7.1 现代控制理论-发展历程回顾

7.1 现代控制理论—发展历程回顾（参考译文）

引言

本文介绍现代控制理论的主要方法及其发展的数学基础-控制系统理论。现在，学术界认为控制理论是一个跨学科的研究领域，有许多数学概念和方法，这些概念和方法使现代控制理论成为一个重要的、引人注目的应用数学分支。控制系统理论有各种各样的方法并经历了不同的发展阶段。本文将简单地进行描述。对控制系统理论的方法基础、起源、历史和各种应用进行总体回顾，它与数学和技术的相互作用促进了这一学科的发展。可以这样说：控制论的这些方法都有它们各自的价值并且继续在理论和实践中作出重要的贡献。

控制一词有两个主要的含义。首先，检测实物或数学装置是否能够达到令人满意的性能。其次，对装置进行操作或施加影响，使其按要求运行。控制就是使装置“从混乱到有序”（拉丁铭文）。

控制论的思想可以追溯到亚里士多德时期。在他的最有影响的著作“政治”一书中，写道：“……如果每个仪器可以完成自己的工作，遵循或预见其它装置的意愿……，如果梭子编织纬纱和拨子弹奏七弦琴而不需要手引导他们，那么首领将不需要仆人，主人也不需要奴隶。”

我们看到，亚里士多德用非常明晰的方式描述了控制理论的目标：使生产过程自动运行，完成人们要求的目标，并让人类获得自由。

首先，人类至高无上。自然或人工系统的描述更多的是人为的，往往不是它们是什么，而更多的是它们像什么。即使由欧几里得和亚历山大时期（200 - 284年）的丢番图的工作综合形成的古代数学，都是用三段论法进行描述。可以将世界看作是一个名词或动词。古代哲学家断言，世界在“没有太多”戒律下按照法律、所有生物体支配的方法进行论述。斐波那契（1170年至1250年）在他的书《算术宝典》中第一次尝试引入计算。然而，经过三个世纪后计算的重要性才得到体现。

笛卡尔（1596 〜1650年）提出了方法的概念。伽利略（1564年〜1642年）开始使用物理实验，后来艾萨克·牛顿爵士（1642年〜1727年）和拜伦·戈特弗里德·莱布尼茨（1646年至1716年）引入微积分学，完成科学的第一次质变，将科学的运算基础（这主要是继承了亚里士多德的思想）转变成我们今天所知的现代形式。这些运算基础建立了数学的首要地位，从而产生了我们今天仍将生存的现实世界。这一新的思想包括物理实验的使用和涉及微分方程的数学模型的使用。至高无上的数学如此活跃，以致于科学家仍在继续涉及万事万物的数学表示，即数学模型，避免着手考虑存在性。他们有兴趣来求解这些数学模型，得到它们的特性，并研究这些数学模型的解。

然而，科学的性质和结构，主要是在过去的一个世纪里，经历了第二次质变，这是由于两类发现的结果[杰克逊，1994]。第一类发现指从数学模型获取万事万物的动态行为的限制。结果发现，所有的数学模型都有局限性：分析数学推理，确定性物理预测，闭环系统的结构稳定模型。另外，库尔特发现，任何足够一般的数学系统的一致性或完备性都无法用被广泛接受的逻辑原则证明。这与数学系统可以建立任何真实结果的数学基础相抵触。第二类发现与计算机科学和信息学的发展密切相关。通过引入计算机实验，这就扩大科学研究的运算基础。科学的第二次质变扩大了物理实验和数学模型的运算基础，包括将知识作为计算或数值实验的第三次运算基础。这些数值实验使科学家进入一个陌生的世界。用数学模型进行的深入的和非常复杂的计算实验确定了重新处理实际存在。为了更好地描述，数值实验恢复了存在的首要地位，而完成这一恢复的学科就是信息学。基本上，信息学可以定义为：“来自数学概念——计算，把这些数学概念转变为算法，以及受收敛性和复杂性约束的相关算法的研究。”这就是信息学的本质，将先进的数学概念成算法，用计算程序执行算法。从某种意义上说，信息学是可计算的线性代数。控制系统理论在科学的各个方面决定了科学的发展，这反过来又影响了控制理论的发展。

本文的结构如下。第2节介绍控制理论中的关键概念，重点是反馈、波动和优化的概念。第3节给出系统控制理论的频域方法，基本的概念是传递函数。第4节中描述基于微分方程理论的时域

