的准线的距离为，故选C ．2.（2019·湖南高三月考（理））抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，点Q 在抛物线上，且90MQF ∠=，则以MQ 为直径的圆的面积等于（ ）A.51π- B.51π+ C.()252π-D.()252π+【答案】A 【解析】 如图：设点Q (),x y ，由题可知，点()()1,0,1,0F M -，90MQF ∠=,O 为MF 中点，112OQ MF ∴==，即221x y +=，又24y x =，2221524x y x y x⎧+=⇒=-⎨=⎩ ()()2222211461252MQ x y x x x x =++=++=++=-以MQ 为直径的圆的面积等于25142S MQ ππ-==答案选A3.（2019·天津高考真题（理））已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且（为原点），则双曲线的离心率为 A.B.C.2D.【答案】D 【解析】 抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有∴，，，∴.故选D.4.(浙江省金华十校2019届高考模拟)已知椭圆C ：2214x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为（ ）A ．24-B ．14-C ．3-D ．3-【答案】C 【解析】设11(,)B x y ，22(,)C x y ．(0,)M m ．33(,)A x y ，直线BC 的方程为y kx m =+. ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴BMA ∆与CMO ∆的高之比为3， 又BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则2BM MC =.即2BM MC =，1220x x ⇒+=…① 联立2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222418440k x mkx m +++-=. 122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+…②，由①②整理可得：22223614m k m k =-+…③ ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴()3122814kmx x x k =-+=+，3211222()[()2]14my y y k x x m k=-+=-++=-+. ∵223344x y +=，∴22222282()4()41441414km m k m k k -+=⇒+=++…④． 由③④可得2112k =，∵k 0<．∴36k =-. 故选：C ．5.（2019·四川石室中学高三月考（理））已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1l：0x my -=与抛物线C 交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若||3QF =，则QRF PRFS S ∆∆=________.【答案】67【解析】因为F 到准线l 的距离为2，所以2p =，抛物线C ：24y x =，(1,0)F .设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为||3QF =，即22+1=3=2x x ⇒所以2y =-代入直线1l：0m =⇒=所以直线1l为：0x y --=由22004x y y y y x ⎧--=⎪⇒---=⎨⎪=⎩所以12y y =-，所以12y y -==152x = ，所以2167121==5112QRFPRFS QR QF x S PRPFx ∆∆++===++故填：676.（2019·安徽高三开学考试（理））已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，且2AF FB λ=（λ为非零常数）.以A 为切点作抛物线C 的切线交直线1y =-于M 点，则MF 的长度为________.（结果用含λ式子表示）. 【答案】1λλ+【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，抛物线C 的焦点为()0,1F ，设直线AB 的方程为1y kx =+， 联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 由韦达定理得124x x k +=，124x x =-.()11,1AF x y =--，()22,1FB x y =-，2AF FB λ=，212x x λ∴-=，2121x x λ∴=-，2121214x x x λ∴=-=-，得2214x λ=.抛物线C 的函数解析式为24x y =，求导得2x y '=，则抛物线C 在点A 处的切线方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x y x =-，联立211124y x x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得11221x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所点112,12x M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因此，1MF λλ====+， 故答案为：1λλ+.7．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学月考（文））已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c ，椭圆的长轴长为 （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB【答案】（1）221123x y +=；（2）10. 【解析】（1）经过两点()(),0,0,c b 的直线为：1x yc b+=即0bx cy bc +-=.由已知：原点到直线的距离12bc d c a ===即12b a =因为2a=，所以b =所以椭圆的标准方程为：221123x y +=（2）当直线l 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上，不合题意.所以直线l 的斜率存在，设为k ，则直线()12y k x +=-即为：21y kx k =--设()()1122,,,A x y B x y联立22214120y kx k x y =--⎧⎨+-=⎩得：()()22214821161680k x k k x k k +++++-= ()()22214821161680k xk k x k k +-+++-=显然>0∆ 则()122821414k k x x k++==+，解得12k = 则212216168214k k x x k+-⋅==+所以12AB x =-==8.（2019·天津高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程. 