无母数统计

第一節 符號檢定 （7）
• 如果改採母數統計的一個母體平均數的t檢定， 得 T = X − µ = 1.2 −3.2 = −3.38
S2 n 3.51 10
• 該值超過了0.05顯著水準下，自由度為10-1的t 分佈臨界值±2.26， p值為0.008，小於0.05顯著 水準，因此可以拒絕虛無假設。這說明了通常 母數統計比較容易拒絕虛無假設。
第四節 弗氏相依樣本等級檢定（2）
評 中國 理 日本 理 法 料理 審 料 料 國 A 85 65 80 B 55 60 75 C 50 45 50 D 65 60 75 E 85 80 75 F 85 65 85 G 75 70 75 H 90 55 70 I 85 60 70 J 65 60 75
第二節 魏氏相依樣本符號等級檢定（2）
• 例子3
• 承例子2，以魏氏相依樣本符號等級檢定夫妻 的審美觀是否相同。
• 作法
• 計算夫妻的差距，將差距的絕對值排定等級，。 由於編號6和8的差距分數的絕對值都是12，因 此等級都是3.5。將等級依其原先差距的正負號 賦予正負號。
第二節 魏氏相依樣本符號等級檢定（3）
前言
• 如果資料吻合母數統計的假設，就該用母數統 計分析之。因為母數統計的統計檢定力比較大。 • 如果虛無假設是錯的話，用母數統計比用無母 數統計更能拒絕虛無假設。無母數統計必須使 用較大的樣本，才能達到和母數統計相同的檢 定力。
第一節 符號檢定 （1）
• 丟擲公平的硬幣數次，應該約有一半的次數是 正面。若結果不是如此，該硬幣不公平。 • 若有理論指出國人每年平均購買3.2本書，那麼 抽樣調查數人，應該會有一半的人購買的冊數 大於3.2，另一半的人購買的冊數小於3.2。如 果抽樣結果不是如此，該理論有問題。 • 若夫妻審美觀相似，抽樣調查數對夫妻，將會 發現約有一半的夫妻中是丈夫的審美觀較好， 約有一半的夫妻中是太太的審美觀較好。如果 不是如此，該理論有問題。
第二節 魏氏相依樣本符號等級檢定（5）
• 綜合以上可以發現：母數統計中的相依樣本的t 檢定比較容易拒絕虛無假設，其次是符號等級 檢定，符號檢定最不容易拒絕虛無假設。 • 由於順序量尺的兩個數值只有順序之分，沒有 距離的意義，因此嚴格的說，魏氏的檢定法不 宜用於順序量尺，而必須用於等距量尺。只不 過該法無須要求母體分佈為特定形式（如常態 分佈）。
第三節 克瓦二氏單因子變異數分析（4）
• 作法
• 將這15個值由小大到排序，如表7。 • 在表7中的最後一列計算各組的排序總和Ri，行 為改變的排序總和為47，認知改變為56，安慰 丸為17。
第三節 克瓦二氏單因子變異數分析（5）
行 為改 變 分數
35 25 73 45 22
認 改變 知 排序
10 12 4 7.5 13.5 47
前言
• 無母數統計逐漸受到重視。硬要假設母體分佈 服從某種分佈，尤其是常態分佈，有時可能過 於牽強。有學者認為：「讓資料說話」，而不 是先假設資料呈某種分佈，才來分析資料。 • 在母數統計裡，如一般線性模式或積差相關， 所分析的資料必須是量的變項，也就是「等距 量尺」。社會科學所蒐集的資料，很多只是 「順序量尺」。此時該用無母數統計。
T=
2 SD n
=
316.5/10
= −2.648
• 超過臨界值±2.26， p值0.027，可拒絕虛無假設。
第二節 魏氏相依樣本符號等級檢定（1）
• 在例子2中，凡是妻大於夫者都給予+號，不管 差距多大都是如此。在符號檢定裡，這種差距 完全被忽視。 • Wilcoxon 提 出 了 相 依 樣 本 符 號 等 級 檢 定 （signed-ranks test）將差距加以排序。

安慰 丸 排 序 分 數 排序
9 7.5 13.5 11 15 56 66 97 90 76 71 6 1 2 3 5 17
分 數
36 45 22 33 14
Ri
第三節 克瓦二氏單因子變異數分析（6）
I Ri2 12 • 計算 H = − 3(N +1) N(N +1) i=1 ni
∑
• 其中N是總樣本數，I是組數，ni是第i組的樣本 數，Ri是第i組的排序總和。 • 當各組沒有差異時，H會服從自由度為I - 1的 卡方分佈。如果計算的H超過卡方分佈的臨界 值，就拒絕虛無假設，而宣稱有差異。
第一節 符號檢定 （2）
• 在書籍的例子裡，母體的分佈可能不是常態， 畢竟絕大多數的人從不買書，因此不宜使用母 數統計，如一個母體平均數的t檢定。 • 在審美觀的例子裡，由於對審美觀的測量非常 粗糙，因此不是等距量尺，故不適用於母數統 計，如相依樣本平均數的t檢定。 • 有鑑於此，我們改以符號檢定之，就像把資料 看成丟擲硬幣一樣，正面和反面的次數應該很 接近，才說硬幣是公平。
第一節 符號檢定 （4）
• 例子1
• 抽樣調查10人過去一年中購買書籍的冊數，得 到下表。以符號檢定平均數為3.2的假設。
編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 冊數 10 0 0 0 4 0 0 2 0 1
第一節 符號檢定 （5）
• 作法