代数方法。第5节阐述多项式矩阵域频率方法，这就非常自然地将经典的传递函数描述推广到多输入-多输出系统。下一节将集中阐述作为代数法外延的几何法。最后，再下一节涉及结构有向图方法，对控制设计来说系统的结构是至关重要的。

控制理论中的基本概念

基于物理系统的数学模型，控制问题的数学描述本质上相当复杂，控制理论的基本思想相当简单且非常直观。这些重要思想可以在自然界中发现，也可以在人类进化和人类行为中发现。在控制理论中有三个基本概念。

第一个概念是反馈。查尔斯·达尔文（1805年至1882年）最重要的贡献之一就是长期存在着的反馈是物种进化的原因这一理论。后来，维托·伏特拉（1860年至1940年）使用这一概念来解释在一个封闭池塘里两个种群的鱼之间的平衡。但是，最有影响的是维纳（1885年至1964年）在生物学中引入了富有成果的正反馈和负反馈的概念。在贝尔电话实验室[迈尔，1970]，这个词已经被早期的工程师引入到了工程中。现在，在几乎所有领域中，都是一个使用频繁的概念。反馈过程就是系统的状态（即输出）决定着在任何时刻控制量的计算方式的这样一个过程。

第二个关键概念是波动。这是在我们的日常生活中我们使用了多次的一个基本原理。基本上，这一概念的思想是，我们没有必要施加过大和过猛的信号立即或直接驱动系统到希望的状态。常常控制系统让其波动会更有效且能够实际实现，并试图找到不会施加太大的信号就能驱动系统到期望状态的动力学。这一概念早期由霍尔[1907年]和一些工程师提出，霍尔[1907年]在比较政治经济学家的行为时，认为供需定律的合理作用必须允许波动，而工程师们还没有认识到在蒸汽发动机调速器中需要波动。需要有波动是一个非常普遍的原理，我们从数学规划的罚函数或内点法中同样发现了这一原理。

第三个非常重要的概念是优化。这是一个非常成熟的数学分支，其目标是找到变量值，以便在受到一些限制时使利润最大和成本最低。与控制理论具有密切关系，主要是因为在系统和控制理论中的大量的各种问题可归结为几个标准凸或准凸优化问题的线性矩阵不等式。重要的一点就是，由此产生的优化问题利用内点法可以非常有效地进行数值求解。因此，控制问题简化为优化问题构成原始问题的求解，显然具有很实际的意义[安德烈，2001]，[Boyd，El Ghaoui，Feron 和Balakrishnan，1994]。此外，理查德·贝尔曼（1920 〜1984）提出的动态规划和Lev Pontryagin（1908 〜1988年）提出的用于非线性最优控制的最大值原理，奠定了现代控制理论的基础。

频域方法

首先对控制系统进行数学分析的方法之一就是频域方法。这是基于皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（1749年至1827年），约瑟夫·傅立叶（1768 〜1830），奥古斯丁·路易·柯西（1789年至1857年）等的研究结果。频域法的核心概念是传递函数。线性时不变系统的传递函数定义为Y(s) / U(s)，其中Y(s)是输出的拉普拉斯变换，和U(s)是系统输入的拉普拉斯变换。可以证明，传递函数是系统脉冲响应h(t)的拉普拉斯变换。因此，H(s) = Y(s) / U(s)，即H(s)体现了系统传递特性。这种方法适用于线性时不变系统，特别是图形技术非常有效的单输入-单输出系统。

频域法是在解决大量长距离通讯系统的主要问题的过程中产生的。为了减少放大器失真，Harold S. Black（1898年至1983年）经过六年的坚持，于1927年在放大器中引入负反馈使长途通讯发生了一场革命[Black，1934]。作为一种系统控制方法，在众多的应用领域造成了很大的影响。

Harry Nyquist在贝尔实验室提出了设计稳定放大器的理论（1889至1976年）。他推导出了基于传递函数极坐标图的一个稳定判据，一般称为奈奎斯特稳定性判据[Nyquist，1932]。

后来，同样是在贝尔实验室，Hendrik Bode（1905 〜1982年）使用传递函数的幅值和相位频率响应图研究闭环稳定性，并引入了增益和相位裕量的概念[Bode，1940]。1947年，在麻省理工学院辐射实验室，Nathaniel B. Nichols（1914年〜1997年）提出了设计反馈系统的尼科尔斯图，建