初三数学旋转单元测试题与答案
中国人民大学附属中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试题(含答案解析)
（1）如图1，当点E落在边CD上时，求线段CE的长；
（2）如图2，当点E落在线段CF上时，求证：∠EAC＝∠BAC；
（3）在（2）的条件下，CD与AE交于点H，求线段DH的长．
18．如图，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′，若∠A′=40°，则∠B′=°，∠AOB=．
19．如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为______________．
（1）试判断DM，BN，MN之间的数量关系，并写出证明过程．
（2）如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上， ，连接MN，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD， ， ，点N，M分别在边BC，CD上， ，请直接写出线段BN，DM，MN之间的数量关系．
A．3种B．4种C．5种D．6种
10．下列四个图案中，不是中心对称图案的是（）
A． B． C． D．
11．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
12．如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的 ，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的（ ）
20．如图，将边长为1的正三角形 沿 轴正方向作无滑动的连续反转，点 依次落在点 ， ， 的位置，则点 的坐标为______．
人教版九年级上学期数学《旋转》单元测试题附答案
九年级上册数学《旋转》单元测试卷(满分120分，考试用时120分钟)一、单选题1．如图，将△A B C 绕点A 按逆时针方向旋转100°，得到△A B 1C 1，若点B 1在线段B C 的延长线上，则∠B B 1C 1的大小为( )A ．70°B ．80°C ．84°D ．86°2．点P(3，5)关于原点对称的点的坐标是()A ．(﹣3，5)B ．(3，﹣5)C ．(5，3)D ．(﹣3，﹣5)3．观察下列四个图形．其中两个三角形的组合方式与另外三个不同的是( )A ．B ．C ．D ．4．正方形ABCD中的顶点A在平面坐标系中的坐标为()1,1，若将正方形ABCD绕着原点O按逆时针旋转135．则旋转后的点A坐标为( )A ．(-1, 1)B ．(1, -1)C ．(0, -D ．(-5．下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点()5,3D 在边AB 上，以C 为中心，把CDB △旋转90︒，则旋转后点D 的对应点'D 的坐标是( )A ．()2,10B ．()2,0-C ．()2,10或()2,0-D ．()10, 2或()2,0-7．下列不是图形的旋转、平移、轴对称的共同特征的是( )A ．对应线段与对应角不变B ．图形的大小不变C ．图形的形状不变D ．对应线段平行8．根据指令[],(0,0360)s A s A ≥≤<机器人在平面上能完成如下动作:先在原地顺时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s ．现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y 轴的负方向，为使其移动到点()3,0-，应下的指令是( ) A ． 3,90?⎡⎤⎣⎦ B ． 90,3⎡⎤⎣⎦ C ． 3,90⎡⎤-⎣⎦ D ． 3,270⎡⎤⎣⎦9．下列关于等腰三角形的叙述错误的是( )A ．等腰三角形两底角相等B ．等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合C ．等腰三角形的三边相等D ．等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形10．如图，Rt △A B C 中，∠A C B =90°，A C =4，将斜边A B 绕点A 逆时针旋转90°至A B ′．连接B 'C ，则△A B 'C 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．1011．如图，点E 是正方形A B C D 的边D C 上一点，把△A D E 绕点A 顺时针旋转90°到△A B F 的位置，若四边形A EC F 的面积为25，D E=3，则A E 的长为( )A B ．5 C ．8 D ．412．如图，Rt ABC 中，C 90∠=，A 60∠=，AC 6=，以斜边AB 的中点D 为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90得到Rt A'B'C'，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为( )A ．6B ．9C ．D ．二、填空题 13．如图，把一个直角三角尺A C B 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 与C B 的延长线上的点E重合连接C D ，则∠B D C 的度数为_____度．14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A 的坐标为，1)，将OA 绕原点逆时针方向旋转90°得OB ，则点B 的坐标为_____．15．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子A ，O，B 的位置如图所示，它们的坐标分别是(﹣1，1)，(0，0)和(1，0)，在其他点位置添加一颗棋子P，使A ，O，B ，P 四颗棋子成为一个中心对称图形，请写出棋子P 的位置坐标_____(写出1 个即可)．16．如图，在△B D E中，∠B D E=90°，，点D 的坐标是(5，0)，∠B D O=15°，将△B D E旋转到△A B C 的位置，点C 在B D 上，则旋转中心的坐标为_______ .三、解答题17．如图，P是正ABC内的一点，若将PAC绕点A逆时针旋转到P'AB，(1)求PAP'∠的度数．(2)若AP 3=，BP 4=，PC 5=，求PAB ∠的度数．18．如图，ABC 的顶点坐标分别为()A 2,2-，()B 4,4，()C 1,2．将ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转90，得到A B C '''(A '、B '、C '分别为A 、B 、C 的对应点)，在坐标系中画出A B C '''，并写出A '、B '、C '三点的坐标．19．如图1，ABC 中，C 90∠=，BC 3=，AC 4=，AB 5=，将ABC 绕着点B 旋转一定的角度，得到DEB .(1)若点F 为AB 边上中点，连接EF ，则线段EF 的范围为________.(2)如图2，当DEB 直角顶点E 在AB 边上时，延长DE ，交AC 边于点G ，请问线段DE 、EG 、AG 具有怎样的数量关系，请写出探索过程．20．如图，四边形A B C D 是正方形，△A D F 绕着点A 顺时旋转90°得到△A B E ，若A F ＝4，A B ＝7．(1)求D E 的长度;(2)指出B E 与D F 的关系如何？并说明由．21．如图，已知点A ，B 的坐标分别为(4，0)，(3，2)．(1)画出△A OB 关于原点O对称的图形△C OD ;(2)将△A OB 绕点O按逆时针方向旋转90°得到△EOF，画出△EOF;(3)点D 的坐标是，点F的坐标是，此图中线段B F和D F的关系是．22．如图①，在Rt ABC 中，90C ∠=．将ABC 绕点C 逆时针旋转得到''A B C ，旋转角为α，且0180α<<．在旋转过程中，点'B 可以恰好落在AB 的中点处，如图②．()1求A ∠的度数;()2当点C 到'AA 的距离等于AC 的一半时，求α的度数．23．在Rt △A B C 中，∠A C B =90°，，点D 是斜边A B 上一动点(点D 与点A 、B 不重合)，连接C D ，将C D 绕点C 顺时针旋转90°得到C E ，连接A E ，D E ．(1)求△A D E 的周长的最小值;(2)若C D =4，求A E 的长度．24．两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，25AB =，17CD =．保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转(090)αα<<角度，如图2所示． ()1利用图2证明AC BD =且AC BD ⊥;()2当BD 与CD 在同一直线上(如图3)时，求AC 的长和α的正弦值．参考答案一、单选题1．如图，将△A B C 绕点A 按逆时针方向旋转100°，得到△A B 1C 1，若点B 1在线段B C 的延长线上，则∠B B 1C 1的大小为( )A ．70°B ．80°C ．84°D ．86°[答案]B[解析][分析]由旋转的性质可知∠B ＝∠A B 1C 1，A B ＝A B 1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B ＝∠B B 1A ＝∠A B 1C 1＝40°，从而可求得∠B B 1C 1＝80°.[详解]由旋转的性质可知:∠B ＝∠A B 1C 1，A B ＝A B 1，∠B A B 1＝100°.∵A B ＝A B 1，∠B A B 1＝100°，∴∠B ＝∠B B 1A ＝40°.∴∠A B 1C 1＝40°.∴∠B B 1C 1＝∠B B 1A +∠A B 1C 1＝40°+40°＝80°.故选:B .[点评]本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到△A B B 1为等腰三角形是解题的关键.2．点P(3，5)关于原点对称的点的坐标是()A ．(﹣3，5)B ．(3，﹣5)C ．(5，3)D ．(﹣3，﹣5)[答案]D[解析][分析]根据关于原点对称的点的坐标特点:两个点关于原点对称时，横纵坐标的坐标符号均相反，根据这一特征求出对称点坐标．[详解]解:点P(3，5)关于原点对称的点的坐标是(-3，-5)，故选D ．[点评]本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的变化规律．3．观察下列四个图形．其中两个三角形的组合方式与另外三个不同的是( )A ．B ．C ．D ．[答案]C[解析][分析]根据两三角形的位置关系确定几何变换类型，继而得出答案．[详解]A 、图形通过旋转得到;B 、图形通过旋转得到;C 、图形通过平移得到;D 、图形通过旋转得到;故选:C ．[点评]本题考查了几何变换的类型，属于基础题，关键是掌握几种几何变换的特点．4．正方形中的顶点在平面坐标系中的坐标为，若将正方形绕着原点按逆时针旋转．则旋转后的点坐标为( )A ．(-1, 1)B ．(1, -1)C ．(0, -)D ．(-, 0)[答案]D[解析][分析]根据旋转中心为原点，旋转方向逆时针，旋转角度135°，作出点A 的对称图形A ′，求得OA 的长度，也就求得了OA ′的长度，可得所求点的坐标．[详解]如图:∵∴OA ′=O，∴A′0)．故选:D ．[点评]本题考查了由图形旋转得到相应坐标，根据旋转中心，旋转方向及角度得到相应图形是解决本题的关键．ABCD A ()1,1ABCD O 135A5．下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案]B[解析][分析] 根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断即可求解．[详解]解:第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形;第二、三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形，第四个图形不是轴对称图形，不是中心对称图形;故选:B ．[点评]此题考查中心对称图形，轴对称图形，解题关键在于对概念的掌握6．如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是( )A ．