【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【解析】（I ）解：设椭圆的半焦距为c 2b =，又由222a b c =+，消去b 得222)a c=+，解得12c a =， 所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-， 因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =，因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l2=，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.9. （2020·广西钦州·高二期末（文））已知抛物线()220y px p =>的顶点为O ，焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线方程；（2）过点()1,0且斜率为1的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，求线段PQ 的值． 【答案】（1）22y x =．（2）【解析】（1）∵22y px =焦点坐标为,02P ⎛⎫⎪⎝⎭∴122p =，1p =， ∴抛物线的方程为22y x =．（2）设直线l 方程为1x y =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立212x y y x=+⎧⎨=⎩ 消元得2220y y --=，∴120∆=>，122y y +=，122y y =-， ∴21211PQ y y =+-()221212114y y y y =+⋅+-()()221124226=+⋅-⋅-=．∴线段PQ 的值为26．10.（2019·浙江诸暨中学高二月考）如图，A 为椭圆2212x y +=的下顶点.过A 的直线l 交抛物线()220x py p =>于B ，C 两点，C 是AB 的中点.（1）求证：点C 的纵坐标是定值；（2）过点C 作与直线l 倾斜角互补的直线m 交椭圆于M ，N 两点.求p 的值，使得BMN ∆的面积最大. 【答案】（1）证明见解析；（2）914. 【解析】（1）易知()0,1A -，不妨设2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22,24t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得：222224t t p p p -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得：24t p =，∴42142C p p y p -==为定值. （2）∵点C 是AB 中点，∴BMN AMN S S ∆∆=，∵直线l的斜率()11322kt t--==，直线m斜率3kt'=-，∴直线m的方程：1322t y xt⎛⎫-=--⎪⎝⎭，即32y xt=-+，不妨记3mt=-，则l'：2y mx=+，代入椭圆方程整理得：()2221860m x mx+++=，设()11,M x y，()22,N x y，则122821mx xm+=-+，122621x xm=+，22212223122121mMN m x x mm-=+-=++，A∴到MN的距离21dm=+，所以12AMNS MN d∆=⋅⋅22233221mm-=+2232323244242323mm=≤=-+-.取等号时，222323mm-=-，得272m=，所以229187tm==，29414tp==.1．（2020·山西运城·高三月考（理））已知抛物线21:4C y x=的焦点为F，O为坐标原点，点A在抛物线C 上，且2AF=，点P是抛物线C的准线上的一动点，则PA PO+的最小值为（）.A13B．13C．313D．6【答案】A【解析】抛物线的准线方程为1y=-，||2AF=，A∴到准线的距离为2，故A点纵坐标为1，把1y=代入抛物线方程可得2x=±．不妨设A在第一象限，则(2,1)A，点O 关于准线1y =-的对称点为(0,2)M -，连接AM ， 则||||PO PM =，于是||||||||||PA PO PA PM AM +=+故||||PA PO +的最小值为22||2313AM =+=． 故选：A ．2．（2019·新疆乌鲁木齐·乌市一中月考）已知两定点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ） A 5B 10C 25D 210【答案】A 【解析】椭圆C 以A ，B 为焦点，即1c =，221b a =-，故可设椭圆方程为222211x y a a +=-(a >1)，联立方程2222113x y a a y x ⎧+=⎪-⎨⎪=+⎩消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知∆=36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，即42650a a -+≥ 得25a ≥或21a ≤（舍去），解得a 5所以155c e a a ==≤， 所以e 5. 故选：A.3.（2019·山西高三月考（理））已知双曲线C ：()22210x y a a-=>与l ：1x y +=相交于两个不同的点A 、B ，l 与y 轴交于点P ，若512PA PB =，则a =______. 【答案】1713【解析】由于双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，故方程：22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，有两组不同的实数解，消去y 并整理可得：2222(1)220a x a x a -+-= 所以实数a 应满足：24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎨+->⎩ ，解得：02a <<且1a ≠ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由根与系数关系可得：212221222121a x x a a x x a ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩① 根据题意可知(0,1)P ，由512PA PB =，可得11225(,1)(,1)12x y x y -=-，从而得到12512x x = ② 由①②解得：1713a =±，又 02a <<且1a ≠，所以1713a =故答案为17134.（2019·浙江高三学业考试）如图，(1,0)M ，P ，Q 是椭圆2214x y +=上的两点（点Q 在第一象限），且直线PM ，QM 的斜率互为相反数．若2PM QM =，则直线QM 的斜率为__________．15【解析】延长PM ，交椭圆于点N ，由椭圆的对称性和直线PM ，QM 的斜率互为相反数可知：||||QM MN =，如下图所示：设直线PM 的斜率为k ，所以直线PM 的方程为：(1)(0)y k x k =-<，与椭圆方程联立得：22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得，2212430yy k k ⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 设()()1122,,,P x y N x y ，根据根与系数关系可得：122214ky y k -+=+，12||2,2||PM y y QM =∴=-，1222214ky y y k -∴+=-=+，所以222222,11414k y x k k =∴=+++，把22221,1414k N kk ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭代入椭圆方程中得，2222221441414k k k ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得25515,1212k k =∴== 所以直线QM 的斜率为156k -=. 