线性代数 同济大学第七版
高等数学同济大学数学系第七版上册第七章课后答案
高等数学同济大学数学系第七版上册
高等数学（同济人学数学系-第七版）上册高等数学（同济大学数学系第七版）上册第三章：微分屮值定理与导数的应用课后习题答案微分中值定理&I.脸证罗尔定理对= Insin x任区间［于打］上的止确性.证函数/（x）=lnsinx^［y^］匕连续•在（卡•乎）内可导■又4f）= ,nsin 6 =,n \ /（T）= ,n,in T=，n T*即4才）唧认卜灯⑷在［:・丫］上満足罗尔定理条件•山罗尔定理®至少仔任T・（H（:、罟卜仙'（§）"•乂 JS二瓷令厂（丫）“得""T +于（w = 0. = 1 ・ ± 2 .・•・）・ JR 兀=0 w（? •普）・IM比罗尔定理对函数尸Insin x任区叫亍'寻］上是正确的•& 2.脸证拉格制日中值定理对函敎y・4』-5/u 2在区何［0,1］上的正确性.it 匪数/（尤）=4“・5/在区河卫・1上连缤■金（0.1）內叫导，故/（・丫）在0」上满足拉格朗H中值定理条件，从而至少存在一点f e（0J）.使门小斗护二仝严“又•由八° =12^2 - 10f 4 I =0 olUlf =^~^G（0J） JM此拉俗阴H屮值定理对函敗y=4八5P r・2徃区何0」；上是正确的."i"及化X）’ + cos X在IX间|o,y］j；验让柯內中值定理的正确性.证旳数"+0*在区1叫0,；］上连续皿（0.；）內可品.M住卩•寸）内=1 -MOX ZO.故.心）屮（兀）满足柯两中值定理条件•从而至55/ 1.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册55/ 2.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册55/ 3.高等数学（同济大学数学系-第七版）上册.55/ 4.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册.55/ 5.高等数学（同济人学数学系-第七版）上册86 一、《离等数学》(第七版)上冊习趣全解55 / 6.高等数学(同济人学数学系•第七版)上册件；)"(0)"(目1 -0 cos £ T . 1 - HI1 {T"14Z n = 0,得 go = 2arclan -一~ . 1*1 0 < < 丨•故 C = 2arckm j 4 ^ * | € (。
线性代数 同济大学第七版 ppt课件
7 6 2 1 4 2
D 0 3 5 0 3 5
1 4 2
7 6 2
特别地，当行列式中有两行（列）对应元素都相同时，行列式的值
··
为零。
因假设D中的第i 行和第j 行对应元素相同，交换第i 行和第j 行元 素（仍为D），即得DD，移项得 2D 0 ，于是 D 0 。
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第二节 行列式的性质
在本书研究多元线性方程组的解，以及研究矩阵性质时也要用到行列 式，为此首先引入行列式的概念。
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第一章 行列式
第一节 行列式的概念
主
第二节 行列式的性质
要 内
第三节 行列式按行（列）展开
容
第四节 行列式的计算举例
第五节 克莱姆法则
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第一节 行列式的概念
一、行列式的概念 为了更好掌握行列式的定义，我们采用数学归纳法的方法讲解行列
a11 a12 a13 D a 21 a 22 a 23 表示，且规定： D a 1 1 A 1 1 a 1 2A 1 2 a 1 3 A 1 3
a31 a32 a33
其中：
A11111M11111a a3 22 2
a23 a33
A12112M12112
a21 a31
a23 a33
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这相当于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式 符号的外面。这一性质可以由行列式的定义和性质2得到。
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第二节 行列式的性质
性质4 行列式中两行（列）对应元素都成比例，行列式值为零。
设第 j 行为第i 行的k 倍，由性质3，将 j 行提出公因子k ，即得第i 行 与第 j 行相同，于是行列式的值为零。
A13113M13113
《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---;解 381141102---=2´(-4)´3+0´(-1)´(-1)+1´1´8 -0´1´3-2´(-1)´8-1´(-4)´(-1) =-24+8+16-4=-4.(2)b a c ac b cb a解 ba c a cbc b a=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc=3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a cb a ;解 222111c b a cb a=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2(a -b )(b -c )(c -a ).(4)y x y x x y x y yx y x +++.解 yx y x x y x y y x y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3=3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3=-2(x 3+y 3).2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.(5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n );解 逆序数为2)1(-n n :3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) × × × × × ×(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个)(6)1 3 × × × (2n -1) (2n ) (2n -2) × × × 2. 解 逆序数为n (n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) × × × × × ×(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) × × × × × ×(2n )2, (2n )4, (2n )6, × × ×, (2n )(2n -2) (n -1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项. 解 含因子a 11a 23的项的一般形式为(1)ta 11a 23a 3r a 4s ,其中rs 是2和4构成的排列 这种排列共有两个即24和42所以含因子a 11a 23的项分别是 (1)ta 11a 23a 32a 44(1)1a 11a 23a 32a 44a 11a 23a 32a 44(1)t a 11a 23a 34a 42(1)2a 11a 23a 34a 42a 11a 23a 34a 424. 计算下列各行列式:(1)7110025*******214; 解71100251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-; 解 265232112131412-260503212213041224--=====c c 041203212213041224--=====r r 000003212213041214=--=====r r . (3)efcf bf decd bd ae ac ab ---;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b e c b adf ---=abcdefadfbce 4111111111=---=(4)dc b a100110011001---. 解 d c b a 100110011001---dc b aab ar r 10011001101021---++===== dc a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ad a ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23abcd +ab +cd +ad +1.5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3.(2)yx z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22zy x yx z x z y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y z y x b y x z x z y z y x a 33+=yx z x z y z y x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得)5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得) 022122212221222122222=++++=d d c c b b a a .