直接证明和间接证明基础+复习+习题+练习)
江苏高考直接证明与间接证明专题练习(附答案)
2019 江苏高考直接证明与间接证明专题练习（附答案）直接证明是相关于间接证明说的，综合法和剖析法是两种常有的直接证明。
以下是直接证明与间接证明专题练习，请考生查缺补漏。
【典例 1】 (2019 天津高考 )已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数 .设会合 M={0 ， 1，2，， q-1} ，会合A={x|x=x1+x2q++xnqn-1 ，xiM ， i=1 ， 2，， n}.(1)当 q=2， n=3 时，用列举法表示会合 A.(2)设 s， tA ，s=a1+a2q++anqn-1， t=b1+b2q++bnqn-1 ，此中ai，biM ， i=1 ， 2，， n.证明：若 an1 及 a0 可知 0，只要证 1，只要证 1+a-b-ab1，只要证 a-b-ab1，即 -1.这是已知条件，因此原不等式得证 .考向3 反证法(高频考点) 【典例 3】 (1)(2019 山东高考改编 )用反证法证明命题设 a， b 为实数，则方程 x3+ax+b=0 起码有一个实根时，要做的假设是 ________.(2)(2019 陕西高考 )设 {an} 是公比为q 的等比数列 .推导 {an} 的前 n 项和公式；设 q1，证明数列 {an+1} 不是等比数列 .[ 思路点拨 ] (1) 起码的否认是少于.(2)分 q=1 和 q1 两种状况求解 .用反证法证明 .[ 分析 ] (1) 已知 a， b 为实数，则方程x3+ax+b=0 起码有一个实根的否认为方程x3+ax+b=0 没有实根 .[ 答案 ] 方程 x3+ax+b=0 没有实根(2)设 {an} 的前 n 项和为 Sn，当 q=1 时， Sn=a1+a1++a1=na1；当 q1 时， Sn=a1+a1q+a1q2++a1qn-1，qSn=a1q+a1q2++a1qn，①-得， (1-q)Sn=a1-a1qn ，Sn=， Sn=证明：假定 {an+1} 是等比数列，则对随意的kN+ ，(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1) ，a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1 ，aq2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1 ，家庭是少儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好少儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出初期抓好少儿阅读的要求。
高考数学7.4直接证明与间接证明练习
【师说 高中全程温习构思】（新课标） 高考数学 直接证明与间接证明练习 一、选择题 1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有( ) A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个答案：D2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”的进程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合利用D ．间接证明法答案：B3．若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( )A ．ac2＜bc2B ．a2＞ab ＞2C ＜1b ＞a b答案：B4．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a≥0)，则P 、Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值肯定答案：C5．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( )A ．若a ＞b ，则ac2＞bc2B ．若a c ＞b c，则a ＞b C ．若a3＞b3且ab ＜0，则1a ＞1bD ．若a2＞b2且ab ＞0，则1a ＜1b答案：C6．函数y ＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y ＝f(x ＋2)是偶函数，则f(1)，f ，f 的大小关系是( )A ．f ＜f(1)＜fB ．f ＞f(1)＞fC ．f ＞f ＞f(1)D ．f(1)＞f ＞f答案：B二、填空题7．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a≥0)，则P ，Q 的大小关系是__________． 解析：假设P ＜Q ，∵要证P ＜Q ，只要证P2＜Q2，只要证：2a ＋7＋2a a ＋7＜2a ＋7＋2a ＋3a ＋4，只要证：a2＋7a ＜a2＋7a ＋12，只要证：0＜12，∵0＜12成立，∴P ＜Q 成立．答案：P ＜Q8．若是a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b 应知足的条件是__________．答案：a ≥0，b≥0且a≠b9．在不等边三角形中，a 为最大边，要想取得∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应知足__________．答案：a2＞b2＋c2三、解答题10．已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b2－ac ＜3a.证明：∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，∴a ＞0且c ＜0，∴b2－ac ＞0.要证b2－ac ＜3a ，只需证b2－ac ＜3a2，∵a ＋b ＋c ＝0，∴只需证b2＋a(a ＋b)＜3a2，即证2a2－ab －b2＞0，即证(a －b)(2a ＋b)＞0，即证(a －b)(a －c)＞0.因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，a －c ＞0，所以(a －b)(a －c)＞0，显然成立，故原不等式成立．11．在锐角三角形中，求证：sinA ＋sinB ＋sinC ＞cosA ＋cosB ＋cosC.证明：∵在锐角三角形中，A ＋B ＞π2， ∴A ＞π2－B.∴0＜π2－B ＜A ＜π2. 又∵在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内正弦函数是单调递增函数， ∴sinA ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B. 即sinA ＞cosB ，同理sinB ＞cosC ，sinC ＞cosA.∴sinA ＋sinB ＋sinC ＞cosA ＋cosB ＋cosC.12．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并肯定a ，b ，c 为何值时，等号成立．解析：因为a ，b ，c 均为正数，由大体不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ac ，①同理1a2＋1b2＋1c2≥1ab ＋1bc ＋1ac，② 故a2＋b2＋c2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab＋bc ＋ac ＋31ab ＋31bc ＋31ac ≥6 3.③ 所以原不等式成立当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．。
高考数学一轮复习 第十四章 第4讲 直接证明与间接证明配套训练 理 新人教A版
