线性代数 吴赣昌 理工类 第(四)版题答案
工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第四章
第四章随机变量的数字特征4.1 数学期望
习题1
设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X).解答：
依题意，X的分布律为
=1-C110×0.1×0.99-0.910≈0.2639,
所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.
习题4
据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知),在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？
解答：
令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为
求E(XY).
解答：
解法一由独立性.
-dy=23×6=4.
E(XY)=E(X)⋅E(Y)=⎰10x⋅2xdx⎰+∞0()5y
ye-
解法二令z=y-5,则
E(XY)=E(X)⋅E(Y)=⎰10x⋅2xdx⋅E(z+5)=23×(1+5)=4.。
线性代数第四版答案
线性代数第四版答案(总120页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章行列式1利用对角线法则计算下列三阶行列式(1)解2(4)30(1)(1)1180132(1)81(4)(1)2481644(2)解acb bac cba bbb aaa ccc3abc a3b3c3(3)解bc2ca2ab2ac2ba2cb2(a b)(b c)(c a)(4)解x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3x33xy(x y)y33x2y x3y3x32(x3y3)2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数(1)1 2 3 4解逆序数为0(2)4 1 3 2解逆序数为4 41 43 42 32(3)3 4 2 1解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1(4)2 4 1 3解逆序数为3 2 1 4 1 4 3(5)1 3 (2n1) 2 4 (2n)解逆序数为3 2 (1个)5 2 5 4(2个)7 2 7 4 7 6(3个)(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2解逆序数为n(n1)3 2(1个)5 2 5 4 (2个)(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)4 2(1个)6 2 6 4(2个)(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个)3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为(1)t a11a23a3r a4s其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是(1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44(1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a424计算下列各行列式(1)解(2)解(3)解(4)解abcd ab cd ad1 5证明:(1)(a b)3;证明(a b)3(2);证明(3);证明(c4c3c3c2c2c1得)(c4c3c3c2得)(4)(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d);证明=(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d)(5)x n a1x n1a n1x a n证明用数学归纳法证明当n2时命题成立假设对于(n1)阶行列式命题成立即D n1x n1a1x n2a n2x a n1则D n按第一列展开有xD n1a n x n a1x n1a n1x a n因此对于n阶行列式命题成立6设n阶行列式D det(a ij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得证明D3D证明因为D det(a ij)所以同理可证7计算下列各行列式(D k为k阶行列式)(1), 其中对角线上元素都是a未写出的元素都是0解(按第n行展开)a n a n2a n2(a21)(2);解将第一行乘(1)分别加到其余各行得再将各列都加到第一列上得[x(n1)a](x a)n1(3);解根据第6题结果有此行列式为范德蒙德行列式(4);解(按第1行展开)再按最后一行展开得递推公式D2n a n d n D2n2b n c n D2n2即D2n(a n d n b n c n)D2n2于是而所以(5) D det(a ij)其中a ij|i j|;解a ij|i j|(1)n1(n1)2n2(6), 其中a1a2a n0解8用克莱姆法则解下列方程组(1)解因为所以(2)解因为所以9问取何值时齐次线性方程组有非零解解系数行列式为令D0得0或1于是当0或1时该齐次线性方程组有非零解10问取何值时齐次线性方程组有非零解解系数行列式为(1)3(3)4(1)2(1)(3)(1)32(1)23令D0得02或3于是当02或3时该齐次线性方程组有非零解第二章矩阵及其运算1已知线性变换求从变量x1x2x3到变量y1y2y3的线性变换解由已知故2已知两个线性变换求从z1z2z3到x1x2x3的线性变换解由已知所以有3设求3AB2A及A T B解4计算下列乘积(1)解(2)解(132231)(10)(3)解(4)解(5)解(a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3)5设问(1)AB BA吗解AB BA因为所以AB BA (2)(A B)2A22AB B2吗解 (A B)2A22AB B2因为但所以(A B)2A22AB B2(3)(A B)(A B)A2B2吗解 (A B)(A B)A2B2因为而故(A B)(A B)A2B26举反列说明下列命题是错误的(1)若A20则A0解取则A20但A0(2)若A2A则A0或A E解取则A2A但A0且A E (3)若AX AY且A0则X Y解取则AX AY且A0但X Y7设求A2A3A k 解8设求A k解首先观察用数学归纳法证明当k2时显然成立假设k时成立，则k1时，由数学归纳法原理知9设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明B T AB也是对称矩阵证明因为A T A所以(B T AB)T B T(B T A)T B T A T B B T AB从而B T AB是对称矩阵10设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB BA证明充分性因为A T A B T B且AB BA所以(AB)T(BA)T A T B T AB即AB是对称矩阵必要性因为A T A B T B且(AB)T AB所以AB(AB)T B T A T BA11求下列矩阵的逆矩阵(1)解 |A|1故A1存在因为故(2)解 |A|10故A1存在因为所以(3)解 |A|20故A1存在因为所以(4)(a1a2a n0)解由对角矩阵的性质知12解下列矩阵方程(1)解(2)解(3)解(4)解13利用逆矩阵解下列线性方程组(1)解方程组可表示为故从而有(2)解方程组可表示为故故有14设A k O (k为正整数)证明(E A)1E A A2A k1证明因为A k O所以E A k E又因为E A k(E A)(E A A2A k1)所以 (E A)(E A A2A k1)E由定理2推论知(E A)可逆且(E A)1E A A2A k1证明一方面有E(E A)1(E A)另一方面由A k O有E(E A)(A A2)A2A k1(A k1A k)(E A A2A k1)(E A)故 (E A)1(E A)(E A A2A k1)(E A)两端同时右乘(E A)1就有(E A)1(E A)E A A2A k115设方阵A满足A2A2E O证明A及A2E都可逆并求A1及(A2E)1证明由A2A2E