f分布t分布和卡方分布.docx

即可得到丫+Z 〜2(n +m ) 2. t 分布若X 与Y 相互独立，且 X 〜N(0,1), Y 〜2(n ),贝U Z = X Y

等于n 的t 分布，记作Z 〜t (n )，它的分布密

度

§ 1.4常用的分布及其分位数 1.卡平方分布

卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分 布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。

2

当X 1、X 2、...、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=V X i 的 i

2

(n),它的分

分布称为自由度等于 n 的

・

n

1 2 -------------

-- X

12丿

•

0,

■：： n ^1

-U ,

U e du ,

布密度

P(Z )=

式中的：n = 0

一

l ,

、2 .丿

相互独立，且Y

证明：先令X 1、

X 2、 (2)

分布，记作Z

Z ^2

其他I

称为Gamma 函数，且】1 =1 ,

2

分布是非对称分布，具有可加性，即当

Y 与Z 2

(m ),则 Y+Z

2

(n+m )o

2

(n ), Z

•、X n 、X n +1、X n+2、…、X n+m 相

互独 2

分布的定义以及上述随机变量 立且都服从N(0,1),再根据 的相互独立性，令

Y=X 2+X 2 + ... +X n , Z=X 21+x n 2 + ∙∙∙ +X n m , Y+Z= X

+

22

X +

+χ2+χn 1+χ2 2+- +χn m ,

n 1 2

的分布称为自由度

2

Y=X 的分布密度p γ(y )=

(2 八2 丿(n+y) 2

请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当 n>30时，t 分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。 这时， t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。

3. F 分布 若X 与Y 相互独立，且 X 〜2(n ), Y 〜2(m ), 则Z= X Y 的分布称为第一自由度等于 n 、第二自由度等于

n / m

m 的F 分布，记作Z 〜F (n , m ),它的分布密度

-1

z2 _____

n + m ,

4. t 分布与F 分布的关系

2

若 X 〜t(n )，则 Y=X 〜F(1,n )o Y=X 2的分布函数 F γ(y ) =P{Y< y }=P{x 20 时，F γ(y ) =P{- y

=_； p(x)dx =2 O y P(X)d x ,

与第一自由度等于1、第二自由度等于n 的F 分布的分布密

请注

F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度

(m n z) 2

2 2

0,

其他。

1

的次序有关，当 Z 〜F (n ,m )时，Z 〜F (m ,n )。 P(Z)=

Z 0

证：X 〜t(n ), X 的分布密度

P(X )=

1

x2 n

y2^1

n

n2 -

1 n 2

度相同，因此Y=X 2〜F(1,n)o

为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：

4.常用分布的分位数

1) 分位数的定义

分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的定义如下：

当随机变量X的分布函数为F(X)，实数α满足O V α<1时，□分位数是使P{X< X α}=F( X α)= α的数X α，

上侧α分位数是使P{X > λ}=1 - F(λ)= α的数λ，

双侧α分位数是使P{X< λ1}=F( λ1)=0.5 α的数λ1、使

P{X> λ2}=1 - F( λ2)=0.5 α的数λ2o

因为1- F( λ)= α，F( λ)=1- α，所以上侧α分位数λ就是1- α分位数X 1- α；

F( λ1)=0.5 α，1- F( λ2)=0.5 α，所以双侧α分位数λ1 就是0.5α分位数X 0.5α，双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数X 1- 0.5α。

2) 标准正态分布的α分位数记作Uα，0.5α分位数记作U

0.5 α，1- 0.5α分位数记作U 1- 0.5α。

P(X) P(X)

X o JT

当X 〜N(0,1)时，P{XV U a }= F 0,1(U a )= α , P{X

o,1 (U 0.5a )=0.5 a ,

P{X

根据标准正态分布密度曲线的对称性，

当a =0.5 时，U a =0 ；

当a <0.5 时，U a<0 o

U a= -u1- a o

如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，

则先查出U 1- a ,然后得到U a= -U1- a。

论述如下：当X 〜N(0,1)时，P{X< U a }= F 0,1 (U a )= a,

P{X< U 1- a }= F 0,1 (U 1- a )=1 - a ,

P{X> U 1- a }=1 - F 0,1 (U 1- a )= a ,

故根据标准正态分布密度曲线的对称性，U a=- U 1- a o 例如，U 0.10= - U o.9o=- 1.282,

U 0.05= - U 0.95= - 1.645,