5．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知直线l ：()1y k x =-与抛物线C ：()220y px p =>在第一象限的交点为A ，l 过C 的焦点F ，3AF =，则抛物线的准线方程为_______；k =_______. 【答案】1x =- 2 【解析】易知直线l 与x 轴的交点为(1,0)，即抛物线的焦点为(1,0)F ，∴准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，则11132pAF x x =+=+=，12x =，作AC x ⊥轴于点C ，如图， 则(2,0)C ，1FC =，∴223122AC =-=， ∴直线l 的斜率为22tan 221k AFC =∠==． 故答案为：1x =-；22．6．（2020·江苏如皋·高二月考）已知F 是抛物线()221y px p =>的焦点，(),1N p ，M 为抛物线上任意一点，MN MF +的最小值为3，则p =________；若过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，有2AF FB =，则AB =________. 【答案】2 92【解析】过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得MP MF =，1p >，则2212p <，则点N 在抛物线内，如下图所示：MN MF MN MP ∴+=+，当点P 、M 、N 共线时，MN MF +取得最小值32pp +=，解得2p =， 所以，抛物线的标准方程为24y x =，该抛物线的焦点为()1,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，可知直线AB 不与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，2AF FB =，则()()11221,21,x y x y --=-，122y y ∴=-，所以，1224y y y m +=-=，可得24y m =-，221222324y y y m =-=-=-，可得218m =，因此，()()22221212129114412AB m y y m y y y y m =+-=++-=+=. 故答案为：2；92. 7.（2019·浙江高三月考）如图，过抛物线2:C y x =上的一点()1,1A 作抛物线的切线，分别交x 轴于点D 交y 轴于点B ，点Q 在抛物线上，点E ，F 分别在线段AQ ，BQ 上，且满足AE λEQ =，BF μFQ =，线段QD 与EF 交于点P.（1）当点P 在抛物线C 上，且12λμ==时，求直线EF 的方程； （2）当1λμ+=时，求:PAB QAB S S △△的值.【答案】（1）432y x +=-或432y x -=-.（2）1:3. 【解析】（1）过抛物线上点A 的切线斜率为122x y x ='==，切线AB 的方程为21y x =-， 则B ，D 的坐标分别为(0,1)-，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 是线段AB 的中点.设(,)P x y ，()200,Q x x ，()11,E x y ，()22,F x y ，显然P 是ABQ △的重心.由重心坐标公式得2001,33x x P ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以2200133x x +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则013x +=，故3323,66P ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或3323,66P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭因为EF AB ∥，所以2EF k =，所以直线EF 的方程为4326y x +=-或4326y x -=-. （2）由解（1）知，AB 的方程为21y x =-，(0,1)B -，1,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，D 是线段AB 的中点 令||||QD m QP =，1||1||QA t QE λ==+，2||1||QB t QF μ==+， 因为QD 为ABC △的中线，所以22OAB OAD GBD S S S ==△△△而12||||1||||QEF QABSQE QF S QA QB t t =⋅=△△， 1212111322222QEFQEP QFPQEP QFP QABQADQADQBDS S S S S S S S S t m t m t t m+⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭△△△△△△△△△ 所以1212132t t t t m =，即32m =，所以P 是QAB 的重心，:1:3PAB QAB S S =△△.8．（2019·全国高三月考（理））如图，己知抛物线24x y =，直线1y kx =+交抛物线于,A B 两点，P 是抛物线外一点，连接,PA PB 分别交地物线于点,C D ，且CDAB .（1）若1k =，求点P 的轨迹方程.（2）若2PC CA =，且PA 平行x 轴，求PAB ∆面积. 【答案】（1）2(11)x y =-<<（2）11121【解析】 （1）解法1：CD AB ，设()()()112200,,,,,,PD DB A x y B x y P x y λ=，则()()0011,,,C C C C PC x x y y CA x x y y =--=--，由PC CA λ=可得()01C C x x x x λ-=-，故011C x x x λλ+=+，同理20141C y x y λλ+=+，故201014,11y x x x C λλλλ⎛⎫+ ⎪+ ⎪++ ⎪⎝⎭，代入抛物线得：2201014411y x x x λλλλ++⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭， 化简得：221010024(1)0x x x y x λλλ-++-=， 同理得：222020024(1)0x x x y x λλλ-++-=，所以12,x x 为方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根，又由12221241440,44x x k y kx x kx x x x y ⎧+==+⎧⎪⇒--=∴⎨⎨⋅=-=⎪⎩⎩，将1k =代入1200244,2x x x k x +===∴=且200124(1)4y x x x λλ+-==-①，将02x =代入①，得044121(0)4(1)11y λλλλλλ--===-+>+++，故0(1,1)y ∈-.故点P 的轨迹方程为2(11)x y =-<<. 解法2：同解法1知124x x +=1,44D c D CCD AB C D D C y y x x k k x x x x -+====∴+=-，设线段,AB CD 的中点分别为,M N ，易知,,M N P 三点共线， MN MP μ∴=（μ为实数），所以02N M x x x ===. 以下同解法1.（2）由12,x x 为方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根， 可得：120024,2x x x k x k +==∴=.