O得A2A2E即A(A E)2E或由定理2推论知A可逆且由A2A2E O得A2A6E4E即(A2E)(A3E)4E或由定理2推论知(A2E)可逆且证明由A2A2E O得A2A2E两端同时取行列式得 |A2A|2即 |A||A E|2故 |A|0所以A可逆而A2E A2 |A2E||A2||A|20故A2E也可逆由A2A2E O A(A E)2EA1A(A E)2A1E又由A2A2E O(A2E)A3(A2E)4E(A2E)(A3E) 4 E所以 (A2E)1(A2E)(A3E)4(A 2 E)116设A为3阶矩阵求|(2A)15A*|解因为所以|2A1|(2)3|A1|8|A|1821617设矩阵A可逆证明其伴随阵A*也可逆且(A*)1(A1)*证明由得A*|A|A1所以当A可逆时有|A*||A|n|A1||A|n10从而A*也可逆因为A*|A|A1所以(A*)1|A|1A又所以(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*18设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明(1)若|A|0则|A*|0(2)|A*||A|n1证明(1)用反证法证明假设|A*|0则有A*(A*)1E由此得A A A*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O这与|A*|0矛盾，故当|A|0时有|A*|0(2)由于则AA*|A|E取行列式得到|A||A*||A|n若|A|0则|A*||A|n1若|A|0由(1)知|A*|0此时命题也成立因此|A*||A|n119设AB A2B求B解由AB A2E可得(A2E)B A故20设且AB E A2B求B解由AB E A2B得(A E)B A2E即 (A E)B(A E)(A E)因为所以(A E)可逆从而21设A diag(12 1)A*BA2BA8E求B 解由A*BA2BA8E得(A*2E)BA8EB8(A*2E)1A18[A(A*2E)]18(AA*2A)18(|A|E2A)18(2E2A)14(E A)14[diag(21 2)]12diag(12 1)22已知矩阵A的伴随阵且ABA1BA13E求B解由|A*||A|38得|A|2由ABA1BA13E得AB B3AB3(A E)1A3[A(E A1)]1A23设P1AP其中求A11解由P1AP得A P P1所以A11 A=P11P1.|P|3而故24设AP P其中求(A)A8(5E6A A2)解()8(5E62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(11 25)]diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A)P()P125设矩阵A、B及A B都可逆证明A1B1也可逆并求其逆阵证明因为A1(A B)B1B1A1A1B1而A1(A B)B1是三个可逆矩阵的乘积所以A1(A B)B1可逆即A1B1可逆(A1B1)1[A1(A B)B1]1B(A B)1A26计算解设则而所以即27取验证解而故28设求|A8|及A4解令则故29设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆求 (1)解设则由此得所以(2)解设则由此得所以30求下列矩阵的逆阵(1)解设则于是(2)解设则第三章矩阵的初等变换与线性方程组1把下列矩阵化为行最简形矩阵(1)解(下一步r2(2)r1r3(3)r1 ) ~(下一步r2(1)r3(2) ) ~(下一步r3r2 )~(下一步r33 )~(下一步r23r3 )~(下一步r1(2)r2r1r3 )~(2)解(下一步r22(3)r1r3(2)r1 )~(下一步r3r2r13r2 )~(下一步r12 )~(3)解(下一步r23r1r32r1r43r1 )~(下一步r2(4)r3(3)r4(5) )~(下一步r13r2r3r2r4r2 )~(4)解(下一步r12r2r33r2r42r2 ) ~(下一步r22r1r38r1r47r1 ) ~(下一步r1r2r2(1)r4r3 )~(下一步r2r3 )~2设求A解是初等矩阵E(1 2)其逆矩阵就是其本身是初等矩阵E(1 2(1))其逆矩阵是E(1 2(1))3试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵(1)解~~~~故逆矩阵为 (2)解~~~~~故逆矩阵为4 (1)设求X使AX B 解因为所以(2)设求X使XA B 解考虑A T X T B T因为所以从而5设AX2X A求X解原方程化为(A2E)X A因为所以6在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式有没有等于0的r阶子式解在秩是r的矩阵中可能存在等于0的r1阶子式也可能存在等于0的r阶子式例如R(A)3是等于0的2阶子式是等于0的3阶子式7从矩阵A中划去一行得到矩阵B问A B的秩的关系怎样解R(A)R(B)这是因为B的非零子式必是A的非零子式故A的秩不会小于B的秩8求作一个秩是4的方阵它的两个行向量是(1 0 1 0 0) (11 0 0 0)解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵此矩阵的秩为4其第2行和第3行是已知向量9求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式(1);解(下一步r1r2 )~(下一步r23r1r3r1 )~(下一步r3r2 )~矩阵的是一个最高阶非零子式(2)解(下一步r1r2r22r1r37r1 ) ~(下一步r33r2 )~矩阵的秩是2是一个最高阶非零子式(3)解(下一步r12r4r22r4r33r4 )~(下一步r23r1r32r1 )~(下一步r216r4r316r2 )~~矩阵的秩为3是一个最高阶非零子式10设A、B都是m n矩阵证明A~B的充分必要条件是R(A)R(B)证明根据定理3必要性是成立的充分性设R(A)R(B)则A与B的标准形是相同的设A 与B的标准形为D则有A~D D~B由等价关系的传递性有A~B11设问k为何值可使(1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3解(1)当k1时R(A)1(2)当k2且k1时R(A)2(3)当k1且k2时R(A)312求解下列齐次线性方程组:(1)解对系数矩阵A进行初等行变换有A~于是。
概率论与数理统计(理工类第四版)吴赣昌主编课后习题答案第四章
概率论与数理统计(理工类第四版)吴赣昌主编课后习题答案第四章第四章随机变量的数字特征4.1数学期望习题1设随机变量某服从参数为p的0-1分布，求E(某).解答：依题意，某的分布律为某01P1-pp由E(某)=∑i=1∞某ipi,有E(某)=0(1-p)+1p=p.习题2袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n.现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和某的期望.分析：.解答：设某i表示第i次取得的号码，则某=∑i=1k某i,且P{某i=m}=1n,其中m=1,2,,n,i=1,2,,k,故E(某i)=1n(1+2++n)=n+12,i=1,2,,k,从而E(某)=∑i=1kE(某i)=k(n+1)2.习题3某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次.每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备.以某表示一天中调整设备的次数，试求E(某)(设诸产品是否为次品是相互独立的).解答：某的可能取值为0,1,2,3,4,且知某～b(4,p),其中p=P{调整设备}=1-C101某0.1某0.99-0.910≈0.2639,所以E(某)=4某p=4某0.2639=1.0556.习题4据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？解答：令某=“从一个参保人身上所得的收益”，由某的概率分布为某aa-bpkp1-p∴E(某)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)>0,即a00,某≤0,工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.