第4讲 直接证明与间接证明分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．下列各式中对x ∈R 都成立的序号是________． ①lg(x 2＋1)≥lg(2x ) ②x 2＋1＞2x ③1x 2＋1≤1④x ＋1x≥2解析 ①④中x 必须大于0，故①④排除，②中应x 2＋1≥ 2x ，故②不正确． 答案 ③ 2．下列命题：①三角形中至少有一个内角不小于60°； ②四面体的三组对棱都是异面直线；③闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点；④设a ，b ∈Z ，若a ＋b 是奇数，则a ，b 中至少有一个为奇数； 其中假命题的序号是________．解析 a ＋b 为奇数⇔a ，b 中有一个为奇数，另一个为偶数，故④错误． 答案 ④3．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是________命题(填“真”、“假”)． 解析 ∵S n ＝2n 2－3n ，∴S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝4n －5(n ＝1时，a 1＝S 1＝－1符合上式)． 又∵a n ＋1－a n ＝4(n ≥1)，∴{a n }是等差数列． 答案 真4．设a 、b 、c 均为正实数，则三个数a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a，则下列关于a ，b ，c 三个数的结论，正确的序号是________． ①都大于2 ②都小于2③至少有一个不大于2 ④至少有一个不小于2 解析 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6， 当且仅当a ＝b ＝c 时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2. 答案 ④5．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为________．解析 ∵a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数． ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b .答案 A ≤B ≤C6．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： (ⅰ)1] .解析 由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1*1+(n -1).又∵1*1=1,∴n *1=n . 答案 n二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列．(1)解 当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1.又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明 反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p ＜q ＜r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.①又因为p ＜q ＜r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证． 8．(2012·南通模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式； (2)设数列{b n }的通项公式为b n ＝a na n ＋t，问是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，m∈N *)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 13＝34，3a 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋8d ＝17，a 1＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)假设存在正整数t .由(1)知b n ＝2n －12n －1＋t，要使b 1，b 2，b m 成等差数列； 则需2b 2＝b 1＋b m ，即2×33＋t ＝11＋t ＋2m －12m －1＋t ，整理，得m ＝3＋4t －1.当t ＝2时，m ＝7；当t ＝3时，m ＝5；当t ＝5时，m ＝4. 故存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列．分层训练B 级 创新能力提升1．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________． 解析 首先a ≥0，b ≥0且a 与b 不同为0.要使a a ＋b b ＞a b ＋b a ，只需(a a ＋b b )2＞(a b ＋b a )2，即a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2，只需(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )，只需a 2－ab ＋b 2＞ab ，即(a －b )2＞0，只需a ≠b .故a ，b 应满足a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b2．已知函数f (x )满足f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，则f 21＋f 2f 1＋f 22＋f 4f 3＋f 23＋f 6f 5＋f 24＋f 8f 7＝________.解析 由f (p ＋q )＝f (p )f (q )，令p ＝q ＝n ，得f 2(n )＝f (2n )， 原式＝2f 21f1＋2f 4f 3＋2f 6f 5＋2f 8f 7＝2f (1)＋2f1f 3f 3＋2f 1f 5f 5＋2f 1f 7f 7＝8f (1)＝24. 答案 243．(2011·辽宁卷)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a >0，证明：当0<x <1a时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ；(3)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f ′(x 0)<0.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x－2ax ＋(2－a )＝－2x ＋1ax －1x.①若a ≤0，则f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝1a，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递减． (2)证明 设函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－x ，则g (x )＝ln(1＋ax )－ln(1－ax )－2ax ， g ′(x )＝a 1＋ax ＋a1－ax －2a ＝2a 3x21－a 2x 2.当0<x <1a时，g ′(x )>0，而g (0)＝0，∴g (x )>0， 故当0<x <1a时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x .(3)证明 由(1)可得，当a ≤0时，函数y ＝f (x )的图象与x 轴至多有一个交点．∴a >0，从而f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0.不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，0<x 1<x 2，则0<x 1<1a<x 2.由(2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a－x 1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1a－x 1>f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －⎝⎛⎭⎪⎫1a －x 1＝f (x 1)＝0. 从而x 2>2a －x 1，于是x 0＝x 1＋x 22>1a .由(1)知f ′(x 0)<0.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。