由（1）得200124(1)4y x x x λλ+-==-，因为2PC CA =，所以2λ=，故20233k y =-.AC x 轴且,A C 在抛物线上，∴,A C 关于y 轴对称. 0112213C x x k x x λλ++==+，11223k x x +∴=-及125kx =-，222,533k k C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭且2225k x =.∵C 在抛物线上,22224533k k ⎛⎫⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得22511k =. 设AB 的中点为M ，则()2221212212211212424M x x x x x x y k +-⎛⎫+=⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭， 所以()22001022=13M y y y y k -=-+，而21020111210(1)2253121PAB k S x x y y k ∆=-⋅-=⋅⨯+=. 9．（2019·全国高三月考）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)D 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．（1）若ABF ∆的面积为3，求直线l 的方程；（2）试判断以线段AB 为直径的圆与点F 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）240x y --=或240x y +-=；（2）点F 在以线段AB 为直径的圆内． 【解析】（1）由题意知焦点F 的坐标为(1,0)．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，直线l 的方程为2x my =+．联立方程24,2,y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x ，整理得2480y my --=，可得124y y m +=，128y y =-，则2112ABF ADF BDF S S S DF y y ∆∆∆=+=⨯⨯-===由ABF ∆的面积为3，可得3=，解得12m =±，故直线l 的方程为240x y --=或240x y +-=．（2）由（1）知221212416y y x x ==，21212()444x x m y y m -=++=+．又由11(1,)FA x y =-，22(1,)FB x y =-，可得1212122212(1)(1)()1FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-++-,224(44)81470m m =-+-+=--<．故AFB ∠为钝角，点F 在以线段AB 为直径的圆内．10.（2019·浙江温州中学高三月考）已知点()00,A x y 在抛物线24y x =上，,P Q 是直线2y x =+上的两个不同的点，且线段,AP AQ 的中点都在抛物线上.（Ⅰ）求0y 的取值范围；（Ⅱ）若APQ 的面积等于20y 的值. 【答案】（Ⅰ）04y >或00y <；（Ⅱ）0222y =±. 【解析】（Ⅰ）设(,2)P a a +，(,2)Q b b +，20(,)4y A y ， 则AP 的中点20042(,)82y a y a M +++，代入24y x =得：22000(42)440a y a y y ---++= 同理可得：22000(42)440b y b y y ---++=所以，,a b 是方程22000(42)440x y x y y ---++=的两个根22000(42)4(44)y y y ∴∆=---++2008320y y =->解得：04y >或00y <（Ⅱ）点A 到PQ 的距离200|2|42y y d -+=2042=由韦达定理可知：042a b y +=-，20044ab y y =-++则||2||PQ a b =-=22002()444a b ab y y +-=-1||2APQS PQ d ∆∴==2200004814462242y y y y -+⋅-⋅= 令2004y y t -=，则有：38240t t +-=，即：2(2)(212)0t t t -++=，解得2t =，即200440y y --=，解得：0222y =±1.（2020·全国高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2 【解析】联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．2.（2019·浙江高考真题）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______. 【答案】15【解析】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程22195x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得3152P⎛-⎝⎭，所以1521512PFk==3.（2020·全国高考真题（文））已知椭圆222:1(05)25x yC mm+=<<15，A，B分别为C的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 （1）222:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，根据离心率22154115c b m e a a ⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=； （2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：22231111055125211d ⨯-⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：1555522⨯⨯=；②当P 点为(3,1)-时， 故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()2283111405185185811d ⨯--⨯+===+ 根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=∴APQ 面积为：1518522185=，综上所述，APQ 面积为：52. 4．（2019·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.5．（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． 【答案】(Ⅰ) 24x y =-，1y =； (Ⅱ)见解析. 【解析】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =. (Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.6．（2019·全国高考真题（理））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【答案】(1)见详解；(2) 3或【解析】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =. 又因为212y x =，所以'y x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得112210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立.所以直线AB 恒过定点1(0,)2. （2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±. 当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或.。
