(浙江专版)2019版高考数学大一轮复习第八章立体几何初步第7节空间角的计算课件理
2019届高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第一节 空间几何体及其三视图、直观图课件 文.pptx
教材研读
总纲目录
1.空间几何体的结构特征 2.三视图 3.直观图
考点突破
考点一 空间几何体的结构特征
考点二 空间几何体的三视图 考点三 空间几何体的直观图
2
教材研读
1.空间几何体的结构特征
多 (1)棱柱:侧棱都① 平行且相等 ,上、下底面平行且是② 全等 的多边形. 面 (2)棱锥:底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. 体 (3)棱台:可以由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)(2018山东济宁质检)给出的平行四边形;
②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;
③在四棱柱中,若两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直
四棱柱;
④存在每个面都是直角三角形的四面体;
⑤棱台的侧棱延长后交于一点.
9
5.如图,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( C )
A.①② C.②④
B.②③ D.③④
答案 C 由几何体的结构可知,圆锥、正四棱锥两个几何体各自的正 视图和左视图相同,且不与俯视图相同;正方体的三个视图都相同,正三 棱台的三个视图都不相同.
10
6.一个几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是 ( B )
1-1 下列结论正确的是 ( D )
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
答案 D A错误,如图,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几 何体,各面都是三角形,但它不是三棱锥.
(全国通用)2019届高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1.四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线的上三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条 过 该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 .
解析 A中，m，n可能的位置关系为平行、相交、异面，故A错误；
B中，m与n也有可能平行，B错误；
C中，根据线面平行的性质可知C正确；
D中，若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.
123456
解析 答案
5.(2017·湖北七市联考)设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正 确的是 A.在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
【知识拓展】
1.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 2.异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
123456
解析 答案
题型分类 深度剖析
题型一 平面基本性质的应用
师生共研
典例 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的 中点.求证： (1)E，C，D1，F四点共面；
证明 如图，连接EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面.
2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算课件理北师大版
又因为向量(－3，－4,5)的模为 －32＋－42＋52＝5 2，
所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是
1 ±5
2(－3，－4，5)＝±102(－3，－4,5).
123456
解析 答案
6.O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且O→P＝34O→A＋81O→B＋tO→C， 1
若 P，A，B，C 四点共面，则实数 t＝_8__. 解析 ∵P，A，B，C四点共面，
第八章 立体几何与空间向量
§8.6 空间向量及其运算
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
1.空间向量的有关概念
知识梳理
名称 零向量 单位向
量
概念 模为 0 的向量
1 相同 相等
长度相(反模)为相的等 向量
相等向 方向平行或重且合模
的向量
量
平面
表示 0
a＝b
_________a_21＋_a_22_＋_a_23 _________
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b23
___________________
【知识拓展】 1.向量三点共线定理 在平面中 A，B，C 三点共线的充要条件是：O→A＝xO→B＋yO→C(其中 x＋y ＝1)，O 为平面内任意一点. 几何画板展示 2.向量四点共面定理 在空间中 P，A，B，C 四点共面的充要条件是：O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(其 中 x＋y＋z＝1)，O 为空间中任意一点. 几何画板展示
123456
解析 答案
题组三 易错自纠
4. 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 A(1,2,3) ， B( － 2 ， － 1,6) ， C(3,2,1) ，
(浙江版)2019年高考数学一轮复习 专题8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图(讲)
（浙江版）2019年高考数学一轮复习专题8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图（讲）【考纲解读】年考查三视图、几何体1与立体几何数学应用的【知识清单】1．空间几何体的结构特征一、多面体的结构特征二、旋转体的形成三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．对点练习：有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A2空间几何体的直观图简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．【年福建省数学基地校高三复习试卷】一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为( )D.3.几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方【】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）（B）（C）（D）2【答案】B【解析】【考点深度剖析】三视图是高考重点考查的内容，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积与体积．命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算，解答题往往以常见几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力，期间需要灵活应用几何体的结构特征．【重点难点突破】考点1：空间几何体的结构特征【1-1】如图几何体中是棱柱的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【1-2】下列命题中正确的有__________．①有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；②存在一个四个侧面都是直角三角形的四棱锥；③如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形；④圆台的任意两条母线所在直线必相交；【答案】②④【解析】①不正确，因为不能保证等腰梯形的各个腰延长后交与一点．