[2004年][高考真题][全国卷I][数学理][答案]
2004年全国各地高考数学试题精析(圆锥曲线部分)整理
2004年全国各地高考数学试题精析（圆锥曲线部分）一、选择题1.(2004全国I,理7文7) 椭圆x 24+y 2=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则2||PF=( ) A ．32 B ． 3 C ．72 D ．4 【答案】C .【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识.一般地，过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦长，叫做圆锥曲线的通径.椭圆、双曲线的通径长为2b 2a .本题中|PF 1|=b 2a =12,由椭圆的定义知|PF 1|+|PF 2|=2a =4,∴|PF 2|=4-12=72.2.(2004全国I,理8文8)设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[-12,12] B ．[-2,2] C ．[-1,1] D ．[-4,4]【答案】C .【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及解析几何的基本思想. Q(-2,0),设直线l 的方程为y =k (x +2),代入抛物线方程，消去y 整理得：k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0, 由△=(4k 2-8)2-4k 2·4k 2=64(1-k 2)≥0, 解得 -1≤k ≤1.3.(2004全国III 、广西,理7文8)设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为y =±12x,则该双曲线的离心率e =( )A ．5B ． 5C ．52D ．54【答案】C .【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识.∵双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为y =±12x,∴b a =12,即a =2b ,∴c =a 2+b 2=5b ,故该双曲线的离心率e =c a =52.4.(2004全国IV,理8)已知椭圆的中心在原点,离心率e =12,且它的一个焦点与抛物线y 2=-4x 的焦点重合,则此椭圆方程为( ) A .x 24+y 23=1 B . x 28+y 26=1 C .x 22+y 2=1 D .x 24+y 2=1 【答案】A.【解析】本小题主要考查椭圆、抛物线的方程与几何性质.∵抛物线焦点为(-1,0),∴c =1,又e =12，∴a =2,∴b 2=a 2-c 2=3,故椭圆方程为x 24+y 23=1.5.(2004江苏,5)若双曲线x 28-y2b2=1的一条准线与抛物线y 2=8x 的准线重合,则双曲线的离心率为( )A.2B.22C.4D.42 【答案】A.【解析】本小题主要考查双曲线、抛物线的方程与几何性质等基本知识.∵抛物线y 2=8x 的准线方程为x =2,双曲线x 28-y 2b 2=1的一条准线方程为x =88+b 2,∴2=88+b2,解得b 2=8,∴c =a 2+b 2=4 ∴e =c a =422= 2.6.(2004天津,理4文5)设P 是双曲线22219x y a-=上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x -2y =0,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF 1|=3,则|PF 2|=( ) A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C .【解析】本小题主要考查双曲线的概念、方程与几何性质. ∵双曲线的一条渐近线方程为3x -2y =0,∴a 2=4.由双曲线的定义知||PF 1|-|PF 2||=4,∵|PF 1|=3,∴|PF 2|=7.7.(2004广东,8)若双曲线2x 2-y 2=k (k >0)的焦点到它相对应的准线的距离是2,则k = （ ）A.6B. 8C. 1D.4 【答案】A. 【解析】本小题主要考查双曲线的方程与几何性质等基本知识.双曲线方程化为标准方程为 x 2 k 2-y 2k =1,∵a 2=k 2,b 2=k ,∴c 2=3k 2.焦点到准线的距离2=c -a 2c ,即2=k3k2,解得k =6.8.(2004福建,理4文4)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( )A.33B.23C.22D.32 【答案】A.【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质，以及基本量的运算.设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1,则过F 1且与椭圆长轴垂直的统弦AB=2b 2a .若△ABF 2是正三角形,则2c = 2b 2a ·32,即3a 2-2ac -3c 2=0,(a -3c )(3a -c )=0,∴e =c a =33.9.(2004福建,理12)如图,B 地在A 地的正东方向4km 处,C 地在B 地的北偏东300方向2km 处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头,向B 、C 两地转运货物.经测算,从M 到B 、M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( ) A.(27-2)a 万元 B.5a 万元C. (27+1)a 万元D.(23+3)a 万元 【答案】B.【解析】本小题主要考查双曲线的概念与性质，考查考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为y 万元,则y=a ·MB+2a ·MC∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km., ∴曲线PG 是双曲线的一支,B 为焦点,且a =1,c =2.过M 作双曲线的焦点B 对应的准线l 的垂线,垂足为D(如图).由双曲线的第二定义,得MB MD =e ,即MB=2MD. ∴y = a ·2MD+ 2a ·MC=2a ·(MD+MC)≥2a ·CE.(其中CE 是点C 到准线l 的垂线段). ∵CE=GB+BH=(c -a 2c )+BC·cos600=(2-12)+2×12=52.∴y ≥5a (万元).10.(2004福建,文12)如图,B 地在A 地的正东方向4km 处,C 地在B 地的北偏东300方向2km 处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头,向B 、C 两地转运货物.经测算,从M 到B 、C 两地修建公路的费用都a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( ) A.(7+1)a 万元 B.(27-2)a 万元C.27a 万元D.( 7-1)a 万元 【答案】B. 【解析】本小题主要考查双曲线的概念与性质,考查考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为y 万元,则y=a ·(MB+MC)∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km., ∴曲线PG 是双曲线的一支,B 为焦点,且a =1,c =2. 由双曲线第一定义,得MA -MB=2a , 即MB=MA -2, ∴y = a ·(MA+MC -2)≥a ·AC.以直线AB 为x 轴,中点为坐标原点,建立直角坐标系,则A(-2,0),C(3,3). ∴AC=(3+2)2+(3)2=27, 故y ≥(27-2)a (万元).11.(2004湖北,理6)已知椭圆x 216+y 29=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在椭圆上,若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,则点P 到x 轴的距离为( )A ．95B ．3C ．977D ．94【答案】D.【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质.注意！P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点时，要考虑直角顶点的确定.若P 为直角顶点，则PF 12＋PF 22=F 1F 22,即PF 12＋PF 22=(27)2,又PF 1＋PF 2=2a =8,∴PF 1·PF 2=18.在Rt △PF 1F 2中,P 到x 轴的距离h =1827=977,但977>b =3,不合题意，舍去.由对称性，F 1、F 2之一为直角顶点（不妨设F 2为直角），则PF 2=b 2a =94.12.(2004浙江,文6理4)曲线y 2=4x 关于直线x =2对称的曲线方程是( ) A.y 2=8-4x B.y 2=4x -8 C.y 2=16-4x D.y 2=4x -16 【答案】C【解析】设所求曲线上的任意一点的坐标为P(x ,y ),其关于x =2对称的点的坐标为Q(4-x ,y ),把它代入y 2=4x 并化简,得y 2=16-4x ．13.(2004浙江,理9) 若椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为( ) A.1617 C.45【答案】D.【解析】抛物线y 2=2bx 的焦点为F(2b,0),∵F 1(－c,0),F 2(c ,0),|F 1F|：|FF 2|=5：3,∴5232b cb c +=-,化简,得c =2b,即c =两边平方并化简得4a 2＝5c 2,∴22245c e a ==,∴e =14.(2004年浙江,文11) 若椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,线段F 1F 2被点(2b,0)分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为( )A.1617C.45【答案】D【解析】见上题．15.(2004湖南,文4理2)如果双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的距离等于13,那么点P 到右准线的距离是( ) A ．513B ．13C ．5D ．135 【答案】A【解析】考查双曲线线的基本量的运算．解：a 5c =,由双曲线的第二定义,c e a ===,∴d=135. 16.(2004重庆,文理10) 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上,且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】A【解析】设|PF 1|=m,|PF 2|=n,则m -n =2a, m =4n,∴m =83a ,n =23a,又m -n <2c ≤m +n,即2a <2c≤103a ,∴1<e=a c ≤53,所以e 的最大值为53．17.(2004辽宁,6)已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x ,y )满足2PA PB x ⋅=,则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 【答案】D【解析】∵PA =(x +2,y ),PB =(x -3,y ),∴PA ·PB =(x +2)(x -3)+y 2=x 2,化简,得y 2=x +6. 18.(2004辽宁,9)已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ,动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时,点P 到坐标原点的距离是( ) A ．26B ．23C ．3D ．2【答案】A【解析】由题意知,P 点的轨迹是双曲线的左支,c a =1,b =1,∴双曲线的方程为x 2-y 2=1,把y =12代入双曲线方程,得x 2=1+14=54,∴|OP|2=x 2+y 2=54+14=64,.二、填空题19.(2004全国II,理15文15)设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 .【答案】x 22+y 2=1.【解析】本小题主要考查椭圆、双曲线的方程与几何性质.在双曲线2x 2-2y 2=1中a 2=21,b 2=21,c 2=1,则其焦点坐标为F 1(-1,0),F 2(1,0),离心率e 1=2.所以椭圆的离心率为21,∵c =1,∴a =2,则b =a 2-c 2=1.故椭圆的方程是x 22+y 2=1.20.(2004全国III 、广西,理16)设P 是曲线y 2=4(x -1)上的一个动点,则点P 到点(0,1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .【答案】5.【解析】本小题主要考查抛物线的方程与几何性质等基本知识,以及数形结合的思想方法.∵抛物线的顶点为A(1,0), p =2,∴准线方程为x =0,焦点F 坐标为(2,0), 所以点P 到点B(0,1)的距离与点P 到y 轴的距离之和等于|PB|+|PF|,如图, |PB|+|PF|≥|BF|,当B 、P 、F 三点共线时取得最小值,此时|BF|=(0-2)2+(1-0)2= 5.21.(2004年天津,理14文15)如果过两点A(a ,0)和B(0,a )的直线与抛物线y =x 2-2x -3没有交点,那么实数a 的取值范围是 .【答案】(-∞,-134).【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系等基本知识.直线AB 的方程是x +y =a ,由⎩⎨⎧x+y=a y =x 2-2x -3，得x 2-x -3-a =0.若直线AB 与该抛物线没有交点，则△=(-1)2-4(-3-a )=13+4a <0,故a <-13422.(2004上海,文理2)设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x =－1,则它的焦点坐标为 . 【答案】(5,0)【解析】考查抛物线的基本概念．解：由抛物线的定义知,顶点到准线的距离等于它到焦点的距离,设焦点坐标为(m ,0),则2+1=m -2,∴m =523.(2004上海,理7) 在极坐标系中,点M(4,3π)到直线l :ρ(2c osθ+sinθ)=4的距离d = .【解析】考查极坐标的概念及极坐标与直角坐标的互化．化为直角坐标系下,点M(2,到直线2x +y =4的距离问题．由点到直线的距离公式,得d24.(2004上海,文理11) 教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 . 【答案】用代数的方法研究图形的几何性质．【解析】考查对教材知识体系的把握,此题型不多见．25.(2004湖南,理16) 设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点P i (i =1,2,3,…),使|FP 1|,|FP 2|, |FP 3|,…组成公差为d 的等差数列,则d 的取值范围为 .【答案】11[,0)(0,]10-⋃【解析】a =,c =1,1,1,当d>0时,|FP 1|＝－1,|FP n |＝＋1,∴d=1||||1n FP FP n --＝21n -,∵n ≥21,∴1010d <≤,同理,当d ＜0时,1010d -≤<．故d ∈11[,0)(0,]1010-⋃．26.(2004湖南,文15) F 1,F 2是椭圆C ：14822=+x x 的焦点,在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为__________.【答案】2【解析】a =,2c =,e =,设P 00(,)x y ,则|PF 1|=0,|PF 2|= 0x , ∵PF 1⊥PF 2,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,即(0)2＋(-0)2=16,解得0x =0,故在椭圆上存在两点即短轴的两顶点使PF 1⊥PF 2．27.(2004重庆,理16) 对任意实数k,直线：y k x b =+与椭圆：2cos (02)14sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=+⎪⎩恒有公共点,则b 取值范围是 . 【答案】[-1,3]【解析】∵直线y kx b =+过定点(0,b ),所以对任意的实数k,它与椭圆2(1)16y -+=1恒有公共点的充要条件是(0,b )在椭圆上或其内部,∴2(1)116b -+≤,解得13k -≤≤. 28.(2004北京春,理文14)若直线mx+ ny -3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点,则m,n 满足的关系式为_______;以(m,n )为点P 的坐标,过点P 的一条直线与椭圆x 27+y 23=1的公共点有____个.【答案】0<m 2+n 2<3,2.【解析】考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系.处理直线与曲线的位置关系的一般方法是方程思想:由直线方程与曲线方程联立方程组,通过判别式△确定解的个数(交点个数),而直线与圆可以用圆心到直线距离与半径的大小关系进行判定.另外,要注意数形结合思想的应用,比如直线过定点时,要考虑定点与曲线的位置关系.∵直线mx+ny -3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点,∴3m 2+n2>3,解得0<m 2+n 2<3.∴m 27+n 23< m 23+n23<1,即点P (m ,n )在椭圆内部,故过P 的直线必与椭圆有两个交点. 29.(2004安徽春,理13)抛物线y 2=6x 的准线方程为 .【答案】x =-32.【解析】考查抛物线的几何性质.抛物线y 2=2px (p >0)的准线方程为x =-p2.30.(2004上海春,4)过抛物线y 2=4x 的焦点F 作垂直于x 轴的直线,交抛物线于A 、B 两点,则以F 为圆心、AB 为直径的圆方程是________________. 【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】本小题主要考查抛物线的概念与几何性质,圆的概念与方程等基础知识,以及运算能力.解题中要注意一些特殊结论的应用,对于抛物线而言,过焦点垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛 物线的通径,其长度等于2p .抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),因为AB 为抛物线的通径,所以AB ＝4,即圆的半径为2,故圆的方程是(x -1)2+y 2=4.31.(2004上海春,10)若平移椭圆4(x +3)2+9y 2=36,使平移后的椭圆中心在第一象限,且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点,则平移后的椭圆方程是______.【答案】(x -3)29+(y -2)24=1.【解析】本小题主要考查椭圆的性质、平移变换等基础知识,以及数形结合的能力.椭圆方程可化为(x +3)29+y 24=1,因此椭圆的长半轴长为3,短半轴长为2.移后使椭圆与x 轴、y 轴分别只有一个交点,即长轴的左项点在y 轴上,下顶点在x 轴上,又椭圆中心在第一象限,故中心坐标为(3,2),此时椭圆方程为(x -3)29+(y -2)24=1.三、解答题32.(2004全国I,理21文22)设双曲线C ：x 2a2-y 2=1(a >0)与直线l:x+y =1相交于两个不同的点A 、B.(I)求双曲线C 的离心率e 的取值范围; (II)设直线l 与y 轴的交点为P,且5.12PA PB =求a 的值. 【解析】本题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.解：(I)由C 与l 相交于两个不同的点,故知方程组2221,1.x y ax y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩有两个不同的实数解.