一元三次不等式解法

，其中, ,和 ()

也就是形如的方程

如果我们允许, 是复数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道复数。费罗一直保守着

由此可簡化成,

红色字体部分为判别式, 当时，方程有一实根和两共轭复根；当时，方程有三重实根；当时，方程有三实根.

三角函数解

卡尔丹诺的方法

令為域，可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根，然後把方程除以，就

得到一個二次方程，而我們已會解二次方程。

在一個代數封閉域，所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域，這是代數基本定理的結果。

解方程步驟：

∙把原來方程除以首項係數，得到：

，其中，，。

∙代換未知項，以消去二次項。當展開，會得到這項，正好抵消掉出現於的項。故得：

，其中和是域中的數字。

；。

∙記。前一方程化為。

展開：。

重組：。

分解：。

因為多了一個未知項（和代替了），所以可加入一個條件，就是：

，由此導出。

∙設和。我們有和因為。所以和是輔助方程

的根，這方程我們已會解出。

接下來，和是和的立方根，適合，，最後得出。

在域裡，若和是立方根，其他的立方根就是和，當然還有和，其中是單位的立方根。

因為乘積固定，所以可能的是，和。因此三次方程的其他根是

和。

判别式

最先嘗試解的三次方程是實係數（而且是整數）。因為實數域並非代數封閉，方程的根的數目不一定是個。所遺漏的根都在裡，就是的代數閉包。其中差異出現於和的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。

可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式，

∙若，只有一個實根，其他兩個是共軛複根。

∙若，至少有一對實重根：1：三重實根，或2：一個二重實根和一個單實根。

∙若，有三個實根：

其中。

注意到至少有一實根存在，這是因為非常數多項式在和的極值是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號。由於多項式是連續函數，從介值定理知道它在某點的值為。

第一個例子

解。

我們依照上述步驟進行：

∙（全式除以）

∙設，故，代換：，再展開。

∙，，。設和。和是的根。

和，

和。

t = x− 1 = u + v− 1，

该方程的另外两个根：

，

，

第二个例子

这是一个历史上的例子，因为它是邦别尼考虑的方程。

方程是。

从函数算出判别式的值，知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根。首两步都不需要做。做第三步：，，。

和。

和是的根。这方程的判别式已算出是负数，所以没有实根。很吊诡地，这方法必须用到复

数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。

我们解出和。取复数立方根不同于实数，有两种方法：几何方法，用到辐角和模（把辐角除以取模的立方根）；代数方法，分开复数的实部和虚部：现设。

等价于：

（实部）

（虚部）

（模）

得到和，也就是，而是其共轭：。

归结得，可以立时验证出来。

其他根是和。

当是负，和共轭，故此和也是（要适当选取立方根，记得）；所以我们可确保是实数，还有和

。

极值

驻点的公式

设

将其微分，可得

极值

设，可得在中的极值（极大或极小值）,。

将代入，可得的极值

拐点

设，可得中的拐点。

驻点的类型

从二阶导数测试，

, 在中是极大值；

, 在中是极小值；

, 在中是一个拐点。

，

可见如：

，的驻点为极小值；

，的驻点为极大值。

，的驻点为拐点。