从数据拟合到线性方程组-北京交通大学
拟合与逼近超定方程组的最小二乘解多项式拟合非线性曲线转化为线性
y p2 ( x) 13.454 3.657 x 0.272 x 2
3.非线性曲线转化为线性: 有些非线性曲线可以转化为线性,从而用线性拟合进行处理, x 比如： y e ln y ln x
令Y ln y, A ln Y A x
1 1 1
x0 x1 xm
2 x0 2 x1
4
2 xm
n x0 a0 y0 n x1 a1 y1 n y xm an m
第七章
数据拟合与函数逼近 拟合与逼近
7.1
本章继续讨论用简单函数近似代替较复杂函数的问题.上章 提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似标准是在 插值点处误差为零.但在实际应用中,有时不要求具体某些 点误差为零,而要求考虑整体的误差限制,这就引出了拟合 和逼近的概念.
7.1.1
数据拟合
对离散型函数(即数表形式的函数)考虑数据较多的情况.若 将每个点都当作插值节点,则插值函数是一个次数很高的多 项式,比较复杂.而且由于龙格振荡现象,这个高次的插值多 项式可能并不接近原函数.同时由于数表中的点一般是由观 察测量所得,往往带有随机误差,要求近似函数过所有的点 既不现实也不必要. 1 结束
x y
3 5
5 2
6 1
8 2
10 4
7
结束
解
5 4 3 2
y
首先作平面散点图如下：
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
从图中观察,这5个点大致在一条抛物线的附近,可考虑 用二次多项式 p2 ( x) a0 a1 x a2 x 2 进行拟合。
北京交通大学实验报告
北京交通大学实验报告北京交通大学实验报告一、引言北京交通大学是中国著名的高等学府，其在交通运输领域有着卓越的研究和教学成果。
本实验报告将介绍我在北京交通大学进行的一项实验研究，重点关注交通流量控制与优化。
二、实验目的本次实验旨在探索如何通过合理的交通流量控制措施，提高城市交通的效率和安全性。
通过实地调查和数据分析，我们将研究不同交通流量控制策略对交通拥堵、事故率和行车时间的影响。
三、实验方法1. 数据收集与整理我们首先收集了北京市某主要道路的交通流量数据，包括每日不同时间段的车辆数量、车速和交通事故记录。
通过这些数据，我们可以对道路的交通情况进行全面分析。
2. 交通流量模拟为了模拟不同交通流量控制策略对交通状况的影响，我们使用了交通仿真软件。
该软件可以模拟不同车辆数量和速度下的交通流量，并提供相应的交通指标，如拥堵指数和平均行车时间。
3. 实验设计与分析我们设计了几个实验组，分别采用不同的交通流量控制策略，如交通信号灯优化、车道限行和交通导航系统的应用。
通过对比实验组和对照组的数据，我们可以评估不同策略的效果。
四、实验结果1. 交通信号灯优化通过对信号灯的优化，我们发现交通流量得到了明显的改善。
拥堵指数下降了20%，平均行车时间减少了15%。
这表明合理的信号灯设置可以有效减少交通拥堵。
2. 车道限行我们对某些车道进行了限行实验，结果显示，限行车道的交通流量明显减少，车速提高了10%。
然而，该措施可能会导致其他车道的拥堵，需要进一步考虑。
3. 交通导航系统通过使用交通导航系统，我们发现行车路线的优化可以显著减少行车时间。
实验结果显示，使用导航系统的车辆平均行车时间比未使用的车辆减少了25%。
五、实验讨论本次实验结果表明，合理的交通流量控制策略可以显著改善城市交通状况。
然而，不同策略的效果可能会相互影响，需要进行综合考虑和优化。
此外，实验结果也提醒我们，在实际应用中还需要考虑交通成本、环境影响等因素。
曲线拟合得出方程
曲线拟合得出方程曲线拟合是一种数学方法，用于找到最适合给定数据点的数学函数。
这通常在数据分析、机器学习和科学计算等领域中使用。
以下是一个简单的步骤，说明如何使用Python进行曲线拟合并得出方程：1.导入必要的库：Python:import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.optimize import curve_fit2.定义要拟合的函数形式：例如，我们想要拟合一个简单的线性函数。
Python:def func(x, a, b):return a * x + b3.生成一些模拟数据：这样我们可以使用这些数据来演示曲线拟合。
Python:x_data = np.linspace(0, 10, 100) # 生成0到10之间的100个点y_data = func(x_data, 2, 3) + np.random.normal(0, 1, 100) # 加上一些噪声4.使用curve_fit进行拟合：这个函数返回拟合的参数值。
Python:popt, pcov = curve_fit(func, x_data, y_data)print("拟合参数: a = %.2f, b = %.2f" % (popt[0], popt[1]))5.绘制原始数据和拟合曲线：使用matplotlib来绘制结果。