消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x-2a 2=0. ①242210.48(1)0.0 1.a a a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩<<≠所以解得 双曲线的离心率01,e a a e e ==<<≠∴>≠).e +∞ 即离心率（II ）设1122(,),(,),(0,1)A x y B x y P1122125,125(,1)(,1).125.12PA PB x y x y x x =∴-=-=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根，且1-a 2≠0,2222222222172.12152.1212289,,601170,.13a x a a x a a x a a a =--=---=->=所以消去得由所以33.(2004全国II,理21文22)给定抛物线C ：y 2=4x ,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点.(I)设l 的斜率为1,求OA 与OB 的夹角的大小；(II)设AF FB λ=,若λ∈[4,9],求l 在y 轴上截距的变化范围. 【解析】本题主要考查抛物线的性质,直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力,解：(I)C 的焦点为F(1,0),直线l 的斜率为1,所以l 的方程为y =x -1. 将y =x -1代入方程y 2=4x ,并整理得x 2-6x +1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有x 1+x 2=6,x 1x 2=1.∴11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+12122()1 3.x x x x =-++=-||||OA OB =∴cos(,)||||OA OB OA OB OA OB ⋅==⋅故OA 与OB 夹角的大小为π-arccos31441. (II)由题设FB AF =λ得(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1), 即⎩⎨⎧x 2-1=λ(1-x 1)， ①y 2=-λy 1， ② 由②得y 22=λ2y 12,∵y 12=4x 1, y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1, ③ 联立①、③解得x 2=λ,依题意有λ>0, ∴B(λ,2λ),或(λ,-2λ).故直线l 的方程为(λ-1)y =2λ(x -1)或(λ-1)=-2λ(x -1).当λ∈[4,9]时,直线l 在y 轴上的截距为2λλ-1或-2λλ-1.由 2λλ-1=2λλ+1+2λ-1,可知2λλ-1在[4,9]上是递减的,∴3443,,4334≤≤-≤≤- 直线l 在y 轴上截距的变化范围为4334[,][,].3443-- 34.(2004全国III 、广西,理21文22)设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是F 1(-c ,0)与F 2(c ,0)(c >0),且椭圆上存在点P,使得直线PF 2与直线PF 2垂直. (I)求实数m 的取值范围；(II)设L 是相应于焦点F 2的准线,直线PF 2与L 相交于点Q.若|QF 2||PF 2|=2-3,求直线PF 2的方程.【解析】本题主要考查直线和椭圆的基本知识,以及综合分析和解题能力. 解:(I)由题设有m >0,c =m .设点P 的坐标为(x 0,y 0),由PF 1⊥PF 2,得00001,y yx c x c⋅=--+ 化简得 x 02+y 02=m . ①将①与220011x y m +=+联立,解得 2220011,.m x y m m -==由22010,0, 1.m m x m m->=≥≥得所以m 的取值范围是m ≥1.(II)准线L 的方程为x=设点Q 的坐标为(x 1,y 1),则1x =∴2120||||QF x c PF c x -==- ② 将 0x =,化简得22||||QFm PF == 由题设22||2||QF PF =,得 2m 无解.将0x =22||||QF m PF ==由题设22||2||QF PF =,得2m =解得m =2.从而00x y c ===得到PF 2的方程2)(y x =±35.(2004全国IV,理21文22)双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦点距为2c ,直线l 过点(a ,0)和(0,b ),且点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ,求双曲线的离心率e 的取值范围【解析】本题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.解：直线l 的方程为1x ya b+=,即 bx+ay -ab=0.由点到直线的距离公式,且a >1,得到点(1,0)到直线l 的距离1d =同理得到点(-1,0)到直线l 的距离2d =∴122.abs d d c =+== 由424,,55ab s c c c ≥≥得 即252.c 于是得2422,425250.e e e -+≤即解不等式,得 255.4e ≤≤由于e >1所以e 的取值范围是e ≤ 36.(2004江苏,21)已知椭圆的中心在原点,离心率为12,一个焦点是F(-m ,0)(m 是大于0的常数).(I)求椭圆的方程；(II)设Q 是椭圆上的一点,且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M .若2MQ QF =,求直线l 的斜率.【解析】本题主要考查椭圆的概念、方程与性质,以及向量、定比分点坐标公式的应用,考查考生的推理能力和运算能力.求直线l 的斜率,要充分利用条件“2MQ QF =”实施几何特征向数量 关系的转化：首先向量特征可转化为定比分点坐标问题,但要注意内、外分点两种情形的讨论；其次设直线斜率为k ,用k 、m 表示出Q 点的坐标；最后由Q 点在椭圆上,列方程即可求解. 解：(I)设所求椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0). 由已知中,得c =m , c a =12,所以a =2m , b =3m ,故所求椭圆方程是x 24m 2+y 23m2=1.(II)设Q(x 0,y 0),直线l :y=k (x +m ), 则点M (0,km ). 当2MQ QF =时,由于F(-m ,0),M (0,km ),由定比分点坐标公式,得 x 0=0-2m 1+2=- 2m 3, y 0=km +01+2=13km .又点Q 在椭圆上,∴ 4m 29 4m 2+ k 2m 2 93m 2=1, 解得 k=±2 6. 当2MQ QF =-时, x 0=0+(-2)×(-m )1-2=-2m , y 0=km 1-2=-km .于是 4m 24m 2+k 2m 23m 2=1,解得 k=0.故直线l 的斜率是0或±2 6.37.(2004北京,理17)如图,过抛物线y 2=2px (p >0)上一定点P(x 0,y 0)(y 0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x 1.y 1),B(x 2,y 2). (I)求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F 的距离; (II)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y y +的值,并证明直线AB 的斜率是非零常数.yPO xAB【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.解:(I)当y =p 2时,x =p8.又抛物线y 2=2px 的准线方程为x =-p 2,由抛物线定义得,所求距离为5()828p p p--=.(II)设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB . 由y 12=2px 1,y 02=2px 0,相减得: 101010()()2()y y y y p x x -+=-, 故101010102()PA y y pk x x x x y y -==≠-+. 同理可得20202()PB pk x x y y =≠+, 由PA 、PB 倾斜角互补知PA PB k k =- 即102022p py y y y =-++, 所以1202y y y +=-, 故122y y y +=-. 设直线AB 的斜率为k AB ,由2222y px =,2112y px =,相减得 212121()()2()y y y y p x x -+=-, 所以211221122()AB y y pk x x x x y y -==≠-+. 将12002(0)y y y y +=->代入得1202AB p pk y y y ==-+, 所以k AB 是非零常数.38.(2004北京,文17)如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)均在抛物线上. （I ）写出该抛物线的方程及其准线方程;（II ）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求y 1+y 2的值及直线AB 的斜率.【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力. 解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为y 2=2px . ∵点P(1,2)在抛物线上, ∴22=2p ×1,得p=2.故所求抛物线的方程是y 2=4x ,准线方程是x =－1. (II)设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB ,则1112(1)2PA y k x x -=≠-,2222(1)1PB y k x x -=≠-, ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴k PA =－k PB .由A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)均在抛物线上,得 2114y x = （1），2224y x = （2）1222121212221111442(2)4y y y y y y y y --∴=---∴+=-+∴+=-由(1)－(2)得直线AB 的斜率:21122112441()4AB y y k x x x x y y -===-=-≠-+.39.(2004天津,理22文22)椭圆的中心是原点O,它的短轴长为22,相应于焦点F(c ,0)(c >0)的准线l 与x 轴相交于点A,|OF|=2|FA|,过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点.(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若0OP OQ ⋅=,求直线PQ 的方程；(3)(理科做,文科不做)设AP AQ =λ(1λ>),过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM FQ =-λ.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力. (1)解:由题意,可设椭圆的方程为2221(2x y a a +=. 由已知得2222,2().a c a c c c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩,解得2a c ==.所以椭圆的方程为22162x y +=,离心率e =.(2)解:由(1)可得A(3,0).设直线PQ 的方程为y =k (x -3).由方程组221,62(3)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得2222(31)182760k x k x k +-+-=,依题意212(23)0k ∆=->,得k <<. 设1122(,),(,)P x y Q x y ,则21221831k x x k +=+ ① 212227631k x x k -=+ ② 由直线PQ 的方程得1122(3),(3)y k x y k x =-=-,于是21212(3)(3)y y k x x =--21212[3()9]k x x x x =-++. ③ ∵0OP OQ ⋅=,∴12120x x y y +=. ④由①②③④得5k 2=1,从而(k =. 所以直线PQ的方程为30x -=或30x -=.(3)(理科)证明: 1122(3,),(3,)AP x y AQ x y =-=-. 由已知得方程组1212221122223(3),,1,62 1.62x x y y x y x y -=λ-⎧⎪=λ⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪+=⎪⎩ 注意λ>1,解得2512x λ-=λ.因11(2,0),(,)F M x y -,故 1121(2,)((3)1,)FM x y x y =--=λ-+-1211(,)(,)22y y -λλ-=-=-λλ.而2221(2,)(,)2FQ x y y λ-=-=λ,所以FM FQ =-λ .40.(2004广东,20)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)【解析】本题主要考查双曲线的概念与方程，考查考生分析问题和解决实际问题的能力.解：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点,则A(－1020,0),B(1020,0),C (0,1020). 设P(x ,y)为巨响发生点,由A 、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故P 在A C 的垂直平分线PO 上,PO 的方程为y =－x ,因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声,故|PB|－|PA|=340×4=1360.由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线x 2a 2-y 2b2=1上,依题意得a =680,c =1020,∴b 2=c 2-a 2=10202-6802=5×3402,故双曲线方程为x 26802-y 25×3402=1.用y =－x 代入上式,得x =±6805, ∵|PB|>|PA|,∴x =-6805,y =6805, 即P(-6805,6805), 故PO=68010.答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心68010 m 处.41.(2004广东,22)设直线l 与椭圆2212516x y +=相交于A 、B 两点，l 又与双曲线x 2–y 2=1相交于C 、D 两点， C 、D 三等分线段AB. 求直线l 的方程.【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及推理运算能力和综合解题能力. 解:首先讨论l 不与x 轴垂直时的情况,设直线l 的方程为y=kx+b ,如图所示,l 与椭圆、双曲线的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).依题意有,3AC DB AB CD ==, 由22,12516y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得(16+25k 2)x 2-2bkx +(25b 2-400)=0①∴x 1+x 2=-50bk16+25k 2.由⎩⎨⎧y=kx+b x 2-y 2=1,得 (1-k 2)x 2-2bkx -(b 2+1)=0 ②若k =±1,则与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故k ≠±1.∴x 3+x 4=2bk1-k 2,由AC DB =⇒x 3-x 1=x 2-x 4⇒x 1+x 2=x 3+x 4⇒-50bk 16+25k 2=2bk 1-k 2⇒bk=0⇒k =0或b=0.(i)当k=0时,由①得x 1,2=±5416-b 2,由②得x 3,4=±b 2+1, 由3AB CD =⇒x 2-x 1=3(x 4-x 3),即 10416-b 2=6b 2+1⇒b =±1613, 故l 的方程为y =±1613.(ii)当b =0时,由①得x 1,2=±2016+25k 2,由②得x 3,4=±11-k 2,由3AB CD =⇒x 2-x 1=3(x 4-x 3),即4016+25k 2=61-k2⇒k =±1625, 故l 的方程为y =±1625x .再讨论l 与x 轴垂直的情况.设直线l 的方程为x =c ,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，y 1,2=±4525-c 2,y 3,4=±c 2-1,由|AB|=3|CD |⇒|y 2-y 1|=3|y 4-y 3|, 即8525-c 2=6c 2-1⇒c =±25241241, 故l 的方程为x =±25241241.综上所述,故l 的方程为y =±1613、y =±1625x 和x =±25241241.42.(2004福建,理22)如图,P 是抛物线C ：y =12x 2上一点,直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q ．(I)若直线l 与过点P 的切线垂直,求线段PQ 中点M 的轨迹方程； (II)若直线l 不过原点且与x 轴交于点S,与y 轴交于点T,试求|ST||SP|+|ST||SQ|的取值范围． 【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力. 解：(I)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),M(x 0,y 0),依题意x 1≠0,y 1>0,y 2>0.由y =12x 2, ①得y´=x .∴过点P 的切线的斜率k 切=x 1,∴直线l 的斜率k l =-1 k 切=-1x 1,直线l 的方程为y -12x 12=-1x 1(x -x 1). ② 方法1：联立①②消去y ,得x 2+2x 1x -x 12-2=0.∵M 为PQ 的中点，∴⎩⎨⎧x 0=x 1+x 22=-1x 1y 0=12x 12-1x 1(x 0-x 1),消去x 1,得y 0=x 02+12x 02+1(x 0≠0),∴PQ 中点M 的轨迹方程为y =x 2+12x 2+1(x ≠0). 方法2：由y 1=12x 12, y 2=12x 22,x 0=x 1+x 22,得y 1-y 2=12x 12-12x 22=12(x 1+x 2)(x 1-x 2)=x 0(x 1-x 2),则x 0=y 1-y 2x 1-x 2=k l =-1x 1,∴x 1=-1x 0,将上式代入②并整理,得y 0=x 02+12x 02+1(x 0≠0),∴PQ 中点M 的轨迹方程为y =x 2+12x2+1(x ≠0).(II)设直线l :y =kx+b ,依题意k ≠0,b ≠0,则T(0,b ). 分别过P 、Q 作PP´⊥x 轴，QQ´⊥y 轴，垂足分别为P´、Q´.则|ST||SP|+|ST||SQ|=|OT||PP´|+|OT||QQ´|=|b ||y 1|+|b ||y 2|. 由⎩⎨⎧y =12x 2y=kx+b消去x ,得 y 2-2(k 2+b )y+b 2=0 ③则⎩⎨⎧y 1+y 2=2(k 2+b )y 1y 2=b 2, 方法1: ∴|ST||SP|+|ST||SQ|=|b |(1y 1+1y 2)≥2|b |1y 1y 2=2|b |1b 2=2. ∵y 1,y 2可取一切不相等的正数， ∴|ST||SP|+|ST||SQ|的取值范围是(2,+∞). 方法2: ∴|ST||SP|+|ST||SQ|=|b |y 1+y 2y 1y 2=|b |2(k 2+b )b 2. 当b >0时,|ST||SP|+|ST||SQ|=b ·2(k 2+b )b 2=2k 2b+2>2;当b <0时，|ST||SP|+|ST||SQ|=-b ·2(k 2+b )b 2=2(k 2+b )-b.