常微分方程课件1.1.ppt

解: 设t时该时镭元素的量为 R(t),
由于镭元素的衰变律就是R(t)对时间的变化律dR(t) , dt
依题目中给出镭元素的衰变律可得:
dR
kR, dt
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少 .
解之得: R(t) R0ekt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
例2 物理冷却过程的数学模型
教材及参考资料 教 材：常微分方程，(第二版）（97年国家教委一等奖），
王高雄等编（中山大学), 高教出版社。 参考书目：常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社
常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。
常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。
常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。 常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
常微分方程
常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物 理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中 的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运 动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人 口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票 的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规 律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数 学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用 于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
解: 设物体在时刻 t 的温度为 u(t).根据导数的物理意义, 则
温度的变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
du dt
k (u
ua ),
其中 k 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学模型.
u t 注意:此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是
解: 过点(x, y)的切线的横截距与纵截 距分别为 :
x
y y'
和y
xy'.
由题目条件有:
1 2
(x
y y'
)(
y
xy' )
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a2
2. 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲 线所满足的微分方程.
解: 设所求的曲线方程为 y f (x). 由导数的几何意义, 应有
f '(x) 2x,
给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式
子求得 u 与 t 之间的关系式, 以后再介绍.
例3 R-L-C电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系.
解: 电路的Kirchhoff第二定律:
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流
经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 L dI , RI, Q , 其中Q 为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 dt C
e(t) L dI RI Q 0.
为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是 要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学 模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方 程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模 型的过程.
例1 镭的衰变规律:
设镭的衰变规律与该时该现有的量成正比, 且已知t 0时, 镭元素的量为R0克,试确定在 任意t时该时镭元素的量.
将某物体放置于空气中, 在时刻 t 0 时, 测得它的温度为
u0 150 C,10分钟后测量得温度为u1 100 C. 试决定此物
体的温度 u 和时间 t 的关系.
Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一
dt
C
因为 I dQ , 于是得到 dt
d 2I dt 2
R L
dI dt
I LC
1 L
de(t) . dt
这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.
例4 传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专 家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的 试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的 方法建立模型.
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本 章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并 讲述一些最基本概念.
§1.1 微分方程模型
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
即 f (x) 2xdx C x2 C.
又由条件: 曲线过(1,3), 即 f (1) 3,
由于病人总人数为 Ni(t),
所以每天共有 Nis(t)个健康者被感染.
于是病人增加率为
N di Nis,
dt
又因s(t) i(t) 1,再由初始条件得
di i(1 i)
dt
i(0) i0
思考与练习
1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形
的面积都等于常数 a 2 ,求该曲线所满足的微分方程.
假设在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变, 时间以天为计量单位, 假设条件为:
(1)在时该t人群中易感染者(健康)和已感染者 (病人)在总人数中所占比例分别为s(t)和i(t).
(2)每个病人每天有效接触 的平均人数是 , 称日接触率 .
解: 根据题设,每个病人每天可使
s(t)个健康者变为病人 .
学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想，结合线性代 数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出 现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌 握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数 理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通 过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本 方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题， 为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。