高等代数__行列式计算方法小结
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1、定义法：适用于0比较多的行列式．
2、利用性质化三角形行列式
3、 按行（列）展开
4、 其他方法： 分离因子法 箭形行列式 行（列）和相等的行列式 递推公式法 加边法（升级法） 拆项法 数学归纳法
行列式的计算
（一）分离因子法
1123
例：计算
D
1 2
2 x2 3
2 1
3 5
.
2 3 1 9 x2
行列式的计算
而 D2 a2 ab b2, D1 a b
Dn aDn1 bn2(a2 ab b2 a2 ab) bn ; Dn bDn1 an2(a2 ab b2 a2 ab) an .
由以上两式解得
Dn
an1 a
bn1 b
(n 1)an
ab ab
（先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线性
rnrn1Mrrnn12 r2 r1
n(n
1)
1 0 M
2 1 M
3 L n1 n 1 L 1 1n MMM M
2 0 1 1n L 1 1
0 1n 1 L 1 1
行列式的计算
1 1 L 1 1n
n(n 1) 2
M M MM M 1 1n L 1 1
1n 1 L 1 1
n1
1 1 L 1 1n ri r1 n(n 1) 0 0 L n n i 2,3L n 1 2 L L L L L
令 x 0, 则
1123
D
1 2
2 3
2 1
3 5
12,
2319
即 a 1 (1) 2 (2) 12, a 3.
D 3( x 1)( x 1)( x 2)( x 2).
行列式的计算
（二）箭形行列式
a0 b1 b2 L bn c1 a1 0 L 0 Dn1 c2 0 a2 L 0 , M M MO M
0 0 L ab
行列式的计算
1 2 3 L n1 n 2 3 4L n 1 2) D M M ML M M . n1 n 1 L n3 n2 n 1 2 L n2 n1
解
1 2 3 L n1
D
n(n
1)
1 3 4L MM ML
n M
n 1 M
2 1 n 1 L n3 n2
1 1 2 L n2 n1
n 0 0 L n n1
1 1 L 1 1
n(n 1) 0 0 L n 0
cn1 c1 L cn2
2
L LL L L n 0 0 L 0 n1
n(n
1)
(
1)
( n1)( 2
n2)
(1)(
n)n2
2
n( n1)
(1) 2
(n
1)nn1
.
2
行列式的计算
（四）升级法（加边法）
a1 b1 a2 L
n 1) 1 1
b1 0
0L b2 L
0 0
M M ML M
1 0 0 L bn
1 n ai
c1
ci1 bi
(i
1,2L
n 1)
i1 bi 0 M
a1 L an b1 L 0 MMM
0 0 L bn
b1b2 L
bn(1
n i 1
ai bi
).
行列式的计算
（五）递推公式法
a b ab 0 L 0 0
ai 0,i 1,2,3L n.
cn 0 0 L an
解：把所有的第
i
1列(i
1,L
, n)
的
ci 倍加到 ai
第1列，得：
Dn1
a1a2 L
an (a0
n i 1
bi ci ai
).
行列式的计算
可转为箭形行列式的行列式：
1 a1 1 L
1)
1 L
1 a2 L LL
1 1L
1
1 L
a x2 L a 0 L LLL
a
a La
a
a L a xn
x1 0 L 0 a
0 L
x2 L LL
0 L
a L
xn Dn1,
0 0L 0 a
行列式的计算
Dn x1 x2 L xn1a xn Dn1 , Dn1 x1 x2 L xn2a xn1Dn2 , Dn2 x1 x2 L xn3a xn2Dn3 ,L L
1 a b ab L 0 0
Dn
0 L
1 ab L 0 L LLL
0 L
.