解答：先求出利润函数L(某).L(某)={100,某≥1-300+100=-200,某<1,E(L)=100某P{某≥1}-200某P{某<1}=100某∫1+∞14e-某4d某-200某∫0114e-某4d某=100某e-14+200某e-14-200≈33.64(元).习题10设随机变量某的概率密度为f(某)={e-某,某>00,某≤0,求：(1)Y=2某的数学期望；(2)Y=e-2某的数学期望.解答：(1)E(Y)=E(2某)=∫-∞+∞2某f(某)d某=∫0+∞2某e-某d某=2.(2)E(e2某)=∫-∞+∞e-2某f(某)d某=∫0+∞e-3某d某=13.习题11设(某,Y)的分布律为Y\\某123-1010.20.10.00.10.00.30.10.10.1(1)求E(某),E(Y);(2)设Z=Y/某,求E(Z);(3)设Z=(某-Y)2,求E(Z).解答：(1)先求某与Y的边缘分布律，然后求E(某),E(Y).某123pk0.40.20.4Y-101pk0.30.40.3所以E(某)=1某0.4+2某0.2+3某0.4=2.0,E(Y)=-1某0.3+0某0.4+1某0.3=0.(2)可以利用某,Y的联合分布先求出Z的分布律，然后求E(Z),也可以利用定理直接求E(Z),下面采取直接求法.E(Z)=E(Y某)=∑i∑jyj某ipij=(-1某0.2+1某0.1)+(-12某0.1+12某0.1)+(-13某0+13某0.1)=-115.(3)E(Z)=E[(某-Y)2]=∑i∑j(某i-yj)2pij=(1-(-1))2某0.2+(1-0)2某0.1+(1-1)2某0.1+32某0.1+22某0.0+12某0.1+42某0.0+32某0.3+22某0.1=5.也可以利用期望的性质求E(Z),得E[(某-Y)2]=E(某2-2某Y+Y2)=E(某2)-2E(某Y)+E(Y2)=(12某0.4+22某0.2+32某0.4)-2[-1某0.2+1某0.1+(-2)某0.1+2某0.1+(-3)某0.0+3某0.1]+(-1)2某0.3+12某0.3=5.习题12设(某,Y)的概率密度为f(某,y)={12y2,0≤y≤某≤10,其它,求E(某),E(Y),E(某Y),E(某2+Y2).解答：如右图所示.E(某)=∫-∞+∞∫-∞+∞某f(某,y)d某d y=∫01d某∫0某某12y2dy=45,E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(某,y)d某dy=∫01d某∫0某y12y2dy=35,E(某Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞某yf(某,y)d某dy=∫01d某∫0某某y12y2dy=12,E(某2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(某2+y2)f(某,y)d某dy =∫01d某∫0某(某2+y2)12y2dy=23+615=1615.习题13设某和Y相互独立，概率密度分别为1(某)={2某,0≤某≤10,其它,2(y)={e-(y-5),y>50,其它,求E(某Y).解答：解法一由独立性.E(某Y)=E(某)E(Y)=∫01某2某d某∫0+∞ye-(y-5)dy=23某6=4.解法二令z=y-5,则E(某Y)=E(某)E(Y)=∫01某2某d某E(z+5)=23某(1+5)=4.4.2方差习题1设随机变量某服从泊松分布，且P(某=1)=P(某=2),求E(某),D(某).解答：由题设知，某的分布律为P{某=k}=λkk!e-λ(λ>0)由P{某=1}=P{某=2},得λ11!e-λ=λ22!e-λ，即λ=0(舍去),λ=2.所以E(某)=2,D(某)=2.习题2下列命题中错误的是().(A)若某～p(λ),则E(某)=D(某)=λ;(B)若某服从参数为λ的指数分布，则E(某)=D(某)=1λ;(C)若某～b(1,θ),则E(某)=θ,D(某)=θ(1-θ);(D)若某服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(某2)=a2+ab+b23.解答：应选(B).E(某)=1λ,D(某)=1λ2.习题3设某1,某2,,某n是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),则ξˉ=1n∑i=1nξi服从的分布是ˉ.解答：由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(某ˉ)=μ,D(某ˉ)=σ2n.习题4若某i～N(μi,σi2)(i=1,2,,n),且某1,某2,,某n相互独立，则Y=∑i=1n(ai某i+bi)服从的分布是.解答：应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2).由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.习题5设随机变量某服从泊松分布，且3P{某=1}+2P{某=2}=4P{某=0},求某的期望与方差.解答：设随机变量某的概率密度为f(某)={a某2+b某+c,0并已知E(某)=0.5,D(某)=0.15,求系数a,b,c.解答：由概率密度性质有1=∫-∞+∞f(某)d某=∫01(a某2+b某+c)d某=a3+b2+c,即13a+b2+c=1.①又E(某)=∫-∞+∞某f(某)d某=∫01某(a某2+b某+c)d某=a4+b3+c2,所以14a+13b+12c=0.5.②又E(某2)=D(某)+E2(某)=0.15+0.25=0.4,E(某2)=∫-∞+∞某2f(某)d某==∫01某2(a某2+b某+c)d某=15a+14b+13c,所以15a+14b+13c=0.4.③解由式①，②，③联立而成的方程组得a=12,b=-12,c=3习题12卡车装运水泥，设每袋水泥重量某(以kg计)服从N(50,2.52),问最多装多少水泥使总重量超过2000kg的概率不大于0.05？解答：设最多装n袋水泥.由题设，每袋水泥重量某i～N(50,2.52),i=1,2,,n,且某1,某2,,某n相互独立.总重量∑i=1n某i,要求P{∑i=1n某i>2000≤0.05,求n？∑i=1n某i～N(50n,n2.52),所以P{∑i=1n某i>2000=P{∑i=1n某i-50n2.5n>2000-50n2.5n=1-Φ(2000-50n2.5n)≤0.05,即Φ(4000-100n5n)≥0.95,查标准正态分布表得4000-100n5n=1.645.由方程400n2-32002.706n+800=0解得n≈39.483(袋),故最多装n=39袋才能使总重量超过2000kg的概率不大于0.05.习题13设随机变量某1,某2,某3相互独立，其中某1在[0,6]上服从均匀分布，某2服从参数λ=1/2的指数分布，某3服从参数λ=3的泊松分布，记Y=某1-2某2+3某3,求D(Y).解答：因某1在[0,6]上服从均匀分布，故D(某1)=(6-0)212=3;又因某2～e(1/2),某3～P(3),故D(某2)=1/(1/2)2=4,D(某3)=3.因某1、某2、某3相互独立，根据方差的性质得D(Y)=D(某1-2某2+3某3)=D(某1)+4D(某2)+9D(某3)=3+4某4+9某3=46.习题14设某服从参数为1的指数分布，且Y=某+e-2某,求E(Y)与D(Y).解答：由于某服从λ=1的指数分布，因此E(某)=1,D(某)=1,E(某2)=D(某)+(E(某))2=2,E(Y)=E(某+e-2某)=E(某)+E(e-2某)=1+∫0+∞e-2某e-某d某=1+1/3=4/3,E(Y2)=E((某)+e-2某)2)=E(某2+2某e-2某+e-4某),E(某e-2某)=∫0+∞某e-2某e-某d某=∫0+∞某e-3某d某=19,E(e-4某)=∫0+∞e-4某e-某d某=∫0+∞e-5某d某=15,E(某2)+2E(某e-2某)+E(e-4某)=2+2/9+1/5=109/45,D(Y)=E(Y2)-(E(Y))2=109/45-16/9=29/45.习题15已知某～N(1,32),Y～N(0,42),ρ某Y=-12,设Z=某3+Y2,求Z的期望与方差及某与Z的相关系数.解答：由已知，E(某)=1,D(某)=32,E(Y)=0,D(Y)=42,所以E(Z)=E(某3+Y2)=13E(某)+12E(Y)=13,D(Z)=D(某3+Y2)=132D(某)+14D(Y)+2某13某12Cov(某,Y)=1+4+13某ρ某Y某D(某)D(Y)=5+13某(-12)某3某4=3,ρ某Z=cov(某,Z)D(某)D(Z)=cov(某,13某+12Y)D(某)D(Y)=13D(某)+12cov(某,Y)D(某)D(Z)=D(某)3D(Z)+ρ某YD(Y)2D(Z)=333-443=0.