2017全国高中数学联赛模拟试题(原创精选,完全doc版)

2017年全国高中数学联赛考前模拟训练（原创精选）

姓名___________班级____________学号_____________

作者：地市级学科带头人，专业技术拔尖人才，名师.

一.填空题 1.已知2

2

π

π

α-

<<

，2tan tan 2,tan()βαβα=-=-cos α=_________.

解：2tan()2tan tan 22tan 2tan()1tan()tan βαααββααβαα-+==-+=

=

--，又tan 2α= 22tan 1tan αα-

，从而2

2tan 1tan αα=-

，化简得3

tan α=-

，即tan α= 又2

2

π

π

α-<<

，从而cos α=

.

2.(1)已知数列{}n a 满足*11121

5,(2,)2

n n n a a a n n N a ---==≥∈-，则其前100项的和是

________.

解：依次计算可得12345,3,5,3

a a a a ====，则数列{}n a 为周期2的数列，从而

10050(53)400S =⨯+=.

(2)记[]x 表示不超过实数x 的最大整数.已知数列{}n a 满足：12111

,22

n n n a a a a a +-==

=+ ()n Z +∈.则2016

2

11

1

[]k k k a a =-+=∑

_______________.

解：由于111111

11

11211

22n n n n n n n n n a a a n n n n n n a a a a a a a a a a a a -++-+-+--+=+⇔=-⇔

=-左右同除

111111112n n n n n n a a a a a a +--+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而20162016

2211111111[][]2k k k k k k

k k a a a a a a ==-+-+⎛⎫

=-= ⎪⎝⎭∑∑ 2016

2016

2212201620172016201711111

[][2]22k k a a a a a a ==⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，显然{}n a 单调递增，且201620172a a >，从

而2016

22016201711[2]12k a a =⎛⎫-= ⎪⎝

⎭∑，故2016

2111[]1k k k a a =-+=∑

.

3.已知点(0,1)A ，曲线:log a C y x =恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，若AB AP ⋅的最小值为2，则实数a 的值为___________

解：由于(0,1),(1,0)A B ，则根据向量的投影的定义可知，AP 在AB 方向上的投影的最大

:log a C y x =在点(1,0)B 处的切线垂直直线AB ，考虑到1AB k =-， 又()1log 'log a a x e x =，则1

log 11

a e =，即a e =.

4.若复数z 满足||2z =

2_____________.

2

|11|z-|22⋅=

=，由于||2z =，根据复数运算几何意义可知，在圆2

2

4x y +=上的点Z

与点1(,2的距离的最大值为3

，故232.

5.已知正四棱锥P ABCD -的五个顶点都有一个球面上.若该四棱锥的体积为V ，则该球的表面积的最小值为_____________.

解：设正四棱锥的底边长为,a 高PH 为h ，则2

13

a h V =.设四棱锥的外接球的球心为

O ，则在OBH ∆

中，由于,,OH h r OB r BH =-==

222

()2a r h r =-+，从而

2

22

22

2232213132()244244V a h h h a V V h r h h h h h h h h +++=

===+=++≥则

球的表面积()2

2

2

394434S r V πππ=≥=.

6.已知函数2

()4arcsin (arccos())f x x x π=--的最大值为,M 最小值为N ，则

M N -=_____.

解：由于arccos()arcsin()arcsin 2

2

x x x ππ-=--=+，从而2()4arcsin (arcsin )2

f x x x ππ=-+，从而

令arcsin [,]22t x ππ

=∈-

，则2

22()4()3,[,]24

22

f x t t t t t ππππππ=-+=-+-∈-

，显然

当2()()32

2

M N f f πππ-=--=.

7.点P 是椭圆

22

1169x y +=在第一象限上的动点，过点P 引圆229x y +=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则MON ∆的面积最小

值为____________.

解：设点(4cos ,3sin )P θθ，则直线AB 的方程为

4cos 3sin 1169

x y

θθ+=，即3cos 4sin 12x y θθ+=，则43(

,0),(0,)cos sin M N θθ，则61212sin cos sin 2MON S θθθ

∆==≥

当4

πθ=

取等号.故MON ∆的面积最小值为12.

8.多项式2

1003(1)x x x +++

+的展开式在合并同类项后，150x 的系数为___________.

解：利用多项式展开原理可知

21003210021002100(1)(1)(1)(1)

x x x x x x x x x x x x ++++=+++++++

+++++设三个括号中所取的项的次数分别为123,,x x x ，从而150

x 的系数即方程123150x x x ++=

且1230,,100,i x x x x Z ≤≤∈的不同的解123(,,)x x x 的个数.显然方程组

123150x x x ++=123(,,0,,1,2,3)i x x x x Z i ≥∈=的解的个数用隔板法即得15031

22

152C C +-=， 当存在101(1,2,3)i x i ≥=时，不妨设为1101x ≥，则()1231100(+1+152(101)x x x x -++=≥）（）的解的个数为2

51C . 综合上述，所求的150

x 的系数为22

1525137651C C -=.

9.已知,OA OB 为非零的不共线的向量.设111r OC OA OB r r

=

+++.定义点集{|

}||||

KA KC KB KC

M K KA KB ⋅⋅==,当12,K K M ∈时，若对任意的2r ≥，不等式

12||||K K c AB ≤恒成立，则实数c 的最小值为______________.

解：显然,,A C B 共线，且

AC r CB =，不妨设,1,AC r CB ==由于||||

KA KC KB KC

KA KB ⋅⋅=，