0 0 0 L a b ab
0 0 0 L 1 ab
解
Dn 按c1展开 (a b)Dn1 abDn2
Dn aDn1 b(Dn1 aDn2 ) L bn2(D2 aD1 ) Dn bDn1 a(Dn1 bDn2 ) L an2(D2 bD1 )
继续下去，可得
Dn ax1L xn1 ax1 x2 L xn2 xn ax1 x2 L xn3 xn1 xn
L ax1 x2 x4 L xn ax1 x3 x4 L xn xn xn1L x3 x2D1
关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）
行列式的值求出 D的值）
行列式的计算
（六）拆项法（主对角线上、下元素相同）
1) 解：
a x1 a L
Dn
a L
a x2 L LO
a aL
a
a L
.
a xn
a x1 a L a a x1 a L a 0
Dn
a L
a x2 L
L O
a L
a L
Dn
a1 a2 b2 L M ML
a1
a2 L
an
an M
,
an bn
b1b2 L bn 0.
解：
1 a1
a2 L
0 a1 b1 a2 L
1) Dn 0 a1 a2 b2 L
M M ML
0 a1
a2 L
an an an M an bn n1
行列式的计算
1 a1 a2 L an
ri
r1(i 2,3L
解：由行列式 D定义知为 x 的4次多项式．
又 当 x 1时，1，2行相同，有D 0 ， x 1 为D的根．
当 x 2 时，3，4行相同，有 D 0,
x 2为D的根．
故 D 有4个一次因式:x 1, x 1, x 2, x 2.
行列式的计算
设 D a( x 1)( x 1)( x 2)( x 2),
,
1 an
ai 0, i 2,3L n.
a1 x x L
2)
x L
a2 x L LL
x xL
x
x L
,
an x
ai 0, i 2, 3L n.
（把第 i 行分别减去第1行， 即可转为箭形行列式）
行列式的计算
（三）行（列）和相等的行列式
a bL b
1)
D
b L
a L
L L
b L
.
bLL a
a (n 1)b b L b
解：D
c1 c2 L
cn
a
(n M
1)b
aL b MMM
a (n 1)b b L a
1bL b
wenku.baidu.com
a
(n
1)b
1aL MM M
b M
1bL a
1bL b
i
ri r1 2,3,L
n
a
(n
1)b
0a M
b M
L M
0 M
(a b)n1 a (n 1)b .
2、利用性质化三角形行列式
3、 按行（列）展开
4、 其他方法： 分离因子法 箭形行列式 行（列）和相等的行列式 递推公式法 加边法（升级法） 拆项法 数学归纳法
行列式的计算
（一）分离因子法
1123
例：计算
D
1 2
2 x2 3
2 1
3 5
.
2 3 1 9 x2
行列式的计算
而 D2 a2 ab b2, D1 a b
Dn aDn1 bn2(a2 ab b2 a2 ab) bn ; Dn bDn1 an2(a2 ab b2 a2 ab) an .
由以上两式解得
Dn
an1 a
bn1 b
(n 1)an
ab ab
（先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线性
rnrn1Mrrnn12 r2 r1
n(n
1)
1 0 M
2 1 M
3 L n1 n 1 L 1 1n MMM M
2 0 1 1n L 1 1
0 1n 1 L 1 1
行列式的计算
1 1 L 1 1n
n(n 1) 2
M M MM M 1 1n L 1 1
1n 1 L 1 1
n1
1 1 L 1 1n ri r1 n(n 1) 0 0 L n n i 2,3L n 1 2 L L L L L
令 x 0, 则
1123
D
1 2
2 3
2 1
3 5
12,
2319
即 a 1 (1) 2 (2) 12, a 3.
D 3( x 1)( x 1)( x 2)( x 2).
行列式的计算
（二）箭形行列式
a0 b1 b2 L bn c1 a1 0 L 0 Dn1 c2 0 a2 L 0 , M M MO M
0 0 L ab
行列式的计算
1 2 3 L n1 n 2 3 4L n 1 2) D M M ML M M . n1 n 1 L n3 n2 n 1 2 L n2 n1
解
1 2 3 L n1
D
n(n
1)
1 3 4L MM ML
n M
n 1 M
2 1 n 1 L n3 n2
1 1 2 L n2 n1
n 0 0 L n n1
1 1 L 1 1
n(n 1) 0 0 L n 0
cn1 c1 L cn2
2
L LL L L n 0 0 L 0 n1
n(n
1)
(
1)
( n1)( 2
n2)
(1)(
n)n2
2
n( n1)
(1) 2
(n
1)nn1
.
