第93-94课时 直接证明与间接证明
(新课标)2020版高考数学总复习第十一章第四节直接证明与间接证明课件文新人教A版
解析 (1)当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1.
又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,
两式相减得1,公比为 12 的等比数列,
所以an=
1 2n1
.
(2)证明:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r,且
5.若 2 , 3 , x 成等比数列,则lo g 3 x=
.
2
答案 2
解析 由题意得( 3 )2= 2 · x ,
所以 x = 3 ,所以x= 9 .
2
2
设lo g 3
2
x=y,即
3 2
y
= 92 =
3 2
2
,
所以y=2,即lo g 3 x=2.
2
6.(教材习题改编)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,
故a2+b2=c2,即△ABC是直角三角形.
分析法的应用
典例2 已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,
b,c.求证: 1 + 1 = 3 .
ab bc abc
证明
要证 1
a
b
+ b 1
c
= a
3 b
c
,
即证 a b c + a b c =3,
p,q,r∈N*),
则2· 21q = 21p + 21r ,所以2·2r-q=2r-p+1.(*)
又因为p<q<r,且p,q,r∈N*,所以r-q∈N*,r-p∈N*.
18版：第2讲 直接证明与间接证明（创新设计）
即 2(2－ 2)a＋1a≥8－4 2，只需证 a＋1a≥2.
基础诊断
考点突破
课堂总结
因为 a＞0，a＋1a≥2 显然成立a＝1a＝1时等号成立， 所以要证的不等式成立.
规律方法 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通 过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化 方向是使问题顺利获解的关键. (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通 过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然 后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.
基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练 1】 已知四棱锥 S－ABCD 中，底面是边长为 1 的正 方形，又 SB＝SD＝ 2，SA＝1. (1)求证：SA⊥平面 ABCD； (2)在棱 SC 上是否存在异于 S，C 的点 F，使得 BF∥平面 SAD？若存在，确定 F 点的位置；若不存在，请说明理由. (1) 证 明 由 已 知 得 SA2 ＋ AD2 ＝ SD2，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB. 又AB∩AD＝A， ∴SA⊥平面ABCD.
基础诊断
考点突破
课堂总结
规律方法 (1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、 “唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键 是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与 假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等. (2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必 须从否定结论进行推理；③推导出的矛破
课堂总结
【训练 3】 (2017·济南质检)若 f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a， b](a<b)，则称函数 f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数. (1)设 g(x)＝12x2－x＋32是[1，b]上的“四维光军”函数，求常 数 b 的值； (2)是否存在常数 a，b(a>－2)，使函数 h(x)＝x＋1 2是区间[a， b]上的“四维光军”函数？若存在.求出 a，b 的值；若不存 在，请说明理由.
2021年高考数学复习精选课件 第四节 直接证明与间接证明
因此只要证明 3x1 -(3xx12+x2)≥
2
即证明 3x1 ≥3x2
,
x1 x2
32
2
x1
2
x2
x1 x2
32
x1 x2 2
-(x31x+12xx22),
因此只要证明 3x1 ≥3x2 ,
2
3x1 3x2
由于x1,x2∈R,所以3x1>0, 3x>2 0,
由基本不等式知 3x1 ≥3x2 成立3,x故1 3原x2 结论成立.
所以r -q,r -p∈N*,
所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立.
所以假设不成立,原命题得证.
栏目索引
栏目索引
文数
课标版
2021高|考数学 (文 )复习第|一轮精品资料
点,其中n∈N*,设cn =an -bn,那么cn与cn +1的大小关系为
.
答案 cn>cn +1
解析 由题意知,an = n2,bn1 =n,
∴cn = n2 -n1 = . 1 显然,cn随着n的增n2大而1 减n 小,
∴cn>cn +1.
栏目索引
考点突破
考点一 综合法的应用 典例1 (2021湖北武汉模拟)函数f(x) =(λx +1)ln x -x +1. (1)假设λ =0,求f(x)的最|大值; (2)假设曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线x +y +1 =0垂直,证f (明x) : >0.