B ．C ．或D ．或OABC OA OC x y ()5,3D AB C CDB △90︒D 'D ()2,10()2,0-()2,10()2,0-()10, 2()2,0-[答案]C[解析][分析]先根据正方形的性质求出B D 、B C 的长，再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，然后分别根据旋转的性质求解即可得．[详解]四边形OA B C 是正方形，由题意，分以下两种情况:(1)如图，把逆时针旋转，此时旋转后点B 的对应点落在y 轴上，旋转后点D 的对应点落在第一象限由旋转的性质得:点的坐标为(2)如图，把顺时针旋转，此时旋转后点B 的对应点与原点O 重合，旋转后点D 的对应点落在x 轴负半轴上由旋转的性质得:点的坐标为综上，旋转后点D 的对应点的坐标为或故选:C ．(5,3)D 5,3,2,90BC OC AB OA AD BD AB AD B ∴======-=∠=︒CDB △90︒B 'D 2,5,90B D BD B C BC CB D B '''''====∠=∠=︒10OB OC B C ''∴=+=∴D (2,10)CDB △90︒B ''D ''2,5,90B D BD B C BC CB D B ''''''''''====∠=∠=︒∴D ''(2,0)-D (2,10)(2,0)-[点评]本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 7．下列不是图形的旋转、平移、轴对称的共同特征的是( )A ．对应线段与对应角不变B ．图形的大小不变C ．图形的形状不变D ．对应线段平行 [答案]D[解析][分析]根据三种变换得到的图形都与原图形全等，进行分析．[详解]解:根据平移、旋转和轴对称的基本性质，知A . B . C 都是正确的;D . 在旋转中，对应线段不一定平行，故错误.故选D .[点评]本题主要考查几何变换的类型，熟悉掌握是关键.8．根据指令机器人在平面上能完成如下动作:先在原地顺时针旋转角度，再朝其面对的方向沿直线行走距离．现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对轴的负方向，为使其移动到点，应下的指令是( ) [],(0,0360)s A s A ≥≤<A s y ()3,0-A ．B ．C ．D ．[答案]A[解析][分析] 若顺时针旋转90°，则机器人面对x 轴负方向，根据向x 轴负半轴走3个单位可得相应坐标．[详解]解:根据点(0,0)到点(−3,0),即可知机器人先顺时针转动，再向左平移3个单位，于是应下指令为[3,].故选A .[点评]本题主要考查坐标与图形变化-旋转，熟悉掌握是关键.9．下列关于等腰三角形的叙述错误的是( )A ．等腰三角形两底角相等B ．等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合C ．等腰三角形的三边相等D ．等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形[答案]C[解析][分析]直接利用等腰三角形的性质分别分析得出答案．[详解]A 、等腰三角形两底角相等，正确，不合题意;B 、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，正确，不合题意;3,90?⎡⎤⎣⎦ 90,3⎡⎤⎣⎦ 3,90⎡⎤-⎣⎦ 3,270⎡⎤⎣⎦9090C 、等腰三角形的三边相等，错误，符合题意;D 、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，正确，不合题意;故选:C ．[点评]此题主要考查了等腰三角形的性质，正确掌握等腰三角形的性质是解题关键．10．如图，Rt△A B C 中，∠A C B =90°，A C =4，将斜边A B 绕点A 逆时针旋转90°至A B ′．连接B 'C ，则△A B 'C 的面积为()A ．4B ．6C ．8D ．10[答案]C[解析][分析]过点B '作B 'E⊥A C 于点E，由题意可证△A B C ≌△B 'A E，可得A C ＝B 'E＝4，即可求△A B 'C 的面积．[详解]如图:过点B '作B 'E⊥A C 于点E∵旋转∴A B ＝A B '，∠B A B '＝90°∴∠B A C +∠B 'A C ＝90°，且∠B 'A C +∠A B 'E ＝90°∴∠B A C ＝∠A B 'E ，且∠A EB '＝∠A C B ＝90°，A B ＝A B '∴△A B C ≌△B 'A E (A A S )∴A C ＝B 'E ＝4∴S △A B 'C ＝×A C ×B 'E ＝×4×4＝8 故选C ．[点评]本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是解决本题的关键． 11．如图，点E 是正方形A B C D 的边D C 上一点，把△A D E 绕点A 顺时针旋转90°到△A B F 的位置，若四边形A EC F 的面积为25，D E=3，则A E 的长为( )AB ．5C ．8D ．4[答案]A[解析][分析] 利用旋转的性质得出四边形A EC F 的面积等于正方形A B C D 的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．[详解]把顺时针旋转的位置，1212ADE ABF四边形A EC F 的面积等于正方形A B C D 的面积等于25，，，中，故选A ．[点评]此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键． 12．如图，中，，，，以斜边的中点为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为( )A ．B ．C ．D ．[答案]B[解析][分析] 如图，先计算出A B =2A C =12，根据中点定义则可得B D =6，根据旋转的性质可得 D =B D =6，在Rt △BD M 中，可求得D M 、B M 的长，从而可求得B ′M 的长，然后在Rt △B ′MN 中求出MN 的长，继而求得B N 的长，在Rt △B NG 中求出B N 的长，然后利用S 阴影=S △B NG -S △B MD 进行计算即可得.[详解]如图，∵∠C =90°，∠A =60°，A C =6，∴A B =2A C =12，∠B =30°，∵点D 为A B 的中点，∴AD DC 5∴==DE 3=Rt ADE ∴AE ==Rt ABC C 90∠=A 60∠=AC 6=AB D 90Rt A'B'C'69B'∴B D =6，∵△A B C 绕点D 按逆时针方向旋转得到， ∴ D =B D =6，在Rt △B D M 中，∠B =30°，∠B D M=90°， ∴B M=2D M ，B D 2+D M 2=B M 2，∴D M=∴B ′M=B ′D -D M=6-在Rt △B ′MN中，∠B ′=30°，∴MN= B ′M=3∴，在Rt△B NG 中，B G=2NG ，B G2=NG 2+B N 2， ∴∴S 阴影=S △B NG -S △B MD ==9， 故选B .[点评]本题考查了旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等，熟练掌握旋90Rt A'B'C'B'12((1133622⨯+⨯+-⨯转的性质是解题的关键.二、填空题13．如图，把一个直角三角尺A C B 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 与C B 的延长线上的点E 重合连接C D ，则∠B D C 的度数为_____度．[答案]15[解析][分析]根据△EB D 由△A B C 旋转而成，得到△A B C ≌△EB D ，则B C ＝B D ，∠EB D ＝∠A B C ＝30°，则有∠B D C ＝∠B C D ，∠D B C ＝180﹣30°＝150°，化简计算即可得出.[详解]解:∵△EB D 由△A B C 旋转而成，∴△A B C ≌△EB D ，∴B C ＝B D ，∠EB D ＝∠A B C ＝30°，∴∠B D C ＝∠B C D ，∠D B C ＝180﹣30°＝150°，∴; 故答案为:15．[点评]此题考查旋转的性质，即图形旋转后与原图形全等．14．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为1)，将OA 绕原点逆时针方向旋转90°得OB ，则点B 的坐标为_____． 15BDC ∠=︒()1180150152BDC BCD ∠=∠=︒-︒=︒[答案](﹣1[解析][分析]根据旋转的性质可知△OC A ≌△OD B ,进而得即可解题.[详解]解:如下图,由旋转的性质可知,△OC A ≌△OD B , ∵A 的坐标为1)，∴∴∴B 的坐标为(﹣1)[点评]本题考查了图形的旋转,属于简单题,熟悉概念是解题关键.15．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子 A ，O ，B 的位置如图所示，它们的坐标分别是(﹣1，1)，(0，0)和(1，0)，在其他点位置添加一颗棋子 P ，使 A ，O ，B ，P 四颗棋子成为一个中心对称图形，请写出棋子 P 的位置坐标_____(写出 1 个即可)．[答案](0，1)．[解析][分析]直接利用中心对称图形的性质得出答案．[详解]如图所示:点P(0，1)答案不唯一．故答案为:(0，1)．[点评]此题主要考查了中心对称图形的性质，正确把握定义是解题关键．16．如图，在△B D E 中，∠B D E=90°，，点D 的坐标是(5，0)，∠B D O=15°，将△B D E 旋转到△A B C 的位置，点C 在B D 上，则旋转中心的坐标为_______ .[答案](3，[解析][分析]根据旋转的性质，A B 与B D 的垂直平分线的交点即为旋转中心P ，连接PD，过P 作PF ⊥x轴于F ，再根据点C 在B D 上确定出∠PD B =45°并求出PD 的长，然后求出∠PD O=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠D PF=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得D F=PD ，利用勾股定理列式求出PF ，再求出OF ，即可得到点P ，即旋转中心的坐标．[详解]如图，A B 与B D 的垂直平分线的交点即为旋转中心P ，连接PD ，过P 作PF ⊥x 轴于F ，∵点C 在B D 上，∴点P 到A B 、B D 的距离相等，都是 B D ，即× ∴∠PD B =45°，121212=4，∵∠B D O=15°，∴∠PD O=45°+15°=60°，∴∠D PF=30°，∴D F=PD =×4=2， ∵点D 的坐标是(5，0)，∴OF=OD -D F=5-2=3，由勾股定理得，∴旋转中心的坐标为(3，． 故答案为:(3，．[点评]本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质确定出旋转中心的位置并得到含有30°角的直角三角形是解题的关键．三、解答题17．如图，是正内的一点，若将绕点逆时针旋转到，(1)求的度数．(2)若，，，求的度数．[答案](1);(2).1212P ABC PAC A P'AB PAP'∠AP 3=BP 4=PC 5=PAB ∠PAP'60∠=APB 150∠=[解析][分析](1)根据旋转的性质，找出∠PA P′=∠B A C ，根据等边三角形的性质，即可解答;(2)连接PP′，根据旋转的性质及已知可得到△A PP′是等边三角形，△B PP′是直角三角形，从而求得答案．[详解]如图，根据旋转的性质得，，∵是等边三角形，∴，∴;如图，连接，由旋转可知:，所以，，又∵，∴，()1PAP'BAC ∠∠=ABC BAC 60∠=PAP'60∠=()2PP 'P AB PAC ≅'CAP BAP ∠∠'=AP AP 3='=CP BP 5='=CAP PAB 60∠∠+=P AP BAP BAP 60∠∠∠=+=''∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∴∴．[点评]本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素:①定点-旋转中心;②旋转方向;③旋转角度．18．如图，的顶点坐标分别为，，．将绕坐标原点逆时针旋转，得到(、、分别为、、的对应点)，在坐标系中画出，并写出、、三点的坐标．