(4)444422221111d c b a d c b a d c b a=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d );证明444422221111d c b a d c b a d c b a)()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b ad a c a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---=))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c bd b c a d a c a b ++-++------=)()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----==(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).(5)1221 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n+a 1x n -1+ × × × +a n -1x +a n .证明 用数学归纳法证明 当n =2时,2121221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立.假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ × × × +a n -2x +a n -1, 则D n 按第一列展开有11100 100 01)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n+a 1x n -1+ × × × +a n -1x +a n . 因此, 对于n 阶行列式命题成立.6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转, 依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11113 a a a a D n nnn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(--==, D 3=D .证明 因为D =det(a ij ), 所以nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111)1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=- ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a aDD n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-=.D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;解aa a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开))1()1(10 00000 0000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a aan n n nn a a a +⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=a n-an -2=a n -2(a 2-1).(2)xa a a x a a a x D n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a aa a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 0000 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.(3)111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n nnn n ; 解 根据第6题结果 有nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 1111)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅-⋅-=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i .(4)n nnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112;解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开)nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2于是∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而111111112c b d a d c b a D -==所以∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |,4321 4 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 0 4321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r 152423210 22210 02210 00210 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c(-1)n -1(n -1)2n -2.(6)nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2 × × × a n ¹0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121nn n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--10 0001 000 100 0100 0100 0011332212132 1111312112111011 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n a a a a a a a a∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 00010 000 00 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni in a a a a8. 用克莱姆法则解下列方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 因为14211213513241211111-=----=D142112105132412211151-=------=D28411235122412111512-=-----=D42611135********5113-=----=D14202132132212151114=-----=D所以 111==D D x , 222==D D x , 333==D D x , 144-==DDx . (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x解 因为665510006510006510065100065==D15075100165100065100650000611==D11455101065100065000601000152-==D7035110065000060100051001653==D3955100060100005100651010654-==D2121100005100065100651100655==D所以66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 6653954-=x ,6652124=x .9. 问l , m 取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 系数行列式为μλμμμλ-==1211111D令D =0, 得 m =0或l =1 于是 当m =0或l =1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问l 取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解 系数行列式为λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D =(1-l )3+(l -3)-4(1-l )-2(1-l )(-3-l ) =(1-l )3+2(1-l )2+l -3. 