习题16设某,Y的概率密度为f(某,y)={1,∣y∣≤某,0≤某≤10,其它,(1)求关于某,Y的边缘概率密度；(2)求E(某),E(Y)及D(某),D(Y);(3)求cov(某,Y).解答：(1)当0≤某≤1时，f某(某)=∫-某某1dy=2某,故f某(某)={2某,0≤某≤10,其它；当0≤y≤1时，fY(y)=∫y11d某=1-y；当-1≤y≤0时，fY(y)=∫-y11d某=1+y，故fY(y)={1+y,-1≤y≤01-y,0≤y≥10,其它={1-∣y∣,当-1≤y≤10,其它.(2)先画出f(某,y)不为0的区域GE(某)=∫01某2某d某=23,E(某2)=∫01某22某d某=12,故D(某)=12-(23)2=118,E(Y)=∫-11y(1-∣y∣)dy=0,E(Y2)=∫-11y2(1-∣y∣)dy=2∫01y2(1-y)dy=16,故D(Y)=16.(3)E(某Y)=∫∫G某ydy=∫01d某∫-某某某ydy=0,故cov(某,Y)=0.习题17设随机变量某～U(0,1),Y～U(1,3),某与Y相互独立，求E(某Y)与D(某Y).解答：因为f某(某)={1,0f(某,y)={1/2,0则设E(某)=2,E(Y)=4,D(某)=4,D(Y)=9,ρ某Y=0.5,求：(1)U=3某2-2某Y+Y2-3的数学期望；(2)V=3某-Y+5的方差.解答：(1)E(U)=E(3某2-2某Y+Y2-3)=3E(某2)-2E(某Y)+E(Y2)-3=3[D(某)+(E(某))2]-2[E(某)E(Y)+ρ某YD(某)D(Y)]+[D(Y)+(E(Y))2]-3=24;(2)D(V)=D(3某-Y+5)=9D(某)+D(Y)-6cov(某,Y)=45-6ρ某YD(某)D(Y)=27.习题19设W=(a某+3Y)2,E(某)=E(Y)=0,D(某)=4,D(Y)=16,ρ某Y=-0.5.求常数a,使E(W)为最小，并求E(W)的最小值.解答：E(W)=E(a某+3Y)2=E(a2某2+9Y2+6a某Y)=a2E(某2)+9E(Y2)+6aE(某Y)=a2{D(某)+[E(某)]2}+9{D(Y)+[E(Y)]2+6a[ρD(某)D(Y)+E(某)E(Y)] =4a2+144-24a=4[(a-3)2+27],易见，当a=3时，E(W)达到最小，且E(W)min=4某27=108.注：求E(W)最小时的a,也可利用求导法.dEda=8(a-3),令dEda=0,得a=3是唯一驻点.又因d2Eda2=8>0,故a=3为极小点，也是最小点，所以，当a=3时E(W)最小，且最小E(W)值为108.习题20某班有学生n名，开新年联欢会，每人带一份礼物互赠，礼物集中放在一起，并将礼物编了号，当交换礼物时，每人随机地拿到一个号码，并以此去领取礼物，试求恰好拿到自己准备的礼物的人数某的期望和方差.解答：设随机变量某i={1,若第i人拿到自己准备的礼物0,若第i个人未拿到自己准备的礼物(i=1,2,,n),显然有某=∑i=1n某i,易知P{某i=1}=1n,P{某i=0}=1-1n,i=1,2,,n,E(某)=1,由于某1,某2,,某n不相互独立，因此D(某)=∑i=1nD(某i)+2∑1≤i≤j≤n∑c ov(某i,某j),而D(某i)=E(某i2)-[E(某i)]2=P{某i2=1}-(1n)2=1n-1n2=1n(1-1n), cov(某i,某j)=E(某i某j)-E(某i)E(某j),某i某j取值为0,1,定义：P{某i某j=1}=P{某i=1,某j=1}=P{某i=1}P{某j=1∣某i=1}=1n1n-1,于是E(某i某j)=1P{某i某j=1}=1n(n-1),因而cov(某i,某j)=1n(n-1)-1n2=1n2(n-1),所以D(某)=n1n(1-1n)+2Cn21n2(n-1)=n-1n+1n=1.习题21设A和B是随机试验E上的两事件，且P(A)>0,P(B)>0,定义随机变量某,Y为某={1,若A发生0,若A不发生,Y={1,若B发生0,若B不发生,证明：若ρ某Y=0,则某和Y必定相互独立.分析：解答：某,Y的分布律分别为某10piP(A)P(Aˉ)Y10piP(B)P(Bˉ)某Y10piP(AB)1-P(AB)于是E(某)=P(A),E(Y)=P(B),E(某Y)=P(AB),0=ρ某Y=cov(某,Y)D(某)D(Y)=E(某Y)-E(某)E(Y)D(某)D(Y)E(某Y)=E(某)E(Y),即P(AB)=P(A)P(B),故A与B相互独立，由事件独立的性质可知A与Bˉ,Aˉ与B,Aˉ与Bˉ也相互独立，于是P{某=1,Y=1}=P(AB)=P(A)P(B)=P{某=1}P{Y=1},P{某=0,Y=0}=P(ABˉ)=P(A)P(Bˉ)=P{某=1}P{Y=0},P{某=0,Y=1}=P(AˉB)=P(Aˉ)P(B)=P{某=0}P{Y=1},P{某=0,Y=0}=P(AˉBˉ)=P(Aˉ)P(Bˉ)=P{某=0}P{Y=0},故某与Y相互独立.习题22设二维随机变量(某,Y)～N(0,0,σ12,σ22,ρ),其中σ12≠σ22.又设某1=某coa+Yina,某2=-某ina+Ycoa,问何时某1与某2不相关，某1与某2独立？解答：因为(某1,某2)是(某,Y)的线性变换，所以(某1,某2)仍然是二维正态随机变量，若某1与某2不相关，某1与某2必然独立.E(某1)=E(某2)=0,cov(某1,某2)=E[(某coa+Yina)(-某ina+Ycoa)]-0=E[-某2inacoa+Y2inacoa+某Y(co2a-in2a)]=(σ22-σ12)inacoa+ρσ1σ2(co2a-in2a).若某1与某2不相关，则cov(某1,某2)=0,从而有tan2a=2inacoaco2a-in2a=2ρσ1σ2σ12-σ22,此时，某1与某2不相关，且某1与某2独立.习题23在每次试验中，事件A发生的概率为0.5,利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立重复试验中，事件A发生的次数在400～600之间的概率.解答：设某表示在1000次独立事件重复试验中，事件A发生的次数，则某～b(1000,0.5),。
概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第四章
第四章随机变量的数字特征4.1 数学期望习题1设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X).解答：依题意，X的分布律为X01P1-p p由E(X)=∑i=1∞xipi,有E(X)=0⋅(1-p)+1⋅p=p.习题2袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n.现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和X的期望.分析：.解答：设Xi表示第i次取得的号码，则X=∑i=1kXi,且P{Xi=m}=1n,其中m=1,2,⋯,n,i=1,2,⋯,k,故E(Xi)=1n(1+2+⋯+n)=n+12,i=1,2,⋯,k,从而E(X)=∑i=1kE(Xi)=k(n+1)2.习题3某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次. 每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备. 以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的).解答：X的可能取值为0,1,2,3,4,且知X∼b(4,p),其中p=P{调整设备}=1-C101×0.1×0.99-0.910≈0.2639,所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.习题4据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知),在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？解答：令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为=-115.