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高考数学模拟题复习试卷直线与圆锥曲线一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．）1.【高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++【答案】A. 【解析】11--===∆∆AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF ，故选A. 2.【·嘉兴一模】经过椭圆x22＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13【答案】B【解析】依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x22＋y2＝1并整理得3x2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，(43，13)， ∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.3.【·潍坊一模】直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y2＝x 交于A ，B 两点，若|AB|＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74B ．2C.94D ．4 【答案】C4.【·台州质检】设斜率为22的直线l 与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( ) A.33B.12C.22 D.13【答案】C5.【·吉安一模】抛物线y2＝2px 与直线2x ＋y ＋a ＝0交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F ，则|FA|＋|FB|的值等于( ) A ．7 B ．35C ．6 D ．5 【答案】A【解析】点A(1,2)在抛物线y2＝2px 和直线2x ＋y ＋a ＝0上，则p ＝2，a ＝－4，F(1,0)，则B(4，－4)，故|FA|＋|FB|＝7.6.【·宁波十校联考】设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e ，过F2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝( ) A ．1＋22B ．4－22C ．5－22D ．3＋22 【答案】C【解析】如图，设|AF1|＝m ，则|BF1|＝2m ，|AF2|＝m －2a ，|BF2|＝2m －2a ，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m －2a ＋2m －2a ＝m ，得m ＝22a ，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m －2a)2＝4c2，即得(20－82)a2＝4c2，∴e2＝c2a2＝5－22，故应选C.7.已知P 为双曲线C ：x29－y216＝1上的点，点M 满足|OM |＝1，且OM ·PM ＝0，则当|PM |取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95 B.125C ．4D ．5【答案】B8.【改编题】过抛物线y2＝2px(p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ＝λFB(λ＞1)，则λ的值为( ) A ．5 B ．4 C.43 D.52【答案】B9.斜率为1的直线l 与椭圆x24＋y2＝1相交于A 、B 两点，则|AB|的最大值为( )A ．2 B.455C.4105 D.8105【答案】C10.已知椭圆x24＋y23＝1，若在此椭圆上存在不同的两点A 、B 关于直线y ＝4x ＋m 对称，则实数m 的取值范围是( )A ．(－21313，2213)B ．(－21313，21313)C ．(－213，21313) D ．(－2313，2313) 【答案】B11. 【普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知抛物线2:8C y x =与点(2,2)M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A B 、两点，若0MA MB •=，则k =（ ）A ．12B ．22C ．2D ．2【答案】D【解析】由题意知抛物线C 的焦点坐标为（2,0），则直线AB 的方程为(2)y k x =-，将其代入28y x =，得22224(2)40k x k x k -++=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则21224(2)k x x k ++=，124x x =.①由1122(2)(2)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩12122121212()4(2()+4)y y k x x k y y k x x x x +=+-⎧⇒⎨=-+⎩ ② ③∵0MA MB •=，∴1122(2,2)(2,2)0x y x y +-•+-=. ∴1212(2)(2)(2)(2)0x x y y +++--=，即121212122()42()40x x x x y y y y ++++-++=. ④ 由①②③④解得k=2.故选D.12. 【高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） A ．5 B ．2C ．3 D ．2 【答案】D二、填空题13.【高考湖南，理13】设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为. 【答案】5. 【解析】根据对称性，不妨设)0,(c F ，短轴端点为),0(b ，从而可知点)2,(b c -在双曲线上，∴5142222==⇒=-ace b b a c . 14.【一轮特训】设F(1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN ＝2MP ，PM ⊥PF ，当点P 在y 轴上运动时，点N 的轨迹方程为________. 【答案】y2＝4x【解析】设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x ，y)， ∵PM ⊥PF ，PM ＝(x0，－y0)，PF ＝(1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0， ∴x0＋y02＝0．由MN ＝2MP ，得(x －x0，y)＝2(－x0，y0)，∴00022x x x y y -=-⎧⎨=⎩即0012x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴－x ＋24y ＝0，即y2＝4x ．故所求的点N 的轨迹方程是y2＝4x ．15.已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P(2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________． 