②如右图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故②正确；③如图所示的棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面不是矩形；故③错误④根据圆台的定义和性质可知，命题④正确．系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决．【变式1】一个棱柱是正四棱柱的条件是( )．A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱B两选项中侧棱与底面不一定垂直，选C.【变式2届云南省名校月考一】面上，若球心到过A点的三条棱所在直线的距离分别是考点2 空间几何体的直观图【2-1】利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是)．①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．【解析】①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误．【2-2】在如图所示的直观图中，四边形O′A′B，则在xOy坐标系中，四边形ABCO 为________，面积为________ cm 2.【答案】矩形8【领悟技法】按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图＝4S 原图形，S 原图形＝S 直观图． 【触类旁通】【变式1】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( ) A．2+B. 12+C. 22+ D．1【答案】A【解析】由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰和上底长度均为1，得下底长为1+1, 1+2的直角梯形． 所以面积S ＝12(12+故选A.【变式2】如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形【答案】C【解析】将直观图还原得▱OABC，如图，∵O′D′＝2O′C′＝2 2 (cm)，OD＝2O′D′＝4 2 (cm)，C′D′＝O′C′＝2 (cm)，∴CD＝2 (cm)，OC ＝CD2＋OD2＝22＋422＝6 (cm)，OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC，故原图形为菱形．综合点评：解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.考点3 空间几何体的三视图【3-1】【2018届河南省新乡市第一中学高三8月月考】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）【答案】B【3-2】【江西卷】将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )【答案】 (1)D (2)D【解析】 (1)球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A 和C.对于如图所示三棱锥OABC,当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.(2)如图所示，点D 1的投影为C 1，点D 的投影为C ，点A 的投影为B ，故选D.【3-3】【2018届广东省广州市海珠区高三综合测试一】如图，点,M N 分别是正方体1111ABCD A B C D 的棱1111,A B A D 的中点，用过点,,A M N 和点1,,D N C 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（ ）A. ①③④B. ②④③C. ①②③D. ②③④【答案】D【领悟技法】三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．【触类旁通】【变式1】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )【答案】C【变式2】如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )．【答案】D【变式3】【武汉市部分学校2016 届高三调研】）一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为（．．．．．）．①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.中的A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】B【解析】若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立.综合点评：三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.【易错试题常警惕】易错典例：一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．【错解】①②⑤【错因】忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③.【正解】①三棱锥的主视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其主视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的主视图是三角形；④对于四棱柱，不论怎样放置，其主视图都不可能是三角形；⑤当圆锥的底面水平放置时，其主视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其主视图也不可能是三角形．故正确答案为①②③⑤.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：【典例】【2017届河北省石家庄市二模】如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几ABB A为矩何体，截面与底面所成的角为45 ，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形'' AA将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（）形，若沿'A. B.C. D. 【答案】A。
(浙江专版)高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 专题探究课4 高考中立体几何问题的热点题型课件 理
满分解答 (1)证明 ∵OB＝OC，又∵∠ABC＝π4， ∴∠OCB＝π4，∴∠BOC＝π2. ∴CO⊥AB.3 分(得分点 1) 又 PO⊥平面 ABC，OC⊂平面 ABC，∴PO⊥OC. 又∵PO，AB⊂平面 PAB，PO∩AB＝O， ∴CO⊥平面 PAB，即 CO⊥平面 PDB. 5 分(得分点 2) 又 CO⊂平面 COD，∴平面 PDB⊥平面 COD.7 分(得分点 3)
解 法一 (1)根据题意，长方体体积为 V＝t(2－t)×1＝t(2－t)≤t＋22－t2＝1， 当且仅当 t＝2－t，即 t＝1 时体积 V 有最大值为 1， 所以当长方体 ABCD－A1B1C1D1 的体积最大时， 底面四边形 ABCD 为正方形. 作 BM⊥A1C 于 M，连接 DM，BD. 因为四边形 ABCD 为正方形，所以△A1BC 与△A1DC 全等， 故 DM⊥A1C， 所以∠BMD 即为所求二面角的平面角.
【例2】 (一题多解)如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD－A1B1C1D1的 四个侧面，记底面上一边AB＝t(0<t<2)，连接A1B，A1C，A1D.
(1)当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B－A1C－D的大小； (2)线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD？若有，求出P点的位置；若没有， 请说明理由.
【训练1】 (一题多解)(2017·浙江卷)如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜 边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点.