又由方程③有两个相异实根，得 △=4(k 2+b )2-4b 2=4k 2(k 2+2b )>0, 于是k 2+2b >0，即k 2>-2b ,所以|ST||SP|+|ST||SQ|＞2(-2b +b )-b=2.∵当b >0时,2k 2b可取一切正数，∴|ST||SP|+|ST||SQ|的取值范围是(2,+∞). 方法3：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =k TP ,即 y 2-b x 2=y 1-b x 1,则 x 1y 2-bx 1=x 2y 1-bx 2, 即 b (x 2-x 1)=(x 2y 1-x 1y 2).于是 b =x 2·12x 12-x 1·12x 22x 2-x 1=-12x 1x 2,∴|ST||SP|+|ST||SQ|=|b |y 1+|b |y 2=|-12x 1x 2|12x 12+|-12x 1x 2|12x 22=|x 2x 1|+|x 1x 2|≥2. ∵|x 2x 1|可取一切不等于1的正数， ∴|ST||SP|+|ST||SQ|的取值范围是(2,+∞). 43.(2004福建,文21)如图，P 是抛物线C ：y =12x 2上一点,直线l 过点P 并与抛物线C在点P 的切线垂直,l 与抛物线C 相交于另一点Q ． (I)当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；(II)当点P 在抛物线C 上移动时,求线段PQ 中点M 的轨迹方程,并求点M 到x 轴的最短距离．【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.解：(I)把x =2代入y =12x 2,得y =2,∴点P 坐标为(2,2).由y =12x 2, ①得y´=x .∴过点P 的切线的斜率k 切=2,直线l 的斜率k l =-1 k 切=-12,∴直线l 的方程为y -2=-12(x -2),即x+2y -6=0.(II)设P(x 0,y 0),则y 0=12x 02.∵过点P 的切线斜率k 切=x 0,当x 0时不合意，∴x 0≠0,∴直线l 的斜率k l =-1 k 切=-1x 0,直线l 的方程为y -12x 02=-1x 0(x -x 0). ② 方法1：联立①②消去y ,得x 2+2x 0x -x 02-2=0.设Q(x 1,y 1),M(x ,y ), ∵M 为PQ 的中点，∴⎩⎨⎧x =x 0+x 12=-1x 0y 0=-1x 0(-1x 0-x 0)+12x 02=1x 02+x 022+1,消去x 0,得y =x 2+12x 2+1(x ≠0),就是所求轨迹方程.由x ≠0知x 2>0,∴y =x 2+12x 2+1≥≥2+1.上式等号仅当x 2=12x 2,即x = 所以点M 到x 轴的最短距离是2+1.方法2：设Q(x 1,y 1),M(x ,y ),则 y 0=12x 02, y 1=12x 12,x =x 0+x 12,得 y 0-y 1=12x 02-12x 12=12(x 0+x 1)(x 0-x 1)=x (x 0-x 1),∴x =y 0-y 1x 0-x 1=k l =-1x 0, ∴x 0=-1x, 将上式代入②并整理,得y =x 2+12x 2+1(x ≠0), 就是所求轨迹方程.由x ≠0知x 2>0,∴y =x 2+12x 2+1≥≥2+1. 上式等号仅当x 2=12x 2,即x= 所以点M 到x 轴的最短距离是2+1.44.(2004湖北,理20文20)直线l :y=kx +1与双曲线C:2x 2-y 2=1的右支交于不同的两点A 、B.（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.【解析】本题主要考查直线、双曲线的方程和性质,曲线与方程的关系,及其综合应用能力.解：（Ⅰ）将直线l 的方程y=kx +1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得：22(2)220.k x kx -++=……①依题意,直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点,故2222220,(2)8(2)0,20220.22k k k k k k k k ⎧-≠⎪∆=-->⎪⎪⎨->-⎪⎪⎪>-⎩-<<解得的取值范围是 （Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1), (x 2,y 2),则由①式得1222222,22.2k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩……② 假设存在实数k ,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F(c ,0).则由FA ⊥FB 得：12121212()()0.()()(1)(1)0.x c x c y y x c x c kx kx --+=--+++=即整理得221212(1)()()10.k x x k c x x c ++-+++=③把②式及c =62代入③式化简得2560.k +-=解得k =(2,)k =-或舍去可知k =AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点. 45.(2004浙江,文22理21)已知双曲线的中心在原点,右顶点为A (1,0),点P 、Q 在双曲线的右支上,点M (m ,0)到直线AP 的距离为1,⑴若直线AP 的斜率为k ,且|k |∈求实数m 的取值范围； ⑵当m =2+1时,△APQ 的内心恰好是点M ,求此双曲线的方程.【解析】解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程(1),y k x =-即0.kx y k --=因为点M 到直线AP 的距离为1,1,=即1m -==∵k ∈12,m≤-≤≤m ≤3或--1≤m ≤.∴m的取值范围是[1,1[1- (Ⅱ)可设双曲线方程为2221(0),y x b b-=≠由1,0),(1,0),M A得AM =.又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1.因此,1,1-==AQ AP k k (不妨设P 在第一象限)直线PQ 方程为2x =直线AP 的方程y =x -1,∴解得P 的坐标是(将P 点坐标代入1222=-b y x 得,2b =所以所求双曲线方程为221,x y =即221) 1.x y -= 46.(2004上海,文20) 如图, 直线y =21x 与抛物线y =81x 2-4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y =-5交于Q 点.(1) 求点Q 的坐标；(2) 当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A 、B) 的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.【解析】解:⑴解方程组212148y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,得42x y =-⎧⎨=-⎩或84x y =⎧⎨=⎩,即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==12,直线AB 的垂直平分线方程y －1=12(x －2).令y =－5, 得x =5,∴Q(5,－5)(2) 直线OQ 的方程为x +y =0, 设P(x , 18x 2－4).∵点P 到直线OQ 的距离d==2832x +-, OQ =,∴S ΔOPQ ＝21OQ d ＝2583216x x +-.∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上,∴－4≤x4或4<x ≤8. ∵函数y =x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增,∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30.47.(2004湖南文22,理21) 如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A,B 两点,点Q 是点P 关于原点的对称点.(I)设点P 分有向线段AB 所成的比为λ,证明:()QP QA QB λ⊥- ；(II)设直线AB 的方程是x -2y +12=0,过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线,求圆C 的方程．【解析】解：(Ⅰ)依题意,可设直线AB 的方程为 ,m kx y +=代入抛物线方程y x 42=得.0442=--m kx x ①设A 、B 两点的坐标分别是 ),(11y x 、122),,(x y x 则、x 2是方程①的两根.所以 .421m x x -= 由点P(0,m)分有向线段AB 所成的比为λ,得.,012121x x x x -==++λλλ即又点Q 是点P 关于原点的对称点,故点Q 的坐标是(0,－m),从而(0,2)QP m = . 1122(,)(,)QA QB x y m x y m λλ-=+-+ =1212(,(1)).x x y y m λλλ--+- 12()2[(1)]QP QA QB m y y m λλλ⋅-=-+-221121222[(1)]44x x x x m n x x =+⋅++1212242()4x x m m x x x +=+⋅ 122442()0.4m m m x x x -+=+⋅= 所以 ().Q P Q A Q B λ⊥- (Ⅱ)由 ⎩⎨⎧==+-,4,01222y x y x 得点A 、B 的坐标分别是(6,9)、(－4,4). 由 y x =2 得 ,21,412x y x y ='= 所以抛物线 y x 42=在点A 处切线的斜率为 36='=x y设圆C 的方程是222()(),x a y b r -+-= 则222291,3(6)(9)(4)(4).b a b a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩解之得 32a =-,232b =,222125(4)(4).2r a b =++-=所以圆C 的方程是22323125()(),222x y ++-= 即22323720.x y x y ++-+= 48.(2004重庆,文理21) 设0p >是一常数,过点(2,0)Q p 的直线与抛物线22y px =交于相异两点A 、B,以线段AB 为直经作圆H(H 为圆心).试证抛物线顶点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程.【解析】解法一：由题意,直线AB 不能是水平线,故可设直线方程为：2ky x p =-.又设(,),(,)A A B B A x y B x y ,则其坐标满足22,2.ky x p y px =-⎧⎨=⎩消去x 得 22240y pky p --=,由此得22,4.A B A By y pk y y p +=⎧⎪⎨=-⎪⎩, 22224()(42),()4(2)A B A B A B A B x x p k y y k p y y x x p p ⎧+=++=+⎪⎨==⎪⎩ 因此0A B A B OA OB x x y y ⋅=+= .即OA ⊥OB ．故O 必在圆H 的圆周上.又由题意圆心H(H H y x ,)是AB 的中点,故2(2),2.2A B H A B B x x x k p y y y kp +⎧==+⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩, 由前已证,OH应是圆H 的半径,且||OH =.从而当k=0时,圆H 的半径最小,亦使圆H 的面积最小.此时,直线AB 的方程为：x =2p.解法二：由题意,直线AB 不能是水平线,故可设直线方程为：ky =x －2p ,),(),,(B B A A y x B y x A ,则其坐标满足⎩⎨⎧=-=.2,22px y p x ky ,分别消去x ,y 得 22222240,2(2)40.y pky p x p k x p ⎧--=⎪⎨-++=⎪⎩ 故得A 、B 所在圆的方程2222(2)20.x y p k x pky +-+-=明显地,O(0,0)满足上面方程所表示的圆上,又知A 、B 中点H 的坐标为2(,)((2),),22A B A B xx y y k p kp ++=+ 故 ||OH =,而前面圆的方程可表示为222[(2)]()x k p y pk -++-＝22222(2)k p k p ++,故|OH|为上面圆的半径R,从而以AB 为直径的圆必过点O(0,0).又22422||(54)R OH k k p ==++,故当k=0时,R 2最小,从而圆的面积最小,此时直线AB 的方程为：x =2p.解法三：同解法一得O 必在圆H 的圆周上,又直径4.p ≥上式当B A x x =时,等号成立,直径|AB|最小,从而圆面积最小.此时直线AB 的方程为x =2p.49.(2004辽宁,19) 设椭圆方程为1422=+y x ,过点M(0,1)的直线l 交椭圆于点A 、B,O 是坐标原点,点P 满足1()2OP OA OB =+ ,点N 的坐标为)21,21(,当l 绕点M 旋转时,求： (1)动点P 的轨迹方程；(2)||NP 的最小值与最大值.【解析】考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识,以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．。
2004年高考试题——数学(江西卷)(理)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第I 卷（选择题共60分）一、选择题(5分×12=60分)1．设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于 （ ）A ．{1，2}B ． {3，4}C ． {1}D ． {-2，-1，0，1，2} 2．函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 （ ） A ．140种 B ．120种 C ．35种 D ．34种4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 （ ） A ．33π100cm B ． 33π208cmC ．33π500cmD ．33π3416cm 5．若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．22C ． 4D ．246．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ） A ．0.6小时 B ．0.9小时 C ．1.0小时 D ．1.5小时7．4)2(x x +的展开式中x 3的系数是 （ ）A ．6B ．12C ．24D ．488．若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 （ ）A ．a =2,b=2B ．a = 2 ,b=2C ．a =2,b=1D ．a = 2 ,b= 29．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ）A ．5216B ．25216C ．31216D ．9121610．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 （ ）A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17D ．9，-1911．设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 （ ）A ．3B ．32C ．43D ．6512．设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题(4分×4=16分)13．二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________.14．以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_______________________.16．平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，b =1，且a ·b =5，则向量b =__________. 三、解答题(12分×5+14分=74分) 17．已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值.18．在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；(Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？20．设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若首项=1a 32，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立.21．已知椭圆的中心在原点，离心率为12 ，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；· B 1P A C D A 1C 1D 1 B O H·(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率.22．已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有 )]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数. 设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -= (Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ； (Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-； (Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分. 1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C 11．B 12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．),3()2,(+∞--∞ 14．25)2()1(22=-+-y x 15．216．)53,54(-三、解答题17．本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：由已知54sin ,25sin 22cot2tan===+αααα得..53s i n 1c o s ,202=-=∴<<ααπα从而 3s i n c o s 3c o s s i n )3s i n (παπαπα⋅-⋅=-)334(10123532154-=⨯-⨯=. 18．本小题主要考查线面关系和正方体性质等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分. 解法一：（I ）连结BP.∵AB ⊥平面BCC 1B 1， ∴AP 与平面BCC 1B 1所成的角就是∠APB, ∵CC 1=4CP,CC 1=4，∴CP=I.在Rt △PBC 中，∠PCB 为直角，BC=4，CP=1，故BP=17.在Rt △APB 中，∠ABP 为直角，tan ∠APB=,17174=BP AB∴∠APB=.17174arctan19．本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x目标函数z =x +0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域. 作直线05.0:0=+y x l ，并作平行于直线0l 的一组直线,,5.0R z z y x ∈=+ 与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且 与直线05.0=+y x 的距离最大，这里M 点是直线10=+y x和8.11.03.0=+y x 的交点.