Python:plt.scatter(x_data, y_data, label='Data') # 原始数据点plt.plot(x_data, func(x_data, *popt), 'r-', label='Fit: a=%5.3f, b=%5.3f' % tuple(popt)) # 拟合曲线plt.legend()plt.show()以上代码将显示原始数据点和拟合的直线。
1stopt拟合方程组
1stopt拟合方程组1.概述在数学建模和数据分析中，拟合方程组是一种常见的技术，用于根据给定的数据集找到能够最好地描述数据背后关系的数学模型。
1s to pt拟合方程组是一种高效有效的方法，旨在通过最小化残差来拟合数据。
2.理论基础1s to pt拟合方程组基于最小二乘法原理，它将数据集拟合到一个由线性或非线性函数构成的方程组。
该方法通过最小化每个数据点与拟合方程之间的差异来求解最佳拟合参数。
常见的拟合函数包括多项式函数、指数函数、对数函数等。
3.拟合过程1s to pt拟合方程组包括以下步骤：步骤1:数据准备首先，需要明确待拟合的数据集。
收集数据，并根据实际需求进行预处理，如去除噪声、标准化等。
步骤2:确定拟合函数根据数据的特点和拟合需求，选择适当的拟合函数。
通常，可以根据经验或领域知识来选择函数形式。
步骤3:建立方程组将选择的拟合函数组合成方程组。
每个方程表示一个数据点与拟合函数的关系。
步骤4:求解方程组通过最小二乘法求解方程组，得到最佳拟合参数。
这可以通过矩阵运算或数值优化算法来实现。
步骤5:拟合评估使用拟合参数计算残差，并评估拟合的质量。
常见的评估指标包括均方根误差（R MS E）、决定系数（R^2）等。
4.示例应用以下是一个示例，展示了如何使用1s to pt拟合方程组来拟合一个二次多项式函数：i m po rt nu mp ya sn pf r om sc ip y.op ti miz e im po rt le as t_squ a re s准备数据x=np.a rr ay([1,2,3,4,5])y=np.a rr ay([3,5,7,9,11])定义拟合函数d e fq ua dr at ic_f unc(pa ra ms,x):a,b,c=pa ra msr e tu rn a*x**2+b*x+c定义残差函数d e fr es id ua ls(p ara m s,x,y):r e tu rn qu ad ra ti c_f u nc(p ar am s,x)-y初值i n it_p ar am s=np.ar r ay([1,1,1])求解方程组r e su lt=l ea st_s qua r es(r es id ua ls,in i t_pa ra ms,a rg s=(x,y))输出拟合参数a_fi t,b_fi t,c_fit=re su lt.xp r in t(f"拟合参数:a={a_f it},b={b_fi t},c={c_f it}")以上代码通过最小二乘法拟合了一个二次多项式函数，并输出了拟合得到的参数。
数值分析在大规模计算与数据处理中应用
数值分析在大规模计算与数据处理中应用数值分析在大规模计算与数据处理中应用数值分析是研究用数学方法解决实际问题的学科，它广泛应用于各个领域，尤其是在大规模计算与数据处理中。
本文将介绍数值分析在大规模计算与数据处理中的应用，并讨论其重要性和优势。
一、数值模拟与仿真数值分析在大规模计算中的应用之一是数值模拟与仿真。
通过建立数学模型，利用数值计算方法求解模型，并将得到的数值结果与实际情况进行比较，可以模拟和仿真各种复杂的物理现象和工程问题。
例如，在天气预报中，数值模拟可以通过对大气中各种物理变量进行离散化和数值求解，来预测未来的天气情况。
在工程领域，数值模拟可以用于分析和优化结构的强度和稳定性，提高设计效率和安全性。
二、大规模线性方程组求解在大规模计算与数据处理中，经常需要解决大规模线性方程组的求解问题。
数值分析提供了多种求解方法，如迭代法、直接法等，可以高效地求解大规模线性方程组。
这对于各种科学计算和工程计算都是非常重要的。
例如，在计算机图形学中，解线性方程组可以用于求解三维渲染和图像处理问题。
在金融领域，解线性方程组可以用于风险管理和投资组合优化等问题。
三、数据拟合与插值在大规模数据处理中，经常需要对数据进行拟合与插值，以估计未知数据点的数值。
数值分析提供了多种拟合与插值方法，如最小二乘法、样条插值等，可以根据给定数据进行曲线拟合和数据填充。
这在数据处理和数据分析中具有重要的应用。
例如，在信号处理中，可以利用拟合与插值方法来去除噪声和平滑数据。
在经济学中，可以利用拟合与插值方法来估计并预测指标的发展趋势。
四、优化与最优化在大规模计算与数据处理中，经常需要寻找最优解或近似最优解。
数值分析提供了多种优化和最优化方法，如梯度下降法、遗传算法等，可以在给定的约束条件下，寻找目标函数的最小值或最大值。