[答案]，，，画图见解析.[解析][分析]根据点的坐标的特点可知，点A 在第四象限的平分线上，所以绕点O 逆时针旋转90°在第一象限的平分线上，点B 在第一象限的平分线上，所以绕点O 逆时针旋转90°后在第二象限的平分线上，分别求出点A ′，B ′的坐标，然后再找出点C 旋转后的点C ′，顺次连接即可．P AP 'AP AP PP 3=='='APP 60∠'=222345+=222P P PB P B '='+P PB 'P PB 90∠'=APB P PB APP 150∠∠∠=+=''ABC ()A 2,2-()B 4,4()C 1,2ABC O 90A B C '''A 'B 'C 'A B C A B C '''A 'B 'C'()A 2,2'()B 4,4'-()C 2,1'-[详解]∵，，，∴，，．画图[点评]本题考查旋转变换作图，做这类题的关键是按要求旋转后找对应点，然后顺次连接．19．如图，中，，，，，将绕着点旋转一定的角度，得到 .(1)若点为边上中点，连接，则线段的范围为________.(2)如图，当直角顶点在边上时，延长，交边于点，请问线段、、具有怎样的数量关系，请写出探索过程．[答案](1);(2)A G+EG=D E ，理由见解析.[解析][分析](1)图1中，利用旋转的性质得B E=B C =3，再根据三角形三边的关系得B E-B F≤EF≤B E+B F(当且仅当B 、()A 2,2-()B 4,4()C 1,2()A 2,2'()B 4,4'-()C 2,1'-1ABC C 90∠=BC 3=AC 4=AB 5=ABC B DEB F AB EF EF 2DEB E AB DE AC G DE EGAG 0.5EF 5.5≤≤E 、F 共线时取等号)，从而得到线段EF 的范围;(2)图2中，利用旋转的性质得B E=B C =3，B D =B A =5，D E=A C =4，∠A =∠D ，再判断△A GE ∽△D EB ，然后利用相似比计算出A G 、EG ，从而可得到线段D E 、EG 、A G 的数量关系．[详解](1)∵点F 为A B 边上中点，∴B F=2.5，∵△A B C 绕着点B 旋转一定的角度得到△D EB ，∴B E=B C =3，∵B E-B F≤EF≤B E+B F(当且仅当B 、E 、F 共线时取等号)，∴0.5≤EF≤5.5，故答案为0.5≤EF≤5.5;(2)．理由如下:∵绕着点旋转一定的角度得到，∴，，，，∴，∵，，∴，∴，即， ∴，，∴，AG EG DE +=ABC B DE BE BC 3==BD BA 5==DE AC 4==A D ∠∠=AE AB BE 2=-=A D ∠∠=AEG BED ∠∠=AGE DEB ∽AG EG AE BD BE DE ==AG EG 2534==AG 2.5=EG 1.5=AG EG 4+=∴．[点评]本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．20．如图，四边形A B C D 是正方形，△A D F 绕着点A 顺时旋转90°得到△A B E ，若A F ＝4，A B ＝7．(1)求D E 的长度;(2)指出B E 与D F 的关系如何？并说明由．[答案](1)3;(2)B E ＝D F ，B E ⊥D F ．[解析][分析](1)根据旋转的性质可得A E ＝A F ，A D ＝A B ，然后根据D E ＝A D ﹣A E 计算即可得解;(2)根据旋转可得△A B E 和△A D F 全等，根据全等三角形对应边相等可得B E ＝D F ，全等三角形对应角相等可得∠A B E ＝∠A D F ，然后求出∠A B E +∠F ＝90°，判断出B E ⊥D F ．[详解]解:(1)∵△A D F 按顺时针方向旋转一定角度后得到△A B E ，∴A E ＝A F ＝4，A D ＝A B ＝7，∴D E ＝A D ﹣A E ＝7﹣4＝3;(2)B E 、D F 的关系为:B E ＝D F ，B E ⊥D F ．理由如下:∵△A D F 按顺时针方向旋转一定角度后得到△A B E ，∴△A B E ≌△A D F ， AG EG DE +=∴B E＝D F，∠A B E＝∠A D F，∵∠A D F+∠F＝180°﹣90°＝90°，∴∠A B E+∠F＝90°，∴B E⊥D F，∴B E、D F的关系为:B E＝D F，B E⊥D F．[点评]考查了旋转的性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．21．如图，已知点A ，B 的坐标分别为(4，0)，(3，2)．(1)画出△A OB 关于原点O对称的图形△C OD ;(2)将△A OB 绕点O按逆时针方向旋转90°得到△EOF，画出△EOF;(3)点D 的坐标是，点F的坐标是，此图中线段B F和D F的关系是．[答案](1)见解析;(2)见解析;(3)D (﹣3，﹣2)，F(﹣2，3)，垂直且相等[解析][分析](1)分别延长B O，A O到占D ,C ，使D O=B O，C O=A O，再顺次连接成△C OD 即可;(2)将A ，B 绕点O按逆时针方向旋转90°得到对应点E，F，再顺次连接即可得出△EOF;(3)利用图象即可得出点的坐标，以及线段B F和D F的关系．[详解](1)如图所示:(2)如图所示:(3)结合图象即可得出:D (﹣3，﹣2)，F (﹣2，3)，线段B F 和D F 的关系是:垂直且相等．[点评]此题考查了图形的旋转变换以及图形旋转的性质，难度不大，注意掌握解答此类题目的关键步骤． 22．如图①，在中，．将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，且．在旋转过程中，点可以恰好落在的中点处，如图②．求的度数;当点到的距离等于的一半时，求的度数．[答案](1);(2)．[解析][分析]Rt ABC 90C ∠=ABC C ''A B C α0180α<<'BAB ()1A ∠()2C 'AA AC α 30A ∠= 120α=(1)利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出△C B B ′是等边三角形，进而得出答案;(2)利用锐角三角函数关系得出sin ∠C A D =，即可得出∠C A D =30°，进而得出α的度数． [详解] 将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，∴∵点可以恰好落在的中点处，∴点是的中点．∵，∴， ∴，即是等边三角形．∴．∵，∴;如图，过点作于点，点到的距离等于的一半，即． 在中，，， ∴，∵，12CD AC =()1ABC C ''A B C α'CB CB ='B AB 'B AB 90ACB ∠=1''2CB AB BB ==''CB CB BB =='CBB 60B ∠=90ACB ∠=30A ∠=()2C 'CD AA ⊥D C 'AA AC 12CD AC =Rt ADC 90ADC ∠=1sin 2CD CAD AC ∠==30CAD ∠='CA CA =∴．∴，即．[点评]考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，解题关键是正确掌握直角三角形的性质． 23．在Rt △A B C 中，∠A C B =90°，，点D 是斜边A B 上一动点(点D 与点A 、B不重合)，连接C D ，将C D 绕点C 顺时针旋转90°得到C E ，连接A E ，DE ．(1)求△A D E 的周长的最小值;(2)若C D =4，求A E 的长度．[答案](1)6+或[解析][分析](1)根据勾股定理得到 A C =6，根据全等三角形的性质得到A E=B D ，当D E 最小时，△A D E 的周长最小，过点C 作C F ⊥A B 于点F ，于是得到结论;(2)当点D 在C F 的右侧，当点D 在C F 的左侧，根据勾股定理即可得到结论[详解]解:(1)∵在Rt △A B C 中，∠A C B =90°，'30A CAD ∠=∠='120ACA ∠=120α=∴A C =6，∵∠EC D =∠A C B =90°，∴∠A C E=∠B C D ，在△A C E 与△BC D中， ，∴△A C E ≌△B C D (SA S)，∴A E=B D ，∴△A D E 的周长=A E+A D +D E=AB +D E ，∴当D E 最小时，△A D E 的周长最小，过点C 作C F ⊥A B 于点F ，当C D ⊥A B 时，C D 最短，等于3，此时∴△A D E 的周长的最小值是;(2)当点D 在C F 的右侧，∵C F= A B =3，C D =4， ∴∴A E=B D =B F ﹣D F=3;当点D 在C F 的左侧，同理可得=AC BC ACE BCD CE CE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩12综上所述:A E 的长度为3或．[点评]本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．24．两块等腰直角三角形纸片和按图所示放置，直角顶点重合在点处，，．保持纸片不动，将纸片绕点逆时针旋转角度，如图所示． 利用图证明且;当与在同一直线上(如图)时，求的长和的正弦值．[答案](1)详见解析;(2)7，． [解析][分析] (1)图形经过旋转以后明确没有变化的边长，证明，得出A C =B D ，延长B D 交A C 于E ，证明∠A EB =90，从而得到.(2) 如图3中，设A C =x ，在Rt △A B C 中，利用勾股定理求出x ，再根据sinα=sin ∠A B C =即可解决问题[详解] 证明:如图中，延长交于，交于．AOB COD 1O 25AB =17CD =AOB COD O (090)αα<<2()12AC BD =AC BD ⊥()2BD CD 3AC α725AOC BOD ≅︒BD AC ⊥AC AB()12BD OA G AC E∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∵，∴，∴，∴．解:如图中，设，∵、在同一直线上，，∴是直角三角形，90AOB COD ∠=∠=AOC DOB ∠=∠AOC BOD OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOC BOD ≅AC BD =CAO DBO ∠=∠90DBO GOB ∠+∠=OGB AGE ∠=∠90CAO AGE ∠+∠=90AEG ∠=BD AC ⊥()23AC x=BD CD BD AC ⊥ABC∴，∴，解得，∵，，∴，∴． [点评]本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题的关键是利用(1)的结论解决问题，属于中考常考题型. 222AC BC AB +=222(17)25x x ++=7x =45ODC DBO α∠=∠+∠=45ABC DBO ∠+∠=ABC α∠=∠7sin sin 25AC ABC AB α=∠==。
人教版九年级上册数学《旋转》单元测试题含答案
故选C．
考点：1．关于原点对称的点的坐标；2．坐标与图形变化-平移．
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,△ABC绕着点B逆时针旋转90°到△A'BC'的位置,则AA'的长为（ ）
D、因为点O是六边形ABCDEF的中心，图中所有的三角形都是等边三角形，所以△ODE绕点C顺时针旋转60°得到△OBC，所以D选项错误．
故选C
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正六边形和等边三角形的性质．
5. 在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.已知a＜0，则点P（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点P′在第_____象限．
12.如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合连接CD，则∠BDC的度数为_____度．
13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AB=6,Rt△AB'C'可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的,则线段B'C的长为______.
