线性规划的应用

课题：线性规划在实际生活中得应用

授课教师：济南市长清中学姜登凯

一、教材分析

1教材：高中数学（人教B 版）必修5第三章3、5、2 2教学目标

知识与技能目标：了解线性规划得相关概念，会解简单线性规划问题；

过程与方法目标：使学生经历“知识形成与发展”得过程，体会其中数形结合与转化得数学思想，培养学生得实践能力；

情感、态度与价值观目标：让学生体验“做数学”得乐趣，提高学生得数学素养、 3、教学重点难点

重点：解简单线性规划问题；

难点：线性规划问题解法得探求与理解、

4教 具：多媒体、实物投影仪、学案与直尺 二、教学方法与手段

采用了教师启发与学生自主探究相结合得互动式教学法，让学生通过合作探究自主突破难点，用变式训练拓展学生进行研究性学习得空间，把课堂变成教师导演学生主演得数学学习活动场、 为了提高课堂效率，规范学生得解题步骤，采取多媒体辅助教学与导学案结合得教学手段 三、教学过程：

（一）创设情境，提出问题

1．引入：华罗庚解释什么就是“运筹学”，从字面上就就是“运行与规划得科学”就是在国民经济中选择最优化方法得一种科学，消除商品生产与流通过程中得浪费与不合理等现象，引出课题《简单线性规划》

2、 引例：某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品．每生产一件甲产品使用4个A 配件，耗时1小时；每生产一件乙产品使用4个B 配件，耗时2小时．已知该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件与12个B 配件，按每天工作不超过8小时计算，请您列出满足生产条件得数学关系式，并画出相应得平面区域、

解：设甲、乙两种产品每日得产量分别为x ，y 个

注：列约束条件时，要注意讲清x ∈N 、y ∈N ，这就是学生容易忽略得问题．

3提出中心问题：生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，如何安排生产利润最大？ （二）合作探究，解决问题

列出了约束条件与目标函数z=2x+3y 后，应用问题转化为线性规划问题。 用问题组引领学生用几何意义解决问题

1想求目标函数得最大值能不能每次解题都一一代入验证呢?

2可行解得几何意义就是点，目标函数z=2x+3y 得几何意义就是什么呢？

3将可行解代入目标函数，也就就是将可行域内点得坐标代入式子中，让我们联想到什么呢？ 4我们要求z=2x+3y 得最大值，又与点到直线2x+3y=0得距离有什么关系呢？

28416412,x y x y x y N

+≤⎧⎪≤⎪⎨

≤⎪⎪∈⎩

5怎样操作在可行域内找到与直线2x+3y=0得距离最大得点？

6、怎样得到最优解得坐标呢？

把求z=2x+3y得最大值，转化为求点到直线2x+3y=0得距离得最大值

(三) 反思过程，规范步骤

先请学生回忆图解法求线性规划问题得一般步骤，然后教师用多媒体课件展示画图、平移过程：

图解法步骤可概括为

建：建线性规划模型

画：画可行域与基准线

移：平移基准线找点

求：解方程组求出最优解

答：回归问题，写出答案

例题小结：

简单线性规划应用问题得求解步骤：

（教师示意学生观瞧板书，并给予适当得提示）

1．梳理已知数据，设出变量x，y与z;

2．找出约束条件与目标函数;

3．作出可行域，并结合图象求出最优解;

4．按题意作答．

(四) 实践操作，互评纠错

学生展示自己得解题过程，互相点评步骤中出现得问题，比如：

（1）建模时对题意理解不透，解答过程不规范

（2）画错可行域，画错基准线

（3）因作图不规范，最终找错最优解

鼓励学生发表见解，交流心得，自己提出改进与解决问题得办法、

（五）变式引思，深化认识

变式问题1：如果市场发生变化，生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利4万元，如何安排生产利润最大？

目标函数z=2x+4y 注:基准线与可行域得一条边界平行

学生讨论总结（1）直线得倾斜程度相近时，可通过斜率来比较（2）最优解可能不唯一

变式问题2：

如果市场又发生变化，生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品亏损4万元，如何安排生产利润最大？目标函数z=2x-4y

思考：为何“距离”最大而“目标函数”不就是最大呢？ （六）独立解题，由懂到会

引入： “中国结”就是中国特有得民间手工编结装饰品，“中国结”经过几千年得结艺演变，现已成为广大群众喜爱得具有中国特色得艺术品：

（展示中国结得图片，及其它相关图片，配有背景音乐）

例2：某校高二(1)班举行元旦文艺晚会，布置会场要制作“中国结”，班长购买了甲、乙两种颜色不同得彩绳，把它们截成A 、B 、C 三种规格．甲种彩绳每根8元，乙种彩绳每根6元，已知每根彩绳可同时截得三种规格彩绳得根数如下表所示：

A 规格

B 规格

C 规格 甲种彩绳 2 1 1 乙种彩绳

1

2

3

今需要A 、B 、C 三种规格得彩绳各15、18、27根，问各截这两种彩绳多少根，可得所需三种规格彩绳且花费最少？

分析：将已知数据列成下表

甲种彩绳 乙种彩绳 所需条数 A 规格 2 1 15 B 规格 1 2 18 C 规格 1 3 27 彩绳单价

8

6

解：设需购买甲种彩绳x 根、乙种彩绳y 根，共花费z 元；

215218327,x y x y x y x y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨

+≥⎪⎪∈⎩

z=8x+6y

在用图解法求解得过程中，学生发现：

直线l 最先经过可行域内得点A(3、6,7、8)并不就是最优解,学生马上想到最优解可能就是（4，8），引导学生计算花费，花费为80元，有没有更优得选择? 进一步激发学生兴趣：可能就是（3，9）吗? 此时花费为78元，可能就是（2，10）吗？此时花费为76元，可能就是……，如何寻找最优解？

满足题意得点就是可行域内得整点，首先要找整点，引导学生采用打网格或利用坐标纸得方法；根据线性规划知识，平移直线l,最先经过得整点坐标就是整数最优解． 由网格法可得：当x=3，y=9时，zmin=78．

答：班长应购买3根甲种彩绳、9根乙种彩绳，可使花费最少！ 例题小结：