令D =0, 得l =0, l =2或l =3. 于是 当l =0, l =2或l =3时, 该齐次线性方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x求从变量x 1x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B 求3AB 2A 及A TB解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321((132231)(10)(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876(5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x(a 11x 1a 12x 2a 13x 3 a 12x 1a 22x 2a 23x 3 a 13x 1a 23x 2a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B 问:(1)AB BA 吗? 解 AB BA因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA 所以AB BA(2)(A B )2A 22AB B 2吗?解 (A B )2A 22AB B 2因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫⎝⎛=2914148但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610所以(AB )2A 22AB B 2(3)(A B )(A B )A 2B 2吗?解 (A B )(A B )A 2B 2因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A故(AB )(A B )A 2B 26. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2则A 0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 则A20 但A 0(2)若A 2A , 则A 0或A E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A 则A2A , 但A 0且A E(3)若AX AY , 且A 0, 则X Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y则AX AY , 且A 0, 但X Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2A 3A k解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k.解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫用数学归纳法证明:当k2时, 显然成立.假设k 时成立，则k1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219. 设A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B TAB 也是对称矩阵.证明 因为A TA 所以(B TAB )TB T (B T A )T B T A T B B T AB从而B TAB 是对称矩阵. 10. 设AB 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA证明 充分性: 因为A TA B T B 且AB BA 所以(AB )T(BA )TA TB T AB即AB 是对称矩阵. 必要性: 因为ATA B T B 且(AB )T AB 所以AB(AB )TB T A T BA11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1¹0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2¹0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A AA A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2× × ×a n¹0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程: (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ;解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫⎝⎛-=80232(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311111012112X ;解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122 (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20143101213. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===35321x x x14. 设AkO (k 为正整数), 证明(E A )1E A A 2 A k1证明 因为A kO 所以E AkE 又因为E A k(E A )(E A A2A k 1)所以 (EA )(E A A 2A k 1)E由定理2推论知(E A )可逆 且(E A )1E A A 2 A k1证明 一方面 有E (E A )1(EA )另一方面由A kO 有E (E A )(A A 2)A 2A k1(Ak 1A k )(E A A 2 A k 1)(E A )故 (E A )1(E A )(E A A 2A k 1)(E A ) 两端同时右乘(EA )1就有(E A )1(E A )E A A2Ak 115. 设方阵A 满足A 2A 2E O , 证明A 及A 2E 都可逆, 并求A 1及(A2E )1.证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E , 即A (A E )2E或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆 且)(211E A A -=-由A2A 2E O 得 A 2A 6E4E 即(A2E )(A 3E )4E或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A 2E )可逆且)3(41)2(1A E E A -=+-证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得|A2A |2即 |A ||A E |2,故 |A |0 所以A 可逆, 而A 2EA 2 |A 2E ||A 2||A |20 故A 2E 也可逆.由 A2A 2E O A (A E )2E A 1A (A E )2A 1E)(211E A A -=-又由 A 2A 2E O (A 2E )A 3(A 2E )4E(A 2E )(A3E ) 4 E 所以 (A 2E )1(A 2E )(A3E )4(A 2 E )1)3(41)2(1A E E A -=+-16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8´2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*. 证明 由*||11A A A =-, 得A *=|A |A-1, 所以当A 可逆时 有|A *|=|A |n|A -1|=|A |n -1¹0,从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)1|A |1A又*)(||)*(||1111---==A A A A A 所以(A *)1|A |1A |A |1|A |(A 1)*(A 1)* 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A * 证明: (1)若|A |0, 则|A *|0;(2)|A *||A |n 1证明(1)用反证法证明. 假设|A *|0 则有A *(A *)1E 由此得A A A *(A *)1|A |E (A *)1O所以A *O 这与|A *|0矛盾，故当|A |0时 有|A *|0(2)由于*||11A A A =-, 则AA *|A |E 取行列式得到|A ||A *||A |n若|A |0 则|A *||A |n 1若|A |0 由(1)知|A *|0此时命题也成立因此|A *||A |n 119. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , ABA 2B 求B .