(1)证明：CE∥平面PAB； (2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
2019版高考数学一轮复习第八章立体几何第1讲空间几何体的三视图和直观图配套课件理
2.三视图与直观图
三视图 画法规则：长对正，高平齐，宽相等 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画. 基本步骤是： ①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中 x′ 轴、y′轴的夹角为 45°(或 135°)，z′轴与 x′轴 直观图 垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于 坐标轴.平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原 长度不变，平行于 y 轴的线段在直观图中长度为原来 的一半.
(2)在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几
何体形的 4 个顶点，这些几何形体是__________(写出所有正确
结论的编号). ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直 角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等 边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
第八章
立体几何
第1讲 空间几何体的三视图和直观图
考纲要求
考点分布
考情风向标
2011 年新课标第 8 题考查简单几何 1.认识柱、锥、台、球及其简单 体的三视图； 组合体的结构特征，并能运用这 2012 年新课标第 7 题考查简单几何 些特征描述现实生活中简单物体 体的三视图及体积计算； 的结构. 2013年新课标Ⅰ第11题考查简单几 2. 能画出简单空间图形 ( 长方体、 何体的三视图，并计算其体积； 球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易 2014 年新课标Ⅰ第 8 题考查由三视 组合 ) 的三视图，能识别上述三 图想象空间图形； 视图所表示的立体模型，会用斜 2015 年新课标Ⅱ第 6 题考查简单几 二测画法画出它们的直观图. 何体的三视图、正方体及三棱锥的 3.会用平行投影与中心投影两种 体积公式； 方法画出简单空间图形的三视图 2015年新课标Ⅰ第11题考查简单几 与直观图，了解空间图形的不同 何体的三视图、圆柱的侧面积公式 表示形式. 及球的表面积公式； 4.会画某些建筑物的视图与直观 2016 年新课标Ⅰ第 7 题考查三视图 图 ( 在不影响图形特征的基础上， 及体积、表面积的运算； 尺寸、线条等不做严格要求) 2017 年新课标Ⅰ第 7 题考查三视图 及面积的运算
高考数学(浙江版,理科)大一轮复习：第八章++立体几何(
第八章立体几何第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图一、选择题1. 下列四个几何体中，几何体只有主视图和左视图相同的是( )A．①② B．①③C．①④ D．②④解析由几何体分析知②④中主视图和左视图相同．答案 D2．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()．A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．答案 A3．将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()．解析还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．答案 B4．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()．解析A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.答案 D5．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )．A.24a2 B．22a2 C.22a2 D.223a2解析根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝24S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于a224＝22a2.故选B.答案 B6．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()．解析选项C不符合三视图中“宽相等”的要求．答案 C二、填空题7.如图所示，E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是________(填序号)．解析B在面DCC1D1上的投影为C，F、E在面DCC1D1上的投影应分别在边CC1和DD1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．答案②8．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．解析(构造法)由主视图和俯视图可知几何体是ABCD)，还原正方体切割后的一部分(四棱锥C在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，如图即AC1.由正方体棱长AB＝2知最长棱AC的长为2 3.1答案2 39．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上正确结论的序号是________．解析由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．答案①10．图(a)为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成；图(b)中的三视图表示的实物为________．图(a)图(b)解析(1)由三视图可知从正面看到三块，从侧面看到三块，结合俯视图可判断几何体共由4块长方体组成．(2)由三视图可知几何体为圆锥．答案4圆锥三、解答题11．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)．(1)在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；解 (1)如图．(2)所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2 ＝2843(cm 3)． 12．已知圆锥的底面半径为r ，高为h ，且正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．解 如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x ，则在轴截面中，正方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长分别为x 和2x .∵△VA 1C 1∽△VMN ，∴2x 2r ＝h －x h ，∴x ＝2rh 2r ＋2h .即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r ＋2h.13．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？解如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，高OS＝3，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝7，在Rt△SOA中，OA＝SA2－OS2＝2，∴AC＝4.∴AB＝BC＝CD＝DA＝2 2.作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高，在Rt△SOE中，∵OE＝12BC＝2，SO＝3，∴SE＝5，即侧面上的斜高为 5.14．(1)如图1所示的三棱锥的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，那么该三棱锥的侧视图是图2还是图3?(2)某几何体的三视图如图4，问该几何体的面中有几个直角三角形？(3)某几何体的三视图如图5，问该几何体的面中有几个直角三角形？解(1)该三棱锥在侧(右)投影面上的投影是一直角三角形，该三棱锥的侧视图应是图2.(2)该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中OA、OB、OC两两垂直，∴△OAB 、△OAC 、△OBC 都是直角三角形，但△ABC 是锐角三a 2＋c 2，BC ＝角形．设AO ＝a ，OC ＝c ，OB ＝b ，则AC ＝a 2a 2＋b 2·c 2＋a2>0，c 2＋b 2，AB ＝a 2＋b 2，∴cos ∠BAC ＝∴∠BAC 为锐角．同理，∠ABC 、∠ACB 也是锐角． 综上所述，该几何体的面中共有三个直角三角形．(3)该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BD ⊥CD ，∴DC ⊥面ABD ，∴DC ⊥AD ， ∴△ACD 也是直角三角形．∴该几何体的面中共有四个直角三角形.。
第8章 立体几何初步(复习课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
81 C. 4 π
D．16π
(1)如图，设 PE 为正四棱锥 P-ABCD 的高，则正四棱锥 P-ABCD 的 外接球的球心 O 必在其高 PE 所在的直线上，延长 PE 交球面于一点 F，连接 AE，AF.