这在各个领域都有广泛应用。
例如，在物流管理中，可以利用优化方法来优化调度和路径规划。
在人工智能领域，可以利用最优化方法来优化神经网络的训练和参数调整。
数值分析-北交大-王兵团-3-线性方程组解法 (1)
©
追赶法求解公式为：
追赶法算法
用追赶法来求解三对角线性方程组， 计算量只是5n-4，这比Gauss消元法的计算 量要小很多。
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第3章 线性方程组解法
§3.5 线性方程组解对系数的敏感性
©
1、解对系数敏感性的相对误差 设方程组Ax=b的解为
扰动方程组的准确解为
有
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用上述过程求解 的方法称为追赶法解法。
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定理3.7
Sor法收敛的必要条件是松弛因子满足0<<2 证明
©
2、误差估计 定理3.8 设矩阵B的某种矩阵范数
证明参照非线性方程求根定理的证明， 将：绝对值换成范数、函数换成矩阵，注意范数关系 的使用，
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例3.1 用Jacobi 迭代法解线性方程组 解
Jacobi迭代收敛！
故所求近似解为 准确解：
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第3章 线性方程组解法
§3.4 线性方程组的直接解法
©
一、Gauss消元法 1、基本思想 先将线性方程组通过消元方法化为同解的上三角
方程组，然后从该三角方程组中按第n个方程、第n1个方程、…、第1个方程的顺序，逐步回代求出线 性方程组的解。
2、构造原理 Gauss消元法的求解过程分为两个: “消元”：把原方程组化为上三角方程组； “回代”：求上三角方程组的解。
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计算量
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2）Gauss消元法矩阵解释 第1步消元
第n-1步消元后，有
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L是下三角阵，U是上 三角阵。
A=D-L-U ?
例：研究线性方程组
的Gauss消元法求解结果，假设计算在4位浮点十进 制数的计算机上求解。
解：
用Gauss消元法得
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用Gauss消元法求解得 其准确解为
复杂地貌地形图等高线内插DEM算法的精度分析
复杂地貌地形图等高线内插DEM算法的精度分析徐潇;谭衢霖;王浩宇;胡吉平【摘要】对复杂地貌条带地形图进行了等高线矢量化,利用5种典型的插值方法生成DEM,探讨基于等高线插值生成DEM不同算法的精度并评价生成的DEM的质量.结果表明,IDW算法生成的DEM精度较高,且在其上提取的等高线与原始等高线吻合度较好,分层设色图能够较好地反映研究区的真实地形.TIN精度仅次于IDW,但此方法是目前最为成熟和快速的一种算法.自然邻域法的精度与TIN相近,高于样条函数法;kriging插值算法精度最差,不宜在复杂地貌区域使用.【期刊名称】《遥感信息》【年(卷),期】2013(028)006【总页数】5页(P111-115)【关键词】复杂地貌地形图;等高线;内插方法;DEM;精度比较【作者】徐潇;谭衢霖;王浩宇;胡吉平【作者单位】北京交通大学土木建筑工程学院,北京100044;北京交通大学土木建筑工程学院,北京100044;北京交通大学土木建筑工程学院,北京100044;北京交通大学土木建筑工程学院,北京100044【正文语种】中文【中图分类】TP791 引言在地理信息系统应用中，数字高程模型(DEM)的可靠性(精度)，无论对于DEM的生产者还是使用者都具有十分重要的意义。
对于其精度评价已有很多研究，如Monckton等对DEM误差的量化、检测方法和空间分布等进行了研究[1]；Kidner等系统地研究了评价DEM精度的数学模型[2]；汤国安等研究了空间分辨率与地形复杂度对DEM精度的影响[3]；刘学军等基于数据独立方法，分析研究了地形曲面参数计算对DEM精度的要求[4]；王光霞、崔凯等提出一种基于分形分析的DEM精度评估模型[5]。
尽管DEM质量检查与精度评定理论研究取得了丰富的成果，但大多还处于实验阶段，并没有很好地应用到生产实践中去。
德国的Ackermann教授认为，决定DEM精度的主要因素是数据获取，通过使用某种内插方法可以较高地发挥其潜在水平[6]。
2010年北京交通大学交通运输学院942管理运筹学考研真题及详解【圣才出品】