解 由AB A 2E 可得(A 2E )BA 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01132133020 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A 且AB E A 2B 求B解 由AB E A 2B 得(A E )B A 2E 即 (AE )B (A E )(A E )因为01001010100||≠-==-E A 所以(A E )可逆 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B21设A diag(12 1) A *BA 2BA 8E 求B解 由A *BA 2BA8E 得(A *2E )BA 8EB 8(A *2E )1A 18[A (A *2E )]18(AA *2A )1 8(|A |E 2A )18(2E 2A )14(E A )14[diag(2 1 2)]1)21 ,1 ,21(diag 4-=2diag(121)22已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A且ABA 1BA13E 求B 解 由|A *||A |38 得|A |2由ABA 1BA 13E 得ABB 3AB 3(A E )1A 3[A (E A 1)]1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060000660300101001000016123. 设P 1AP , 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P 1AP , 得A PP1所以A 11A =P11P 1.|P |3⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P而 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273124 设AP P 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511求(A )A 8(5E6AA 2)解 ()8(5E62) diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(10)(A )P ()P 1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111111425 设矩阵A 、B 及A B 都可逆 证明A1B 1也可逆 并求其逆阵证明 因为A 1(A B )B1B1A1A1B1而A 1(A B )B 1是三个可逆矩阵的乘积 所以A 1(A B )B 1可逆 即A1B 1可逆(A 1B 1)1[A 1(A B )B 1]1B (A B )1A26 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠解4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A而01111|||||||| ==D C B A故 |||||||| D C B A D C B A ≠28. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A4解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A1682818281810||||||||||===A A A A A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A30 求下列矩阵的逆阵(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1 把下列矩阵化为行最简形矩阵(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201(下一步 r 2(2)r1r 3(3)r 1 )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步 r 2(1)r 3(2) )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步 r 3r 2)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步 r 33 )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步 r 23r 3)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步 r 1(2)r2r 1r 3 )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320(下一步: r 22(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1¸2. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2¸(-4), r 3¸(-3) , r 4¸(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000000002210032011(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 22r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1r 2, r 2(1), r 4-r 3. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2r 3. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000410003011020201 2 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A 求A解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1 2) 其逆矩阵就是其本身⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1 2(1)) 其逆矩阵是E (1 2(1)) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2872212541000101019873216543 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101011001200410123 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267 (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00100301100001001220594012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------20104301100001001200110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010000100001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042114(1)设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=113122214A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B 求X 使AX B解 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--412315210 100010001 ~r所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-4123152101B A X(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B 求X 使XA B解 考虑A T XTB T 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(TT B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---411007101042001 ~r所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1TT T B A X从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X5 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A AX 2X A 求X解 原方程化为(A2E )X A因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011100101010110001~所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r 1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式? 