• 將大於3.2的數值以＋表示，小於3.2的數值以− 號表示，得到下表。總共有2個＋號，8個−號。 這就像丟擲硬幣10次，出現正面2次，反面8次， 硬幣是否公平？
法 料 國 理 排 分 數 80 75 50 75 75 85 75 70 70 75 序 2 1 1 1 3 1.5 1.5 2 2 1 16
第四節 弗氏相依樣本等級檢定（3）
I 12 Ri2 − 3N(I +1) • 計算 H = NI (I +1) i=1
∑
• 其中N是樣本數，I是組數， Ri是第i組的排序總 和。當各組沒有差異時，H會服從自由度為I 1的卡方分佈。如果計算的H超過卡方分佈的臨 界值，就拒絕虛無假設。 • 此例中 H = 12 152 + 282 +162 − 3×10 × 4 = 6.5
• 例子3
• 在第十二章中關於心理治療的資料如表6，由 於我們懷疑對依變項憂鬱症狀的測量很粗糙， 不是等距量尺，而是順序量尺，因此不宜使用 母數統計，而改克瓦二氏單因子變異數分析。
第三節 克瓦二氏單因子變異數分析（3）
行 改 認 改 安 丸 為 變 知 變 慰
35 25 73 45 22 36 45 22 33 14 66 97 90 76 71
編 號 夫 妻 夫 −妻 等 級 符 號等 級 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
58 48 55 66 50 64 45 66 45 58 72 45 80 90 44 52 82 78 86 75 -14 5 -5 3 -25 -24 1 1 8 -8 7 -7 6 12 -37 -12 -41 -14 2 3.5 2 3.5 9 3.5 10 -9 -3.5 -10 6 -6
第三節 克瓦二氏單因子變異數分析（7）
12 472 562 172 − 3(16) = 8.34 • 以此例而言， H = + + 15(16) 5 5 5
• 自由度為2的卡方分佈臨界值= 5.99，p值為 0.015，因為8.34 > 5.99，或p值小於0.05，因此 可以拒絕虛無假設。 • 在第十二章的例子2裡，這個資料被用單因子 變異數分析之，結果p值為0.0007，遠比此處的 p值0.015來得小。如果資料吻合母數統計的假 設，利用母數統計的變異數分析，比用克瓦二 氏單因子變異數分析來得容易拒絕虛無假設。
編 號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 冊 數 5 0 0 0 4 0 0 2 0 1 符 號 ＋ − − − + − − − − −
第一節 符號檢定 （6）
• 在硬幣公平的虛無假設前提下，計算出現2次 （含）以下正面的機率為0.055。這個機率乘以 2，得p值為0.109，因為是雙尾檢定。 • 由於p值大於顯著水準0.05，因此無法拒絕虛無 假設，即硬幣是公平的。以書籍而言，就是無 法拒絕平均數為3.2的虛無假設。
第18章
無母數統計
前言
• 前面幾章的統計方法，均對母體的分佈做出了 常態分佈的假設，這種對母體分佈做出假設 （如常態分佈）的統計方法，通稱為母數統計 學或參數統計學。 • 本章的統計方法無須對母體分佈做出特定函數 （如常態）的假設，只要是連續分佈即可，因 此特別適用於母體不是常態分佈的情況。通稱 為無母數統計學。
第三節 克瓦二氏單因子變異數分析（1）
• 例子2和3都是相依樣本，並不適用於獨立樣本。 在母數統計裡，有相依樣本的t檢定，也有兩獨 立樣本的t檢定。當不止兩組時，兩獨立樣本的 t檢定可以擴展為單因子變異數分析。 • 在無母數統計裡，Kruskal和Wallis兩人發展了 類似的單因子變異數分析。
第三節 克瓦二氏單因子變異數分析（2）
• 作法
• 將妻大於夫者給予+號，妻小於夫者給予−號， 得到下表。
編 號 夫 妻 符 號
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
58 48 55 66 50 64 45 66 45 58 72 45 80 90 44 52 82 78 86 75 + − + + − − + + + +
第一節 符號檢定 （10）
• 表中共有7個+號，3個−號。在夫妻審美觀相同 的前提下，得到7個（含）以上+號的機率為 0.172。這個機率乘以2，得p值為0.344，無法 拒絕虛無假設。 • 採母數統計的相依樣本的t檢定，得 D − µD 55.5 − 70.4
第一節 符號檢定 （3）
• 從µ = µ0中，抽取n個樣本。大於µ0的數值用+ 號取代，小於µ0的數值用−號取代，那麼+號的 個數應該佔1/2。如果實際資料中+號的個數偏 離1/2很多，就表示母體平均數µ ≠ µ0。 • 令X為+號的個數，則X服從二項式分佈，成功 率P = 0.5。令實際資料中出現+號的個數為x， 若x小於n/2的話，計算X小於等於x的機率P(X ≤ x)；若x大於n/2的話，計算X大於等於x的機率 P(X ≥ x)。將該機率乘以2，與雙尾檢定的顯著 水準α相比，如果小於α，就拒絕虛無假設。這 就是所謂的符號檢定。