圆的方程复习课
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高中数学必修2----第四章圆与方程单元复习课件
2.联立两圆方程，看截得解得个数.
△<0
n=0
两个圆相离
△=0
n=1
两个圆相切
△>0
n=2
两个圆相交
4.2.3直线与圆的方程的应用
坐标法解决平面几何问题的“三步曲” • 第一步：建系，几何问题代数化； • 第二步：解决代数问题； • 第三步：还原结论.
4.3空间直角坐标系
4.3.1空间直角坐标系
高考热点
1.用圆的标准方程和一般方程解决问题.
(x a2)(y b2)r2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
y
M r
A
O
x
2.直线与圆的位置关系，及圆与圆位置关系 的判定.
3.空间两点间距离公式的应用.
|P 1 P 2 |(1 x x 2 ) 2 (1 y y 2 ) 2 (1 z z 2 ) 2 z
P1(x1,y1,z1)
O
P2(x2,y2,z2) x
y
本章易错点
1.在使用圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0时， 必须确保 D2+E2-4F否>则0 ，方程不表示圆. 2.判断圆与圆的位置关系时，不能只看交点个数， 两圆有一个公共点，可能是外切，也可能是内切； 两圆没有公共点，可能是外离，也可能是内含.
3.建立直角坐标系，满足建系规则才能建立右手坐 标系.
谢Байду номын сангаас观赏
z
z M（x，y，z）
右手坐标系
O
y
y
x
x 点在空间直角坐标系中的坐标
4.3.2空间两点间的距离公式
1.平面内两点 P 1 (1 x ,y 1 ,z 1 )P ,2 (2 x ,y 2 ,z 2 )的距离公式 |P 1 P 2 |(1 x x 2 ) 2 (1 y y 2 ) 2 (1 z z 2 ) 2 2.几何问题转化为代数问题求解的思想.
2020年高考数学复习精选课件 第3节 圆的方程 公开课一等奖课件
栏目索引
考点二 与圆有关的最值问题
典例2 (1)已知点A(-1,0),B(0,2),点P是圆(x-1)2+y2=1上任意一点,则
△PAB面积的最大值与最小值分别是 ( )
A.2, 1 (4- 5 )
2
C. 5 ,4- 5
B. 1 (4+ 5 ), 1 (4- 5 )
2
2
D. 1 ( 5 +2), 1 ( 5 -2)
∴ y 表示点P(-1,0)与圆(x-2)2+y2=3上的点(x,y)的连线的斜率.如图.
x 1
由图知 y 的最大值和最小值分别是过P与圆相切的直线PA、PB的斜
x 1
率.易知|PB|=|PA|= | PC |2 | AC |2 = 6 ,
∴kPA=
| |
CA PA
| |
=
3 6
栏目索引
6.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种:(圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点为(x0,y0)) (1)点在圆上: (x0-a)2+(y0-b)2=r2 ; (2)点在圆外: (x0-a)2+(y0-b)2>r2 ; (3)点在圆内: (x0-a)2+(y0-b)2<r2 .
2
PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|= (11)2 (3 2)2 =5,于是圆P的方程为(x1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2 6 ,则|MN|=|(-2+2 6 )-(-2-2 6 )|=4 6 . (2)解法一(几何法):因为圆心在过点(1,1)且与切线垂直的直线上,所以圆 心在直线y-1=x-1,即x-y=0上.
