由三角形内切圆导出的一个三角形的面积公式应用

O1
A (3) 如图 2-3 ，当 n 是大于 2 的正整数时， 若半径为 r n 的
B 图 2-1
n 个等圆⊙ O1、⊙ O2、, 、⊙ ON 依次外切，且⊙ O1 C
与 AC、AB相切，⊙On 与 BC、AB 相切，⊙O2、⊙ O3、, 、 ⊙On-1 均与 AB边
C 相切，求 r n .
Βιβλιοθήκη Baidu图 2-3
通过适当的分割， 分割为若干个可求图形的面积， 利用整体等于各个部分面积之和从而获得
上面的结论 .
我们知道三角形是多边形中最简单的多边形，而且任意的三角形都存在唯一的内切圆，
但四边形不一定存在内切圆，假若四边形存在一个内切圆上述结论成立吗？对于任意的
n
边形呢？请欣赏如下的江苏省淮安市 06 年的一道中考题：
2
O 1 r ，则有 30= ( 5 12 13 ) r ，所以 r=2 2
（ 2）设四边形内切圆的圆心为点 O，分别连接 OA、 OB、 OC、 OD，将四 边形 ABCD分割为 4 个三角形△ AOB、△ BOC、△ COD、△ DOA，它们的高视为四边形 ABCD的内
切圆半径，则有
1 S= (a
由“三角形内切圆”引出的 2 个中考命题
我们知道：和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆， 内切圆的圆心叫三角形的内心，
它是三角形 3 条内角平分线的交点， 它到三角形三边的距离相等， 这个距离就是三角形的内
切圆的半径（如图甲） . 观察图形 3 个角平分线将三角形分成 3 个三角形，而每个三角形的
例 2、 ( 天津 ) 已知 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=6， BC=8. (1) 如图 2-1 ，若半径为 r 1 的⊙ O是 Rt△ ABC 的内切圆，求 r 1；
C (2) 如图 2-2 ，若半径为 r 2 的两个等圆⊙ O1 、⊙ O2 外切，
且⊙ O1 与 AC、 AB 相切，⊙ O2 与 BC、AB相切，求 r 2 ；
的 ，其
中的巧妙之处在于分割后 3 个三角形的高均为内切圆的半径， 因而三角形的面积等于三角形
的周长之半与内切圆半径之积 .
（ 1）首先根据三边之间关系判定是直角三角形，即
2
2
2
5 +12 =13 由勾股定理的逆定理可知：
1 边长分为 5、12、13 的三角形，所以 S = △ ABC 5 12 =30，设内切圆半径为
b
c
d ) · r ，所以 r
2
2s ab cd
（ 3）根据阅读材料及问题（ 2）的解答过程，进行类比推理，不难猜想： 面积为 S，各
边 长 分别 为 a1 、 a2 、 a3 、 , 、 an 的 n 边形 (n 为 不小 于 3 的 整数 ) 内 切圆 半径 公 式
2s r
a1 a 2
. an
评注： 本题是提供的是 “一个多边形如果存在内切圆， 那么这个多边形的面积如何用多 边形的周长及内切圆的半径来表示” 的研究课题， 试题首先从最简单三角形的内切圆入手让 学生通过阅读获得问题的解题方法， 经历解决问题的过程并掌握得到问题的结论， 然后让学 生类比迁移问题的处理方法， 去解决四边形内切圆问题， 然后从特殊到一般让学生猜想对任 意的 n 边形的内切圆的半径与 n 边形的面积与各边长之间的关系 . 通过本题的解答读者应该 掌握“学会从‘特殊情况、简单情况’入手，观察分析推理，得出规律后再向‘一般情况’ 推广的研究问题“的数学方法
1 S ABC = × AC· BC=24.
2
又∵
S
ABC
=S
+ S AO 1C
+ S BO 1 C
，∴ 24=3r 1+4r 1+5r 1.
AO 1B
C ∴r 1=2.
(2) 如图 2- （ 5）连接 AO1、 BO2 、 CO1、 CO2、 O1 O2，则
C
⊥AB， O1E⊥ BC， O1 F⊥ AC，
E F
1
1
S AO 1C = 2 × AC×O1F= 2 ×AC× r 1=3r 1，
1
1
S
BO
1C
=
2
× BC×O1E= 2
×BC× r 1=4r 1，
O1
A
B
D
图 2-(4)
S AO 1B
1 =
2
1 ×AB × O1D=
2
× AB × r 1 =5r 1 ，
高均为内切圆的半径，底为三角形的三边长 . 所以
1
1
1
S =S +S +S = △ABC
△ OAB △ OBC △ OCA
AB r +
BC r +
CA r
2
2
2
1 = ( AB AC BC ) r （ r 为内切圆的半径）
2
A
B
O┓
C
从上述三角形面积的探究过程中隐含了一种重要的数学思维方法，
有些图形的面积可以
O1
O2
A
图 2-2
A
O1 O2 O3
,
On
B
B
解(1) ∵在 Rt △ ABC中，∠ ACB=90°， AC=6，BC=8. ∴AB=
2
AC
2
BC =10.
如图 2- （ 4），设⊙ O1 与 Rt △ ABC的边 AB、 BC、 CA分别切于
点 D、 E、 F，连接 O1 D、 O1E、 O1F、 AO1、 BO1、 CO1. 于是， O1D
2
2
2
1
1
1
1
∴S△ ABC= AB r + BC r + CA r = l r ( 可作为三角形内切圆半径
2
2
2
2
公式 )
（ 1）理解与应用：利用公式计算边长分为 5、 12、 13 的三角形内切圆半径；
(2) 类比与推理： 若四边形 ABCD存在内切圆 ( 与各边都相切的圆， 如图 ( 二 )) 且面积为 S，
各边长分别为 a、b、 c、 d，试推导四边形的内切圆半径公式； （ 3）拓展与延伸： 若一个 n 边形 (n 为不小于 3 的整数 ) 存在内切圆， 且面积为 S，各边
长分别为 a1、a2、 a3、, 、 an ，合理猜想其内切圆半径公式 ( 不需说明理由 ) ．
分析： 本题创设了一个以 “阅读材料—三角形的面积与内切圆半径及周长之间关系” 问题背景，通过阅读使读者体会到“同一个图形分割后整体的面积等于各个部分之和”
例 1、阅读材料：如图 ( 一 ) ，△ ABC的周长为 l ，内切圆 O的半径为 r, 连结 OA、OB、OC， △ABC被划分为三个小三角形，用 S△ ABC 表示△ ABC的面积
∵ S =S +S +S △ ABC △OAB △ OBC △ OCA
1
1
1
又∵ S△ = OAB AB r ， S△ = OBC BC r ， S△ OCA = CA r