解方程组⎩⎨⎧=+=+,8.11.03.0,10y x y x 得x =4，y=6此时765.041=⨯+⨯=z （万元）.07> ∴当x =4，y=6时z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.20．本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.满分12分. 解：（I ）当1,231==d a 时， n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1(由22242)21(21,)(2k k k k S S k k +=+=得，即 0)141(3=-k k 又4,0=≠k k 所以.（II ）设数列{a n }的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k=1,2,得⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=⎪⎩⎪⎨⎧==211211224211)2122(2344,,)()(d a d a a a S S S S 即由（1）得 .1011==a a 或 当,60)2(,01===d d a 或得代入时若21)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331===-===n n S S S n a d a ,)(239S s ≠故所得数列不符合题意. 当20,)2(64)2(,121==+=+=d d d d a 或解得得代入时若;)(,,1,0,1212成立从而则k k n n S S n S a d a =====若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== .综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：①{a n } : a n =0，即0，0，0，…； ②{a n } : a n =1，即1，1，1，…； ③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…，21．本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.（1） （2）解：（I ）设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a by a x由已知，得 ,21,==a c m c 所以m b m a 3,2==. 故所求的椭圆方程是1342222=+my m x （II ）设Q （Q Q y x ,），直线),0(),(:km M m x k y l 则点+=当),,0(),0,(,2km M m F -=由于时由定比分点坐标公式，得,62.139494,)3,32(.31210,32212022222±==+-=++=-=+-=k mm k m m kmm Q km km y m m x Q Q 解得所以在椭圆上又点km kmy m m x Q Q -=-=-=--⨯-+=-=21,221)()2(0,2时当.于是.0,134422222==+k m m k m m 解得 故直线l 的斜率是0，62±. 22．本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. 证明：（I ）任取则由,,,2121x x R x x ≠⊂ )]()()[()(2121221x f x f x x x x --≤-λ 和|||)()(|2121x x x f x f -≤- ②可知 22121212121221|||)()(|||)]()()[()(x x x f x f x x x f x f x x x x -≤-⋅-≤--≤-λ， 从而1≤λ. 假设有则由使得,0)(,000=≠b f a b ①式知.0)]()()[()(00000200矛盾=--≤-<b f a f b a b a λ∴不存在.0)(,000=≠b f a b 使得（II ）由)(a f a b λ-= ③可知 220202020)]([)()(2)()]([)(a f a f a a a a a f a a a b λλλ+---=--=- ④ 由和0)(0=a f ①式，得20000)()]()()[()()(a a a f a f a a a f a a -≥--=-λ ⑤ 由0)(0=a f 和②式知，20202)()]()([)]([a a a f a f a f -≤-= ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 2022022020)()(2)()(a a a a a a a b -+---≤-λλ202))(1(a a --=λ（III ）由③式可知22)]()()([)]([a f a f b f b f +-=22)]([)]()()[(2)]()([a f a f b f a f a f b f +-+-=22)]([)]()([2)(a f a f b f ab a b +--⋅--≤λ（用②式）222)]([)]()()[(2)]([a f a f b f a b a f +---=λλ2222)]([)(2)([a f a b a f +-⋅⋅-≤λλλ （用①式）2222222)]()[1()]([)]([2)]([a f a f a f a f λλλ-=+-=。
2004年高考试题——数学(江西卷)(理)
阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——培根2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第I 卷（选择题共60分）一、选择题(5分×12=60分)1．设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于（ ） A ．{1，2} B ． {3，4}C ． {1}D ． {-2，-1，0，1，2}2．函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 （ ）A ．140种B ．120种C ．35种D ．34种4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 （ ）A ．33π100cmB ． 33π208cmC ． 33π500cmD ． 33π3416cm 5．若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．22 C ． 4D ．24 6．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ）A ．0.6小时B ．0.9小时C ．1.0小时D ．1.5小时7．4)2(x x +的展开式中x 3的系数是（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．488．若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 （ ）A ．a =2,b=2B ．a = 2 ,b=2C ．a =2,b=1D ．a = 2 ,b= 2 9．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ） A ．5216 B ．25216 C ．31216 D ．9121610．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ） A ．1，-1 B ．1，-17 C ．3，-17 D ．9，-1911．设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ ） A ．3 B ．32 C ．43 D ．6512．设函数)(1)(R x x x x f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题(4分×4=16分)13．二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________.14．以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_______________________.16．平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，b =1，且a ·b =5，则向量b =__________.三、解答题(12分×5+14分=74分)17．已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值.18．在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；(Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？20．设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若首项=1a 32，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S=成立.21．已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线· B 1 P A C D A 1 C 1D 1 B O H ·l 的斜率.22．已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤- 和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；(Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-；(Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C11．B 12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13．),3()2,(+∞--∞14．25)2()1(22=-+-y x 15．2 16．)53,54(- 三、解答题17．本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：由已知54sin ,25sin 22cot 2tan===+αααα得. .53s i n 1c o s ,202=-=∴<<ααπα 从而 3s i n c o s 3c o s s i n )3s i n (παπαπα⋅-⋅=- )334(10123532154-=⨯-⨯=. 18．本小题主要考查线面关系和正方体性质等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.解法一：（I ）连结BP. ∵AB ⊥平面BCC 1B 1， ∴AP 与平面BCC 1B 1所成的角就是∠APB,∵CC 1=4CP,CC 1=4，∴CP=I.在Rt △PBC 中，∠PCB 为直角，BC=4，CP=1，故BP=17.在Rt △APB 中，∠ABP 为直角，tan ∠APB=,17174=BP AB ∴∠APB=.17174arctan 19．本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x目标函数z =x +0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域. 作直线05.0:0=+y x l ，并作平行于直线0l 的一组直线,,5.0R z z y x ∈=+与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且 与直线05.0=+y x 的距离最大，这里M 点是直线10=+y x和8.11.03.0=+y x 的交点.解方程组⎩⎨⎧=+=+,8.11.03.0,10y x y x 得x =4，y=6 此时765.041=⨯+⨯=z （万元）.07> ∴当x =4，y=6时z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.20．本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.满分12分.解：（I ）当1,231==d a 时，n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1( 由22242)21(21,)(2k k k k S S k k +=+=得， 即 0)141(3=-k k 又4,0=≠k k 所以.（II ）设数列{a n }的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k=1,2,得 ⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=⎪⎩⎪⎨⎧==211211224211)2122(2344,,)()(d a d a a a S S S S 即由（1）得 .1011==a a 或 当,60)2(,01===d d a 或得代入时若21)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立 若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331===-===n n S S S n a d a,)(239S s ≠故所得数列不符合题意. 当20,)2(64)2(,121==+=+=d d d d a 或解得得代入时 若;)(,,1,0,1212成立从而则k k n n S S n S a d a =====若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== .综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：①{a n } : a n =0，即0，0，0，…；②{a n } : a n =1，即1，1，1，…；③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…，21．本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：（I ）设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a by a x 由已知，得 ,21,==a c m c 所以m b m a 3,2==. （1） （2）故所求的椭圆方程是1342222=+m y m x（II ）设Q （Q Q y x ,），直线),0(),(:km M m x k y l 则点+= 当),,0(),0,(,2km M m F -=由于由定比分点坐标公式，得 ,62.139494,)3,32(.31210,32212022222±==+-=++=-=+-=k mm k m m km m Q km km y m m x Q Q 解得所以在椭圆上又点 km km y m m x Q Q -=-=-=--⨯-+=-=21,221)()2(0,2时当. 于是.0,134422222==+k m m k m m 解得 故直线l 的斜率是0，62±. 22．本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.证明：（I ）任取则由,,,2121x x R x x ≠⊂ )]()()[()(2121221x f x f x x x x --≤-λ和|||)()(|2121x x x f x f -≤- ② 可知 22121212121221|||)()(|||)]()()[()(x x x f x f x x x f x f x x x x -≤-⋅-≤--≤-λ，从而 1≤λ. 假设有则由使得,0)(,000=≠b f a b ①式知 .0)]()()[()(00000200矛盾=--≤-<b f a f b a b a λ∴不存在.0)(,000=≠b f a b 使得 （II ）由)(a f a b λ-= ③可知 220202020)]([)()(2)()]([)(a f a f a a a a a f a a a b λλλ+---=--=- ④ 由和0)(0=a f ①式，得20000)()]()()[()()(a a a f a f a a a f a a -≥--=-λ ⑤由0)(0=a f 和②式知，20202)()]()([)]([a a a f a f a f -≤-= ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 2022022020)()(2)()(a a a a a a a b -+---≤-λλ202))(1(a a --=λ （III ）由③式可知22)]()()([)]([a f a f b f b f +-= 22)]([)]()()[(2)]()([a f a f b f a f a f b f +-+-= 22)]([)]()([2)(a f a f b f ab a b +--⋅--≤λ （用②式）222)]([)]()()[(2)]([a f a f b f a b a f +---=λλ 2222)]([)(2)([a f a b a f +-⋅⋅-≤λλλ （用①式）2222222)]()[1()]([)]([2)]([a f a f a f a f λλλ-=+-=。
2004普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷数学试题含答案
的年产量；
（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y = 0.002t 2 （元），在乙方按照获得最
大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求 的赔付价格 s 是多少？
A． p1 p2
B． p1(1− p2 ) + p2 (1− p1)
C．1 − p1 p2
D．1− (1− p1)(1− p2 )
6．已知点 A(−2,0) 、 B(3,0) ，动点 P(x, y)满足PA PB = x2 ，则点 P 的轨迹是
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
7．已知函数 f (x) = sin(x − ) −1 ，则下列命题正确的是 2
A． 8 6
B． 64 6
C． 24 2
D． 72 2
11．若函数 f (x) = sin(x + ) 的图象（部分）如图所示，则和 的取值是
A． = 1, = B． = 1, = −
y
3
3
C． = 1 , = D． = 1 , = −
26
2
6
12．有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排
38
39
则 P( = 10) =
A．
2 39
B．
2 310
C．
1 39
D．
1 310
9．已知点 F1(−
2,0) 、 F2 (
2,0) ，动点 P 满足| PF2 | − | PF1 |= 2 .
当点 P 的纵坐标是 1 时， 2
点 P 到坐标原点的距离是
2004年高考.全国卷Ⅰ.文科数学试题及答案(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)
