指数与指数幂的运算教案

§2.1.1 指数与指数幂的运算

一、 教材研究（另辟蹊径）

前面已经学习过了集合和函数的概念，还有函数的一些基本性质。而基本初等函数分为幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，而要学好指数函数，就要先打好指数与指数幂运算的基础，这节内容为后面学习指数函数做了很好的铺垫。

二、 学情研究（学生基础）

高一三班的学生基本比较弱，这节课要上得认真，细致，速度放慢，让学生理解才可以继续往下学习指数函数。

三、 目标点击（简洁明确） 学习目标：（1）理解分数指数幂和根式的概念；

（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化； （3）掌握分数指数幂的运算性质；

四、 重点筛选（知识点、训练点）

学习重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；

（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；

学习难点：分数指数幂及根式概念的理解 五、 拓展链接（主题化、生活化）

2009年12月27日在河南安阳发现了一古墓，也就是倍受争议的“曹操墓高陵”，为研究修复此墓，组建了专家委员会，假如你是“曹操墓高陵”专家委员会一员，已知此古墓建于1342年前，当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。

据此规律，人们获得了生物体内碳14的含量P 与死亡年数t 之间的关系：

5730

12t p ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

,

你能根据古墓建造的时间确定生物体内碳14的含量吗？ 六、 心灵随笔（真实触感）

只有了解学生的学习基本，成绩，学生的学习方法，并且吃透教材，才能因材施教，才能更好地帮助每一位学生，让每一位学生都能有进步。

七、 学法研究 学习过程:

一、新情境、新问题：

2009年12月27日在河南安阳发现了一古墓，也就是倍受争议的“曹操墓高陵”，为研究修复此墓，组建了专家委员会，假如你是“曹操墓高陵”专家委员会一员，已知此古墓建于1342年前，当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。据此规律，

人们获得了生物体内碳14的含量P 与死亡年数t 之间的关系：5730

12t p ⎛⎫= ⎪

⎝⎭

,你能根

据古墓建造的时间确定生物体内碳14的含量吗？ 二、复习回顾：

1、整数指数幂的概念。① 33= ② 03= ③ 33-= ④ 3n =

2、运算性质：① 3233⨯= ② 32

3=（）

③ 3(3)x = ④ m n a a ÷= ⑤ n

a b

=（）

三、新知探究： 五、课堂小结：

（一）、根式

探究一：1、什么是平方根？什么是立方根？一个正数的平方根有几个，一个数的立方根呢？

2、类比平方根和立方根的定义，你能给出n 次方根的定义吗？

n 次方根的定义：

思考1：n 次方根的定义给出了，但是x 如何用a 表示呢？请求出下列各数的n 次方根。

（1）当为奇数时； ① 327x =， ② 532x =-， ③ 714x a =， ④ 90x =， 结论：

（2）当为偶数时；① 216x =，② 481x =， ③ 681x =-， ④80x = ，并判断

x =

结论：

根式：

思考2：（1）若对一个数先开方，再乘方（同次），结果会怎样？例如：① 2=

②

3= ③ 4= ④ 5

=

即 n =

结论：

②= ③= ④=

即 =

结论：

例1：求下列各式的值

（1）(1)(2)

(3)

(4)()a b >

(二）、分数指数幂

探究二：观察以下式子，并总结出规律：a ＞0

①102

5

a a === ②84

2

a a ===

③123

4

a a === 102

5

a a === 结论：

思考：按照上述规律，以下根式可分别写成什么形式？

①= (0)a >， ②= (0)b >， ③= (0)c >， 分数指数幂：

①正数的正分数指数幂的意义是：

②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同.即：

③0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 . 说明：

巩固练习：（1）用根式的形式表示下列各式（a ＞0）：

① 12

a = ② 34

a = ③ 35

a -= ④ 23

a

-

=

（2）用分数指数幂的形式表示下列各式（式中字母都是正数）

= ②= =

（三）有理数指数幂的运算性质

r s

（2）()r S

a=(0,,)

a r s Q

>∈

（3）()r

a b⋅=(0,0,)

Q b r Q

>>∈

（四）前情回顾：当t=1342时，

1342.5

5730

1

2

p

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

=

四、例题讲解

例2．求值①

2

3

8②

1

2

25-③5

1

()

2

-④

3

4

16

()

81

-

例3．用分数指数幂的形式表示下列各式（a＞0）

①3a②2a

例4．计算下列各式（式中字母都是正数）

（1）

2115

11

3366

22

(2)(6)(3)

a b a b a b

-÷-，（2）

3

1

8

8

4

()

m n-

例5.计算下列各式

（1）-（22

(a＞0）