2010年北京交通大学交通运输学院942管理运筹学考研真题及详解北京交通大学2010年硕士研究生入学考试科目代码：942 科目名称：管理运筹学一、判断（正确的打“∨”，错误的打“×”）1．线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点；（北京交通大学2010年研）【答案】×【解析】基解不一定是可行解，基可行解对应着可行域的顶点。
2．若、分别是某一线性规划问题的最优解，则也是该线性规划问题的最优解，其中、为正的实数；（北京交通大学2010年研）【答案】×【解析】必须规定，当一线性规划问题存在两个最优解时，则它一定存在无数个最优解，3．已知为线性规划问题的对偶问题的最优解，若，则说明在最优生产计划中第种资源已经完全耗尽；（北京交通大学2010年研）【答案】∨【解析】对偶问题互补松弛性质中；当时，有，表明在最优生产计划中第种资源已经完全耗尽。
4．整数规划问题最优解的目标函数值一定优于其相应线性规划问题最优解的目标函数值；（北京交通大学2010年研）【答案】×【解析】因为附加了整数条件，其可行域比其相应线性规划问题的可行域减小，故整数规划问题最优解的目标函数值一定不优于其相应线性规划问题最优解的目标函数值。
5．指派问题效率矩阵的每个元素乘以同一大于0的常数，将不影响最优指派方案；（北京交通大学2010年研）【答案】∨【解析】效率矩阵每个元素乘以同一大于0的常数，即目标函数的系数同时增大k 倍，不会影响最优基的变化，故不影响最优指派方案。
6．如果图T是树，则T中一定存在两个顶点，它们之间存在两条不同的链；（北京交通大学2010年研）【答案】×【解析】连通且不含圈的无向图称为树。
因此任意两点间必定只有一条链。
7．任一图都存在支撑子图和支撑树；（北京交通大学2010年研）【答案】×【解析】当图中存在一个顶点，其次为0时，则该图不存在支撑树。
8．网络图中任何一个结点都表示前一工序的结束和后一工序的开始；（北京交通大学2010年研）【答案】×【解析】网络图的起始点只表示一工序的开始，结束点只表示一工序的结束。
06第二版 第六章 拟合
xk2
xk
n
n
k1
xk
2
yk
k 1
k1
n k 1
(xk x )( yk y)
n
(xk x )2
k 1
yx
其中
x
1 n
n
xj
j1
y
1 n
n j1
yj
例6.1 给出下列离散数据
xk
0 0.04 0.16 0.36 0.64 1.00
yk
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
6.1.2 一元线性拟合方法
一元线性拟合又称直线拟合，是根据一组大致符合线性关系
y x 的测量数据，用适当的方法求出 , 的最佳值，最
终确定拟合曲线的表达式 y x 。具体方法如下：
对于近似满足线性关系的一组测量数据 (xj, yj ) ( j 1,2, ,n)，假 定自变量 x j 的误差可以忽略，则在同一 x j 下，测量点 y j 和直 线 y a bx上点的误差 rj 表示如下：
根据內积的性质，得
(e1, e1) (e1, e2 ) (e1, y) (e2 , e1) (e2 , e2 ) (e2 , y)
或写为
e1T e2T
e1 e1
e1T e2 e2T e2
e1T e2T
y y
还可写为矩阵形式
e1T e2T
e1 e1
e1T e2 e2T e2
Q
n
2 [ yk
k 1
xk ]xk
2
n
xk yk
k 1
n
xk
k 1
n
xk
2
k1
令
Q 0
，Q 0
2018年北京交通大学04102最优化理论与方法专业课复习方法、经验、参考书、考试大纲-新祥旭考研
2018年北京交通大学04102最优化理论与方法专业课复习方法、经验、参考书、考试大纲-新祥旭考研2018年北京交通大学04102 最优化理论与方法专业课复习方法、经验、参考书、考试大纲一、专业课代码及名称04102 最优化理论与方法二、专业课参考书《最优化理论与算法》清华大学出版社2005陈宝林三、考试大纲1.最优化问题基础知识。
掌握最优化问题的基本概念、凸集、凸函数的概念。
2.线性规划。
掌握线性规划数学模型及其性质、单纯形法、改进单纯形法、对偶问题、线性规划的对偶理论、对偶单纯形法。
3.无约束优化问题。
掌握无约束优化问题基本概念、最优性条件，了解一般算法的基本思路。
4.一维搜索。
掌握一维搜索的基本概念和主要思路，了解一维搜索的试探法、插值法、二分法。
5.约束优化问题。
掌握约束优化问题基本概念、最优性条件，了解一般算法（制约函数法）的基本思路。
考研专业课的复习方法：有的同学们关于备考方面没有确定的方法，下面给同学们具体的讲一下。
专业课复习要着重利用好两大武器："参考书目"+"历年真题"，以下是为帮助您充分利用好这两大武器而提出的学习方法建议。
1、参考书的阅读方法(1)目录法：先通读各本参考书的目录，对于知识体系有着初步了解，了解书的内在逻辑结构，然后再去深入研读此书的内容。
(2)体系法：为自己所学的知识建立起框架，否则知识内容量大，容易遗忘，最好能够闭上眼睛的时候，眼前出现完整的知识体系。
