理论力学(机械工业出版社)第十三章达朗伯原理习题解答

习 题

13-1 如图13-16所示，一飞机以匀加速度a 沿与水平线成仰角b 的方向作直线运动。已知装在飞机上的单摆的悬线与铅垂线所成的偏角为f ，摆锤的质量为m 。试求此时飞机的加速度a 和悬线中的张力F T 。

图13-16

ma F =I 0cos sin 0

I T =-=∑βϕF F F x

ϕ

βsin cos I

T F F =

0sin cos 0

I T =--=∑mg F F F y βϕ

0sin cos sin cos I I =--mg F F βϕϕ

β

0sin )

cos(I

=-+mg F ϕβϕ mg

ma

=+ϕβϕsin )

cos(

)

cos(sin βϕϕ

+=

g a

mg ma

F F )

cos(cos sin cos sin cos I T βϕβ

ϕβϕ

β

+===

13-2 球磨机的简图如图13-17所示，滚筒作匀速转动，内装钢球及被粉碎的原料，当钢球随滚筒转到某一角度f 时，将脱离筒壁作抛射运动，由于钢球的撞击，从而破碎与研磨原料。已知钢球脱离筒壁的最佳位置'4054︒=ϕ，滚筒半径R =0.6m 。试求使

钢球在'4054︒=ϕ处脱离滚筒的滚筒转速。

图13-17

2n I ωmR ma F == 0cos 0

I N n =-+=∑F mg F F ϕ

)cos (cos cos 22I N ϕωϕωϕg R m mg mR mg F F -=-=-=

令0N =F

0cos 2=-ϕωg R

R g ϕωcos =

min r/35.296

.00454cos 8.9π30cos π

30π30='

︒⨯===

R g n ϕω

13-3 一质量为m 的物块A 放在匀速转动的水平转台上，如图13-18所示。已知物块的重心距转轴的距离为r ，物块与台面之间的静摩擦因数为s μ。试求物块不致因转台旋转而滑出时水平转台的最大转速。

图13-18

2n I ωmr ma F == 00

N =-=∑mg F F y

mg F =N

00

I =-=∑F F F x

0N s 2=-F mr μω 0s 2=-mg mr μω

r

g

s μω=

r

g

n s max π

30

π30μω==

13-4 离心调速器的主轴以匀角速度w 转动，如图13-19所示。已知滑块C 的质量为m ，小球A 、B 的质量为m 1，各杆长度均为l ，杆的自重不计。试求杆OA 和OB 的张角θ。

图13-19

小球A

21n 1I sin θωl m a m F == 0sin sin 0

I 21=-+=∑F F F F x θθ

0sin sin sin 2121=-+θωθθl m F F

02121=-+ωl m F F (1)

0cos cos 0

121=--=∑g m F F F y θθ (2)

)2(cos )1(-⨯θ 得

0cos cos 21212=+-g m l m F θωθ g m l m F 1212cos cos 2-=θωθ

滑块C

0cos 20

2=-=∑mg F F y θ (2)

0cos 121=--mg g m l m θω 211)(cos ω

θl m g m m +=

211)(arccos ω

θl m g m m +=

13-5 物块A 放在倾角为θ的斜面上，如图13-20所示。物块与斜面间的静摩擦因数为s μ=tanf m ，如斜面向左作匀加速运动，试问加速度a 为何值时物块A 不致沿斜面滑动。

图13-20

(1) 物块A 有下滑趋势

ma F =I

0sin cos 0I =-+=∑θθmg F F F x (1) 0cos sin 0

I N =--=∑θθmg F F F y (2)

由(2)得

θθcos sin I N mg F F +=

临界 m I m N N tan )cos sin (tan ϕθθϕμmg F F F F +=== 代入(1)得

0sin tan )cos sin (cos m =-++θϕθθθmg mg ma ma θϕθθθsin tan )cos sin (cos m g g a a =++ )tan cos (sin )tan sin (cos m m ϕθθϕθθ-=+g a )tan(tan tan 1tan tan tan sin cos )tan cos (sin m m

m

m m ϕθϕθϕθϕθθϕθθ-=+-=+-=

g g g a

(2) 物块A 有上滑趋势

ma F =I

0sin cos 0I =--=∑θθmg F F F x (1) 0cos sin 0

I N =--=∑θθmg F F F y (2)

由(2)得

θθcos sin I N mg F F +=

临界 m I m N N tan )cos sin (tan ϕθθϕμmg F F F F +=== 代入(1)得

0sin tan )cos sin (cos m =-+-θϕθθθmg mg ma ma θϕθθθsin tan )cos sin (cos m g g a a =+- )tan cos (sin )tan sin (cos m m ϕθθϕθθ+=-g a )tan(tan tan 1tan tan tan sin cos )tan cos (sin m m

m

m m ϕθϕθϕθϕθθϕθθ+=-+=-+=

g g g a

因此 )tan()tan(m m ϕθϕθ+≤≤-g a g