解 在秩是r 的矩阵中 可能存在等于0的r 1阶子式 也可能存在等于0的r 阶子式例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A R (A )3000是等于0的2阶子式10001000是等于0的3阶子式7 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B 问AB 的秩的关系怎样? 解 R (A )R (B )这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式故A 的秩不会小于B 的秩8 求作一个秩是4的方阵 它的两个行向量是(110) (110 0 0)解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量9 求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013(下一步: r 1r 2. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211 矩阵的2秩为41113-=-是一个最高阶非零子式(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431矩阵的秩是2 71223-=-是一个最高阶非零子式(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步: r 23r 1, r 32r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 216r 4, r 3-16r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02301000001000071210~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301矩阵的秩为3 070023085570≠=-是一个最高阶非零子式10 设A 、B 都是mn 矩阵 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )R (B )证明 根据定理3 必要性是成立的充分性 设R (A )R (B ) 则A 与B 的标准形是相同的 设A 与B 的标准形为D则有A ~D D ~B由等价关系的传递性 有A ~B11设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A 问k 为何值 可使(1)R (A )1 (2)R (A )2 (3)R (A )3解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r(1)当k 1时 R (A )1(2)当k 2且k1时 R (A )2 (3)当k 1且k2时 R (A )312求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x解 对系数矩阵A 进行初等行变换 有A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数) (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000001001021于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x (k1k 2为任意常数)(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有。
线性代数 同济大学第七版
【例 1.6】 若
1 4 3 D 0 3 5 7 6 2
则
1 0 7 D T 4 3 6 2 5 2
19
第二节
行列式的性质
性质1
T 转置行列式的值等于原行列式的值，即 D D 。
在例1.6中的二个行列式 DT , D 的值相等，即
1 4 D 0 7 3 6 1 0 7 5 DT 4 3 6 2 5 2 2 3
n 阶行列式的定义按第一行展开等于按第一列展开 根据这一性质， 即：
D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a11 A11 a21 A21 an1 An1
这一性质也说明行列式的对于每行具有的性质对每列也成立。
20
第二节
行列式的性质
性质2
交换行列式的任意两行（列）元素，行列式的值变号。 交换以下行列式D的第一行和第三行，有
第二节
行列式的性质
则 D 等于下列两列行列式之和：
a11 D a21 a12 a1i a1n a11 a21 an1 i a1n a12 a1 i a2 n a22 a2 ann an 2 ani
a22 a2i a2 n
4 2 1 4 2 3k 5k k 2 3 5 6 2 7 6 2
这相当于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式 符号的外面。这一性质可以由行列式的定义和性质2得到。
23
第二节
行列式的性质
性质4
行列式中两行（列）对应元素都成比例，行列式值为零。
设第 j 行为第 i 行的k 倍，由性质3，将 j 行提出公因子k ，即得第i 行
， 2， ，n 的余子式，它是 D 中划 M 1j 表示元素a1j jn 1 其中，
同济大学线性代数课件__第三章[1]
![同济大学线性代数课件__第三章[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/6462c629a55177232f60ddccda38376baf1fe0db.png)
(i) 反身性 A ～ A ； (ii) 对称性 若A ～ B ，则B ～ A ； (iii) 传递性 若A ～ B ， B ～ C ，则A ～ C 。
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9
线性方程组 2x1 x2 x3 x4 2, ①
x1
4 x1
x2 6x2
2 x3 2 x3
0
00
0
0
00 4
∴ R(B) = 3
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36
定理 3 若A ~ B, 则 R(A) = R(B) .
事实上，若 A 经过一次初等变换变为 B，A的 k 阶子式全等于零, 则 B的 k 阶子式也全等于零。
(1) A ri rj B
(2) A r i k B (3) A ri krj B
2 3 4
5 1 3
1
r2 2r1 r3 3r1
0 0
2 2 2
3 5 6
2 1 2
5 9 12
1
r1 r2 r3 r2
0 0
0 2 0
2 5 1
1 1 1
4 9 3
r12r3 r2 5r3
1 0 0
0 2 0
0 0 1
3 4 1
2 6 3
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第i行
1
E(i, j)
1 10
第
j
行
1
1
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17
1
1
E(i(k))
k
第i 行
1
1
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18
1
E(i, j(k))
1 k
第i行
1
高等数学同济大学数学系第七版上册
高等数学同济大学数学系第七版上册随着高等数学学科的不断发展，人们越来越重视它的应用价值和实际意义，特别是在教育教学中更重要。
人们往往认为高等数学是一门理论性很强的学科。
但事实上，高等数学本身也能在很大程度上成为一门实际应用学科，只是由于数学学科的特点才导致其应用价值和实际意义受到了严重的制约。
例如，数学中有关数学模型和应用数论等知识已成为解决实际问题的重要手段。
因此，与其他学科相比，高数有很强的实用性和普遍通用性。
在教学中我们应根据不同基础学生情况和学习实际情况对其进行分层教学，因材施教，努力使每个学生所学知识与实际情况相适应。
为使高数学习过程更加具有针对性和有效性，还应采取多种方式引导学生进行个性化学习，如设计一些情景演示、多媒体教学、讨论小组等进行实践教学，使他们在实践中得到知识和技能，进而提高他们运用数学知识分析和解决实际问题的能力。
1、高等数学课程性质和作用高等数学专业主干课程，具有非常重要的理论基础和应用价值，是培养应用数学人才的重要途径之一。
高等数学是大学课程体系中重要的基础课，具有重要而特殊的地位。
高等数学课程体系由高等数学课程和高等数学专业主干课程组成。
课程体系的主要内容是对数学理论及数学模型进行分析方法和技术的训练。
高数培养具有坚实的数学理论基础、熟练的数学应用能力和一定的科学研究能力及开拓创新精神的高等数学专业人才。
高等数学课程体系中开设有：概率论与数理统计、线性代数、概率论与数理统计、高等微分方程、应用数学基础（高等数学）等课程以及高等数学基础课（一般为一年级）等组成课程分支。
高等数学专业主干课程相衔接。
高等数学课程涵盖基础数学和专业数学两大领域。
高等数学是数学系专业选修科目中最为重要，同时也是重要考研和出国学科背景的必修课之一；高等数学是专业基础知识中比较重要且系统学习内容；高数课程可作为一门通识课程直接开设；本门课程是一门选修课程；本课可作为通识课程与其他各门课程结合进行学习；本课是一门专业选修课。
同济大学高等数学第七版1-8-函数的连续性与间断点(new).