高考复习数学直接证明与间接证明专项练习(附解析)
2019高考复习数学直接证明与间接证明专项练习（附解析）直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。
以下是直接证明与间接证明专项练习，请考生认真练习。
1.(2019山东，文4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根2.要证:a2+b2-1-a2b2≤0，只要证明()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥03.设a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+()A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于24.(2019天津模拟)p=，q=(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为()A.p≥qB.p≤qC.p>qD.不确定5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1+x2>0，则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负6.(2019福建三明模拟)命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立()A.不成立B.成立C.不能断定D.与n取值有关7.用反证法证明“如果a>b，那么”假设内容应是.8.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到角A为钝角的结论，三边a，b，c应满足.9.已知a>0，求证:≥a+-2.10.已知在数列{an}中，a1=5，且an=2an-1+2n-1(n≥2，且nN*).(1)证明:数列为等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.能力提升组11.已知m>1，a=，b=，则以下结论正确的是()A.a>bB.aa+b，那么a，b应满足的条件是.13.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明:≥1.14.△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证:.15.(2019福建宁德模拟)设函数f(x)定义在(0，+∞)上，f(1)=0，导函数f'(x)=，g(x)=f(x)+f'(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值.(2)是否存在x0>0，使得|g(x)-g(x0)|<对任意x>0成立?若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案1.A解析:“至少有一个”的否定为“没有”.2.D解析:因为a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0，故选D.3.D解析:a>0，b>0，c>0，∴≥6，当且仅当a=b=c=1时，等号成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.4.B解析:q==p.5.A解析:由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数.由x1+x2>0，可知x1>-x2，即f(x1)b2+c2解析:由余弦定理cos A=<0，则b2+c2-a2<0，即a2>b2+c2.9.证明:要证≥a+-2，只需要证+2≥a+.又a>0，所以只需要证，即a2++4+4≥a2+2++2+2，从而只需要证2≥只需要证4≥2，即a2+≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立. 10.(1)证明:设bn=，则b1==2.因为bn+1-bn=[(an+1-2an)+1]=[(2n+1-1)+1]=1，所以数列为首项是2，公差是1的等差数列.(2)解:由(1)知，+(n-1)×1，则an=(n+1)·2n+1.因为Sn=(2·21+1)+(3·22+1)+…+(n·2n-1+1)+[(n+1)·2n+1]，所以Sn=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n+n.设Tn=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n，①2Tn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1.②②-①，得Tn=-2·21-(22+23+…+2n)+(n+1)·2n+1=n·2n+1，所以Sn=n·2n+1+n=n·(2n+1+1).11.B解析:a=，b=，又，即aa+b?()2·()>0?a≥0，b≥0，且a≠b.13.证明:因为+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，所以+(a+b+c)≥2(a+b+c)，即≥a+b+c.所以≥1.14.证明:要证，即证=3，也就是=1，只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，即证c2+a2=ac+b2.又△ABC三内角A，B，C成等差数列，所以B=60°，由余弦定理，得b2=c2+a2-2accos 60°，即b2=c2+a2-ac，故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.15.解:(1)因为(ln x)'=，所以f(x)=ln x，g(x)=ln x+，g'(x)=.令g'(x)=0得x=1.当x(0，1)时，g'(x)<0，故(0，1)是g(x)的单调递减区间，当x(1，+∞)时，g'(x)>0，故(1，+∞)是g(x)的单调递增区间，因此x=1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)=1.(2)满足条件的x0不存在.理由如下:假设存在x0>0，使得|g(x)-g(x0)|<对任意x>0成立，“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
直接证明与间接证明练习题(基础、经典、好用)