高二数学课件 (文)圆与方程复习课件人教版_高二
2, 以D为原点, DA, DC, DD1为x, y, z轴建立 空间直角坐标系, 则正方体的中心O的坐标
为(
)
A.(1, 0, 1)
B(0, 1, 1)
C(1, 1, 0)
D(1, 1, 1)
例 9 . 已知点A(1,0,2), B(1,3,1), 在 z轴上有一点M满足| MA || MB |, 则点 M的坐 6 . 圆C1 : x2 y2 4x 4 y 7 0, C2 : x2 y2 4x 10 y 13的公切线有( ) A.2条 B.3条 C .4条 D.1条
5. 直线与圆的方程的应用
例7. 如图, 某圆拱桥的水面跨度是20米,
例2. 已知圆心为C的圆经过两点 A(1, 1)和B(2, -2), 且圆心C在直线l: xy+1=0上, 求圆C的方程。
3. 直线与圆的位置关系
例 3 . 直线x y 1 0与圆2x2 2 y2 1
的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C .相 离 D.不 确 定
经典习题
1 .已知直线l : kx y 3k 0;圆M： x2 y2 8x 2y 9 0 ( 1)求证：直线l与圆M必相交； ( 2)当 圆M截 直 线l所 得 弦 最 长 时, 求 k的值； ( 3)当 圆M截 直 线l所 得 弦 最 短 时, 求 k的值；
2 0.已知圆C：x2 y2 8 y 12 0和 直线l : mx y 2m 0. ( 1)当m为 何 值 时, 直 线l与 圆C相 切 ； ( 2)当直线l与圆C相交于A、B两点, 且AB 2 2时,求直线l的方程。
圆与方程
考点解析
1. 点与圆的位置关系
例 1 . 点(1,1)在圆( x a)2 ( y a)2 4 的 内 部, 则a的 取 值 范 围 是( ) A. 1 a 1 B.0 a 1 C.a －1或a 1 D.a 1
第二章直线和圆的方程单元复习课件(人教版)
已知两直线平行或垂直求解参数的相关问题时， 第一需要考虑直线的斜率是否存在． 若斜率都存在，则根据斜率间的关系求解；
若斜率不存在，则需注意特殊情形． 此外，已知两直线垂直求解参数时，还需注意斜 率是否为零．
三、本章考点分析
三、本章考点分析
三、本章考点分析
三、本章考点分析
三、本章考点分析
三、本章考点分析
二、本章知识回顾
●2．2.2 直线的两点式方程 ●1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线
的两点式方程(重点). ●2.了解直线的截距式方程的情势特征及适用范围．
二、本章知识回顾
●2．2.3 直线的一般式方程 ●1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一
般式方程(重点). ●2.会进行直线方程的五种情势间的转化．
【详解】由题圆心坐标为1, a, r 2 .
根据垂径定理圆心到直线 x y 1 0 的距离 d 22 3 2 1，
又由点到直线的距离公式得 d |1 a 1| 1 a 2 ， 2
故选：A.
四、典例分析
2．一条光线从点 2,3 射出，经 y 轴反射后与圆 x 32 y 22 1 相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
三、本章考点分析
考点24 点与圆的位置关系解题技能 判断 点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用 点到圆心的距离与半径比较大小．(2)代数法：把 点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大 小，并作出判断．考点25 与圆有关的简单最值 问题规律总结 一般地，求圆上的点到定点或定 直线的距离的最值问题，常转化为圆心到定点或 定直线的距离问题解决，充分体现了转化与化归 的数学思想．
考点12直线方程的综合应用 解题技能直线方程的选择技能(1)已知一点的坐标，求过该点的 直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜 率．(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式方程， 再由其他条件确定直线的一个点或者截距．(3)若已知两点坐标， 一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截 距式方程．(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限 制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
若斜率不存在，则需注意特殊情形． 此外，已知两直线垂直求解参数时，还需注意斜 率是否为零．
三、本章考点分析
三、本章考点分析
三、本章考点分析
三、本章考点分析
三、本章考点分析
三、本章考点分析
二、本章知识回顾
●2．2.2 直线的两点式方程 ●1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线
的两点式方程(重点). ●2.了解直线的截距式方程的情势特征及适用范围．
二、本章知识回顾
●2．2.3 直线的一般式方程 ●1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一
般式方程(重点). ●2.会进行直线方程的五种情势间的转化．
【详解】由题圆心坐标为1, a, r 2 .
根据垂径定理圆心到直线 x y 1 0 的距离 d 22 3 2 1，
又由点到直线的距离公式得 d |1 a 1| 1 a 2 ， 2
故选：A.
四、典例分析
2．一条光线从点 2,3 射出，经 y 轴反射后与圆 x 32 y 22 1 相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
三、本章考点分析
考点24 点与圆的位置关系解题技能 判断 点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用 点到圆心的距离与半径比较大小．(2)代数法：把 点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大 小，并作出判断．考点25 与圆有关的简单最值 问题规律总结 一般地，求圆上的点到定点或定 直线的距离的最值问题，常转化为圆心到定点或 定直线的距离问题解决，充分体现了转化与化归 的数学思想．
考点12直线方程的综合应用 解题技能直线方程的选择技能(1)已知一点的坐标，求过该点的 直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜 率．(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式方程， 再由其他条件确定直线的一个点或者截距．(3)若已知两点坐标， 一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截 距式方程．(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限 制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
圆的方程及性质课件-2023届高三数学一轮复习
3 3.
判断直线与圆的位置关系的两种方法 >0⇔相交，
(1)代数法：Δ＝判―b别 ―2－→式4ac ＝0⇔相切， <0⇔相离.