数.
七、(本题满分12分)
22.如图， 口ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC= ，对角线BD、AC交于点O．将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F．
（1）试说明 旋转过程中，AF与CE总保持相等；
数学九年级上册《旋转》单元测试题附答案
人教版数学九年级上学期《旋转》单元测试考试时间：100分钟；总分：120分一、单选题（每小题3分，共30分)1．（2019·南通市启秀中学初三月考）国旗上的五角星需要旋转多少度后才能与自身重合?（ ）A.36︒B.60︒C.45︒D.72︒2．（2019·北京初三）如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（ ）A. B. C. D.3．（2019·河北初三）下列图形与所描述的一致的是（ ）A.等边三角形是中心对称图形B.所有直角三角形都是轴对称图形C.所有平行四边形都是中心对称图形D.正五边形是中心对称图形4．（2019·抚顺市第十五中学初三）如图，直线3y x =经过点A ，作AB ⊥x 轴于点B ，将△ABO 绕点B 顺时针旋转60°得到△CBD ，若点B 的坐标为（1，0），则点C 的坐标为（ ）A.（3，12）B.（52，12）C.（33D.（523 5．（2019·厦门市松柏中学初二期中）已知点A 与点()4,5B --关于原点对称，则A 点坐标是（ ）A.()45-，B.()45-，C.()4,5--D.()4,56．（2019·黑龙江初三）如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△AB′C′，若B′落到BC 边上，∠B ＝50°，则∠CB′C′的度数为（ ）A.50°B.60°C.70°D.80°7．（2019·辽宁初三）如图，在矩形ABCD 中，5AD =，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在CD 上，且DE EF =，则AB 的长为( )A.52B.53C.8D.108．（2019·山西初三）自然界中存在很多自相似现象，如树木的生长，雪花的形成，土地干旱形成的地面裂纹．分形几何就是专门研究像雪花形状这样的自相似图形(即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系)的一个数学分支．下列自相似图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.9．（2019·山东初三）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点都在方格线的格点上，将ABC ∆绕点P 顺时针方向旋转90，得到'''A B C ∆，则点P 的坐标为( )A.()0,4B.()1,1C.()1,2D.()2,110．（2019·长沙麓山国际实验学校初三月考）如图，△AOB 绕点O 逆时针旋转65°得到△COD ，若∠AOB ＝30°，∠BOC 的度数是（ ）A.30°B.35°C.45°D.60°二、填空题（每小题4分，共24分)11．（2019·广东初三）如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣2，3）、B （﹣1，0）、C （0，1），将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C 1，点A 、B 、C 的对应点分别为A 1、B 1、C 1，则点A 1的坐标为_____．12．（2017·上海初三）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE ＝45°，将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ．设BE ＝a ，DC ＝b ，那么AB ＝_____．（用含a 、b 的式子表示AB ）13．（2019·浙江初三月考）如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度至△AB'C'处，使得点C 恰好在线B'C'上，若∠ACB=75°，则∠BCB'的度数为_______．14．（2019·浙江初三月考）如图，在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，1），AC 由AB 绕点A 顺时针旋转90°而得，则AC 所在直线的解析式是____.15．（2019·福建省建瓯市芝华中学初三月考）如图，方格中的四叶风车，其中一个叶轮至少旋转________度才能与相邻的叶轮重合?16．（2019·湖北初三期中）如图①，在△AOB 中，∠AOB ＝90º，OA ＝3，OB ＝4．将△AOB 沿 x 轴依次以点 A 、B 、O 为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②图③、…，则旋转得到的图⑧的直角顶点的坐标为____.三、解答题一（每小题6分，共18分)17．（2019·厦门市第五中学初三期中）已知，如图ABC △与111A B C △关于点O 对称，画出点O 和111A B C △18．（2019·江西省宜春实验中学初三期中）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转50后得到△A′BC′．已知A′C′∥BC，求∠A的度数．∆绕B点顺时针旋转90，A与C重合，F与19．如图，已知正方形ABCD中，F为BC上一点，把ABF⊥.AB延长线上的E点重合，延长AF交CE于G点，求证AG CE四、解答题二（每小题7分，共21分)20．（2019·辽宁初三）如图，△ABC的三个顶点和点O都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1．（1）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△ABC关于点O成中心对称．21．（2019·浙江初三月考）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．（1）画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的△A′B′C′．（2）求点B 绕点O 旋转到点B′的路径长（结果保留π）．22．在平面直角坐标系中，ABC ∆的位置如图所示，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）.（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆；（2）将ABC ∆绕着点A 顺时针旋转90︒，画出旋转后得到的222A B C ∆，并直接写出点2B ，2C 的坐标.五、解答题三（每小题9分，共27分)23．（2019·张家界市民族中学初二期中）在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．24．（2019·山东初三期中）如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且BF ＝DE，连接AE，AF，EF.（1）判断△ABF与△ADE有怎样的关系，并说明理由；（2）求∠EAF的度数,写出△ABF可以由△ADE经过怎样的图形变换得到；（3）若BC＝6，DE＝2，求△AEF的面积．25．（2019·南通市崇川学校初二月考）如图点P 是等边△ABC 内一点,将△APC 绕点C 顺时针旋转60°得到△BDC，连接PD.(1)求证：△DPC 是等边三角形；(2)当∠APC=150°时，试判断△DPB 的形状，并说明理由；(3)当∠APB=100°且△DPB 是等腰三角形，求∠APC 的度数。
数学九年级上学期《旋转》单元测试(含答案)
九年级上册数学《旋转》单元测试卷（满分120分，考试用时120分钟）一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2020·扬州市梅岭中学初二期末）下列图形是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2020·江西省初三其他）小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格，下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放人盒中空格的有（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种3．（2020·湖北省中考真题）在平面直角坐标系中，点G 的坐标是()2,1-，连接OG ，将线段OG 绕原点O 旋转180︒，得到对应线段OG '，则点G '的坐标为（ ）A ．()2,1-B ．()2,1C ．()1,2-D ．()2,1--4．（2019·山东省初三期末）如图，B A =B C ，∠A B C =80°，将△B D C 绕点B 逆时针旋转至△B EA 处，点E ，A 分别是点D ，C 旋转后的对应点，连接D E ，则∠B ED 为（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°5．（2020·辽宁省初二期末）如图，Rt ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝90°，将Rt ABC 绕点A 按顺时针方向旋转到11AB C △的位置，使得点C 、A 、B 1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°6．（2020·山东省初二期中）如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，点C 的坐标为（﹣1，0），A C =2．将Rt △ABC 先绕点C 顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A 的对应点坐标是（ ）A ．（2，2）B ．（1，2）C ．（﹣1，2）D ．（2，﹣1）7．（2020·河北省中考真题）如图，将ABC ∆绕边AC 的中点O 顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的CDA ∆与ABC ∆构成平行四边形，并推理如下：点A ，C 分别转到了点C ，A 处，而点B 转到了点D 处．∵CB AD =，∴四边形ABCD 是平行四边形．小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中”∵CB AD =，”和”∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（ ）A ．嘉淇推理严谨，不必补充B ．应补充：且AB CD =，C ．应补充：且//AB CD D ．应补充：且OA OC =，8．（2020·海南省中考真题）如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（ ）A ．1cmB ．2cmCD ．9．（2020·哈尔滨市萧红中学初三月考）如图，点D 是等边ABC ∆内一点，将BDC ∆以点C 为中心顺时针旋转60︒，得到ACE ∆，连接BE ，若45AEB ∠=︒，则DBE ∠的度数为（ ）A ．25B ．30C ．20D ．1510．（2020·辽宁省初二期中）如图，△A B C 绕点A 顺时针旋转45°得到△A B ′C ′，若∠B A C ＝90°，A B＝A C ，则图中阴影部分的面积等于( )A ．2B ．1CD ﹣l11．（2020·无锡市凤翔实验学校初三月考）如图，平面直角坐标系中，矩形OA B C 的顶点A （﹣6，0），C （0，．将矩形OA B C 绕点O 顺时针方向旋转，使点A 恰好落在OB 上的点A 1处，则点B 的对应点B 1的坐标为（ ）A ．(-B ．(4)-C ．(-D ．