直接证明与间接证明一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数2．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥03．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定4．(2013·东莞调研)对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是( )A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m ⊂α，n ∥α，则m ∥nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n5．已知函数f (x )＝(12)x ，a ，b 是正实数，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b)，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A二、填空题6．下列条件：①ab ＞0，②ab ＜0，③a ＞0，b ＞0，④a ＜0，b ＜0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的个数是________．7．(2013·阳江月考)下面有3个命题：①当x ＞0时，2x ＋12x 的最小值为2；②若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2.③在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22.类比到空间，若三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S —ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22. 其中错误．．命题的序号为________． 8．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x n n)，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．三、解答题9．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3；(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a＞c . 11．(2013·珠海模拟)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，试问A 、B 、C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．解析及答案一、选择题1．【解析】 “自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定为“a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数”．【答案】 B2．【解析】 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.【答案】 D3．【解析】 ∵P 2＝2a ＋7＋2a a ＋7＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a ＋3a ＋4＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，∴P 2＜Q 2，∴P ＜Q .【答案】 C4．【解析】 对于平面α和共面直线m 、n .设m ，n 确定的平面为β，对于C ，若m ⊂α，则m ＝α∩β，从而n ∥α可得m ∥n ，因此C 正确．【答案】 C5．【解析】 ∵a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝(12)x 在R 上是减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b)，即A ≤B ≤C . 【答案】 A二、填空题6．【解析】 要使b a ＋a b ≥2，只要b a ＞0且a b ＞0，所以a ，b 不为0且同号即可，故有3个．【答案】 37．【解析】 对于①，2x ＋12x 取得最小值为2的条件是x ＝0，这与x ＞0相矛盾；易证②成立；对于③，可将该三棱锥补成长方体，其外接球的直径恰好是长方体的体对角线．【答案】 ①8．【解析】 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，∴f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f (A ＋B ＋C 3)＝f (π3)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.【答案】 332 三、解答题9．【证明】 (1)x 是正实数，由基本不等式知 x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3，故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)．(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立．由(1)知，当x ＞0时，不等式成立．当x ≤0时，8x 3≤0，又(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)[(x －12)2＋34]≥0，此时不等式仍然成立．10．【证明】 (1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a ≠c )，∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a 是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0与f (1a )＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a >c .11．【解】 A 、B 、C 成等差数列，下面用综合法给出证明：∵1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，∴a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，∴ca＋b＋ab＋c＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12，∵0°＜B＜180°，∴B＝60°.∴A＋C＝120°＝2B，∴A、B、C成等差数列．。
直接证明与间接证明 知识点+例题+练习
教
学
过
程
1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易
寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从
条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常
常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
4．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命
题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是
错误的．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2014·安阳模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是________．
①1
a＜
1
b；②a＋
1
b＞b＋
1
a；③b＋
1
a＞a＋
1
b；④
b
a＜
b＋1
a＋1
.