栏目索引
文数
课标版
2021高|考数学 (文 )复习第|一轮精品资料
栏目索引
文数
课标版
22直接证明与间接证明教学设计教案
22直接证明与间接证明教学设计教案第一章：直接证明与间接证明概述1.1 直接证明的概念与特点1.2 间接证明的概念与特点1.3 直接证明与间接证明的联系与区别第二章：直接证明方法2.1 综合法2.2 分析法2.3 穷举法2.4 构造法第三章：间接证明方法3.1 反证法3.2 归谬法3.3 举例法3.4 类比法第四章：直接证明与间接证明的应用4.1 数学定理的证明4.2 数学命题的证明4.3 实际问题的证明第五章：案例分析与练习5.1 案例分析：运用直接证明与间接证明解决实际问题5.2 练习题：选择题、填空题、解答题第六章：证明策略与证明方法的选择6.1 证明策略的选择6.2 直接证明与间接证明的转换6.3 证明方法的适用场景分析第七章：证明过程中的逻辑思维训练7.1 逻辑思维的基本概念7.2 证明过程中的逻辑推理7.3 逻辑思维在证明中的应用实例第八章：数学竞赛中的直接证明与间接证明8.1 数学竞赛证明题的特点8.2 数学竞赛中的直接证明策略8.3 数学竞赛中的间接证明技巧第九章：数学研究中的直接证明与间接证明9.1 数学研究中的证明方法9.2 直接证明与间接证明在数学研究中的应用9.3 数学研究中的证明策略案例分析10.1 直接证明与间接证明的核心概念回顾10.2 证明方法的综合运用10.3 证明策略在数学学习和研究中的应用10.4 拓展阅读材料与思考题重点和难点解析一、直接证明与间接证明概述补充说明：直接证明与间接证明是数学证明的两种基本方式，它们在证明过程中的应用场景和证明方法各有不同。
理解它们之间的联系与区别有助于学生更好地选择合适的证明方法。
二、直接证明方法补充说明：构造法是直接证明中的一种重要方法，通过构造特定的数学对象或模型来证明问题的正确性。
学生在学习构造法时，需要掌握构造的核心思想和方法。
三、间接证明方法补充说明：反证法是间接证明中的一种常用方法，通过假设命题的反面成立，进而得出矛盾，从而证明原命题的正确性。
高考数学《直接证明与间接证明、数学归纳法》PPT课堂知识整理
(2)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性 问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现 结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性．
24
(2019·浙江高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝ 4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn 成等比数列．
4
(2)因为a，b，c均为正数， ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c， 故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c， 所以ab2＋bc2＋ca2≥1.
5
[母题探究] 本例的条件不变，证明a2＋b2＋c2≥13. [证明] 因为a＋b＋c＝1， 所以1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， 因为2ab≤a2＋b2，2bc≤b2＋c2，2ac≤a2＋c2， 所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)， 所以1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)， 即a2＋b2＋c2≥13.
21
即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)， 所以(q2－pr)＋ 2(2q－p－r)＝0， 因为p，q，r∈N*，所以q22q－－ppr－＝r0＝，0， 所以p＋2 r2＝pr，(p－r)2＝0， 所以p＝r，与p≠r矛盾， 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
22
考点4 数学归纳法的应用
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记cn＝ 2abnn，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn＜2 n，n∈N*.
25
[解] (1)设数列{an}的公差为d， 由题意得aa11＋＋32dd＝＝34a，1＋3d，解得a1＝0，d＝2， ∴an＝2n－2，n∈N*. ∴Sn＝n2－n，n∈N*. ∵数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成 等比数列， ∴(Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)，
高考高考数学总复习 第六章 第8节 直接证明与间接证明课件
因为 b＝－a－c，
故只需证(a＋c)2－ac<3a2，即证 2a2－ac－c2>0，
只要证明(2a＋c)(a－c)>0.
∵2a＋c＝a－b>0，a－c>0，
∴(2a＋c)(a－c)>0 成立，
故不等式
b2－ac a<
3成立．
A
16
【规律方法】
分析法证题的技巧： (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻 找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的 关键． (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分 析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由 条件证明这个中间结论，从而使原命题得证．
(2)(2013·江苏高考改编)设{an}是首项为 a，公差为 d 的等差数
列(d≠0)，Sn 是其前 n 项的和．记 bn＝nn2＋Snc，n∈N*，其中 c 为实 数．若 c＝0，且 b1，b2，b4 成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈ N*)．
A
28
【思路点拨】
(1)利用 a＋c>2 ac及 b2＝ac.证明(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2. (2)利用条件 c＝0，且 b1，b2，b4 成等比数列求出 Sn，再代入证 明．
∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．,
A
22
【规律方法】
反证法证题的适用范围： (1)否定性命题． (2)唯一性命题． (3)命题中含有“至多”“至少”等词语的命题． (4)命题成立非常明显，但直接证明所用的理论太少，且不容 易证明，而其逆否命题非常容易证明． (5)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少．
高考数学一轮复习课件——第4节 直接证明与间接证明、数学归纳法
︱高中总复习︱一轮·理数
【教师备用 巩固训练 3】 1.用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 ex3axb =1 至少有一个实根”时,要做的 假设是( ) (A)方程 ex3axb =1 没有实根 (B)方程 ex3axb =1 至多有一个实根 (C)方程 ex3axb =1 至多有两个实根 (D)方程 ex3axb =1 恰好有两个实根
解析:因为 P= a + a 3 >0,Q= a 1 + a 2 >0, 所以 P2=2a+3+2 a2 3a ,Q2=2a+3+2 a2 3a 2 , 因为 a>0,所以 a2 3a < a2 3a 2 , 所以 P2<Q2,
所以 P<Q,故选 B.