(-12．（2020·河南省初二期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC ，边OA ，OC 分别在 x 轴、y 轴上，如果以对角线OB 为边作第二个正方形11OBB C ，再以对角线1OB 为边作第三个正方形122OB B C ，照此规律作下去，则点2020B 的坐标为（ ）A ．10101010(22)-，B ．20202020(22)-，C ．20202020(22)--，D ．10101010(22)--，13．（2020·河南省初三学业考试）如图，在Rt ABC 中，90A ∠=，3AB =，4AC =，D 为A C 中点，P 为A B 上的动点，将P 绕点D 逆时针旋转90得到'P ，连'CP ，线段'CP 最小值为( )A ．1.6B ．2.4C ．2D ．14．（2020·黑龙江省初三月考）如图，已知正方形ABCD ，4=AD ，E 是CD 中点，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得ABG ∆，则下列结论中：①ΔΔABG AED ≅；②ΔΔAEF ABF ≅；③AF 平分GAD ∠；④1GF =；⑤6CF =- ）A ．①③B ．①③⑤C ．①②④⑤D ．①③④二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．（2020·湖南省初一期末）如图，将等边三角形OA B 绕O 点按顺时针方向旋转160°，得到三角形OA ′B ′（点A ′，B ′分别是点A ，B 的对应点），则∠1=_________度；16．（2019·湖南省初三学业考试）如图，P 是等边△A B C 内一点，△B MC 是由△B PA 绕点B 逆时针旋转所得，若MC //B P ，则∠B MC ＝_______°．17．（2020·江苏省初三三模）如图，在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，1），A C 由A B 绕点A 顺时针旋转90°而得，则A C 所在直线的解析式是____.18．（2020·河北省初三二模）在锐角ABC 中，4AB =，5BC =，45ACB ∠=︒ ，将ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到111A B C △．（1）如图1，当点1C 在线段CA 的延长线上时，则11CC A ∠的度数为______________度；（2）如图2，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点1P ，则线段1EP 长度最小值是_____________．三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2020·湖南省初一期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△A B C 的顶点均在格点上，O 、M 也在格点上．（1）画出ABC 关于直线OM 对称的111A B C △；（2）画出ABC 绕点O 按顺时针方向旋转90°后所得的222A B C △；(3) 计算：111A B C △的面积为 ;（4）2CC A S 22CC B S (填”>“，”=“或”<“)20．（2020·南通市八一中学初一月考）如图①, 已知△A B C 中, ∠B A C =90°, A B ="A C ," A E 是过A 的一条直线, 且B 、C 在A E 的异侧, B D ⊥A E 于D , C E ⊥A E 于E.(1)求证: B D =D E+C E.(2)若直线A E 绕A 点旋转到图②位置时(B D <C E), 其余条件不变, 问B D 与D E 、C E 的数量关系如何? 请给予证明；(3)若直线A E 绕A 点旋转到图③位置时(B D >C E), 其余条件不变, 问B D 与D E 、C E 的数量关系如何? 请直接写出结果, 不需证明.(4)根据以上的讨论，请用简洁的语言表达B D 与D E,C E 的数量关系．21．（2020·湖北省中考真题）在58⨯的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC 的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(8,4)B ，(5,0)C ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，画出对应线段CD ；（2）在线段AB 上画点E ，使45BCE ︒∠=（保留画图过程的痕迹）；（3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点F ，并简要说明画法．22．（2020·四川省内江市第六中学初三三模）如图，已知△A B C 中，A B =A C ,把△A B C 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△A D E,连接B D ,C E 交于点F.（1）求证：AEC ADB ∆≅∆;（2）若A B =2，45BAC ︒∠=,当四边形A D FC 是菱形时，求B F 的长．23．（2020·辽宁省初二期末）如图，正方形A B C D 的边长为4，E 是边B C 上的一点，把ABE △平移到DCF ，再把ABE △逆时针旋转到ADG 的位置．(1)把ABE △平移到DCF ，则平移的距离为_______；(2)四边形A EFD 是_______四边形；(3)把ABE △逆时针旋转到ADG 的位置，旋转中心是______点；(4)若连接EG ，求证：AEG △是等腰直角三角形．24．（2020·北京育英中学初三三模）已知40AOB ∠=︒，M 为射线OB 上一定点，1OM =，P 为射线OA 上一动点（不与点O 重合），1OP <，连接PM ，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转40︒，得到线段PN ，连接MN ．（1）依题意补全图1；（2）求证：APN OMP ∠=∠；（3）H 为射线OA 上一点，连接NH ．写出一个OH 的值，使得对于任意的点P 总有OHN ∠为定值，并求出此定值．25．（2020·山东省诸城市树一中学初三二模）如图1，点O 是正方形A B C D 两对角线的交点. 分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG =2OD ，OE =2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接A G ，D E ．(1)求证：D E ⊥A G ；(2)正方形A B C D 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角(0°< α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图2． ①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)②若正方形A B C D 的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．26．（2020·长春市新朝阳实验学校初三月考）（教材呈现）下图是华师版八年级下册数学教材第112页的部分内容．例2如图，已知菱形ABCD 的边长为2cm ，120BAD ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点O ．试求这个菱形的两条对角线AC 与BD 的长．（结果保留根号）结合图①，写出求解过程．（应用）（1）如图②，过图①中的点A 分别作AE AD ⊥，AF AB ⊥，连结CE 、CF ，则四边形AECF 的面积为_________．（2）如图③，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点O ．将其绕着点O 顺时针旋转90°得到菱形A B C D ''''．若1AB =，则旋转前后两个菱形重叠部分图形的周长为_________．参考答案一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2020·扬州市梅岭中学初二期末）下列图形是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．[答案]B[解析]解：A 、不是中心对称图形，不符合题意，故选项A 错误；B 、是中心对称图形，符合题意，故选项B 正确；C 、不是中心对称图形，不符合题意，故选项C 错误；D 、不是中心对称图形，符合题意，故选项D 错误；故选：B .2．（2020·江西省初三其他）小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格，下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放人盒中空格的有（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种[答案]D [解析]解：∵将搭配①②③④组合在一起，正好能组合成九个空格的形状，∴恰好能放入的有①②③④．故选：D ．3．（2020·湖北省中考真题）在平面直角坐标系中，点G 的坐标是，连接，将线段绕原点O 旋转，得到对应线段，则点的坐标为（ ）()2,1-OG OG 180︒OG 'G 'A ．B ．C ．D ．[答案]A [解析]根据题意可得，与G 关于原点对称，∵点G 的坐标是，∴点的坐标为．故选A ．4．（2019·山东省初三期末）如图，B A =B C ，∠A B C =80°，将△B D C 绕点B 逆时针旋转至△B EA 处，点E ，A 分别是点D ，C 旋转后的对应点，连接D E ，则∠B ED 为（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°[答案]A [解析]∵△B D C 绕点B 逆时针旋转至△B EA 处，点E ，A 分别是点D ，C 旋转后的对应点， ∴∠C B D =∠A B E ，B D =B E ，∵∠A B C =∠C B D +∠A B D ，∠EB D =∠A B E +∠A B D ，∠A B C =80°，∴∠EB D =∠A B C =80°，∵B D =B E ，∴∠B ED =∠B D E=（180°-∠EB D ）=（180°-80°）=50°， 故选：A ．5．（2020·辽宁省初二期末）如图，中，∠B ＝30°，∠C ＝90°，将绕点A 按顺时针方向旋转到的位置，使得点C 、A 、B 1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°()2,1-()2,1()1,2-()2,1--G '()2,1-G '()2,1-1212Rt ABC Rt ABC 11AB C△[答案]C[解析]在中，由旋转的性质得：为旋转角，点C 、A 、在同一条直线上即旋转角等于故选：C ．6．（2020·山东省初二期中）如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，点C 的坐标为（﹣1，0），A C =2．将Rt △ABC 先绕点C 顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A 的对应点坐标是（ ）A ．（2，2）B ．（1，2）C ．（﹣1，2）D ．（2，﹣1）[答案]A [解析]∵点C 的坐标为（﹣1，0），A C =2，∴点A 的坐标为（﹣3，0），如图所示，将Rt △A B C 先绕点C 顺时针旋转90°，Rt ABC 30,90B C ∠=︒∠=︒9060BAC B ∴∠=︒-∠=︒1CAC ∠1160B AC BAC ∠=∠=︒1B 11118018060120CAC B AC ∠=︒-∠=︒-︒=∴︒120︒则点A ′的坐标为（﹣1，2），再向右平移3个单位长度，则变换后点A ′的对应点坐标为（2，2），故选：A ．7．