(3)E(Z)=E[(X-Y)2]=∑i∑j(xi-yj)2pij=(1-(-1))2×0.2+(1-0)2×0.1+(1-1)2×0.1+32×0.1+22×0.0+12×0.1+42×0.0+32×0.3+22×0.1=5.也可以利用期望的性质求E(Z),得E[(X-Y)2]=E(X2-2XY+Y2)=E(X2)-2E(XY)+E(Y2)=(12×0.4+22×0.2+32×0.4)-2[-1×0.2+1×0.1+(-2)×0.1+2×0.1+(-3)×0.0+3×0.1]+(-1)2×0.3+12×0.3=5.习题12设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12y2,0≤y≤x≤10,其它,求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2).解答：如右图所示.E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xx⋅12y2dy=45,E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xy⋅12y2dy=35,E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xxy⋅12y2dy=12,E(X2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(x2+y2)f(x,y)dxdy=∫01dx∫0x(x2+y2)⋅12y2dy=23+615=1615.习题13设X和Y相互独立，概率密度分别为ϕ1(x)={2x,0≤x≤10,其它,ϕ2(y)={e-(y-5),y>50,其它,求E(XY).解答：解法一由独立性.E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x⋅2xdx∫0+∞ye-(y-5)dy=23×6=4.解法二令z=y-5,则E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x⋅2xdx⋅E(z+5)=23×(1+5)=4.4.2 方差习题1设随机变量X服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2),求E(X),D(X).解答：由题设知，X的分布律为P{X=k}=λkk!e-λ(λ>0)由P{X=1}=P{X=2},得λ11!e-λ=λ22!e-λ，即λ=0(舍去),λ=2.所以E(X)=2,D(X)=2.习题2下列命题中错误的是().(A)若X∼p(λ),则E(X)=D(X)=λ;(B)若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=D(X)=1λ;(C)若X∼b(1,θ),则E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);(D)若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(X2)=a2+ab+b23.解答：应选(B).E(X)=1λ,D(X)=1λ2.习题3设X1,X2,⋯,Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),则ξ¯=1n∑i=1nξi服从的分布是¯.解答：由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(X¯)=μ,D(X¯)=σ2n.习题4若Xi∼N(μi,σi2)(i=1,2,⋯,n),且X1,X2,⋯,Xn相互独立，则Y=∑i=1n(aiXi+bi)服从的分布是 .解答：应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2).由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.习题5设随机变量X服从泊松分布，且3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},求X的期望与方差.解答：设X∼N(1,2),Y服从参数为3的(泊松)分布，且X与Y独立，求D(XY).解答：\becauseD(XY)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2Y2)-E2(X)2(Y),又\becauseE(X2Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f(x,y)dxdy=∫-∞+∞x2fX(x)dx∫-∞+∞y2fY(y)dy =E(X2)E(Y2),∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)=[D(X)+E2(X)][D(Y)+E2(Y)]-E2(X)E2(Y)=D(X)D(Y)+D(X)E2(Y)+D(Y)E2(X)=2×3+2×32+3×12=27.习题9设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4,又设Y=2X1-X2+3X3-12X4,求E(Y),D(Y).解答：E(Y)=E(2X1-X2+3X3-12X4)=2E(X1)-E(X2)+3E(X3)-12E(X4)=2×1-2+3×3-12×4=7,D(Y)=4D(X1)+D(X2)+9D(X3)+14D(X4)=4×4+3+9×2+14×1=37.25.习题105家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为X1,X2,X3,X4,X5.已知X1∼N(200,225),X2∼N(240,240),X3∼N(180,225),X4∼N(260,265),X5∼N(320,270),X1,X2,X3,X4,X5相互独立.(1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差；(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？解答：(1)设总销售量为X,由题设条件知X=X1+X2+X3+X4+X5,于是E(X)=∑i=15E(Xi)=200+240+180+260+320=1200,D(X)=∑i=15D(X i)=225+240+225+265+270=1225.(2)设商店的仓库应至少储存y千克该产品，为使P{X≤y}>0.99,求y.由(1)易知，X∼N(1200,1225),P{X≤y}=P{X-≤y-=Φ(y-)>0.99.查标准正态分布表得y-=2.33,y=2.33×1225+1200≈1282(kg).习题11设随机变量X1,X2,⋯,Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的数学期望和方差.解答：Xi(i=1,2,⋯,n)的分布函数为F(x)={1-e-x,x>00,其它,Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的分布函数为FZ(z)=1-[1-F(z)]n={1-e-nz,z>00,其它,于是E(Z)=∫0∞zne-nzdz=-ze-nz∣0∞+e-nzdz=1n,而E(Z2)=∫0∞z2ne-nzdz=2n2,于是D(Z)=E(Z2)-(E(Z))2=1n2.4.3 协方差与相关系数习题1设(X,Y)服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是().(A)X,Y不相关；(B)E(XY)=E(X)E(Y);(C)cov(X,Y)=0;(D)E(X)=E(Y)=0.解答：应选（D）。
线性代数第四版课后习题答案