(3)问题法：将自己所学的知识总结成问题写出来，每章的主标题和副标题都是很好的出题素材。
尽可能把所有的知识要点都能够整理成问题。
2、要学会做笔记(1)通过目录法、体系法的学习形成框架后，在仔细看书的同时应开始做笔记，笔记在刚开始的时候可能会影响看书的速度，但是随着时间的发展，会发现笔记对于整理思路和理解课本的内容都很有好处。
(2)做笔记的方法不是简单地把书上的内容抄到笔记本上，而是把书上的内容整理成为一个个小问题，按照题型来进行归纳总结。
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从数据拟合到线性方程组
北京交通大学 张后扬
实际问题：给定平面上的一组数据，作一条直线，尽“可能”的过这些点。
将上述的实际问题转化为经济学问题就是——做出上证指数的上升和下降通道。
将上述的实际问题进行简化，每一根K 线用一对数据（T ，Y ）进行表示，则问题化为作一条直线Y=AT+B ，尽“可能”的过这些点。
如果将每一根K 线用一组数据（T ，H ，L ，C ，O ）进行表示，则问题化为多参数线性拟合。
理想情况下问题的解：
如果数据只有二组，这两组数据是()11,y t 和()22,y t ，要作的直线是b at y +=，则有
⎩⎨⎧+=+=b at y b at y 22
11 解这个线性方程组，则有
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧−−=−−=121
2121221t t y y a t t t y t y b
非理想情况下问题的解：
如果数据有两组以上，通常的情况这些数据是不会在一条直线上，将点代入方程，设这个误差是ε，则有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=n n n b at y b at y b at y εεε"
"222111
如果我们理解尽“可能”过这些点的数学意义是选取 b a ,，使得
∑n i 12ε最小。
则问题化为
如下问题的极小化：
∑∈N i R b a 12
,min 1ε=∑−−∈N i i R b a b at y 12,)(min 1 利用极小问题的必要条件，这个二次函数有唯一的极小点满足如下条件：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−−−=−−−∑∑n i n
i i i b at y t b at y 1
110)1)((20))((2 解这个线性方程组，得如下解：
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧−−=−−=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑n n i i n n n i i i i i n n i i n n n i i i i t t n t y t y t b t t n y t y t n a 112
2111211221
11)())(())(()())(( 从实际问题解的存在性，我们知这就是问题的解。
问题拓展：给出多参数线性回归问题的解。
换个角度看以上问题，我们可给出如下的解：
实际问题是要作一条直线尽可能的过这些点，将点代入方程，得如下方程组：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=b
at y b at y b at y n n "
"2211
通常的情况下，这个方程组是无解的，将其写成矩阵形式有：
⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛n n y y y b a t t t ###2121111 我们现在要作一个方程组，和这个方程组的解“接近”，回想在解代数方程时，方程的两边可同乘一个数，在此，将方程的两边同乘一个矩阵，并在原方程有解时，新方程组和原方程组同解，为此，方程的两边同乘原方程的系数矩阵的转置，有
⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n y y y t t t b a t t t t t t #""##""21212121111111111 在数据个数超过两个时，可以证明这个新的方程组有唯一解，并且与线性回归的解是相同的。
实际计算的数值方法：
在实际计算时，计算都是有误差的，计算速度是考虑的重点，采纳的方法是过相邻两点作一条直线，得到一组直线：
然后将这组直线进行加权平均，作为问题的近似解。
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+−−=+−−=
+−−=
++++n n
n n n i i i i i y t t t y y y y t t t y y y y t t t y y y 111111212""。