（2020·河北省中考真题）如图，将绕边的中点顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：点，分别转到了点，处，而点转到了点处．∵，∴四边形是平行四边形．小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中”∵，”和”∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（ ）A ．嘉淇推理严谨，不必补充B ．应补充：且，C ．应补充：且D ．应补充：且， [答案]B[解析]根据旋转的性质得： C B =A D ，A B =C D ，∴四边形A B D C 是平行四边形；故应补充”A B =C D ”，故选：B ．8．（2020·海南省中考真题）如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ）ABC ∆AC O CDA ∆ABC ∆A C C A B D CB AD =ABCD CB AD =AB CD =//AB CD OA OC =Rt ABC 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=Rt ABC A Rt AB C ''△C 'AB BB 'BB 'A ．B ． CD ．[答案]B [解析]解：∵由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，∴ C m ，又∠C A B =90°-∠A B C =90°-30°=60°，由旋转的性质可知：，且，∴为等边三角形，∴．故选：B ．9．（2020·哈尔滨市萧红中学初三月考）如图，点是等边内一点，将以点为中心顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数为（ ）A ．B ．C ．D ．[答案]D [解析]∵，且任意三角形内角和都为180°∴∵为等边三角形∴°∵°1cm 2cm 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒==2=2AB AC '=60∠∠=CAB BAB '=AB AB '∆BAB '==2BB AB D ABC ∆BDC ∆C 60︒ACE ∆BE 45AEB ∠=︒DBE ∠25302015AFE BFC ∠=∠1AEB FBC ACB ∠+∠=∠+∠ABC 60ACB ∠=45AEB ∠=∴∴∵以点C 为中心顺时针旋转60°得到∴∴故选：D10．（2020·辽宁省初二期中）如图，△A B C 绕点A 顺时针旋转45°得到△A B ′C ′，若∠B A C ＝90°，A B ＝A C，则图中阴影部分的面积等于( )A ．2B ．1 CD ﹣l[答案]D [解析]∵△A B C 绕点A 顺时针旋转45°得到△A ′B′C ′，∠B A C =90°，，∴B C =2，∠C =∠B =∠C A C ′=∠C ′=45°，A C ′=，∴A D ⊥B C ，B ′C ′⊥A B ，∴A D = B C =1，A F=FC ′= A C ′=1， ∴D C ′=A C ′-1，14560FBC ︒︒∠+=∠+115FBC ︒∠-∠=BDC ACE △1DBC ∠=∠115DBE DBC FBC FBC ︒∠=∠-∠=∠-∠=122∴图中阴影部分的面积等于：S△A FC ′-S△D EC ′=×1×1-×-1）2-1，故选D .11．（2020·无锡市凤翔实验学校初三月考）如图，平面直角坐标系中，矩形OA B C 的顶点A（﹣6，0），C （0，．将矩形OA B C 绕点O顺时针方向旋转，使点A 恰好落在OB 上的点A 1处，则点B 的对应点B 1的坐标为（）A ．B ．C ． D．[答案]D[解析]解：连接OB 1，作B 1H⊥OA 于H，由题意，得OA =6，则tA n∠B OA =，∴∠B OA =30°，∴∠OB A =60°，由旋转的性质可知∠B 1OB =∠B OA =30°，1212(-(4)-(-(-3ABAO=∴∠B 1OH=60°，在△A OB 和△HB 1O ， ∴△A OB ≌△HB 1O ，∴B 1H=OA =6，∴点B 1的坐标为（6），故选：D ．12．（2020·河南省初二期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为的正方形，边，分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． [答案]D [解析]解：∵正方形OA B C 边长为1，∴，∵正方形OB B1C 1是正方形OA B C 的对角线OB 为边，∴OB 1=2，∴B 1点坐标为（0，2），同理可知OB 2，∴B 2点坐标为（-2，2），同理可知OB 3=4，B 3点坐标为（-4，0），B 4点坐标为（-4，-4），B 5点坐标为（0，-8），111B HO BAO B OH ABO OB OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝，1OABC OA OC x y OB 11OBB C 1OB 122OB B C 2020B 10101010(22)-，20202020(22)-，20202020(22)--，10101010(22)--，B 6（8，-8），B 7（16，0），B 8（16，16），B 9（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来倍，∵2020÷8=252…4，∴B 2020的横纵坐标符号与点B 4相同，横纵坐标互为相反数，且都在第三象限，∴ B 2020的坐标为（-21010，-21010）．故选：D ．13．（2020·河南省初三学业考试）如图，在中，，，，D 为A C 中点，P 为A B 上的动点，将P 绕点D 逆时针旋转得到，连，线段最小值为A ．B ．C ．2D ．[答案]C [解析]如图所示，过P'作P'E ⊥A C 于E ，则∠A =∠P'ED =90°，由旋转可得，D P=P'D ，∠PD P'=90°，∴∠A D P=∠EP'D ，在△D A P 和△P'ED 中，∴△D A P ≌△P'ED （A A S ），Rt ABC 90A ∠=3AB =4AC =90'P 'CP 'CP ()1.6 2.4ADP EP D A P EDDP P D ∠∠'⎧⎪∠∠'⎨⎪'⎩＝＝＝∴P'E=A D =2，∴当A P=D E=2时，D E=D C ，即点E 与点C 重合，此时C P'=EP'=2，∴线段C P′的最小值为2，故选C ．14．（2020·黑龙江省初三月考）如图，已知正方形，，是中点，平分交于点，将绕点顺时针旋转得，则下列结论中：①；②；③平分；④；⑤（）A ．①③B ．①③⑤C ．①②④⑤D ．①③④[答案]B[解析]过点F 作FM ⊥A D 于M ，FN ⊥A G 于N ，如图，∵四边形A B C D 是正方形，，是中点，∴∠D =∠C =∠A B C =90º，B C =A D =C D =A B =4，D E=C E=2，∴四边形C FMD 是矩形，且∴FM=C D =4，∵将绕点顺时针旋转得，∴，故①正确；且A G=A E= B G=D E=2，∠D A E=∠B A G ，∠D =∠B A G=90º，∴点G 在C B 的延长线上，∵平分交于点，∴∠EA F=∠B A F ，∴∠D A E+∠EA F=∠B A G+∠B A F 即∠D A F=∠GA F ，∴平分，故③正确；∴FN=FM=4， ABCD 4=AD E CD AF BAE ∠BC F ADE ∆A 90︒ABG ∆ΔΔABG AED ≅ΔΔAEF ABF ≅AF GAD ∠1GF =+6CF =-4=AD E CD AE =ADE ∆A 90︒ABG ∆ΔΔABG AED ≅AF BAE ∠BC F AF GAD ∠∵， ∴∴B F=，C F=B C +B G-B F=，故⑤正确；又A E≠A B ≠B F,，∴不成立，故②错误，∴正确的序号为①③⑤，故选：B ．二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．（2020·湖南省初一期末）如图，将等边三角形OA B 绕O 点按顺时针方向旋转160°，得到三角形OA ′B ′（点A ′，B ′分别是点A ，B 的对应点），则∠1=_________度；[答案]100[解析]解：∵将等边三角形OA B 绕O 点按顺时针方向旋转160°，得到三角形OA ＇B ＇，∴，，∴，故答案为：100．16．（2019·湖南省初三学业考试）如图，P 是等边△A B C 内一点，△B MC 是由△B PA 绕点B 逆时针旋转所得，若MC //B P ，则∠B MC ＝_______°．1122AGF S GF AB AG FN ===16-ΔΔAEF ABF ≅'160BOB ∠=︒60AOB ∠=︒1'100BOB AOB ∠=∠-∠=︒[答案]120[解析]∵△B MC 是由△B PA 绕点B 逆时针旋转所得，∴，∴，又∵△A B C 是等边三角形，∴，又∵MC //B P ，∴，∴，∴．故答案为．17．（2020·江苏省初三三模）如图，在平面直角坐标系中，A （2，0），B（0，1），A C 由A B 绕点A 顺时针旋转90°而得，则A C 所在直线的解析式是____.[答案][解析]∵A （2，0），B （0，1），∴OA =2，OB =1，过点C 作C D ⊥x 轴于点D△△PBA MBC ≅PBA MBC ∠=∠60PBM MBC PBC ∠=∠+∠=︒MCB PBC ∠=∠+60MBC MCB ∠∠=︒18060120BMC ∠=︒-︒=︒120︒24y x =-则易知△A C D ≌△B A O （A A S ），∴A D =OB =1，C D =OA =2∴C （3，2），设直线A C 的解析式为，将点A 、点C 坐标代入得， ∴， ∴直线A C 的解析式为.故答案为：.18．（2020·河北省初三二模）在锐角中，，， ，将绕点按逆时针方向旋转，得到．（1）如图1，当点在线段的延长线上时，则的度数为______________度；（2）如图2，点为线段中点，点是线段上的动点，在绕点按逆时针方向旋转过程中，点的对应点是点，则线段长度最小值是_____________．[答案]90 [解析]解：（1）由旋转的性质可得：，，，y kx b =+0223k b k b =+⎧⎨=+⎩24k b =⎧⎨=-⎩24y x =-24y x =-ABC 4AB =5BC =45ACB ∠=︒ABC B 111A B C △1C CA 11CC A ∠E AB P AC ABC B P 1P 1EP 21145A C B ACB ∠=∠=︒1BC BC =1145CC B C CB；（2）如图1，过点作，为垂足，为锐角三角形，点在线段上，在中，， 当在上运动，与垂直的时候，绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小，最小值为：； 三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2020·湖南省初一期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△A B C 的顶点均在格点上，O 、M 也在格点上．（1）画出关于直线OM 对称的； （2）画出绕点O 按顺时针方向旋转90°后所得的； (3) 计算：的面积为;（4） (填”>“，”=“或”<“)[答案]（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）1.5；（4）＞．[解析]（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求；11111454590CC A CC B AC B B BD AC ⊥D ABC ∆∴D AC Rt BCD ∆52sin 452BD BC P AC BP AC ABC ∆B P 1P AB 1EP 112EP BP BE BD BE =-=-=ABC 111A B C △ABC 222A B C △111A B C △2CC A S 22CC B S（3）△A 1B 1C 1的面积为：2×2-×1×2-×1×2-×1×1=； 故答案为：；（4）如图所示，， ， ∴；故答案为：＞．