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，
又底面边长为4, 所以AE＝2 2 ， PE＝6, 所以侧棱长PA＝
3
在Rt△CDE中,
故二面角B-AP-C的正切值为2.
tanCED CD 2 3 2， DE 3
归纳总结
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的 夹角). (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影). (3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法； ③垂面法.
的表面积为 16π，则 O 到平面 ABC 的距离为
A. 3
3 B.2
√C.1
3 D. 2
解析 如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC， 则O1为等边三角形ABC的外心. 设△ABC的边长为a， 则 43a2＝943，解得 a＝3， ∴O1A＝23× 23×3＝ 3. 设球O的半径为r，则由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2. 在 Rt△OO1A 中，OO1＝ OA2－O1A2＝1，
五、直线、平面平行的判定与性质
1．直线与平面平行
(1)判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行).
(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任 一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线 线平行”).
2．平面与平面平行
则直线 PB 与 AD1 所成的角为( )
A．
2
(浙江专版)2019版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.1 空间几何体的三视图 表面积和体积学案
§8.1空间几何体的三视图、表面积和体积考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计2013 2014 2015 2016 20171.三视图和直观图1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征,理解柱、锥、台、球的结构特征.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,会用斜二测法画出它们的直观图.3.会用平行投影画出简单空间图形的三视图或直观图,了解空间图形的不同表示形式.4.能识别三视图所表示的空间几何体;理解三视图和直观图的联系,并能进行转化.了解、理解12,2分5(文),3分3,3分3(文),3分2,3分2(文),3分11,6分9(文),6分3,4分2.空间几何体的表面积会计算球、柱、锥、台的表面积(不要求记忆公式).掌握3,2分11,3分3.空间几何体的体积会计算球、柱、锥、台的体积(不要求记忆公式).12,2分5(文),2分3(文),2分2,2分2(文),2分11,3分14,4分9(文),3分分析解读 1.三视图与直观图的识别及二者的相互转化是高考考查的热点,考查几何体的展开图、几何体的三视图的画法.2.考查柱、锥、台、球的结构特征,以性质为载体,通过选择题、填空题的形式呈现.3.考查柱、锥、台、球的表面积与体积的计算,主要是与三视图相结合,也可与柱、锥、球的接切问题相结合,不规则几何体的表面积与体积的计算也有可能考查.4.预计2019年高考试题中,对三视图与直观图的识别以及求由三视图所得几何体的表面积和体积的考查是必不可少的.柱、锥、台、球的结构特征可能以选择题、填空题的形式出现,它们的表面积与体积的计算还是会与三视图相结合,或以组合体的形式出现,复习时应引起重视.五年高考考点一三视图和直观图1.(2017浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.+1B.+3C.+1D.+3答案 A2.(2017北京文,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A.60B.30C.20D.10答案 D3.(2017课标全国Ⅱ理,4,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A.90πB.63πC.42πD.36π答案 B4.(2017课标全国Ⅰ理,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.16答案 B5.(2017北京理,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( )A.3B.2C.2D.2答案 B6.(2016课标全国Ⅱ,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π答案 C7.(2015课标Ⅱ,6,5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. B. C. D.答案 D8.(2015重庆,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.+πB.+πC.+2πD.+2π答案 A9.(2015安徽,7,5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A.1+B.2+C.1+2D.2答案 B10.(2014江西,5,5分)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )答案 B11.(2013湖南,7,5分)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于( )A.1B.C.D.答案 C12.(2013浙江,12,4分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于cm3.答案2413.(2017山东理,13,5分)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为.答案2+教师用书专用(14—23)14.(2014湖北,5,5分)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A.①和②B.③和①答案 D15.(2014北京,7,5分)在空间直角坐标系O-xyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则( )A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1答案 D16.(2015陕西,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案 D17.(2014福建,2,5分)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱答案 A18.(2014辽宁,7,5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.8-2πB.8-πC.8-D.8-答案 B19.(2013课标全国Ⅱ,7,5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( )答案 A20.(2013广东,5,5分)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )A.4B.C.D.6答案 B21.(2013重庆,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. B. C.200 D.240答案 C22.(2013陕西,12,5分)某几何体的三视图如图所示,则其体积为.答案23.(2013辽宁,13,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是.