【答案】答案：y2＝4x16. 已知曲线x2a －y2b ＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP ·OQ ＝0(O 为原点)，则1a －1b 的值为________． 【答案】2三、解答题17.在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，3)、(0，－3)的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C. (1)写出C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA →⊥OB →？ 【答案】(1) x2＋y24＝1.(2) k ＝±12，此时OA →⊥OB →.18.给出双曲线x2－y22＝1.(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A(2,1)的直线l 与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P 的轨迹方程；(3)过点B(1,1)能否作直线m ，使得m 与双曲线交于两点Q1，Q2，且B 是Q1Q2的中点？这样的直线m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1) 4x －y －7＝0.(2)满足题设条件的直线m 是不存在的．【解析】(1)设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则⎩⎪⎨⎪⎧2x21－y21＝2，2x22－y22＝2，两式相减得到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 所以直线斜率k ＝y1－y2x1－x2＝4.故求得直线方程为4x －y －7＝0.19．【高考天津，理19】（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b 的左焦点为(,0)F c -,离心3M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y截得的线段的长为c ，43(I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.【答案】(I) 33； (II) 22132x y += ；(III) 23223,,333⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(II)由(I)得椭圆方程为2222132x y c c+=，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联立，消去y ，整理得223250x cx c +-=，解得53x c =-或x c =，因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为23,c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由222343()03FM c c c ⎛⎫=++-=⎪⎝⎭，解得1c =，所以椭圆方程为22132x y +=20.【高考新课标1，理20】在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M,N 两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ）0ax y a --=或0ax y a ++=（Ⅱ）存在 【解析】（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(22,)N a -，或(22,)M a -，(2,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =22a 处的到数值为a ，C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =22a 处的到数值为a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. ……5分21.【高考福建，理18】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b 过点2），且离心率为22． (Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)设直线1xmy m R ，()交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【答案】(Ⅰ)22142x y ；(Ⅱ) G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得2222,2,2,b c a a b c 解得222a b c ， 所以椭圆E 的方程为22142x y ．22.【高考山东，理20】平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .( i )求OQ OP的值；（ii ）求ABQ ∆面积的最大值.【答案】（I ）2214x y +=；（II ）( i )2；（ii ）63 .（ii ）设()()1122,,,A x y B x y 将y kx m =+代入椭圆E 的方程， 可得()2221484160kxkmx m +++-=由0∆> ，可得22416m k <+ …………………………①则有21212228416,1414km m x x x x k k-+=-=++所以22 124164k m x x+--=高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3 B．12cm3 C．D．2．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（）A．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]3．（5分）已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0 4．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0 5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card （A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣y2=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x0，y0∈R），则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）已知数列{an}满足a1=且an+1=an﹣an2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{an2}的前n项和为Sn，证明（n∈N*）．高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3 B．12cm3 C．D．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．2．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（）A．