(2)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系：d<r⇔相交，d ＝r⇔相切，d>r⇔相离．
实际操作时，多用几何法．
练习 已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的
①两条切线方程； ②直线 AB 的方程； ③线段 PA 的长度； ④线段 AB 的长度．
圆的切线方程的求法 (1)代数法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到 一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0 进而求得 k(当 k 不存在时，切线方程为 x ＝x0)． (2)几何法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心 到切线的距离 d，然后令 d＝r，进而求出 k(当 k 不存在时，切线方程为 x＝x0)． （3）若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 上，则过点 M 的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝ r2.
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
【思路】 根据直线与圆的位置关系的判断方法——几何法或代数法求解， 也可以利用直线所过的定点，结合该定点与圆的位置关系求解．
【解析】 ＋m2－5＝0，
方法一：由mx2x＋－（y＋y－1－1）m2＝＝05，，消去 y，整理得(1＋m2)x2－2m2x
因为 Δ＝16m2＋20>0，所以直线 l 与圆相交．
圆的定义 平面内到定点的距离___________的点的集合是圆，定点是圆心，定长是半 径． 注：平面内动点 P 到两定点 A，B 距离的比值为λ，即||PPAB||＝λ， ①当λ＝1 时，P 点轨迹是线段 AB 的垂直平分线； ②当λ≠1 时，P 点轨迹是圆．
2024届新高考一轮复习人教A版 第八章 第3节 圆的方程 课件(31张)
A.1
B.2
C.-4
D.8
解析:由 x2+y2+x+4y-m=0 得(x+)2+(y+2)2=m+4+,所以 m+4+=,
所以 m=-4.
3.(选择性必修第一册P85T1改编)与圆(x-1)2+y2=4同圆心且经过点P(-2,4)的
圆的标准方程为( D )
A.(x-1)2+y2=17
第3节
圆的方程
[课程标准要求]
1.掌握圆的标准方程的特征,能根据所给条件求圆的标准方程.
2.掌握圆的一般方程,能对圆的一般方程与标准方程进行互化,了解二元二次
方程表示圆的条件.
1.圆的定义与方程
定义
标准方程
平面上到 定点 的距离等于 定长 的点的集合叫做圆
2
2
圆心为 (a,b)
2
(x-a) +(y-b) =r (r>0)
.
.
.
1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
2.同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.
1.(选择性必修第一册P85T2改编)已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16,下列
= ,
+ - = ,
故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选 C.
法二(几何法)
由
= ,
+ - =
圆心一定在 AB 的中垂线上,A#43;(y-1)2=4.故选 C.
高考数学(文)大一轮复习课件：第8章 第3节 圆的方程
解
3 m＝2， 3 2 2 25 得 所以圆的标准方程为 x－2 ＋y ＝ 4 .] r2＝25， 4
求圆的方程
(1)(2015· 全国卷Ⅱ)已知三点 A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( 5 A.3 2 5 C. 3 ) 21 B. 3 4 D.3
(2)(2016· 天津高考)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 4 5 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为 5 ，则圆 C 的方程 为________．
(1)B (2)(x－2)2＋y2＝9 [(1)法一：在坐标系中画出 △ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC| ＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三 角形．设 BC 的中点为 D，点 E 为外心，同时也是重心． 2 2 3 所以|AE|＝3|AD|＝ 3 ，从而|OE|＝ |OA|2＋|AE|2＝ D＝－2， 1＋D＋F＝0， 4 3 3 ＋ 3 E ＋ F ＝ 0 ， 则 解得E＝－ ， 3 7＋2D＋ 3E＋F＝0， F＝1. 4 21 1＋3＝ 3 ，故选 B.
A [圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线 ax＋y |a＋4－1| 4 －1＝0 的距离 d＝ 2 ＝1，解得 a＝－3.] a ＋1
4． (2017· 西安质检)若圆 C 的半径为 1， 其圆心与点(1,0)关于直线 y＝x 对称， 则圆 C 的标准方程为________．
3 25 x－ 2＋y2＝ 4 2
[由题意知 a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，
－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，
高考数学一轮总复习课件：圆的方程及直线与
所以圆的方程为x2＋y2－4x－235y－5＝0. 将D(a，3)代入得a2－4a－21＝0. 解得a＝7或a＝－3(舍)．
(2)(2021·辽宁大连模拟)在直线l：y＝x－1上有两个点A， B，且A，B的中点坐标为(4，3)，线段AB的长度|AB|＝8，则过 A，B两点且与y轴相切的圆的方程为____(_x_－_4_)_2＋__(y_－__3)_2＝__1_6___
解析 (x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1表示圆，则 4m2－5m＋1>0，解得m<14或m>1.