答案16π-16考点二空间几何体的表面积1.(2014浙江,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm2答案 D2.(2016课标全国Ⅲ,9,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18+36B.54+18C.90D.81答案 B3.(2016课标全国Ⅰ,6,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π答案 A4.(2015课标Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )A.1B.2C.4D.8答案 B5.(2015课标Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π答案 C6.(2017课标全国Ⅱ文,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案14π7.(2017课标全国Ⅰ文,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.答案36π教师用书专用(8—11)8.(2014重庆,7,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.54B.60C.66D.72答案 B9.(2015北京,5,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )A.2+B.4+C.2+2D.5答案 C10.(2014安徽,7,5分)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )A.21+B.18+C.21D.18答案 A11.(2013福建,12,4分)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是.答案12π考点三空间几何体的体积1.(2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )A.8 cm3B.12 cm3C. cm3D. cm3答案 C2.(2017课标全国Ⅲ理,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A.πB.C.D.答案 B3.(2016北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.1答案 A4.(2016课标全国Ⅲ,10,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( )A.4πB.C.6πD.答案 B5.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案 B6.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=( )A. B.C. D.答案 A7.(2015山东,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. B. C. D.2π答案 C8.(2014课标Ⅱ,6,5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. B. C. D.答案 C9.(2014湖北,8,5分)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A. B. C. D.答案 B10.(2016浙江,14,4分)如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.答案11.(2017课标全国Ⅰ理,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.答案412.(2017天津理,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.答案π13.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案π14.(2015江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.答案15.(2017课标全国Ⅱ文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明:直线BC∥平面PAD;(2)若△PCD的面积为2,求四棱锥P-ABCD的体积.解析本题考查线面平行的判定和体积的计算.(1)证明:在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,故BC∥平面PAD.(2)取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=AD及BC∥AD,∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD,所以PM⊥CM.设BC=x,则CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PN⊥CD,所以PN=x.因为△PCD的面积为2,所以×x×x=2,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=2.所以四棱锥P-ABCD的体积V=××2=4.16.(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?解析(1)由PO1=2 m知O1O=4PO1=8 m.因为A1B1=AB=6 m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0<h<6,O1O=4h(m).连接O1B1.因为在Rt△PO1B1中, O1+P=P,所以+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a2·4h+a2·h=a2h=(36h-h3),0<h<6,从而V'=(36-3h2)=26(12-h2).令V'=0,得h=2或h=-2(舍).当0<h<2时,V'>0,V是单调增函数;当2<h<6时,V'<0,V是单调减函数.故h=2时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=2 m时,仓库的容积最大.教师用书专用(17—23)17.(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )A.+πB.+πC.+πD.1+π答案 C18.(2014陕西,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )A. B.4π C.2π D.答案 D19.(2013课标全国Ⅰ,6,5分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3答案 A20.(2013课标全国Ⅰ,8,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π答案 A21.(2013湖北,8,5分)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有( )A.V1<V2<V4<V3B.V1<V3<V2<V4C.V2<V1<V3<V4D.V2<V3<V1<V4答案 C22.(2014江苏,8,5分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2,体积分别为V1、V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是.答案23.(2014山东,13,5分)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则= .答案三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一三视图和直观图1.