专题214 有理数的加法(拓展提高)(解析版)

专题2.14 有理数的加法（拓展提高）一、单选题1．如果0a b +<，且0b >，那么a b a -、、、b -的大小关系是（ ） A ．a b a b <<-<- B ．a b b a <-<<- C ．a b a b <-<-< D ．b a a b -<<-<【答案】B【分析】根据题目条件分析出a 是负数，且a 的绝对值大于b 的绝对值，即可比较大小． 【详解】解：∵0a b +<，且0b >， ∴0a <，且a b >， ∴a b b a <-<<-． 故选：B ．【点睛】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则． 2．实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b 满足0a b +>，则b 的值可以是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D【分析】根据0a b +>确定出0b >且b a >，进而确定出b 的范围，判断即可． 【详解】解：∵0a b +>，21a -<<-， ∴0b >，而且1b a >>， ∴1b a >->， 符合条件是D ，b =2． 故选：D ．【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点和有理数的对应关系．解决本题的关键是根据加法的符号规律确定b 的取值范围．3．小红解题时，将式子()()()8384-+-++-先变成()()()8834-++-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦再计算结果，则小红运用了（ ）．A ．加法的交换律和结合律B ．加法的交换律C ．加法的结合律D ．无法判断【分析】根据有理数加法运算性质分析，即可得到答案．【详解】将式子()()()8384-+-++-先变成()()()8834-++-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦再计算结果，则小红运用了：加法的交换律和结合律 故选：A ．【点睛】本题考查了有理数加法运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数加法运算性质，从而完成求解． 4．有理数m ，n ，k 在数轴上的对应点的位置如图所示，若m +n ＜0，n +k ＞0，则A ，B ，C ，D 四个点中可能是原点的是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点【答案】B【分析】分四种情况讨论，利用数形结合思想可解决问题．【详解】解：若点A 为原点，可得0＜m ＜n ＜k ，则m +n ＞0，与题意不符合，故选项A 不符合题意； 若点B 为原点，可得m ＜0＜n ＜k ，且|m |＞n ，则m +n ＜0，n +k ＞0，符合题意，故选项B 符合题意； 若点C 为原点，可得m ＜n ＜0＜k ，且|n |＞|k |，则n +k ＜0，与题意不符合，故选项C 不符合题意； 若点D 为原点，可得m ＜n ＜k ＜0，则n +k ＜0，与题意不符合，故选项D 不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了与数轴有关的计算，数形结合进行判断是解题的关键．5．如图，有理数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点分别是A ，B ，C ，D ，若5b d +=，则a c +（ ）A ．大于5B ．小于5C ．等于5D ．不能确定【答案】A【分析】根据数轴，判断出数轴上的点表示的数的大小，进而可得结论 【详解】解：由数轴可得，a ＞d ，c ＞b ， ∴a+c ＞b+d ∵b+d=5 ∴a+c ＞5【点睛】本题考查数轴、有理数加法法则以及有理数的大小比较，属于中等题型． 6．已知a ，b ，c 为非零有理数，则a b ca b c++的结果可能值的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】由绝对值的性质可知a a，b b ，cc 这三个式子的值是±1，分情况讨论求出结果即可． 【详解】解：∵a ，b ，c 为非零有理数，∴它们的绝对值可能是自己本身，也可能是自己的相反数， ∴1aa=±， 同理1b b =±，1cc=±， ∴1113a ca b c b ++=++=， 1113a b ca b c++=---=-， 1111a b ca b c++=--=-， 1111a b ca b c++=+-=， 一共有4种结果． 故选：C ．【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是掌握绝对值的性质．二、填空题7．绝对值大于﹣12且小于13的所有整数的和是_______． 【答案】0．