0
x0
x
f ( x) x 在x 2点连续。
2
“ ”语言： 0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
4
说明：
f ( x) 在 x x0 点连续 ⇔下列三条件同时成立：
(1) f ( x) 在U ( x0 , )内有定义；
x 1
所以， x0 1是 f ( x)的第二类间断点 .
1 (假设 lim f ( x) 存在，即， lim ln(1 x) sin 2 存在， x 1 x 1 x 1 1 由于 lim ln(1 x) 存在，故， lim sin 2 存在，矛盾 .） x 1 x 1 x 1
(2) lim f ( x) 存在；
x x0
（3） lim f ( x) f ( x0 ).
x x0
5
1 x sin , x 0, 例 1 试证 f ( x) 在 x 0 处连续. x x 0, 0,
1 证 lim x sin 0, x0 x f ( x ) f (0), 又 f (0) 0, lim x 0
处,
3
x x lim f ( x) lim x x0 x x0 sin x
x0 2, 3,
是 f ( x) 的无穷间断点， 即, 第二类间断点；
3
在 x0 0 处,
3 x x x lim x 1 lim f ( x) lim x 0 x x 0 x 0 sin x
第一类间断点： f ( x) 在间断点 x0 的左右极限都存在。
第二类间断点 : f ( x) 在 x0处的左、右极限至少有一个不存在.
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解 由上面定义，因为
的值。
A11
1 11
0 3
7 21
4
A12
1 12
2 8
7 48
4
A13
1 13
2 8
0 6
3
所以 D a11A11 a12 A12 a13 A13
121 548 66 225
---
第一节 行列式的概念
从上面三阶行列式的定义可以看到：我们在计算三阶行列式时，是 用其第一行的元素乘它的代数余子式之和，而代数余子式又是由二阶行 列式构成的。用这一思想，我们可以计算四阶、五阶等更高阶的矩阵。 下面给出行列式的一般定义。
余子式。
一般地，Mij 就是三阶行列式中划去aij 所在的第 i 行和第 j 列剩下 的元素按原次序构成的二阶行列式，称为元素 aij 的余子式。
Aij 1 i j Mij 称为元素 aij 的代数余子式。 i，j 1，2，3
---
第一节 行列式的概念
156 【例 1.3】 计算三阶行列式 D 2 0 7
---
第一节 行列式的概念
【定义 1.2】
二阶行列式是由
22个元素排成2行2列，用
a11 a21
a12 a22
表示，且规定： a11 a21
a12 a22
a11A11 a12 A12
其中，元素 aij 称为行列式的第i 行第 j 列的元素 i，j 1，2 ；
Aij 1 i j Mij 称为元素 aij i，j 1，2 的代数余子式；而 M ij 是行列
1 2 4 2 1 0 1 5
解
10 7
307
317
D 2 1 11 2 4 2 1 1 12 1 4 2 3 1 13 1 2 2
0 1 5
1 1 5
105
310
1114 1 2 4 83357 3 85
1 0 1
从以上定义及例子可以看到，n 阶行列式由 n2个元素构成，每
个行列式都表示一个数值，且它等于第一行的元素分别乘以它的代数余
线性代数
副教授：黄振耀
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课程简介
《线性代数》是理工类和经管类高等院校学生必修的一门重要基础 理论课程，它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性和广 泛的实用性。通过该课程的学习，使学生掌握该课程的基本理论和基本 方法，且对学生的逻辑推理能力、抽象思维能力的培养以及数学素养的 提高也具有重要的作用。这些理论、方法和能力为一些后续课程的学习 及在各个学科领域中进行理论研究和实践工作提供了必要的保证，因此 该课程历来受到各高等院校的高度重视。
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第一章 行列式
行列式是学习线性代数的重要基础知识。初等数学中曾讲解二阶、 三阶行列式的计算，以及用这工具来解二元、三元线性方程组。