2
行列式的计算
（四）升级法（加边法）
a1 b1 a2 L
n 1) 1 1
b1 0
0L b2 L
0 0
M M ML M
1 0 0 L bn
1 n ai
c1
ci1 bi
(i
1,2L
n 1)
i1 bi 0 M
a1 L an b1 L 0 MMM
0 0 L bn
b1b2 L
bn(1
n i 1
ai bi
).
行列式的计算
（五）递推公式法
a b ab 0 L 0 0
ai 0,i 1,2,3L n.
cn 0 0 L an
解：把所有的第
i
1列(i
1,L
, n)
的
ci 倍加到 ai
第1列，得：
Dn1
a1a2 L
an (a0
n i 1
bi ci ai
).
行列式的计算
可转为箭形行列式的行列式：
1 a1 1 L
1)
1 L
1 a2 L LL
1 1L
1
1 L
a x2 L a 0 L LLL
a
a La
a
a L a xn
x1 0 L 0 a
0 L
x2 L LL
0 L
a L
xn Dn1,
0 0L 0 a
行列式的计算
Dn x1 x2 L xn1a xn Dn1 , Dn1 x1 x2 L xn2a xn1Dn2 , Dn2 x1 x2 L xn3a xn2Dn3 ,L L
1 a b ab L 0 0
Dn
0 L
1 ab L 0 L LLL
0 L
.
0 0 0 L a b ab
0 0 0 L 1 ab
解
Dn 按c1展开 (a b)Dn1 abDn2
Dn aDn1 b(Dn1 aDn2 ) L bn2(D2 aD1 ) Dn bDn1 a(Dn1 bDn2 ) L an2(D2 bD1 )
继续下去，可得
Dn ax1L xn1 ax1 x2 L xn2 xn ax1 x2 L xn3 xn1 xn
L ax1 x2 x4 L xn ax1 x3 x4 L xn xn xn1L x3 x2D1
关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）
行列式的值求出 D的值）
行列式的计算
（六）拆项法（主对角线上、下元素相同）
1) 解：
a x1 a L
Dn
a L
a x2 L LO
a aL
a
a L
.
a xn
a x1 a L a a x1 a L a 0
Dn
a L
a x2 L
L O
a L
a L
Dn
a1 a2 b2 L M ML
a1
a2 L
an
an M
,
an bn
b1b2 L bn 0.
解：
1 a1
a2 L
0 a1 b1 a2 L
1) Dn 0 a1 a2 b2 L
M M ML
0 a1
a2 L
an an an M an bn n1
行列式的计算
1 a1 a2 L an
ri
r1(i 2,3L
解：由行列式 D定义知为 x 的4次多项式．
又 当 x 1时，1，2行相同，有D 0 ， x 1 为D的根．
当 x 2 时，3，4行相同，有 D 0,
x 2为D的根．
故 D 有4个一次因式:x 1, x 1, x 2, x 2.
行列式的计算
设 D a( x 1)( x 1)( x 2)( x 2),
,
1 an
ai 0, i 2,3L n.
a1 x x L
2)
x L
a2 x L LL
x xL
x
x L
,
an x
ai 0, i 2, 3L n.
（把第 i 行分别减去第1行， 即可转为箭形行列式）
行列式的计算
（三）行（列）和相等的行列式
a bL b
1)
D
b L
a L
L L
b L
.
bLL a
a (n 1)b b L b
解：D
c1 c2 L
cn
a
(n M
1)b
aL b MMM
a (n 1)b b L a
1bL b
wenku.baidu.com
a
(n
1)b
1aL MM M
b M
1bL a
1bL b
i
ri r1 2,3,L
n
a
(n
1)b
0a M
b M
L M
0 M
(a b)n1 a (n 1)b .