2004年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)文科数学（必修+选修I ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A ∩（ U B ）= （ ）A ．{2}B ．{2，3}C ．{3}D ． {1，3}2．已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若 （ ）A ．21B ．－21 C ．2D ．－2 3．已知a +b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ）A ．)1(222<+-=x x x y B ．)1(222≥+-=x x x yC ．)1(22<-=x x x yD ．)1(22≥-=x x x y 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+= （ ）A ．57B ．51C ．27D ．4球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3C ．27 D ．48．设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．]21,21[- B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST等于 （ ）A ．91 B ．94 C ．41 D ．31 11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 （ ）A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 12．已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式x +x 3≥0的解集是 .14．已知等比数列{,384,3,}103==a a a n 中则该数列的通项n a = .15．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n.18．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.19．（本小题满分12分）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 20．（本小题满分12分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为53.试求： （I ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.21．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离；（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小. 22．（本小题满分14分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值.2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题DBCBABCCBACB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥0} 14．3·2n －3 15．422=+y x 16．①②④三、解答题17．本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）由,50,30,)1(20101==-+=a a d n a a n 得方程组⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a ……4分 解得.2,121==d a 所以 .102+=n a n ……7分（Ⅱ）由242,2)1(1=-+=n n S d n n na S 得方程 .24222)1(12=⨯-+n n n ……10分 解得).(2211舍去或-==n n ………12分18．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=.212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值是,43最小值是.41…………12分 19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f ………………3分（Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数.)(01632R x x ax ∈<-+ .3012360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数；………………9分（II ）当3-=a 时，133)(23+-+-=x x x x f =,98)31(33+--x ………………6分由函数3x y =在R 上的单调性，可知 当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数；（Ⅲ）当3->a 时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f所以，当3->a 时，函数))((R x x f ∈不是减函数. 综上，所求a 的取值范围是（].3,-∞-………………12分20．本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力，满分12分. 解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为1－6531036=C C ；………………6分（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为.1254535431018=⨯⨯C C ；………………12分21．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE.∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD. 由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD所成二面角的平面角，………………4分 ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23.………………6分 （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到：,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=PB BC PB GA 于是有所以θ,.⊥⋅⊥等于所求二面角的平面角，…………10分 于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π.…………12分 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ，∴∠AGF 是所求二面角的平面角.……9分 ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1. 于是tan ∠GAE=AE EG=23， 又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan23.…………12分 22．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分14分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ① ……2分.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率分的取值范围为即离心率且且6).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+=e e e a a aa a e（II ）设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x =-=-∴=由此得 ……8分 由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，分所以由得消去所以14.1317,06028912,,.12125,1212172222222222 =>=----=--=a a a a x a a x a a x。
2004年天津市高考理科数学真题及答案
2004年天津市高考理科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）是虚数单位， i 3(1)(2)(i i i -++=)A ． B ．C ．D ．1i +1i --13i +13i --2．（5分）若不等式的解集为 213x x-…()A ．， B ．， [1-0)[1-)+∞C ．，D ．，(-∞1]-(-∞1](0,)-+∞3．（5分）若平面向量与向量的夹角是，且，则 b (1,2)a =-180︒||b = (b = )A ．B ．C ．D ．(3,6)-(3,6)-(6,3)-(6,3)-4．（5分）设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双P 22219x y a -=340x y +=1F 2F 曲线的左、右焦点，若，则等于 1||10PF =2||PF ()A ．2B ．18C ．2或18D ．165．（5分）若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则等于 ()log (01)a f x x a =<<[a 2]a a ()A B C ．D ．14126．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，、分别是、1111ABCD A B C D -O ABCD E F 1CC 的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于 AD OE 1FD ()A B C ．D ．45237．（5分）点为圆的弦的中点，则直线的方程为 (2,1)P -22(1)25x y -+=AB AB ()A ．B ．C ．D ．10x y +-=230x y +-=30x y --=250x y --=8．（5分）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”{}n a *n N ∈(,)n n P n a 21y x =+{}n a 的 ()A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．（5分）函数，，为增函数的区间是 2sin(2)6y x π=-[0x ∈])π()A ．，B ．，C ．，D ．，[0]3π[12π7]12π[3π5]6π5[6π]π10．（5分）如图，在长方体中，，，，分别过、的两个平1111ABCD A B C D -6AB =4AD =13AA =BC 11A D 行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，．若，则截111AEA DFD V V -=11113B E B C F C V V ==123::1:4:1V V V =面的面积为 11A EFD ()A ．B ．C ．D ．1611．（5分）函数的反函数是 213(10)xy x -=-<…()A ．B ．1)3y x = (1))3y x =…C ．D ．1(1)3y x =< (1)(1)3y x =<…12．（5分）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当，R ()f x ()f x π[0x ∈2π时，，则的值为 ()sin f x x =5()3f π()A ．B ．C ．D 12-12二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法A B C 2:3:5抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有16件．那么此样本的容量 ．n A n =14．（4分）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围(,0)A a (0,)B a 223y x x =--a是 ． 15．（4分）若，则2004220040122004(12)()x a a x a x a x x R -=+++⋯+∈ ．（用数字作答） 010********()()()()a a a a a a a a ++++++⋯++=16．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个．（用数字作答） 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知． 1tan()42πα+=（Ⅰ）求的值；tan α（Ⅱ）求的值．2sin 2cos 1cos 2ααα-+18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人ξ数．（1）求的分布列和的数学期望；ξξ（2）求“所选3人中女生人数”的概率．1ξ…19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD PD DC =E 是的中点，作交于点． PC EF PB ⊥PB F （1）证明平面； //PA EDB （2）证明平面； PB ⊥EFD （3）求二面角的大小．C PBD --20．（12分）已知函数在处取得极值． 32()3f x ax bx x =+-1x =±（Ⅰ）讨论（1）和是函数的极大值还是极小值；f (1)f -()f x（Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程．(0,16)A ()y f x =21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率： （1）点数为偶数； （2）点数大于2且小于5．22．（14分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，的准线与轴相交于O (F c 0)(0)c >l x 点，，过点的直线与椭圆相交于、两点． A ||2||OF FA =A P Q （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程；0OP OQ =PQ （3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明． (1)AP AQ λλ=> P l M FM FQ λ=-2004年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）是虚数单位， i 3(1)(2)(i i i -++=)A ． B ． C ． D ．1i +1i --13i +13i --【解答】解：，3(1)(2)3i i ii i i-++-+==-(3)13i i -+=--故选：． D 2．（5分）若不等式的解集为 213x x-…()A ．， B ．， [1-0)[1-)+∞C ．， D ．，(-∞1]-(-∞1](0,)-+∞ 【解答】解： 21211330010x x x x x x x--+⇒-⇒⇒-<…………故选：．A3．（5分）若平面向量与向量的夹角是，且，则 b (1,2)a =-180︒||b = (b = )A ．B ．C ．D ．(3,6)-(3,6)-(6,3)-(6,3)-【解答】解向量与向量的夹角是， b (1,2)a =-180︒向量与向量反向，∴b a令（则， (,2)b a λλλ==-0)λ<又， ||b =∴=解得3λ=-故 (3,6)b =-故选：．A 4．（5分）设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双P 22219x y a -=340x y +=1F 2F 曲线的左、右焦点，若，则等于 1||10PF =2||PF ()A ．2B ．18C ．2或18D ．16【解答】解：整理准线方程得，34y x =-，， ∴334a =4a =或 12||||28PF PF a ∴-==21||||28PF PF a -==或18，2||2PF ∴=故选：．C 5．（5分）若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则等于 ()log (01)a f x x a =<<[a 2]a a ()A B C ．D ．1412【解答】解：， 01a << 是减函数． ()log a f x x ∴=．log 3log 2a a a a ∴= ．1log 23a a ∴=． 11log 23a ∴+=． 2log 23a ∴=-． a ∴=故选：．A 6．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，、分别是、1111ABCD A B C D -O ABCD E F 1CC 的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于 AD OE 1FD ()A B C ．D ．4523【解答】解：取的中点．连接，再取的中点，连接、，则为异面直BC G 11//GC FD GC H HE OH OEH ∠线所成的角．在中，，． OEH ∆OE =HE =OH =由余弦定理，可得． cos OEH ∠=故选：．B 7．（5分）点为圆的弦的中点，则直线的方程为 (2,1)P -22(1)25x y -+=AB AB ()A ．B ．C ．D ．10x y +-=230x y +-=30x y --=250x y --=【解答】解：是圆的弦，圆心为 AB 22(1)25x y -+=(1,0)C 设的中点是满足∴AB (2,1)P -AB CP ⊥因此，的斜率 AB 1110112CP k k --===+-可得直线的方程是，化简得 AB 12y x +=-30x y --=故选：．C 8．（5分）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”{}n a *n N ∈(,)n n P n a 21y x =+{}n a 的 ()A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：点都在直线上 (,)n n P n a 21y x =+， 21n a n ∴=+ “为等差数列，∴{}n a 若“为等差数列，可设，则点都不在直线上，{}n a 22n a n =+(,)n n P n a 21y x =+对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的充分而不必要条件，∴*n N ∈(,)n n P n a 21y x =+{}n a 故选：．B 9．（5分）函数，，为增函数的区间是 2sin(2)6y x π=-[0x ∈])π()A ．，B ．，C ．，D ．，[0]3π[12π7]12π[3π5]6π5[6π]π【解答】解：由其增区间可由的减区间得到，2sin(2)2sin(266y x x ππ=-=--2sin(26y x π=-即， 3222262k x k πππππ+-+……k Z ∈，． 536k x k ππππ∴++……k Z ∈令，， 0k =536x ππ……故选：．C 10．（5分）如图，在长方体中，，，，分别过、的两个平1111ABCD A B C D -6AB =4AD =13AA =BC 11A D 行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，．若，则截111AEA DFD V V -=11113BE B CF C V V ==123::1:4:1V V V =面的面积为11A EFD ()A ．B ．C ．D ．16【解答】解：由题意知，在长方体中，平面平面， 1111ABCD A B C D -11//A D EF 1111B C E F 截面是一个矩形，并且长方体的体积，∴64372V =⨯⨯=，， 123::1:4:1V V V = ∴111172126AEA DFD V V -==⨯=则，解得， 11122AE A A AD =⨯⨯⨯2AE =在直角中， 1AEA ∆1EA ==故截面的面积是 1EF EA ⨯=故选：．C 11．（5分）函数的反函数是 213(10)xy x -=-<…()A ．B ．1)3y x = (1))3y x =…C ．D ．1(1)3y x =< (1)(1)3y x =<…【解答】解：函数，可得213xy -=231log x y -=，， 231log x y =+10x -< …∴x =所以函数的反函数是：213(10)x y x -=-< (1)(1)3y x =<…故选：．D 12．（5分）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当，R ()f x ()f x π[0x ∈2π时，，则的值为 ()sin f x x =5()3f π()A ．B ．C ．D 12-12【解答】解：的最小正周期是 ()f x π 55()(2)(333f f f ππππ∴=-=-函数是偶函数 ()f x5()(sin 333f f πππ∴===故选：．