在本书研究多元线性方程组的解，以及研究矩阵性质时也要用到行列 式，为此首先引入行列式的概念。
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第一章 行列式
第一节 行列式的概念
主
第二节 行列式的性质
要 内
其中，M 1j 表示元素a1j jn 1，2， ，n 的余子式，它是D 中划
去a1j 所在的第1行和第 j 列后剩下的元素按原来的次序构成的 n 1 阶
行列式。 A1 j 1i j M1 j j 1, 2, , n 称为 a1j 的代数余子式。
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第一节 行列式的概念
2 1 3 1
【例 1.4】 计算四阶行列式 D 3 1 0 7
根据成人的特点，在总结多年成人教育经验的基础下，对《线性代 数》的教学内容作了认真精选，叙述间明扼要，由潜入深、通俗易懂， 力求体现学科的系统性、科学性和实用性的要求。在本课程中主要讲解 行列式、矩阵和线性方程组这三个线性代数的基本内容。
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主要内容
第一章 行 列 式
第二章 矩
阵
第三章 线性方程组
第三节 行列式按行（列）展开
容
第四节 行列式的计算举例
第五节 克莱姆法则
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第一节 行列式的概念
一、行列式的概念 为了更好掌握行列式的定义，我们采用数学归纳法的方法讲解行列
式的定义。
【定义 1.1】 一阶行列式由一个数组成，记为 a11 a11
【例 1.1】 21 21, 1 1
要指出在本课程中如遇绝对值我们将会作出特别的说明。
a23 a33
A12
1 12 M12
1 12 a21 a31
a23 a33
A13
1
13
M13
1
---
13
a21 a31
a22 a32
第一节 行列式的概念
称
M
为
11
a11
的余子式，它是在三阶行列式中划去
a11
所在的行及列后
按原次序所成的二阶行列式，称 A11为 a11的代数余子式；A12 为a12 的代数
a12 a22
a11a22 a12a21
这与中学里所学的对角交叉相乘之差所得结果一致。
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第一节 行列式的概念
5 6
【例 1.2】 求二阶行列式
的值。
32
解
5 3
6 2 a11A11 a12 A12
5 1 11 2 6 1 12 3
10 18 28
或 5 6 5 2 63
【定义 1.4】 当 n 1 时， a11 a11 ，假设已定义了 n 1 阶 行列式，n 阶行列式是由 n2 个元素排成行和列组成，记为：
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
a a --n1 n2
ann
第一节 行列式的概念
且规定其值为：D a11A11 a12 A12 a1n A1n
32
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第一节 行列式的概念
【定义 1.3】 三阶行列式是由 32 个元素排成的3行3列，用
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 表示，且规定： D a11A11 a12 A12 a13 A13
a31 a32 a33
其中：
A11
1 11 M11
1 11 a22 a32
子代数余子式再求和。
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第一节 行列式的概念
我们也可以给出每个元素的余子式和代数余子式的一般定义。
【定义 1.5】 对于 n 阶行列式 (n 1) ，
a11 a12
a1n
D a21 a22
式中划去第i 行和第 j 列元素，后所剩下的元素组成的行列式，称为元
素 aij i，j 1，2 的余子式。
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第一节 行列式的概念
显然在定义中，A11
1
M 11 11
M11
，而M11 a22 a22 Nhomakorabea；
A12 1 12 M12 M12 a21 a21
则二阶行列式
a11 a21