3．(2021·成都七中月考)圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与
x轴相切，则该圆的方程是( B )
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
第3课时 圆的方程及直线与 圆的位置关系
[复习要求] 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方 程和一般方程.3.掌握直线与圆的位置关系．
课前自助餐
圆的定义 平面内到定点的距离__等_于__定_长___的点的集合(轨迹)是圆，定点 是圆心，定长是半径． 注：平面内动点 P 到两定点 A，B 距离的比值为 λ，即||PPAB||＝ λ， ①当 λ＝1 时，P 点轨迹是线段 AB 的垂直平分线； ②当 λ≠1 时，P 点轨迹是圆．
A＝B≠0，
__D_2＋__E_2_－_4_A_F_>_0.
圆的参数方程 圆心为(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为xy＝＝ab＋＋rrcsoinsθθ，(θ 为参数)．
确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F 代入标准方程或一般方程．
(2)(2021·辽宁大连模拟)在直线l：y＝x－1上有两个点A， B，且A，B的中点坐标为(4，3)，线段AB的长度|AB|＝8，则过 A，B两点且与y轴相切的圆的方程为____(_x_－_4_)_2＋__(y_－__3)_2＝__1_6___
解析 (x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1表示圆，则 4m2－5m＋1>0，解得m<14或m>1.
3．(2021·成都七中月考)圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与
x轴相切，则该圆的方程是( B )
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
第3课时 圆的方程及直线与 圆的位置关系
[复习要求] 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方 程和一般方程.3.掌握直线与圆的位置关系．
课前自助餐
圆的定义 平面内到定点的距离__等_于__定_长___的点的集合(轨迹)是圆，定点 是圆心，定长是半径． 注：平面内动点 P 到两定点 A，B 距离的比值为 λ，即||PPAB||＝ λ， ①当 λ＝1 时，P 点轨迹是线段 AB 的垂直平分线； ②当 λ≠1 时，P 点轨迹是圆．
A＝B≠0，
__D_2＋__E_2_－_4_A_F_>_0.
圆的参数方程 圆心为(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为xy＝＝ab＋＋rrcsoinsθθ，(θ 为参数)．
确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F 代入标准方程或一般方程．
圆的方程复习(两课时)
圆的方程
考纲解读
掌握圆的标准方程和一般方程，
了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.
掌握圆与直线、圆与圆的位置关系以及判 定方法， 掌握圆的切线方程的求法。
探究：
在圆x y r 上有一点P( x, y ),
2 2 2
y
设AOP ( [0,2 ))
P A x
你能用来表示x和y吗？
( x 2) ( y2) 2
2 2
例.如图，A,B是直线l上的两点，且AB=2． 两个半径相等的动圆分别与l相切于 A,B点，C是这两个圆的公共点， 则圆弧AC，CB与线段AB围成 图形面积S的取值范围是 ．
π 2 0， 2
C
B
A
l
例.在坐标平面内与点A(1,2)距离为1，且与 点B(3,1)距离为2的直线共有（ B ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
O
1.圆方程的三种形式： 2 2 标准方程：( x a) ( y b)
r
2
其中圆心（a,b），半径为r(r>0)
x 一般方程：
参数方程：
2
y Dx Ey F 0
2 2 2
( D E 4 F 0)
x a r cos (为参数) y b r sin
O为坐标原点，且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值 的点P的坐标.
例已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x -2my+m2-3=0,m为何值时， (1)圆C1与圆C2相切； (2)圆C1与圆C2无公共点？
题型5：圆的综合问题
18.在平面直角坐标系xOy中， 已知圆x2＋y2－12x＋32=0的圆心为Q， 过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交 于不同的两点A,B． 3 ,0 （Ⅰ）求k的取值范围； 4 （Ⅱ）是否存在常数k，使得向量 OA OB 与PQ 共线？如果存在，求k值； 如果不存在，请说明理由．
考纲解读
掌握圆的标准方程和一般方程，
了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.
掌握圆与直线、圆与圆的位置关系以及判 定方法， 掌握圆的切线方程的求法。
探究：
在圆x y r 上有一点P( x, y ),
2 2 2
y
设AOP ( [0,2 ))
P A x
你能用来表示x和y吗？
( x 2) ( y2) 2
2 2
例.如图，A,B是直线l上的两点，且AB=2． 两个半径相等的动圆分别与l相切于 A,B点，C是这两个圆的公共点， 则圆弧AC，CB与线段AB围成 图形面积S的取值范围是 ．
π 2 0， 2
C
B
A
l
例.在坐标平面内与点A(1,2)距离为1，且与 点B(3,1)距离为2的直线共有（ B ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
O
1.圆方程的三种形式： 2 2 标准方程：( x a) ( y b)
r
2
其中圆心（a,b），半径为r(r>0)
x 一般方程：
参数方程：
2
y Dx Ey F 0
2 2 2
( D E 4 F 0)
x a r cos (为参数) y b r sin
O为坐标原点，且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值 的点P的坐标.