D 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法A B C 2:3:5抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有16件．那么此样本的容量 80 ． n A n =【解答】解：216235n ⨯=++80n ∴=故答案是8014．（4分）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是 (,0)A a (0,)B a 223y x x =--a ． 13(,4-∞-【解答】解：过、两点的直线为：与抛物线联立得：． A B x y a +=223y x x =--230x x a ---=因为直线与抛物线没有交点，则方程无解． 即△， 14(3)0a =++<解之得． 134a <-故答案为： 13(,)4-∞-15．（4分）若，则2004220040122004(12)()x a a x a x a x x R -=+++⋯+∈ 2004 ．（用数字作答） 010********()()()()a a a a a a a a ++++++⋯++=【解答】解：令，得； 0x =01a =令，得，1x =01220041a a a a =+++⋯+故． 0102030200400122004()()()()20032004a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++++⋯+=故答案为：200416．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 300 个．（用数字作答） 【解答】解：①四位数中包含5和0的情况：．1131234322()120C C A A A += ②四位数中包含5，不含0的情况：．123343108C C A = ③四位数中包含0，不含5的情况：．21334372C C A =四位数总数为．∴12010872300++=故答案为：300．三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知． 1tan()42πα+=（Ⅰ）求的值；tan α（Ⅱ）求的值．2sin 2cos 1cos 2ααα-+【解答】解：（Ⅰ）解：，tantan 1tan 4tan()41tan 1tantan 4παπααπαα+++==--由，有，解得； 1tan()42πα+=1tan 11tan 2αα+=-1tan 3α=-（Ⅱ）解法一： 222sin 2cos 2sin cos cos 1cos 212cos 1ααααααα--=++-． 2sin cos 1115tan 2cos 2326αααα-==-=--=-解法二：由（1），，得 1tan 3α=-1sin cos 3αα=-， ∴222211sin cos 1cos cos 99αααα=-=∴29cos 10α=于是， 24cos 22cos 15αα=-= 223sin 22sin cos cos 35αααα==-=-代入得． 239sin 2cos 551041cos 2615ααα---==-++18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人ξ数．（1）求的分布列和的数学期望；ξξ（2）求“所选3人中女生人数”的概率．1ξ…【解答】解：（1）由题意知本题是一个超几何分步，随机变量表示所选3人中女生的人数，可能取的值为0，1，2．ξξ． 32436(),0,1,2k k C C P k k C ξ-=== 的分布列为ξ∴ξ0 1 2 P 15 35 15的数学期望为 ξ∴1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=（2）由（1）知“所选3人中女生人数”的概率为 1ξ…4(1)(0)(1)5P P P ξξξ==+==…19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD PD DC =E 是的中点，作交于点．PC EF PB ⊥PB F （1）证明平面；//PA EDB（2）证明平面；PB ⊥EFD （3）求二面角的大小．C PBD --【解答】解：方法一：（1）证明：连接，交于，连接．AC AC BD O EO 底面是正方形，点是的中点ABCD ∴O AC 在中，是中位线，PAC ∆EO //PA EO ∴而平面且平面，EO ⊂EDB PA ⊂/EDB 所以，平面//PA EDB（2）证明：底面且底面，PD ⊥ ABCD DC ⊂ABCD PD DC ∴⊥，可知是等腰直角三角形，而是斜边的中线，PD DC = PDC ∆DE PC ．①DE PC ∴⊥同样由底面，得．PD ⊥ABCD PD BC ⊥底面是正方形，有，平面．ABCD DC BC ⊥BC ∴⊥PDC 而平面，．②DE ⊂PDC BC DE ∴⊥由①和②推得平面．DE ⊥PBC 而平面，PB ⊂PBC DE PB ∴⊥又且，所以平面．EF PB ⊥DE EF E = PB ⊥EFD（3）解：由（2）知，，故是二面角的平面角．PB DF ⊥EFD ∠C PB D --由（2）知，，．DE EF ⊥PD DB ⊥设正方形的边长为，ABCD a则，．,PD DC a BD =====12PC PC ====在中，． Rt PDB∆PD BD DF PB == 在中，，． Rt EFD ∆sin DE EFD DF ===∴3EFD π∠=所以，二面角的大小为．C PBD --3π方法二：如图所示建立空间直角坐标系，为坐标原点，设．D DC a =（1）证明：连接，交于，连接．AC AC BD G EG 依题意得． (,0,0),(0,0,),(0,,22a a A a P a E 底面是正方形，是此正方形的中心，故点的坐标为且 ABCD G ∴G (,,0)22a a ． (,0,),(,0,)22a a PA a a EG =-=- ，这表明．∴2PA EG = //PA EG 而平面且平面，平面．EG ⊂EDB PA ⊂/EDB //PA ∴EDB（2）证明；依题意得，，，．(B a a 0)(,,)PB a a a =- 又，故． (0,,)22a a DE = 220022a a PB DE =+-= ．PB DE ∴⊥由已知，且，所以平面．EF PB ⊥EF DE E = PB ⊥EFD（3）解：设点的坐标为，，，，则，，，，．F 0(x 0y 0)z PF PB λ= 0(x 0y 0)(z a a λ-=a )a -从而，，．所以． 0x a λ=0y a λ=0(1)z a λ=-00011(,,)(,(),())2222a a FE x y z a a a λλλ=---=--- 由条件知，，即，解得 EF PB ⊥0FE PB = 22211()()022a a a λλλ-+---=13λ=点的坐标为，且， ∴F 2(,,)333a a a (,,)366a a a FE =-- 2(,,333a a a FD =--- ∴22220333a a a PB FD =--+=即，故是二面角的平面角．PB FD ⊥EFD ∠C PB D --，且，， 222291896a a a a FE FD =-+=||FE ==||FD == ．∴21cos 2||||FE FD EFD FE FD ===． ∴3EFD π∠=所以，二面角的大小为．CPB D --3π20．（12分）已知函数在处取得极值．32()3f x ax bx x =+-1x =±（Ⅰ）讨论（1）和是函数的极大值还是极小值；f (1)f -()f x （Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程．(0,16)A ()y f x =【解答】（Ⅰ）解：，依2()323f x ax bx '=+-题意，（1），f '(1)0f '=-=即 32303230.a b a b +-=⎧⎨--=⎩解得，．1a =0b =，．3()3f x x x ∴=-2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-令，得，．()0f x '=1x =-1x =若，，，(x ∈-∞1)(1-⋃)+∞则，()0f x '>故在上是增函数，在上是增函数．()f x (,1)-∞-()f x (1,)+∞若，(1,1)x ∈-则，故在上是减函数．()0f x '<()f x (1,1)-所以，是极大值；（1）是极小值．(1)2f -=f 2=-（Ⅱ）解：曲线方程为，点不在曲线上．33y x x =-(0,16)A 设切点为，，0(M x 0)y 则点的坐标满足． M 30003y x x =-因， 200()3(1)f x x '=-故切线的方程为 20003(1)()y y x x x -=--注意到点在切线上，有 (0,16)A 32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--化简得， 308x =-解得．02x =-所以，切点为，切线方程为．(2,2)M --9160x y -+=21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：（1）点数为偶数；（2）点数大于2且小于5．【解答】解：掷一个骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种．这些点数出现的可能性相等．（1）点数为偶数有3种可能，即点数为2，4，6，（点数为偶数）；（3分） P ∴3162==（2）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4，（点数大于2且小于．（6分） P ∴215)63=22．（14分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，的准线与轴相交于O (F c 0)(0)c >l x 点，，过点的直线与椭圆相交于、两点．A ||2||OF FA =A P Q （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程；0OP OQ = PQ （3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．(1)AP AQ λλ=> P l M FM FQ λ=- 【解答】（1）解：由题意，可设椭圆的方程为． 2221(2x y a a +=>由已知得 22222().a c a c c c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩解得 2a c ==所以椭圆的方程为，离心率． 22162x y +=e =（2）解：由（1）可得．(3,0)A 设直线的方程为．由方程组 PQ (3)y k x =-22162(3)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(31)182760k x k x k +-+-=依题意△，得． 212(23)0k =->k <<设，，，，则，① 1(P x 1)y 2(Q x 2)y 21221831k x x k +=+．② 212227631k x x k -=+由直线的方程得，．于是．③ PQ 11(3)y k x =-22(3)y k x =-2212121212(3)(3)[3()9]y y k x x k x x x x =--=-++，．④0OP OQ = 12120x x y y ∴+=由①②③④得，从而． 251k=(k =所以直线的方程为或PQ 30x -=30x -=（3）证明：．1122(3,),(3,)AP x y AQ x y =-=- 由已知得方程组 1212221122223(3)162 1.62x x y y x y x y λλ-=-⎧⎪=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪+=⎩注意，解得 1λ>2512x λλ-=因，，，故． (2,0)F 1(M x 1)y -11211211(2,)((3)1,)(,)(,)22FM x y x y y y λλλλλ--=--=-+-=-=- 而，所以． 2221(2,)(,)2FQ x y y λλ-=-= FM FQ λ=-。
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理工农林医 类)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理工农林医类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至1页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔在答题卡上对应题宗旨答案涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，惟有一项乃是符合题目要求的。
参阅公式：三角函数的和差化积公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题1．设集合(){}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,1,22，(){}R y R x y x y x N ∈∈=-=,,0,2，则集合NM 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数2sin x y =的最小正周期乃是（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．设数列{}n a 乃是等差数列，且6,682=-=a a ，n S 乃是数列{}n a 的前n 项和，则 （ ）A ．54S S <B ．54S S =C ．56S S <D ．56S S = 4．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧 其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式334R V π=球 其中R 表示球的半径A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x 5．函数)1(log 221-=x y 的定义域为（ ）A ．[)(]2,11,2 -- B ．)2,1()1,2( --C ．[)(]2,11,2 --D ．)2,1()1,2( --6．设复数z 的辐角的主值为32π，虚部为3，则2z =（ ）A ．i 322--B ．i 232--C ．i 32+D ．i 232+7．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ）A ．5B ．5 C ．25D ．45 8．不等式311<+<x 的解集为（ ）A ．()2,0B ．())4,2(0,2 -C ．()0,4-D ．())2,0(2,4 --9．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 （ ）A ．322 B ．2C ．32D ．324 10．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）A ．223 B ．233 C ．23 D ．3311．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为（ ）A ．(][]10,02, -∞-B ．(][]1,02, -∞-C ．(][]10,12, -∞-D ．[]10,1]0,2[ -12．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，则不同的分配方案共有（ ）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种第Ⅱ卷步骤.）13．用平面α截半径为R 的球，如果球心到平面α的距离为2R，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 .14．函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为 .15．已知函数)(x f y =乃是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数乃是)(x g y =，则=-)8(g .16．设P 乃是曲线)1(42-=x y 上的一个动点，则点P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .三、解读回答题（6道题，共76分）17．（本小题满分12分）已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值.18．（本小题满分12分）解方程 11214=-+xx.m的矩形蔬菜温室。
2004高考数学试题(全国4理)及答案
2004年高考试题全国卷Ⅳ理科数学（必修+选修Ⅱ）第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合},2|{},2,1,0{M a a x x N M ∈===，则集合N M ⋂= （ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，2} 2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（ ）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．)1)31(2ii +-=（ ）A ．i +3B ．i --3C ．i -3D ．i +-3 5．不等式03)2(<-+x x x 的解集为（ ）A ．}30,2|{<<-<x x x 或B ．}3,22|{><<-x x x 或C ．}0,2|{>-<x x x 或D ．}3,0|{<<x x x 或6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 （ ）A ．160B ．180C ．200D ．220 7．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ）A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//n ；B ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //；D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //8．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π 其中R 表示球的半径A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心 到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．211．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （ ）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+12．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a +b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b夹角的余弦值等于 .15．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 16．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 18．（本小题满分12分）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值.C19．（本小题满分12分） 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望； （Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率. 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD. 21．（本小题满分12分）双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦点距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知函数0)(),sin (cos )(='+=-x f x x ex f x将满足的所有正数x 从小到大排成数列}.