20．（2020·南通市八一中学初一月考）如图①, 已知△A B C 中, ∠B A C =90°, A B ="A C ," A E 是过A 的一条直线, 且B 、C 在A E 的异侧, B D ⊥A E 于D , C E ⊥A E 于E.(1)求证: B D =D E+C E.(2)若直线A E 绕A 点旋转到图②位置时(B D <C E), 其余条件不变, 问B D 与D E 、C E 的数量关系如何? 请给予证明；1212121.51.5213232CC A S =⨯⨯=2211124241311111222CC B S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=222CC A CC B S S>(3)若直线A E 绕A 点旋转到图③位置时(B D >C E), 其余条件不变, 问B D 与D E 、C E 的数量关系如何? 请直接写出结果, 不需证明.(4)根据以上的讨论，请用简洁的语言表达B D 与D E,C E 的数量关系．[答案](1)、证明过程见解析；(2)、B D =D E –C E ；证明过程见解析；(3)、B D =D E –C E ；(4)、当B ,C 在A E 的同侧时，B D =D E –C E ；当B ,C 在A E 的异侧时，B D =D E+C E.[解析](1)∵B D ⊥A E ，C E ⊥A E∴∠A D B =∠C EA =90°∴∠A B D +∠B A D =90°又∵∠B A C =90°∴∠EA C +∠B A D =90°∴∠A B D =∠C A E在△A B D 与△A C E∴△A B D ≌△A C E∴B D =A E,A D =EC∴B D =D E+C E(2)、∵B D ⊥A E ，C E ⊥A E∴∠A D B =∠C EA =90°∴∠A B D +∠B A D =90°又∵∠B A C =90°∴∠EA C +∠B A D =90°∴∠A B D =∠C A E在△A B D 与△A C E∴△A B D ≌△A C E∴B D =A E,A D =EC∴B D =D E –C E(3)、同理：B D =D E –C EADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(4)、归纳：由（1）（2）（3）可知：当B ,C 在A E 的同侧时，B D =D E –C E ；当B ,C 在A E 的异侧时，∴B D =D E+C E21．（2020·湖北省中考真题）在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段绕点逆时针旋转，画出对应线段；（2）在线段上画点，使（保留画图过程的痕迹）；（3）连接，画点关于直线的对称点，并简要说明画法．[答案]（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析[解析]解：（1）如图示，线段是将线段绕点逆时针旋转得到的；（2）∠B C E 为所求的角，点E 为所求的点.（3）连接（5,0）和（0,5）点，与A C 的交点为F,且F 为所求.58⨯OABC (0,0)O (3,4)A (8,4)B (5,0)C CB C 90︒CD ABE 45BCE ︒∠=AC E ACF CD CB C 90︒22．（2020·四川省内江市第六中学初三三模）如图，已知△A B C 中，A B =A C ,把△A B C 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△A D E,连接B D ,C E 交于点F.（1）求证：;（2）若A B =2，,当四边形A D FC 是菱形时，求B F 的长．[答案]（1）证明过程见解析；（2）-2[解析]（1）∵△A B C ≌△A D E 且A B =A C∴A E=A D ，A B =A C∠B A C +∠B A E=∠D A E+∠B A E∴∠C A E=∠D A B∴△A EC ≌△A D B（3）∵四边形A D FC 是菱形且∠B A C =45°∴∠D B A =∠B A C =45°由（1）得A B =A D∴∠D B A =∠B D A =45°∴△A B D 是直角边长为2的等腰直角三角形∴又∵四边形A D FC 是菱形AEC ADB ∆≅∆45BAC ︒∠=∴A D =D F=FC =A C =A B =2∴-223．（2020·辽宁省初二期末）如图，正方形A B C D 的边长为4，E是边B C 上的一点，把平移到，再把逆时针旋转到的位置．(1)把平移到，则平移的距离为_______；(2)四边形A EFD 是_______四边形；(3)把逆时针旋转到的位置，旋转中心是______点；(4)若连接EG，求证：是等腰直角三角形．[答案]（1）4；（2）平行；（3）A ；（4）证明见解析．[解析]（1）四边形A B C D 是边长为4的正方形由平移的性质可知，平移的距离为故答案为：4；（2）由平移的性质可知，平移距离为，且点在一条直线上又四边形A EFD 是平行四边形故答案为：平行；（3）由旋转的定义得：把逆时针旋转到的位置，旋转中心是A 点故答案为：A ；（4）由旋转的性质得：是等腰三角形，即ABE △DCF ABE△ADGABE△DCFABE△ADGAEG△4,//,90BC AD AD BC BAD∴==∠=︒4BC=4EF BC==,,,B EC F4EF AD∴==//AD BC//AD EF∴∴ABE△ADG,AG AE DAG BAE=∠=∠∴AEG90BAD∠=︒90BAE DAE∠+∠=︒，即是等腰直角三角形．24．（2020·北京育英中学初三三模）已知，M 为射线上一定点，，P 为射线上一动点（不与点O 重合），，连接，以点P 为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接．（1）依题意补全图1；（2）求证：；（3）H 为射线上一点，连接．写出一个的值，使得对于任意的点P 总有为定值，并求出此定值．[答案]（1）见解析；（2）见解析；（3）的值为1，110°[解析]（1）补全图形，如图所示．；（2）证明：根据题意可知，，∵，∴；（3）解：的值为1．在射线上取一点G ，使得，连接，根据题意可知，，在和中 90DAG DAE ∴∠+∠=︒90EAG ∠=︒∴AEG 40AOB ∠=︒OB 1OM =OA 1OP <PM PM 40︒PNMN APN OMP ∠=∠OA NH OH OHN ∠OH 40MPN AOB ∠=∠=︒MPA AOB OMP MPN APN ∠=∠+∠=∠+∠APN OMP ∠=∠OH PA PG OM =GN MP NP =OMP ∆GPN ∆∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．25．（2020·山东省诸城市树一中学初三二模）如图1，点O 是正方形A B C D 两对角线的交点. 分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG =2OD ，OE =2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接A G ，D E ．(1)求证：D E ⊥A G ；(2)正方形A B C D 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角(0°< α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图2． ①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)②若正方形A B C D 的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．OM PG OMP GPN MP NP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩OMP GPN ∆∆≌,40OP GN AOB NGP =∠=∠=︒PG OH =OP HG =NG HG =70NHG ∠=︒110OHN ∠=︒[答案]（1）D E⊥A G （2）①当∠OAG′为直角时，α=30°或150°.②315°[解析]解：(1)如图1，延长ED 交A G于点H，∵点O是正方形A B C D 两对角线的交点，∴OA=OD，OA⊥OD，∵OG=OE，在△AOG和△DOE中，{OA=OD∠AOG=∠DOE=90∘OG=OE，∴△AOG≌△DOE，∴∠AGO=∠DEO，∵∠AGO+∠GAO=90∘，∴∠GAO+∠DEO=90∘，∴∠AHE=90∘，即DE⊥AG；(2)①如图2，在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：(Ⅰ)α由0∘增大到90∘过程中，当∠OAG′=90∘时，∵OA=OD=12OG=12OG′，∴在Rt△OAG′中，sin∠A GO=OAOG′=12，∴∠AG′O=30∘，∵OA ⊥OD ，OA ⊥AG′，∴OD//AG′，∴∠DOG′=∠AG′O =30∘，即α=30∘；(Ⅱ)α由90∘增大到180∘过程中，当∠OAG′=90∘时，同理可求∠BOG′=30∘，∴α=180∘−30∘=150∘．综上所述，当∠OAG′=90∘时，α=30∘或150∘．②如图3，当旋转到A 、O 、F′在一条直线上时，AF′的长最大，∵正方形A B C D 的边长为1，∴OA =OD =OC =OB =√22， ∵OG =2OD ，∴OG′=OG =√2，∴OF′=2，∴AF′=AO +OF′=√22+2，∵∠COE′=45∘，∴此时α=315∘．26．（2020·长春市新朝阳实验学校初三月考）（教材呈现）下图是华师版八年级下册数学教材第112页的部分内容．例2如图，已知菱形的边长为，，对角线、相交于点．试求这个菱形的两条对角线与的长．（结果保留根号）ABCD 2cm 120BAD ∠=︒AC BD O AC BD结合图①，写出求解过程．（应用）（1）如图②，过图①中的点分别作，，连结、，则四边形的面积为_________．（2）如图③，在菱形中，，对角线、相交于点．将其绕着点顺时针旋转90°得到菱形．若，则旋转前后两个菱形重叠部分图形的周长为_________．[答案][教材呈现]，A C =2C m ；[应用]（1） C m 2；（2）．[解析]教材呈现：∵四边形是菱形， A AE AD ⊥AF AB ⊥CE CF AECF ABCD 120BAD ∠=︒AC BD O O A B C D ''''1AB =BD =34-ABCD∴，．∴．∴．∴是等边三角形．∴ C m ．∵，∴是直角三角形．∴． ∴ C m ．应用：（1）由[教材呈现]知：是等边三角形 ∵四边形是菱形∴° ∵∴，，° ∵A B =2C m∴同理可得： C m ，° ∴为等边三角形∴C m ∴S 四边形A EC F = A C ∙EF=×22． （2）设与交于点E//AD BC AB BC =180BAD ABC ∠+∠=︒18060ABC BAD ∠=︒-∠=︒ABC ∆2AC AB ==AC BD ⊥AOB BO =2BD BO ==ABC ABCD 1302ABO ABC ∠=∠=AF AB ⊥2BF AF =AB =60AFE ∠=AE =60AEF ∠=AEF 1212AB B C ''由菱形A B C D 性质可知：°∵∴∴∴∴∴∴ ∵菱形A B C D 与菱形的重叠部分是正八边形 ∴其周长为：=． 故答案为：．30EBC BEC AEB EB A ''''∠=∠=∠=∠=,OB OB OA OC ''==AB C B ''=C EB AEB ''≅△△AE EC BC ''==BE=1AB AE BE AE =+==12AE =A B C D ''''182⨯44。
人教版九年级上册数学《旋转》单元测试卷(含答案)
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC=1cm,如果以AC的中点O为旋转中心,将△ABC旋转180∘，点B落在点D处，连接BD，那么线段BD的长为___cm.