【分析】首先根据有理数大小比较的方法，可得：绝对值大于-12且小于13的所有整数有：±12、±11、±10、±9、±8、±7、±6、±5、±4、±3、±2、±1、0，求它们的和即可．【详解】解：∵绝对值大于-12且小于13的所有整数有：±12、±11、±10、±9、±8、±7、±6、±5、±4、±3、±2、±1、0，因为互为相反数的两个数的和是0，所以绝对值大于﹣12且小于13的所有整数的和是0． 故答案为：0．【点睛】本题考查了绝对值和有理数的加法，解题关键是理解绝对值的意义，知道互为相反数的两个数和为0．8．如果0ab >，那么a ab b ab ab++=________． 【答案】3或−1．【分析】由ab ＞0，则a 、b 同号，再根据绝对值的性质计算即可． 【详解】∵ab ＞0， ∴a 、b 同号， 当a ＞0，b ＞0时，a ab b a b ab++=1＋1＋1＝3； 当a ＜0，b ＜0时，a ab b ab ab++=−1−1＋1＝−1； 故答案为：3或−1．【点睛】本题考查化简绝对值，熟练掌握有理数绝对值的性质是解题的关键． 9．绝对值不大于100的所有整数的和是_____________． 【答案】0【分析】找出所有绝对值不大于100的数，再将它们相加即可解答.【详解】解：绝对值不大于100的所有整数有-100、-99、-98…-1、0、1、2、3、…99、100， ∴和为：-100+（-99）+（-98）+…+（-1）+0+1+2+3+…+99+100=（-100+100）+（-99+99）+…+（-1+1）+0=0． 故答案为0．【点睛】本题考查了绝对值和有理数的运算，解题的关键是找出所有绝对值不大于100的数. 10．计算：|12－1|＋|13－12|＋|14－13|＋…＋|199－198|＋|1100－199|＝___________． 【答案】99100【分析】先根据绝对值的性质化简，再从第二项开始依次相加即可得出结果．【详解】解：原式=111111111 1...22334989999100 -+-+-++-+-=1 1100 -=99 100，故答案为：99 100．【点睛】本题考查化简绝对值，有理数的加法．在本题中应先化简，再计算．11．如图，是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为1，3，5，6．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1号座位的票，乙购买2，4，6号座位的票，丙购买3，5，7，9，11号座位的票，丁无法购买到第一排座位的票．若让丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出满足条件的丁所选的座位号之和为____________．【答案】66．【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为1，3，5，6可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4，5．丁所购票数最多，即可得出丁应该为6，8，10，12，14，16，再将所有数相加即可．【详解】解：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为1，3，5，6．∴丙选座要尽可能得小，选择：1，2，3，4，5．此时左边剩余5个座位，右边剩余6个座位，∴丁选：6，8，10，12，14，16．∴丁所选的座位号之和为681012141666+++++=；故答案为：66．【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键．12．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成的，每个格内均有不同数目的数，每一行、每一列以及对角线上的三个数之和均相等．如图，给出了“河图”的部分数，则方格中左下角“△”代表的数是_____；方格中九个数的和是_____．【答案】-4 -27【分析】根据“河图”的特征可得：每一条对角线上的三个数的和等于第三行的各个数的和，求出△的值即可． 【详解】解：根据题意得：+(5)(3)(6)∆-=-+- 解得：=4∆-设与△和-3在同一条对角线上另一个数为y ，则有：(6)(5)(3)y +-=-+- ∴2y =-∴对角线上三个数的和为：(4)(3)(2)9-+-+-=-，即每一行，每一列以及线上三个数的和都等于-9， ∴方格中九个数的和是(9)(9)(9)27-+-+-=-， 故答案为：-4；-27【点睛】此题主要考查有理数的加法，图形的变化规律，学习过程中注意培养自己的观察、分析能力． 13．小颖同学做这样一道题“计算|5|-+∆”，其中“∆”是被墨水污染看不清的一个数，她翻开后面的答案，得知该题的计算结果是3，那么“∆”表示的数是_________． 【答案】2或8【分析】根据有理数的加法法则以及绝对值的性质解答即可； 【详解】∵53-+=△， ∴ 53-+=△或53-+=-△， 解得：=8或2， 故答案为：8或2．【点睛】本题考查了有理数的加法和绝对值的意义，熟记绝对值的意义是解答本题的关键；14．