(2018浙江杭州二中期中,5)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正方形,则该几何体最大的侧面的面积为( )A.1B.C.D.2答案 C2.(2016浙江宁波“十校”联考,3)如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.2B.C.2D.答案 C3.(2017浙江名校协作体,12)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是,则正视图中的x的值是,该几何体的表面积是.答案2;考点二空间几何体的表面积4.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,3)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积为( )A.8+4B.6++2C.6+4D.6+2+2答案 A5.(2018浙江高考模拟卷,13) 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积是,表面积是.答案;1++6.(2017浙江宁波二模(5月),12)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2;体积是cm3.答案38;12考点三空间几何体的体积7.(2018浙江镇海中学期中,3)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.15B.20C.25D.30答案 B8.(2018浙江浙东北联盟期中,3)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.+πB.+πC.+2πD.+2π答案 A9.(2017浙江台州4月调研卷(一模),4)某空间几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是( )A.πB.C.D.答案 A10.(2018浙江镇海中学期中,11)某圆锥的侧面展开图是面积为3π,且圆心角为的扇形,则此圆锥的母线长为,体积为.答案3;B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2018浙江温州适应性测试,3)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.+πB.+πC. D.答案 A2.(2016浙江名校(衢州二中)交流卷五,3)已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如图,若图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为2,则该几何体的表面积是( )A. B.2π C.4π D.答案 C二、填空题3.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,12)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为;表面积为.答案;24+8+84.(2018浙江9+1高中联盟期中,15)某几何体的三视图如图所示,则俯视图的面积为;此几何体的体积为.答案+2;π+5.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,14)一个几何体的三视图如图所示,正视图与俯视图为全等的矩形,侧视图为正方形和一个圆,则该几何体的表面积为;体积为.答案32+(-1)π;12-π6.(2017浙江绍兴质量调测(3月),12)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为,体积为.答案2+2;7.(2017浙江金华十校调研,12)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为,表面积为.答案12+π;38+π8.(2017浙江吴越联盟测试,11)一个多面体的三视图如图所示,则其表面积为,体积为.答案20;C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 三视图的解题策略1.(2016浙江镇海中学期中,5)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图为( )答案 C方法2 求空间几何体的表面积的解题策略2.(2018浙江名校协作体期初,11)一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后,剩下部分的三视图如图所示,则该几何体的表面积为,体积为.答案18+2;3.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,13)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体最长的棱的长度为;体积为.答案;方法3 求空间几何体体积的解题策略4.(2018浙江重点中学12月联考,6)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.2B.C.D.3答案 C5.(2017浙江宁波期末,12)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积是,体积是.答案16+2;66.(2017浙江名校协作体期初,10)一个几何体的三视图如图所示,正视图与侧视图为全等的矩形,俯视图为正方形,则该几何体的表面积为,体积为.答案28+4;8。
2019版高考数学一轮总复习第八章立体几何8空间向量的应用(二)空间的角与距离第1课时课件理
(2)直线与平面所成的角． ①定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内 的射影所成的角． ②范围：直线和平面所成的角 θ 的取值范围是[0，π2 ]． ③向量求法：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u， 直线与平面所成的角为 θ，a 与 u 的夹角为 φ，则有 sinθ ＝|cos φ |或 cosθ ＝sinφ ．
点面距的求法 如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，
→ 则 B 到平面 α 的距离 d＝|A|Bn|·n|．
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角． (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平 面所成的角． (3)两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角． (4)两异面直线夹角的范围是(0，π2 ]，直线与平面所成角的范 围是[0，π2 ]，二面角的范围是[0，π ]．
4. (2018·湖北黄冈中学月考)如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝ 6，则 AA1 与平面 AB1C1 所成的角为( )
π
π
A. 6
பைடு நூலகம்
B. 4
π
π
C. 3
D. 2
答案 A 解析 方法一：(定义法) 取B1C1的中点为O，连接OA，OA1，故OA1⊥B1C1.又AA1⊥ B1C1，故B1C1⊥平面A1AO，易证∠A1AO为所求线面角．因为 AA1＝ 6，OA1＝ 2，所以tan∠A1AO＝ 33，所以∠A1AO＝π6 .
3 A. 2
2 B. 2
3
1
C. 3
D.3
答案 A 解析 因为过点 A 的平面 α 与平面 CB1D1 平行，平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1，所以 m∥B1D1∥BD，又 A1B∥平面 CB1D1，所以 n∥A1B，则 BD 与 A1B 所成的角为所求角，所以 m， n 所成角的正弦值为 23，选 A.