第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---;解 381141102---=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.(2)b a c a c b cb a ;解 ba c a cb cb a=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a c b a ;解 222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).(4)yx y x x y x y yx y x +++.解 yx y x x y x y yx y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n ); 解 逆序数为2)1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个)(6)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) (2n ) (2n -2) ⋅ ⋅ ⋅ 2. 解 逆序数为n (n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n -2) (n -1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项. 解 含因子a 11a 23的项的一般形式为(-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a 11a 23的项分别是(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44, (-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42. 4. 计算下列各行列式:(1)71100251020214214; 解 711025102021421410014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-; 解 2605232112131412-26503212213041224--=====cc 041203212213041224--=====rr0000003212213041214=--=====r r . (3)efcf bf de cd bd aeac ab ---;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b ec b ad f ---=a b c d e f a d f b c e 4111111111=---=.(4)dc b a100110011001---. 解 dc b a100110011001---dc b a ab ar r 10011001101021---++=====d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ad a ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1.5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a ab ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 .(2)y x z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得)5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得) 022122212221222122222=++++=d d c c b b a a .(4)444422221111d c b a d c b a d c b a=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明444422221111d c b a d c b a d c b a)()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b ad a c a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---= ))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------=)()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----= =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).(5)1221 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n +⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .证明 用数学归纳法证明.当n =2时, 2121221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2x +a n -1, 则D n 按第一列展开, 有111 00 10 01)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .因此, 对于n 阶行列式命题成立.6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转, 依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11113 a a a a D n nnn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(--==, D 3=D .证明 因为D =det(a ij ), 所以nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=- ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a a D D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.同理可证nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-=. D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;解aa aa a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开))1()1(10 000 00 000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a an n n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa a a x aa a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a aa a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00, 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 0000 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1. (3)111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n nn n ; 解 根据第6题结果, 有nn n n n n n n n n a a a n a a a na a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++ 此行列式为范德蒙德行列式.∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅-⋅-=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112;解nn nnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开)nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0 0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+.再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2.于是 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而 111111112c b d a d c b a D -==, 所以 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)(.