2020年河南省开封市高三一模数学试题

数学试卷

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合}023|{2

<++=x x x M ，集合142x

N x ⎧⎫⎪⎪

⎛⎫

=⎨⎬ ⎪

⎝⎭

⎪⎪⎩⎭

, 则=N M ( ). A ．{|2}x x - B ．}1|{->x x C ．}1|{-

-

2.设i 为虚数单位，复数2i

=1i

+( ). A ．1i -+

B ．1i --

C ．1i -

D ．1i +

3.下列结论中正确的是( ).

①命题：3

(0,2),3x

x x ∀∈>的否定是3(0,2),3

x

x x ∃∈；

②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α；

③若随机变量ξ服从正态分布2

(1,)N σ，且(2)0.8P ξ<=，则(01)0.2P ξ<<=； ④等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则721S =.

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

4.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y ++=，双曲线的一

个焦点在直线l 上，则双曲线方程为( ).

A ．221205x y -=

B ．221520x y -=

C ．2233125100x y -=

D ．22

33110025

x y -=

5.某产品的研发费用x 万元与销售利润y 万元的统计数据如表所示，

根据上表可得回归方程ˆˆˆy

bx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预计研发费用为6万元时，利润为65.5，则ˆ,a

m =( ). A. ˆ9.1,54a

m == B. ˆ9.1,53a m == C. ˆ9.4,52a

m == D. ˆ9.2,54a m ==

6.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若,,a b c 成等比数列，60A =，

sin b B

c

=( ). A ．

1

2

B ． 1

C ．22

D ．32

7.已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为( ). A ．45425++ B ．5

25222

++

C ．25223

3

++ D ．25223++

8.若实数,x y 满足不等式组5230,10y x y x y ⎧⎪

-+⎨⎪+-⎩

则2z x y

=+的最大值是 ( ). A ．1 0 B ．1 1

C ．1 3

D ．1 4

9.利用如图所示的算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆

2210x y +=内的有( ).

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

10.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()x f '，且函数()x f 在

1x =-处

取得极大值，则函数()y xf x '=的图像可能是( ).

D.

C.

B.A.

x

O

-1

y

x

O -1

y -1

y x

O -1

y x

O

11.已知双曲线:C 22221x y a b

-=（0a >，0b >）的两条渐近线与抛物线2

2y px =（0p >）

的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线C 的离心率为2，AOB △的面积为3，则AOB △的内切圆半径为( ).

A ．31-

B ．31+

C ．233-

D ．233+

12.已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()()22f x f x =+.当[)0,2x ∈时,()22+4f x x x =-．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a ()n *

∈N ，且{}n a 的前n 项

和为n S ，则n S = ( ). A. 1122n --

B ．2142n --

C ．122n -

D ．

1

1

42n -- 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知6

e 1

1

d n x x =

⎰

，那么1(2)n x x

-

的展开式中的常数项为 . 14.已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)+⊥-a b a b 且||2=a ，则b 在a 上的投影为 .

15.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，侧面PAD 是等边三角形，且侧面

PAD ⊥底面ABCD ，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为___ ____.

16.直线y a =分别与曲线2(1)y x =+，ln y x x =+交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为_______.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2cosB （acosC +ccosA ）+b=0．

（Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）若a=3，点D 在AC 边上且BD ⊥AC ，BD=

，求c ．

18．（12分）如图1，在矩形ABCD 中，AD=2AB=4，E 是AD 的中点．将△ABE 沿BE 折起使A 到点P 的位置，平面PEB ⊥平面BCDE ，如图2． （Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PEC ； （Ⅱ）求二面角B ﹣PE ﹣D 的余弦值．