B)
︱高中总复习︱一轮·理数
︱高中总复习︱一轮·理数
考点三 反证法 【例3】 已知a,b,c是互不相等的非零实数.求证三个方程ax2+2bx+c=0, bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.
证明:反证法: 假设三个方程中都没有两个相异实根, 则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0. 相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0, (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.① 由题意a,b,c互不相等,所以①式不能成立. 所以假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
解析:反证法证明问 题时,反设实际是命题的否定, 所以用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 ex3axb =1 至少有一个实根”时, 要做的假设是方程 ex3axb =1 没有实根.故选 A.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
lbq2009届高三艺术生数学第一轮复习教学案
第 1 页 共 4 页
§93直接证明与间接证明⑴
【考点及要求】了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的
思考过程及特点；了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的
思考过程及特点；
【基础知识】
1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；
直接证明的两种基本方法——分析法和综合法
⑴ 综合法 —— ；⑵分析法 —— ；
2. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证
明方法；反证法即从 开始，经过正确的推理，说明假设错误，从
而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）.
【基本训练】
1.命题“对于任意角44,cossincos2“的证明
：
“44222222cossin(cossin)(cossin)cossincos2”
过程应
用了 .
2.2coscossinsin,ABCABABABC中，已知则一定是 三角形.
3.用反证法证明“如果ab，那么33ab”反设的内容是 .
4.acbd或是abcd的 条件.
5.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应该是 .
6.命题“ABC中，若AB，则ab”的结论否定应该是 .
【典型例题】
例1. 设ab、为互不相等的正数，且1ab，分别用分析法、综合法证明：114ab
练习：求证：3265
lbq2009届高三艺术生数学第一轮复习教学案
第 2 页 共 4 页
例2.设ab、是两相异的正数，求证：关于x的一元二次方程
222
()420abxabxab
没有实数根.
练习：设2()32fxaxbxc，若0,(0)(1)0abcff，
⑴求证：方程有()0fx实根；⑵21ba.
【课堂检测】
1.在锐角三角形ABC中，求证：sinsinsincoscoscosABCABC.
2. 三角形ABC的三边abc、、的倒数成等差数列，求证：90B.
lbq2009届高三艺术生数学第一轮复习教学案
第 3 页 共 4 页
§94合情推理和演绎推理⑵
【典型例题】
例3. 若abcxyz、、、、、均为实数，2222,2,2236axybyzczx，
求证：abc、、中至少有一个大于0.
练习：若0,0xy，且2xy，求证：12xy或12yx中至少有一个成立.
例4.若M、N是椭圆C：22221(0)xyabab上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任
意一点，当直线PM、PN的斜率都存在时，记为PMPNkk、，那么PMPNkk之积是与点P位
置无关的定值；试对双曲线22221(0,0)xyabab写出具有类似特征的性质，并加以证
明 .
lbq2009届高三艺术生数学第一轮复习教学案
第 4 页 共 4 页
练习：已知椭圆的两焦点为12(3,0)(3,0)FF、，离心率为32e .
⑴求此椭圆的方程；
⑵设直线:lyxm，若l与此椭圆相交于P、Q两点，且PQ等于椭圆的短轴长，求
m
的值；
⑶以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三
角形是否存在？若存在，请说明有几个？若不存在，请说明理由 .
【课堂检测】
1.①223sin10cos40sin10404cos；②223sin6cos36sin6364cos，
由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的结论.
2.列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0， x2＋(a－1)x＋a2＝0, x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程
有实根。试求实数a的取值范围.
【课堂作业】
1.求证：2是无理数.
2.32()23()fxaxbxcxabcR、、的图象关于原点对称，且当1x时，()fx取极
小值23.
⑴求abc、、的值；
⑵当[1,1]x时，图象上是否存在两点，使得过两点的切线互相垂直？并证明你的结论.