对于正数x 规定()1xf x x =+，例如133113(3),11343413f f ⎛⎫==== ⎪+⎝⎭+，计算1120152014f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111(1)(2)(3)(2013)(2014)(2015)201332f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________．【答案】120142【分析】根据规定式子可得1111(),(1)1121111x f f x x x====+++，从而可得11()()111x f x f x x x+=+=++，由此即可得．【详解】因为对于正数x 规定()1xf x x=+，所以1111(),(1)1121111x f f x x x ====+++，所以11()()111x f x f x x x+=+=++， 则原式111(2015)(2014)(2)(1)201520142f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 1120142=⨯+， 120142=，故答案为：120142． 【点睛】本题考查了有理数加法运算的规律型问题，根据规定的运算式子，找出规律是解题关键．三、解答题15．10袋小麦称重后记录如图所示（单位：千克）．10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以90千克为标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？【答案】10袋小麦一共905.4千克；10袋小麦总计超过5.4千克． 【分析】先求出10袋小麦90千克的增减量，然后相加即可得解．【详解】解：91+91+91.5+89+91.5+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4（千克） 以90千克为标准，10袋小麦的记录如下：+1、+1、+1.5、-1、+1.2、+1.3、-1.3、-1.2、+1.8、+1.1，（+1）+（+1）+（+1.5）+（-1）+（+1.2）+（+1.3）+（-1.3）+（-1.2）+（+1.8）+（+1.1） =（+1）+（-1）+（+1.2）+（-1.2）+（+1.3）+（-1.3）+（+1）+（+1.5）+（+1.8）+（+1.1） =5.4千克．答：10袋小麦一共905.4千克；10袋小麦总计超过5.4千克．【点睛】本题考查了正负数的意义，读懂题目信息，写出90千克的增减量是解题的关键．16．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东四方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km ）依先后次序记录如下：9+，3-，8-，6+，6-，4-，10+．（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ （2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营运额是多少？ 【答案】（1）离鼓楼出发点为4km ，在鼓楼东；（2）110.4元【分析】（1）根据正数和负数意义，将所有的数相加所得结果即可得出答案；（2）根据绝对值的意义，将所有的数的绝对值相加即可得出总的路程，即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意可得，+9+（-3）+（-8）+6+（-6）+（-4）+10=+4， 因为向东为正，向西为负，所以出租车离鼓楼出发点为4km ，在鼓楼东； （2）由题意可得，出租车营运的总路程为，|+9|+|-3|+|-8|+|6|+|-6|+|-4|+|10|=46（km ）， 营运额为：46×2.4=110.4（元）．【点睛】本题主要考查正负数的运算和绝对值的意义，根据题意列式计算是解决本题的关键．17．某食品厂计划平均每天生产200袋食品，但是由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超过计划量记为正）：（1）根据记录的数据，求产量最多的一天比产量最少的一天多生产食品多少袋？ （2）根据记录的数据，求该厂本周实际共生产食品多少袋？【答案】（1）20；（2）1410．【分析】（1）根据题意和表格可以求得该厂产量最多的一天的产量和产量最少一天的产量，从而可以解答本题；（2）根据表格求出本周一共比计划多生产10袋，可求得该厂本周实际共生产食品多少袋． 【详解】解：（1）最多的一天为星期四：20011211+=（袋）， 最少的一天为星期五：2009191-=（袋），21119120-=（袋），产量最多的一天比产量最少的一天多生产食品多20袋；（2）5171195610+--+-++=（袋） 2007101410⨯+=（袋） 答：该厂本周实际共生产食品1410袋．