{n x（Ⅰ）证明数列{}{n x f }为等比数列；（Ⅱ）记n S 是数列{}{n n x f x }的前n 项和，求.lim 21nS S S nn +++∞→2004年高考试题全国卷4理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 D C A D A B C A B A B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．21-15．43 16．2三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++= 当α为第二象限角，且415sin =α时41cos ,0cos sin -=≠+ααα， 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α 18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力.满分12分. 解：,2111)(x x x f -+=' 令 ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加； 当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少. 所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值.19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）ξ的可能值为－300，－100，100，300.P （ξ=－300）=0.23=0.008, P （ξ=－100）=3×0.22×0.8=0.096, P （ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384, P （ξ=300）=0.83=0.512,图2Cy所以ξ的概率分布为根据ξ的概率分布，可得ξ的期望E ξ=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）=0.384+0.512=0.896.20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ， 所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， 所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ （Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0） 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--=BD PA 因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.通过计算可得EO=3，AE=23知AD=43，AB=8，得.ABADAE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是.525≤≤e 22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以及综合运用的能力.满分14分. （Ⅰ）证明：.sin 2)cos sin ()sin (cos )(x e x x e x x ex f x x x----=+-++-='由,0)(='x f 得.0sin 2=--x e x解出n n x ,π=为整数，从而,3,2,1,==n n x n π .)1()(πn n n e x f --=.)()(1π-+-=e x f x f n n所以数列)}({n x f 是公比π--=eq 的等比数列，且首项.)(1q x f =（Ⅱ）解：)()()(2211n n n x f x x f x x f x S +++= ),21(1-+++=n nq q q π),11()21(),2(122n nnn n n n n nq qq q nq qq q qS S nq q q q qS ---=-+++=-+++=-πππ 而).11(1n nn nq qq q q S ----=πnS S S n+++ 21.)1()1()1(2)1()11()1(11)1()1()21()1()1()1()1(2232222222121222q q q q n q q qnq qq q n q q q q n q q q nq q q n q qq q n q q qn n n nn n n -+----=----------=+++--+++---=+--πππππππππ因为0lim .1||=<=∞→-n n q eq π，所以.)1()1(lim 2221+-=-=+++∞→ππππe e q q n S S S n n。
高考_2004年吉林高考理科数学真题及答案
2004年吉林高考理科数学真题及答案一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 〔1〕集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，那么集合M ∩N ＝〔A 〕{x |x ＜－2} 〔B 〕{x |x ＞3} 〔C 〕{x |－1＜x ＜2} 〔D 〕{x |2＜x ＜3}〔2〕542lim 221-+-+→x x x x n ＝〔A 〕21 〔B 〕1 〔C 〕52 〔D 〕41 〔3〕设复数ω＝－21＋23i ，那么1＋ω＝〔A 〕–ω 〔B 〕ω2〔C 〕ω1-〔D 〕21ω〔4〕圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，那么圆C 的方程为〔A 〕(x ＋1)2＋y 2＝1 〔B 〕x 2＋y 2＝1 〔C 〕x 2＋(y ＋1)2＝1 〔D 〕x 2＋(y －1)2＝1 〔5〕函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，那么φ可以是 〔A 〕－6π 〔B 〕6π 〔C 〕－12π 〔D 〕12π〔6〕函数y ＝－e x的图象〔A 〕与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 〔B 〕与y ＝e x的图象关于坐标原点对称〔C 〕与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 〔D 〕与y ＝e －x的图象关于坐标原点对称 〔7〕球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，那么球心O 到平面ABC 的距离为 〔A 〕31 〔B 〕33 〔C 〕32 〔D 〕36 〔8〕在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有〔A 〕1条 〔B 〕2条 〔C 〕3条 〔D 〕4条 〔9〕平面上直线l 的方向向量)53,54(-=e，点O (0,0)和A (1,-2)在l 上的射影分别是O 1和A 1，那么11A O ＝λe，其中λ＝ 〔A 〕511 〔B 〕－511 〔C 〕2 〔D 〕－2 〔10〕函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数〔A 〕(2π，23π) 〔B 〕(π，2π) 〔C 〕(23π，25π) 〔D 〕(2π，3π)〔11〕函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为〔A 〕4π 〔B 〕2π〔C 〕π 〔D 〕2π 〔12〕在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有 〔A 〕56个 〔B 〕57个 〔C 〕58个 〔D 〕60个 二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．把答案填在题中横线上．〔13〕从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，那么随机变量ξ的概率分布为ξ 0 1 2 P〔14〕设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120那么z ＝3x ＋2y 的最大值是 ．〔15〕设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，那么该椭圆的方程是 ．〔16〕下面是关于四棱柱的四个命题：①假设有两个侧面垂直于底面，那么该四棱柱为直四棱柱；②假设两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，那么该四棱柱为直四棱柱；③假设四个侧面两两全等，那么该四棱柱为直四棱柱；④假设四棱柱的四条对角线两两相等，那么该四棱柱为直四棱柱，其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤． 〔17〕 (本小题总分值12分)锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高． 〔18〕(本小题总分值12分)8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A 、B 两组，每组4个．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两个弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两个弱队的概率． 〔19〕(本小题总分值12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝nn 2+S n 〔n ＝1，2，3，…〕．证明： (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．〔20〕(本小题总分值12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面BDM ；(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小．〔21〕(本小题总分值12分) 给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(Ⅰ)设l 的斜率为1，求OA 与OB 夹角的大小；(Ⅱ)设FB ＝AF λ，假设λ∈[4，9]，求l 在y 轴上截距的变化范围． (22)(本小题总分值14分)函数f (x )＝ln(1＋x )－x ，g (x )＝x ln x ．(1)求函数f (x )的最大值；(2)设0＜a ＜b ，证明：0＜g (a )＋g (b )－2g (2ba +)＜(b －a )ln2．2004年高考试题全国卷2 理科数学〔必修＋选修Ⅱ〕答案：一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．〔1〕C 〔2〕A 〔3〕C 〔4〕C 〔5〕A 〔6〕D 〔7〕B 〔8〕B 〔9〕D 〔10〕B 〔11〕B 〔12〕C 二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分． 〔13〕0.1，0.6，0.3 〔14〕5 〔15〕21x 2＋y 2＝1 〔16〕②④ 17．(I)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒51sin cos 52cos sin B A B A ⇒2tan tan =B A ，∴B A tan 2tan =. (II)解：∵2π<A+B<π, 53)sin(=+B A , ∴54)cos(-=+B A , 43)tan(-=+B A即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ,将B A tan 2tan =代入上式并整理得01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ,因为B 为锐角，所以262tan +=B ,∴B A tan 2tan = =2+6设AB 上的高为CD ，那么AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD ，由AB=3得CD=2+6 故AB 边上的高为2+618．(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率762482523=C C C (II)解：A 组中至少有两支弱队的概率21481533482523=+C C C C C C 19．〔I 〕证： 由a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3，…)， 知a 2=112+S 1=3a 1,224212==a S , 111=S ,∴21212=S S又a n+1=S n+1-S n (n=1,2,3，…),那么S n+1-S n =nn 2+S n (n=1,2,3，…)，∴nS n+1=2(n+1)S n , 211=++nS n S n n (n=1,2,3，…).故数列{nSn }是首项为1，公比为2的等比数列BA'C'〔II 〕解：由〔I 〕知，)2(14111≥-•=+-+n n Sn S n n ，于是S n+1=4(n+1)·11--n S n =4a n (n 2≥)又a 2=3S 1=3,那么S 2=a 1+a 2=4=4a 1,因此对于任意正整数n ≥1都有S n+1=4a n .20．解法一：(I)如图，连结CA 1、AC 1、CM ，那么CA 1=2， ∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形， 又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B ， ∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3， 又BB 1=1，∴A 1B=2，∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点，CD=21A 1B=1，CD=CC 1 又DM=21AC 1=22，DM=C 1M ，∴△CDN ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°,即CD ⊥DM ， 因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM(II)设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ， 那么FG ∥CD ，FG=21CD ∴FG=21，FG ⊥BD.由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D,知BD=B 1D=21A 1B=1， 所以△BB 1D 是边长为1的正三角形，于是B 1G ⊥BD ，B 1G=23， ∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角 又B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+(22)2=23.∴cos ∠B 1GF=332123223)21()23(222121221-=••-+=•-+FGG B F B FG G B即所求二面角的大小为π-arccos33 解法二：如图以C 为原点建立坐标系 (I):B(2,0,0),B 1(2,1,0),A 1(0,1,1),D(22,21,21), M(22,1,0),=CD (22,21,21),=B A 1(2,-1,-1),=DM (0,21,-21),,0,01=•=•DM CD B A CD∴CD ⊥A 1B,CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线， 所以CD ⊥平面BDM(II):设BD 中点为G ，连结B 1G ，那么G ),41,41,423(=BD (-22,21,21)，=G B 1),41,43,42(--∴01=•G B BD ，∴BD ⊥B 1G ，又CD ⊥BD ，∴CD 与G B 1的夹角θ等于所求二面角的平面角， cos .33||||11-=•=G B CD θ 所以所求二面角的大小为π-arccos33 21．解：〔I 〕C 的焦点为F(1,0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为y=x-1.将y=x-1代入方程y 2=4x ，并整理得x 2-6x+1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，那么有x 1+x 2=6,x 1x 2=1，OB OA •=(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-3.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+•+=•x x x x x x y x y x OB OAcos<OB OA ,.41413||||-=•OB OA 所以OA 与OB 夹角的大小为π-arccos41413. 解：(II)由题设知AF FB λ=得：(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1)，即⎩⎨⎧-=-=-)2()1()1(11212 y y x x λλ由 (2)得y 22=λ2y 12, ∵y 12=4x 1,y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1 (3)联立(1)(3)解得x 2=λ.依题意有λ>0.∴B(λ,2λ)或B(λ,-2λ)，又F(1,0),得直线l 的方程为(λ-1)y=2λ(x-1)或(λ-1)y=-2λ(x-1) 当λ∈[4,9]时，l 在y 轴上的截距为12-λλ或-12-λλ由12-λλ=1212-++λλ，可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴≤4312-λλ34≤，-≤34-12-λλ43-≤ 直线l 在y 轴上截距的变化范围是]34,43[]43,34[ -- 22．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),'f (x)=111-+x.令'f (x)=0，解得x=0，当-1<x<0时, 'f (x)>0,当x>0时,'f (x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：g(a)+g(b)-2g(2b a +)=alna+blnb-(a+b)ln 2b a +=a ba bb b a a +++2ln 2ln .由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x ≠0)，由题设0<a<b,得021,02<-<->-bba a ab ,因此a a b a a b b a a 2)21ln(2ln -->-+-=+,bb a b b a b a b 2)21ln(2ln -->-+-=+. 所以a b a b b b a a +++2ln 2ln >-022=---ba ab . 又,22b b a b a a +<+ a b a b b b a a +++2ln 2ln <a .2ln )(2ln )(2ln 2ln a b ba ba b b a b b b b a -<+-=+++ 综上0<g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.(II)证法二：g(x)=xlnx,1ln )('+=x x g ,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(2xa +),那么.2ln ln )]'2([2)(')('xa x x a g x g x F +==+-=当0<x<a 时,0)('<x F 因此F(x)在(0,a)内为减函数当x>a 时,0)('>x F 因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a 时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g(2ba +). 设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,那么).ln(ln 2ln 2lnln )('x a x xa x x G +-=-+-=当x>0时,0)('<x G ,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.。