例已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x -2my+m2-3=0,m为何值时， (1)圆C1与圆C2相切； (2)圆C1与圆C2无公共点？
题型5：圆的综合问题
18.在平面直角坐标系xOy中， 已知圆x2＋y2－12x＋32=0的圆心为Q， 过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交 于不同的两点A,B． 3 ,0 （Ⅰ）求k的取值范围； 4 （Ⅱ）是否存在常数k，使得向量 OA OB 与PQ 共线？如果存在，求k值； 如果不存在，请说明理由．
2019届高考文数一轮复习课件：第8章 第3讲 圆的方程
[答案] x2＋y2－2x－12＝0 或 x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
题型二 考向一
与圆有关的最值、范围问题(高频考点题，多角突破) 斜率型最值问题
1．(2018· 抚顺模拟)已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. y 求x的最大值和最小值．
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3， 表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆． y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， y 所以设x＝k，即 y＝kx.
(4)方程 x2＋2ax＋y2＝0 一定表示圆．(
2 2 (5)若点 M(x0， y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外， 则 x0 ＋y0 ＋Dx0
＋Ey0＋F>0.(
)
(2)√ (3)√ (4)× (5)√
[答案] (1)√
2．将圆 x2＋y2－2x－4y＋1＝0 平分的直线是( A．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 B．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0
1 1 B.－2，2 D.－
)
2 2 2，2
[解析] 当点 M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点 N(1,0)，使得∠ OMN＝45° ，所以 x0＝1 符合题意，故排除 B，D；当点 M 的坐标为 ( 2， 1)时， |OM|＝ 3， 过点 M 作圆 O 的一条切线 MN′， 连接 ON′， 3 2 则在 Rt△OMN′中，sin∠OMN′＝ 3 < 2 ，则∠OMN′<45° ，故此 时在圆 O 上不存在点 N，使得∠OMN＝45° ，即 x0＝ 2不符合题意， 排除 C，故选 A.
[解析] (1)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上， 设 C(a,0)， 且 a>0， 2a 4 5 所以圆心到直线 2x－y＝0 的距离 d＝ ＝ 5 ，解得 a＝2，所以圆 5 C 的半径 r＝|CM|＝ 4＋5＝3，所以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9. (2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点，(4,0)，(0，－2)两 3 点的垂直平分线方程为 y＋1＝－2(x－2)，令 y＝0，解得 x＝2，圆心
题型二 考向一
与圆有关的最值、范围问题(高频考点题，多角突破) 斜率型最值问题
1．(2018· 抚顺模拟)已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. y 求x的最大值和最小值．
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3， 表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆． y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， y 所以设x＝k，即 y＝kx.
(4)方程 x2＋2ax＋y2＝0 一定表示圆．(
2 2 (5)若点 M(x0， y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外， 则 x0 ＋y0 ＋Dx0
＋Ey0＋F>0.(
)
(2)√ (3)√ (4)× (5)√
[答案] (1)√
2．将圆 x2＋y2－2x－4y＋1＝0 平分的直线是( A．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 B．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0
1 1 B.－2，2 D.－
)
2 2 2，2
[解析] 当点 M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点 N(1,0)，使得∠ OMN＝45° ，所以 x0＝1 符合题意，故排除 B，D；当点 M 的坐标为 ( 2， 1)时， |OM|＝ 3， 过点 M 作圆 O 的一条切线 MN′， 连接 ON′， 3 2 则在 Rt△OMN′中，sin∠OMN′＝ 3 < 2 ，则∠OMN′<45° ，故此 时在圆 O 上不存在点 N，使得∠OMN＝45° ，即 x0＝ 2不符合题意， 排除 C，故选 A.
[解析] (1)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上， 设 C(a,0)， 且 a>0， 2a 4 5 所以圆心到直线 2x－y＝0 的距离 d＝ ＝ 5 ，解得 a＝2，所以圆 5 C 的半径 r＝|CM|＝ 4＋5＝3，所以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9. (2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点，(4,0)，(0，－2)两 3 点的垂直平分线方程为 y＋1＝－2(x－2)，令 y＝0，解得 x＝2，圆心