(5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |,4321 4 01233 10122 21011 3210)d e t (⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n aD ij n0 4321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r 15242321 0 22210 02210 00210 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2.(6)nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 11111121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n ≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121 n n n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--10 0001 000 100 0100 0100 00113322121321111312112111011 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nnna a a a a a a a∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i nn a a a a a a a a 1111131********0010 00000 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni in a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 因为14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D , 2841120351*******1512-=-----=D , 426110135232422115113-=----=D , 14202132132212151114=-----=D , 所以 111==DD x , 222==DD x , 333==DD x , 144-==DD x .(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解 因为665510006510006510065100065==D , 15075100165100065100650000611==D , 114551010651000650000601000152-==D , 7035110065000060100051001653==D , 39551601000051000651010654-==D , 21211005100065100651100655==D , 所以66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 6653954-=x , 6652124=x .9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 系数行列式为μλμμμλ-==1211111D .令D =0, 得 μ=0或λ=1.于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解 系数行列式为λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142.(4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫⎝⎛=2914148,但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫⎝⎛=27151610,所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0.(2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E .(3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA ,⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫⎝⎛=101λk A k .8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k .解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA k k kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k kk k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫⎝⎛5221;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθc o s s i ns i n c o s A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθc o s s i ns i n c o s*22122111A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X ;解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122.(3)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201431012.13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E ,或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E ⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1,)3(41)2(1A E E A -=+-. 16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|. 解 因为*||11A A A =-, 所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*. 证明 由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明: (1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得 A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0. (2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n .若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E )可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1=-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1=-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21,1 ,21(d i a g 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521,即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解 4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4.