2004年全国Ⅱ高考数学试题(理)
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：()(1)k k n kn n P k C P P -=-球是表面积公式24R S π=其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|4M x x =<，{}2|230N x x x =--<，则集合M N ⊃＝A ．{}|2x x <-B ．{}|3x x >C ．{}|12x x -<<D ．{}|23x x <<2．222lim 45x x x x x →∞+-+-＝A ．12B ．1C ．25D ．143．设复数12ω=-+，则1ω+＝ A ．ω-B ．2ωC ．1ω-D ．21ω4．已知圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为A ．22(1)1x y ++= B ．221x y += C ．22(1)1x y ++= D ．22(1)1x y +-=5．已知函数tan(2)y x ϕ=+的图像过点(,0)12π，则ϕ可以是A ．6π-B ．6πC ．12π-D ．12π6．函数x y e =-的图像A ．与x y e =的图像关于y 轴对称B ．与x y e =的图像关于坐标原点对称C ．与x y e -=的图像关于y 轴对称D ．与x y e -=的图像关于坐标原点对称7．已知球O 的半径为1，,,A B C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为A ．13B C ．23D 8．在坐标平面内，与点(1,2)A 的距离为1，且与点(3,1)B 的距离为2的直线共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9．已知平面上直线l 的方向向量43(,)55e =- ，点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别是O '和A '，则O A e λ''= ，其中λ＝A ．115B ．115-C ．2D ．－210．函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数A ．3(,)22ππB ．(,2)ππC ．35(,)22ππ D ．(2,3)ππ11．函数42sin cos y x x =+的最小正周期为A ．4π B ．2π C ．π D ．2π12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布为14．设,x y 满足约束条件：0,,21,x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩则32z x y =+的最大值是 ．15．设中心在原点的椭圆与双曲线22221x y -=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ． 16．下面关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若两个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是 ．（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知锐角△ABC 中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=． （1）求证：tan 2tan A B =；（2）设3AB =，求AB 边上的高． 18．（本小题满分12分）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A ，B 两组，每组4支．求： （1）A ，B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； （2）A 组中至少有两支弱队的概率． 19．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知11a =，12(1,2,3,)n n n a S n n++== ，证明： （1）数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）14n n S a +=．20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，1AC =，CB =11AA =，侧面11AA B B 的两条对角线交点为D ，11B C 的中点为M ．（1）求证：CD ⊥平面BDM ；（2）求面1B BD 与面CBD 所成二面角的大小． 21．（本小题满分12分）给定抛物线2:4C y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．（1）设l 的斜率为1，求OA 与OB的夹角的大小；（2）设FB AF λ=，若[]4,9λ∈，求l 在y 轴上截距的变化范围．22．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)f x x x =+-，()ln g x x x =． （1）求函数()f x 的最大值；（2）设0a b <<，证明：0()()2()()ln 22a bg a g b g b a +<+-<-．数学试题参考答案A BC DM B 1C 1A 1一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．2004年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案（理）（选修Ⅱ）1.C2.A3.C4.C5.A6.D7.B8.B9.D 10.B 11.B 12.C13．0.1，0.6，0.3 14．5 15．1222=+y x 16．②④ 选择题和填空题详解1.已知集合M ＝{x|x 2＜4}，N ＝{x|x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝A.{x|x ＜－2}B.{x|x ＞3}C.{x|－1＜x ＜2}D.{x|2＜x ＜3} 解：{}{}{}21,31,22<<-=∴<<-=<<-=x x N M x x N x x M ．答案：C2.542lim 221-+-+→x x x x x ＝ A.21 B.1 C.52 D.41 解：215121)5()2(lim )1)(5()1)(2(lim 542lim 11221=++=++=-+-+=-+-+→→→x x x x x x x x x x x x x答案：A3.设复数ω＝－21＋23i ，则1＋ω＝ A.–ω B.ω2 C.ω-1 D.21ω解： 1＋ω＝21＋23i ，i i 2321)2321(1+=---=-=-=-ωωωωω∴1＋ω＝ω-1答案：C4.已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为A.(x ＋1)2＋y 2＝1B.x 2＋y 2＝1C.x 2＋(y ＋1)2＝1D.x 2＋(y －1)2＝1 解：圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心（1，0）关于直线y ＝－x 的对称点为（0，－1）， 此即为圆C 的圆心；又圆C 的半径即为圆(x －1)2＋y 2＝1的半径1， ∴圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1. 答案：C5.已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则可以是 A.－6π B.6π C.－12π D.12π 解：由已知得0)6tan(=+ϕπ，∴φ的一个值为－6π．答案：A6.函数y ＝－e x 的图象A.与y ＝e x 的图象关于y 轴对称B.与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称C.与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称D.与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解：函数y ＝－e x 的图象与y ＝e x 的图象关于x 轴对称，函数y ＝e －x 的图象与y ＝e x 的图象关于y轴对称．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝－e x 与y ＝e －x 的图象，可知这两个函数的图象关于坐标原点对称． 答案：D7.已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 A.31 B.33 C.32 D.36 解：球心O 与A 、B 、C 三点构成正三棱锥O-ABC ，如下图所示：已知OA=OB=OC=R 球=1，∠AOB =∠BOC =∠AOC =2π，由此可得AO ⊥面BOC ， 2)2(43,1121=⨯⨯=∆∆ABC BOC S S ， 333131=⨯=⨯=∆∆--h h S AO S V V ABC BOC ABC O BOC A ，得，即由． 答案：B8.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解：画出以点A 为圆心、半径为1的圆A ；再画出以点B 为圆心、半径为2的圆B ，可知两圆相交．与点A 距离为1、且与点B 距离为2的直线应为圆A 与圆B 的公切线， ∵圆A 与圆B 相交，∴圆A 与圆B 的公切线有2条． 答案：B9.已知平面上直线L 的方向向量e ＝(－54,53)，点O(0,0)和A(1,－2)在L 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O ＝λe ，其中λ＝ A.511 B.－511 C.2 D.－2 解：．综上，．，即，的符号为负；与积的几何意义可知，由题意及两个向量数量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2004年高考试题全国卷Ⅰ理 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B） 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=CknPk(1－P)n－k
一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60
1．(1－i)2·i= （ ） A．2－2i B．2+2i C．－2 D．2 2．已知函数)(.)(.11lg)(afbafxxxf则若 （ ） A．b B．－b C．b1 D．－b1 3．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|= （ ） A．7 B．10 C．13 D．4 4．函数)1(11xxy的反函数是 （ ） A．y=x2－2x+2(x<1) B．y=x2－2x+2(x≥1) C．y=x2－2x (x<1) D．y=x2－2x (x≥1)
5．73)12(xx的展开式中常数项是 （ ） A．14 B．－14 C．42 D．－42 6．设A、B、I均为非空集合，且满足AB I，则下列各式中错误．．的是 （ ）
A．(ICA)∪B=I B．(ICA)∪(ICB)=I C．A∩(ICB)= D．(ICA)(ICB)= ICB
7．椭圆1422yx的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则||2PF= A．23 B．3 C．27 D．4 8．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是A．[－21，21] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4] 9．为了得到函数)62sin(xy的图象，可以将函数xy2cos的图象 （ ）
球的表面积公式 S=42R 其中R表示球的半径， 球的体积公式
V=334R， 其中R表示球的半径 A．向右平移6个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移3个单位长度 10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则ST等于 （ ） A．91 B．94 C．41 D．31 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （ ） A．12513 B．12516 C．12518 D．12519 12．cabcabaccbba则,2,2,1222222的最小值为 （ ） A．3－21 B．21－3 C．－21－3 D．21+3 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x+2|≥|x|的解集是 . 14．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .
15．已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项1___na 12nn 16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 . ①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线； ④一条直线及其外一点；在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
求函数xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244的最小正周期、最大值和最小值. 18．（本小题满分12分） 一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.
19．（本小题满分12分） 已知,Ra求函数axexxf2)(的单调区间. 20．（本小题满分12分） 如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°. （I）求点P到平面ABCD的距离， （II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.
21．（本小题满分12分） 设双曲线C：1:)0(1222yxlayax与直线相交于两个不同的点A、B. （I）求双曲线C的离心率e的取值范围： （II）设直线l与y轴的交点为P，且.125PBPA求a的值. 22．（本小题满分14分） 已知数列1}{1aan中，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……. （I）求a3, a5； （II）求{ an}的通项公式. 2004年高考试题全国卷1 理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案 一、选择题 DBCBABCCBADB 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．{x|x≥－1} 14．x2+y2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题 17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.
解：xxxxxxxfcossin22cossin)cos(sin)(22222
212sin41)cossin1(21)cossin1(2cossin122xxxxxxx
所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.
P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3
P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C12C×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C12C×0.52×0.4×0.6+12C22C×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04 于是得到随机变量ξ的概率分布列为： ξ 0 1 2 3 4 P 0.09 0.3 0.37 0.2 0.04 所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8. 19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分. 解：函数f(x)的导数：
.)2(2)(22axaxaxeaxxeaxxexf
（I）当a=0时，若x<0，则)(xf<0，若x>0,则)(xf>0. 所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. （II）当,02,02,02xaxaxxa或解得由时
由.02,022xaaxx解得 所以，当a>0时，函数f(x)在区间（－∞，－a2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数； （III）当a<0时，由2x+ax2>0，解得0
由2x+ax2<0，解得x<0或x>－a2. 所以当a<0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分. （I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE. ∵AD⊥PB，∴AD⊥OB， ∵PA=PD，∴OA=OD， 于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD. 由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°
由已知可求得PE=3
∴PO=PE·sin60°=23233， 即点P到平面ABCD的距离为23. （II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.
)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点GPBBP.连结AG.
又知).0,233,2(),0,23,1(CA由此得到：
0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(PBBCPBGABCPBGA于是有 所以的夹角BCGAPBBCPBGA,. 等于所求二面角的平面角，
于是,772||||cosBCGABCGA
所以所求二面角的大小为772arccos . 解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG=21BC. ∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB， ∴∠AGF是所求二面角的平面角. ∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG. 又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=23. 在Rt△PEG中，EG=21AD=1. 于是tan∠GAE=AEEG=23, 又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组
.1,1222yxya
x
有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
.120.0)1(84.012242aaaaaa且解得所以
双曲线的离心率
).,2()2,26(226,120.11122的取值范围为即离心率且且eeeaaaaae
（II）设)1,0(),,(),,(2211PyxByxA