A.4B.5C.6D.8
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4 ，BC 中点为D．将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG．在旋转过程中，DG的最大值是（ ）
A. 4 B. 6C. 2+2 D. 8
二、填空题
11.请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：．
A 内部B. 外部C. 边上D. 以上都有可能
8.如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为（）
A.（a﹣2，b）B.（a+2，b）C.（﹣a﹣2，﹣b）D.（a+2，﹣b）
9.如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是()
(1)延长MP交CN于点E(如图2)．j求证：△BPM@△CPE；k求证：PM = PN；
(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变．此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变．请直接判断四边形MBCN
9.如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是()
初三数学旋转试题及答案
初三数学旋转试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 在平面直角坐标系中，点A(3,4)绕原点O(0,0)顺时针旋转90°后，新位置的坐标是：A. (4,3)B. (-4,3)B. (3,-4)D. (4,-3)2. 若点P(-1,2)绕点O(0,0)逆时针旋转30°后，点P的新坐标为：A. (-1,2)B. (-√3/2, 1/2)C. (√3/2, 1/2)D. (1/2, √3/2)3. 在平面直角坐标系中，直线y=2x绕原点O(0,0)顺时针旋转45°后，新的直线方程是：A. y=xB. y=x+1C. y=x-1D. y=-x4. 点A(2,1)绕点B(1,2)旋转30°后，点A的新坐标为：A. (3,2)B. (1,3)C. (1,1)D. (2,3)5. 若一个正方形的四个顶点分别绕其对角线的交点顺时针旋转45°，那么正方形的边将：A. 变长B. 变短C. 保持不变D. 无法确定二、填空题（每题2分，共10分）6. 点A(1,1)绕原点O(0,0)顺时针旋转45°后，其坐标变为________。
7. 已知点P(2,3)绕点Q(1,1)顺时针旋转90°，点P的新坐标为________。
8. 直线y=3x+1绕原点O(0,0)逆时针旋转90°后，新的直线方程为________。
9. 若点M(-2,-3)绕点N(0,0)顺时针旋转60°，点M的新坐标为________。
10. 已知直线y=-2x绕原点O(0,0)逆时针旋转30°后，新的直线方程为________。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 在平面直角坐标系中，点A(4,3)绕原点O(0,0)顺时针旋转60°后，求点A的新坐标。
12. 已知直线y=4x在平面直角坐标系中绕原点O(0,0)顺时针旋转30°，求旋转后的直线方程。
人教版九年级上学期数学《旋转》单元测试(带答案)
(满分120分，考试用时120分钟)
一、选择题(共12小题，每小题3分，共36分)
1.下列英语单词中，是中心对称 是()
A.SOSB.CEOC.MB AD.SAR
2. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是()
[详解]把选项中所给的四个英语单词绕着中心旋转只有A选项可以与原来重合，
故选:A.
[点睛]考查中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键.
2. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是()
A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°
A. B. C. D.
8.如图，底边长为2的等腰直角三角形 的边 在 轴上，将 绕原点 逆时针旋转 得到 ，则点 的坐标为()．
A. B. C. D.
9.甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是[]．[说明:棋子的位置用数对表示，如A点在(6，3)]
∴
∴B′的坐标为 ，
故选D.
[点睛]本题考查了坐标与图形变化，用到的知识点是旋转变换的性质，解直角三角形，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
8.如图，底边长为2的等腰直角三角形 的边 在 轴上，将 绕原点 逆时针旋转 得到 ，则点 的坐标为()．
A. B. C. D.
[答案]B
[解析]
[详解]如解图， 交x轴于H，∵ 为等腰直角三角形，∴ ，∵ 绕原点O逆时针旋转45°得到 ，∴ ， ， ，∴ ，∴ ，∴ ，∴点 的坐标为 ．
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第23章旋转单元测试题
一、用心填一填，你一定能填对！
1.如图1,△ABC 是等腰直角三角形,D 是AB 上一点,
△CBD 经旋转后到达△ACE 的位置,则旋转中心是________；旋转角度是______； 点B 的对应点是_______；点D 的对应点是_______；线段CB 的对应点 是_____；∠B 的对应角是___________；如果点M 是CB 的3
1, 那么经过上述旋转后,点M 移到了_________.
2. 3点12分和3点40分时，时针与分针构成的角各是_______度和_______度.
3.请你写出5个成中心对称的汉字,填在下面的横线上__________________________.
4.如图2所示的四个图形中,图形(1)与图形________成轴对称;图形(1)与图形______成中心对称.(填写符合要求的图形所对应的符号)
5.如图3所示,△ABC 绕点A 逆时针旋转某一角度得到△ADE,若∠1=∠2=∠3=20°,则旋转角为________度.
6.如图4所示,线段AB=4cm,且CD ⊥AB 于O,则阴影部分的面积是________.
7.如图5①,将字母“V ”沿_______平移________格会得到字母“W ”。
如图5②，将字母“V ”绕点_______旋转_______度后得到字母N,绕点_______旋转_______度后会得到字母X.(图中E 、F 分别是其所在线段的中点)
E
A B
C
D
E
N M 图1 A
B
C
E
D
1 2 3
图3
A (1)
(2)
(3)
(4)
图2
A
O
C
B
D 图4
．
． E
F A ①
②
图5
图6
8.如图6是由面积为1的单位正三角形经过平移旋转,拼成由24个相同的三角形组成的正六边形,我们把面积为4的正三角形称为“希望杯”，则图中可数出________个不同的“希望杯”.
9.在直角坐标系中，点A（2，-3）关于原点对称的坐标是_______________.
10. 在下列图7的四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有_________个.
图7
二、精心选一选，你一定能选准！
11.观察下列图形,其中是旋转对称图形的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(1) (2) (3) (4)
12.你玩过扑克牌吗?你仔细观察过每张扑克牌中的图案吗?请你指出图案是中心对称图形的一组为( )
A.黑桃6与黑桃9
B.红桃6与红桃9
C.梅花6与梅花9
D.方块6与方块9
13.在平面直角坐标系中,点P(2,1)关于原点对称的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
14.下列图形中，是．中心对称图形的为（）
ＡＢＣ D
15.下列图形中是中心对称图形的是
A B C D
16.在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A B C D
17．下列图案都是由宁母“m”经过变形、组合而成的．其中不是中心对称图形的是( )
18．将下面的直角梯形绕直线l旋转一周，可以得到右边立体图形的．B
19.数学课上，老师让同学们观察如图8所示的图形，问：它绕着圆
心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；
丙同学说：90°；丁同学说：135°。
以上四位同学的回答中，错误的是（）
A、甲
B、乙
C、丙
D、丁
20.将叶片图案旋转180°后，得到的图形是( )
叶片图案 A B C D
三、耐心探一探，你一定能清！
21.针表的时针匀速旋转一周需要12小时,如图9:
12 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
●
图9
图8
(1)指出它的旋转中心;
(2)经过5小时整,时针旋转了多少度?
22.如图10所示,△ABC 是等边三角形,D 是BC 边上一点,△CDE 也是等边三角形,试利用旋转的思想说明线段AD 与BE 的大小关系.
23．如图11，在1010⨯正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将ABC △向下平移4个单位，得到A B C '''△，再把A B C '''△绕点C '顺时针旋转90，得到A B C '''''△，请你画出A B C '''△和A B C '''''△（不要求写画法）．
E 图10 A
B C
图11
24．以给出的图形“
、 ”(两个相同的圆、三角形、两条平行线)为构件
,,且有意义的轴对称图形和中心对称图形.
如图12所示
25.如图13
是国际奥林匹克运动会旗（五环旗）的标志图案,它是有五个半径相同的圆组成的,它象征着五大洲的体育健儿为发展奥林匹克精神而团结起来携手拼搏.
观察此图案,结合我们所学习的图形变换知识,完成下列题目:
(1)整个图案可以看做是什么图形
?
(2)此图案可以看做是把一个圆经过多次什么变换得到的?请说明平移的方向和距离或旋转的中心和角度.
26.如图14－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD
图13
中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图14－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测
量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF 旋转到如图14－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长
线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
1． 点C ；90°；点A ；点E ；CA ；∠EAC ；点N 处 2．24；130
3．中；一；日；田；口 4．（4）；（3） 5．40
6．Лcm 2
7．水平方向；2个；E ；180；A ；180 8．12 9．（-2，3） 10．1
11．C 12.D 13.C 14.AC 15.D 16.C 17.B 18.A 19.B 20.D 21.(1)钟表圆盘的中心位置 (2)150° 22．AD=BE
23.
图14－2 图14－3 图14－1 A ( B ( E ) A
B C B '' A '' A '
B '
C '
第23题
24.
25.(1)轴对称 ;(2)平移或旋转.
26.
（1）BM =FN ．
证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，
∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF ．
又∵∠BOM =∠FON ， ∴ △OBM ≌△OFN ．
∴ BM =FN ． （2）BM =FN 仍然成立．
证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，
∴∠DBA =∠GFE =45°，OB =OF ． ∴∠MBO =∠NFO =135°．
又∵∠MOB =∠NOF ， ∴ △OBM ≌△OFN ． ∴ BM =FN ．
图14－2
图14－3
图14－1 A ( B ( E )。