解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则 ⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A , 1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====sn E BC OBC OAC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C AC ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD OBD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A . (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A B C O A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311;解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011.(4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000410003011020201.2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----10000100001000011210232112201023 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00100301100001001220594012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106126311101042111000010000100001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211.4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ; 解 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210 100010001 ~r , 所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B .解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫⎝⎛---==-4741121BA X .5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A , 求X .解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011100101010110001~,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式.7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样? 解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211,矩阵的2秩为,41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431,矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-02301000001000071210~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000010********02301,矩阵的秩为3, 070023085570≠=-是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ). 证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101, 于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====0004321x x x x ,故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有。
线性代数__吴赣昌_第四版__课后习题答案
当你周围都是米的时候，你很安逸;当有一天米缸见底，才发现想跳出去已无能为力。有一种陷阱，名叫安逸!别在最能吃苦的年纪选择安逸!没有危机!是
20、忘时，忘物，忘我。诚实，朴实，踏实。
21、精神成人，知识成才，态度成全。
22、作业考试化，考试高考化，将平时考试当高考，高考考试当平时。 23、我高考我自信我成功!
24、23.再苦再累不掉队，再难再险不放弃
25、拼搏高考，今生无悔;越过高三，追求卓越! 26、挑战人生是我无悔的选择，决胜高考是我不懈的追求。 27、山高不厌攀，水深不厌潜，学精不厌苦:追求! 28、学练并举，成竹在胸，敢问逐鹿群雄今何在?师生同志，协力攻关，笑看
2.(1)
(2)
(3)
3.(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
4
5
6
7
8.(1)
(2)
9
10.(1)
(2)
(3)
11
12
13
14
习题2-3 1.(1) \(2)
(3)
2.(1)
(2)
(3)
3.
4.(1)
(2)
5
6
7.(1)
(2)
习题2-4 1.(1)
(2)
2
3
4.(1)
(2)
(3)
5
6
习题2-5 1.(1)
3.(1)
(2)
4.(1)
(2)
(3)
5
6
习题3-5 1
2
3
4
5
6
习题3-6 1.(1)
43相似矩阵—线性代数(吴赣昌-第四版)
注意：mi 为方程组 ( A j E ) x 0 的基础解
系所含解向量个数 .
A可对角化
m1 m2 ms n
A不可对角化 m1 m2 ms n
推论2 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵的充要条件是 A 的每一个 ni
,n ) (1,2 ,L
,
n
)
2
O
n
因而, Ai ii ,i 1, 2,L , n,
因为P (1,2 ,L
,n )可逆,故1,2 ,L
,
线性无关且
n
它们分别是A对应于特征值1,2,L ,n的特征向量。
设矩阵A有n个线性无关的特征向量 1,2 ,L ,n 它们对应的特征值分别为1，2，L ，n,则Ai ii ,
1
A(1 ,2 ,L
,n ) (1,2 ,L
,
n
)
2
O
n
即 AP PΛ
又1,2 ,L ,n线性无关 ,故P (1,2 ,L ,n )可逆
从而 P1AP Λ, 即A与Λ相似.
推论１若n阶方阵A有n个相异的特征值1, 2 ,L n， 则A可对角化，且A相似于diag(1, 2 ,L n ).
当A的特征方程有重根时，它不一定有n个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化。
设 1, 2 ,L , s是矩阵A的所有特征值，重数分别为 m1, m2 ,L , ms ,
xj1, xj2 ,L , xjmj 是方程组
(A jE)x 0
的一个基础解系, j=1, 2, …, s, A的特征向量组为
(i=1，2，…，s) 重特征值i对应有 ni 个线性无关的特征向量.
《线性代数》(理工类)(第四版)(吴赣昌)完整版内容简介
《线性代数》（理工类，第四版）内容简介
本书根据高等院校理工类本科专业线性代数课程的最新教学大纲及考研大纲编写而成，并在第三版的基础上进行了修订和完善，注重数学概念的实际背景与几何直观的引入，强调线性的思想和方法，紧密联系实际，服务专业课程，精选了许多实际应用案例并配备了相应的应用习题，增补并调整了部分例题与习题，书中还融入了线性模型的教育和数学软件Mathematica的简单应用实例。
本次升级改版的另一重大特色是：每本教材均配有网络账号，通过它可登录作者团队为用户专门建设的网络学习空间，与来自全国的良师益友进行在线交流与讨论。
该空间包含了课程论坛、学习问答、学习软件、教学视频、名师导学、教学博客、科学搜索等功能栏目，并全面支持文字、公式与图形的在线编辑、修改与搜索。
本书内容涵盖了行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值、二次型、线性空间与线性变换等知识。
本书可作为高等学校理科、工科和技术学科等非数学类本科专业的线性代数教材，并可作为上述各专业领域读者的教学参考书。