离散数学期末测试卷

离散数学期末测试卷

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离散数学考试试题（A 卷及答案）

一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))⇔⌝(⌝( P ∨Q ))∨(P ∧⌝Q ∧R ))

⇔(P ∨Q )∨(P ∧⌝Q ∧R ))

⇔(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨⌝Q )∧(P ∨Q ∨R ) ⇔(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )

⇔(P ∨Q ∨(R ∧⌝R ))∧(P ∨Q ∨R ) ⇔(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨⌝R )∧(P ∨Q ∨R ) ⇔0M ∧1M

⇔2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m

二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。

王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？

解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：⌝P ∧Q 乙：⌝Q ∧P 丙：⌝Q ∧⌝R

王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有⌝Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为：

((⌝P ∧Q )∧((Q ∧⌝R )∨(⌝Q ∧R )))∨((⌝Q ∧P )∧(⌝Q ∧R ))

⇔(⌝P ∧Q ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝Q ∧R )∨(⌝Q ∧P ∧⌝Q ∧R ) ⇔(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝Q ∧R ) ⇔⌝P ∧Q ∧⌝R ⇔T

因此，王教授是上海人。

三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。

证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'

R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )⊆'

R 。则sr (R )⊆s ('

R )＝'

R ，进而有tsr (R )⊆t ('

R )＝'

R 。

综上可知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。

四、（15分）集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }上的二元关系R 为R ＝{，，，，，，，，，，，，，}，

(1)写出R 的关系矩阵。

(2)判断R 是不是偏序关系，为什么？ 解 (1) R 的关系矩阵为：

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=100001100010100

10110

11111

)(R M

(2)由关系矩阵可知，对角线上所有元素全为1，故R 是自反的；ij r ＋ji r ≤1，故R 是反对称的；可计算对应的关系矩阵为：

)(100001100010100

10110

11111

)(2R M R M =⎪⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=

由以上矩阵可知R 是传递的。

五、（10分）设A 、B 、C 和D 为任意集合，证明(A －B )×C ＝(A ×C )－(B ×C )。 证明：因为

∈(A －B )×C ⇔x ∈(A －B )∧y ∈C

⇔(x ∈A ∧x ∉B )∧y ∈C

⇔(x ∈A ∧y ∈C ∧x ∉B )∨(x ∈A ∧y ∈C ∧y ∉C ) ⇔(x ∈A ∧y ∈C )∧(x ∉B ∨y ∉C ) ⇔(x ∈A ∧y ∈C )∧⌝(x ∈B ∧y ∈C ) ⇔∈(A ×C )∧∉(B ×C ) ⇔∈(A ×C )－(B ×C )

所以，(A －B )×C ＝(A ×C －B ×C )。

六、（10分）设f ：A →B ，g ：B →C ，h ：C →A ，证明：如果h g f ＝I A ，f h g ＝I B ，g f h ＝I C ，则f 、g 、h 均为双射，并求出f －1

、g －1

和h －1

。

解 因I A 恒等函数，由h g f ＝I A 可得f 是单射，h 是满射；因I B 恒等函数，由f h g ＝I B 可得g 是单射，f 是满射；因I C 恒等函数，由g f h ＝I C 可得h 是单射，g 是满射。从而f 、g 、h 均为双射。

由h g f ＝I A ，得f －1

＝h g ；由f h g ＝I B ，得g －1

＝f h ；由g f h ＝I C ，得h －1

＝g f 。

七、（15分）设是一代数系统，运算*满足交换律和结合律，且a *x ＝a *y ⇒x ＝y ，证明：若G

有限，则G 是一群。

证明 因G 有限，不妨设G ＝{1a ，2a ，…，n a }。由a *x ＝a *y ⇒x ＝y 得，若x ≠y ，则a *x ≠a *y 。于是可证，对任意的a ∈G ，有aG ＝G 。又因为运算*满足交换律，所以aG ＝G ＝Ga 。令e ∈G 使得a *e ＝a 。对任意的b ∈G ，令c *a ＝b ，则b *e ＝(c *a )*e ＝c *(a *e )＝c *a ＝b ，再由运算*满足交换律得e *b ＝b ，所以e 是关于运算*的幺元。对任意a ∈G ，由aG ＝G 可知，存在b ∈G 使得a *b ＝e ，再由运算*满足交换律得b *a ＝e ，所以b 是a 的逆元。由a 的任意性知，G 中每个元素都存在逆元。故G 是一群。

八、（20分）（1）证明在n 个结点的连通图G 中，至少有n －1条边。

证明 不妨设G 是无向连通图（若G 为有向图，可略去边的方向讨论对应的无向图）。

设G 中结点为1v 、2v 、…、n v 。由连通性，必存在与1v 相邻的结点，不妨设它为2v （否则可重新编号），连接1v 和2v ，得边1e ，还是由连通性，在3v 、4v 、…、n v 中必存在与1v 或2v 相邻的结点，不妨设为3v ，将其连接得边2e ，续行此法，n v 必与1v 、2v 、…、1-n v 中的某个结点相邻，得新边1-n e ，由此可见G 中至少有n －1条边。

（2）给定简单无向图G ＝，且|V |＝m ，|E |＝n 。试证：若n ≥21-m C ＋2，则G 是哈密尔顿图。 证明 若n ≥21-m C ＋2，则2n ≥m 2

－3m ＋6 （1）

。 若存在两个不相邻结点u 、v 使得d(u )＋d(v )＜m ，则有2n ＝

∑∈V

w w d )(＜m ＋(m －2)(m －3)＋m ＝m 2

－3m

＋6，与（1）矛盾。所以，对于G 中任意两个不相邻结点u 、v 都有d(u )＋d(v )≥m 。由定理10.26可知，G 是哈密尔顿图。

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