相似三角形培优训练含答案完整版

相似三角形培优训练含

答案

HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

相似三角形分类提高训练

一、相似三角形中的动点问题

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动

点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作

DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连

接DG．设点D运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；

（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的

速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度

从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都

停止移动．设移动的时间为t秒．

（1）①当t=时，求△CPQ的面积；

②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析

式；

（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t

的值．

3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在

边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，

EN⊥CD，垂足为N．

（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；

（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？

4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A 点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．

（1）当x为何值时，PQ∥BC？

（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．

5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与

△ABC相似？

二、构造相似辅助线——双垂直模型

6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，

正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求

这个正比例函数的表达式．

7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△A BD，使△ABD 为等腰直角三角形，求线段CD的长．

8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿

着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：

NC=AP：PB．

9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC

在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B

点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为

（）

A. B. C. D.

10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。求C、D两点的坐标。

三、构造相似辅助线——A、X字型

11.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。

求证：

12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分

∠DAB。

求证：

13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任

意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题

时，发现如下事实：

(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；

(3)当时，EF=．当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k 表示EF的一般结论，并给出证明．

14.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两

点，且BE＝EF＝FC。

求BN：NQ：QM．

15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点

对边上中线长的．（注：重心是三角形三条中线的交点）

（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线

段与这个角的两邻边对应成比例．

四、相似类定值问题

16.如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为

MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F．求

证：．

17.已知：如图，梯形ABCD中，AB图，在△ABC中，已

知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。

求证：．

19.已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a．求证：

．

五、相似之共线线段的比例问题

20.（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线

过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点．求

证：

（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；

21.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作

CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．

22.如图，已知△ABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作

AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。求证：

DE2=EG?EH

23.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P

的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点

E、F、G、H.

求证：

24.已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且∠BPC为直角．求证：PD2＝AD·DH。

六、相似之等积式类型综合

25.已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。

求证：

26如

图，

在

Rt△ABC中，

CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于

点E. 求证：（1）△AED∽△CBM；（2）

27.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.

（1）求证：.

（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由.

28.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG 与AD相交于点N．求证：．