【点睛】本题考查正数和负数的意义和有理数加法，解题的关键是明确题意，准确列式计算．18．某公路检修小组早上从A 地出发，沿东西方向的公路上检修路面，晚上到达B 地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天行驶记录如下（单位：千米）：﹣5，﹣3，+6，﹣7，+9，+8，+4，﹣2． （1）请你确定B 地位于A 地的什么方向，距离A 地多少千米？ （2）距A 地最远的距离是多少千米？（3）若每千米耗油0.2升，问这个小组从出发到收工共耗油多少升？【答案】（1）B 地在A 地的东边10千米；（2）最远处离出发点12千米；（3）8.8升【分析】（1）计算这些有理数的和，即可知道收工时，B 地位于A 地的什么方向，距A 地多远， （2）逐次计算结果，当达到绝对值最大时即可， （3）求出各个数的绝对值的和，进而求出用汽油的升数． 【详解】解：（1）∵﹣5﹣3+6﹣7+9+8+4﹣2＝10， 答：B 地在A 地的东边10千米；（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为： |﹣5|＝5（千米）； |﹣5﹣3|＝8（千米）； |﹣5﹣3+6|＝2（千米）； |﹣5﹣3+6﹣7|＝9（千米）； |﹣5﹣3+6﹣7+9|＝0（千米）； |﹣5﹣3+6﹣7+9+8|＝8（千米）； |﹣5﹣3+6﹣7+9+8+4|＝12（千米）；|﹣5﹣3+6﹣7+9+8+4﹣2|＝10（千米）； 12＞10＞9＞8＞5＞2＞0， ∴最远处离出发点12千米；（3）这一天走的总路程为：|﹣5|+|﹣3|+|+6|+|﹣7|+|+9|+|+8|+|+4|+|﹣2|＝44（千米）， 应耗油44×0.2＝8.8（升），答：问这个小组从出发到收工共耗油8.8升．【点睛】本题考查有理数的加法、绝对值的意义，理解有理数和绝对值的意义是正确解答的关键． 19．如果自然数m 使得作竖式加法m +（m +1）+（m +2）时对应的每一位都不产生进位现象，则称m 为“三生三世数”，例如：12，321都是“三生三世数”，理由是12+13+14及321+322+323分别都不产生进位现象； 50，123都不是“三生三世数“，理由是50+51+52及123+124+125分别产生了进位现象 （1）分别判断42和3210是不是“三生三世数”，并说明理由； （2）求三位数中小于200且是3的倍数的“三生三世数”．【答案】（1）42不是“三生三世数”，3210是“三生三世数”，理由见解析；（2）102，111，120，132 【分析】（1）根据“三生三世数”的定义进行判断便可；（2）先根据“三生三世数”定义求出三位数中小于200的“三生三世数”，再求得其中是3的倍数的数便可． 【详解】解：（1）∵42+43+44计算时会产生进位现象， ∴42不是“三生三世数”，∵3210+3211+3212计算时不会产生进位现象， ∴3210是“三生三世数”，（2）根据“三生三世数”的定义知，小于200的三位数中的“三生三世数”有： 100，101，102，110，111，112，120，121，122，130，131，132， ∵102，111，120，132能被3整除，∴三位数中小于200且是3的倍数的“三生三世数”有：102，111，120，132．【点睛】本题考查了有理数的加法、新定义，解题的关键是明确题意，利用题干中的新定义解答． 20．从数轴上看： a 表示数a 的点到原点之间的距离，类似地4a -表示数a 的点到表示数4的点之间的距离．一般地a b -表示数a 的点到表示数b 的点之间的距离．（1）在数轴上，若表示数x 的点与表示数2-的点之间的距离为5个单位长度，则x =________；．（2）对于任何有理数x ，式子 16x x ++- 有最_____（大或小）值，该值为________．（3）利用数轴，求方程 549x x -++= 的所有整数解的和；【答案】（1）3或-7；（2）小，7；（3）5【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）先得到16x x ++-的意义，再判断取值；（3）先得到549x x -++=的意义，从而得到相应的x 的范围，得到整数取值，最后相加．【详解】解：（1）∵表示数x 的点与表示数-2的点之间的距离为5个单位长度， ∴25x +=，解得：x =3或-7；（2）16x x ++-表示数轴上到-1和6的距离之和，∴有最小值，当x 在-1和6之间（包含-1和6）时，该值最小，且为7；（3）549x x -++=表示数轴上表示x 的数到-4和5的距离之和为9，则当x ＜-4或x ＞5时，549x x -++>，当-4≤x ≤5时，满足条件，此时x 的整数值为：-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，∴所有整数解的和为-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5=5．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．。