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁RP=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁RP）∩Q=（1，2），故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（5分）已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0 【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A．【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card （A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立【分析】命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．【解答】解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card （B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card （A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A．【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．【解答】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2﹣1）=|t|；令t2﹣1=x，则t=±；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α【分析】解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．【解答】解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣y2=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．【分析】根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f （x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，f（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．【解答】解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．【分析】直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．【解答】解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．【分析】连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．【解答】解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．【分析】根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．【解答】解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2x+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2x+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x0，y0∈R），则x0=1，y0=2，|=2．【分析】由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得．【解答】解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（）|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故==2故答案为：1；2；2【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【分析】（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．或由A=，b2﹣a2=c2．可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，∴sin2B﹣=sin2C，∴﹣cos2B=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴sin2C=sin2C，∴tanC=2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．【分析】（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．【分析】（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．【解答】解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|=|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2，得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，﹣2≤≤2，易知（|a|+|b|）max=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用绝对值不等式变形．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）已知数列{an}满足a1=且an+1=an﹣an2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{an2}的前n项和为Sn，证明（n∈N*）．【分析】（1）通过题意易得0＜an≤（n∈N*），利用an﹣an+1=可得＞1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=an﹣an+1累加得Sn=a1﹣an+1，对an+1=an﹣an2两边同除以an+1an采用累积法可求出an+1的范围，从而得出结论．【解答】证明：（1）由题意可知：an+1﹣an=﹣an2≤0，即an+1≤an，故an≤，1≤．由an=（1﹣an﹣1）an﹣1得an=（1﹣an﹣1）（1﹣an﹣2）…（1﹣a1）a1＞0．所以0＜an≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵an﹣an+1=，∴an＞an+1，∴＞1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*），综上所述，1＜≤2（n∈N*）；（2）由已知，=an﹣an+1，=an﹣1﹣an，…，=a1﹣a2，累加，得Sn=++…+=a1﹣an+1，①由an+1=an﹣an2两边同除以an+1an得，和1≤≤2，得1≤≤2，累加得1+1+...1≤+﹣+...+﹣≤2+2+ (2)所以n≤﹣≤2n，因此≤an+1≤（n∈N*）②，由①②得≤（n∈N*）．【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲．【答案】{}1,2,4,6。