2．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应反设________成立．
3．(2014·上海模拟)“a＝1
4”是“对任意正数x，均有x＋
a
x≥1”的
________条件．教学效果分析。
苏教版数学高二数学 《直接证明与间接证明》基础训练(苏教版选修1-2)
1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)·(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ”过程应用了________．①分析法；②综合法；③综合法、分析法综合使用法；④间接证法．解析：证明过程是条件⇒结论，所以为综合法．答案：②2．若p ：ab >0，q ：b a ＋a b ≥2，则p 是q 的________条件． 解析：若ab >0，则a ，b 同号，则b a >0，a b >0，可得b a ＋a b ≥2；若b a ＋a b≥2，则a ，b 同号，即ab >0.答案：充要3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4的最小值是________． 解析：f (x )＝(x －2)2＋12(x －2)＝ 12[(x －2)＋1x －2]， ∵x ≥52，∴x －2>0， ∴f (x )≥12·2(x －2)·1x －2＝1(当且仅当x ＝3时取等号)． 答案：14．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是________．①12；②a 2＋b 2；③2ab ；④a . 解析：∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12，由a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12，又∵0<a <b ，a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大．答案：②一、填空题1．已知f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于________． 解析：函数的定义域为R ，函数为奇函数且x ＝0时f (0)＝0，即2a －22＝0.∴a ＝1. 也可根据奇函数的定义f (－x )＝－f (x )恒成立．即a (2－x ＋1)－22－x ＋1＝－a (2x ＋1)－22x ＋1，即a (1＋2x )－21＋x 2x ＋1＝－a (2x ＋1)－22x ＋1恒成立． 即2a ＋a ·2x ＋1＝2x ＋1＋2，∴a ＝1成立．(较烦琐)答案：12．设a >0，b >0，c >0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是________． 解析：∵a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c)≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)． 答案：93．已知a 、b 是不相等的正数，x ＝a ＋b 2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是x ________y . 解析：要比较x 、y 的大小．∵x >0，y >0，只需比较x 2、y 2的大小．即a ＋b ＋2ab 2与a ＋b 的大小． ∵a 、b 为不相等的正数，∴2ab <a ＋b . ∴a ＋b ＋2ab 2<a ＋b .即x 2<y 2.∴x <y . 答案：<4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A 是钝角，则a 2________b 2＋c 2(填“＞”或“＜”)．解析：因为A 为钝角，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，即b 2＋c 2－a 2<0，即a 2>b 2＋c 2. 答案：＞ 5．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m 与n 的大小关系是________．解析：∵a >b >0，∴a >b ，∴a －b >0，ab >b ，(a －b )2－(a －b )2＝a ＋b －2ab －(a －b )＝2(b －ab )<0，∴(a －b )2<(a －b )2，∴a －b <a －b ，即m <n .答案：m <n6．已知函数f (x )＝2x ，a ，b ∈(0，＋∞)，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b .则A 、B 、C 的大小关系是________．解析：∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴a ＋b 2≥2ab 2＝ab ， 2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ， ∴2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2. 又f (x )＝2x 为R 上的增函数，∴f (2ab a ＋b)≤f (ab )≤f (a ＋b 2)， 即C ≤B ≤A .答案：C ≤B ≤A7．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的________条件．解析：设a ，b 分别为角A ，B 的对边，∵A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，∴A >B 是sin A >sin B 的充要条件．答案：充要8．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝________.解析：观察已知条件中有三个角α、β、γ，而所求结论中只有两个角α、β，所以我们只需将已知条件中的角γ消去即可，依据sin 2γ＋cos 2γ＝1消去γ.即sin γ＝－(sin α＋sin β)，cos γ＝－(cos α＋cos β)，∴(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝sin 2γ＋cos 2γ＝1.整理得出cos(α－β)的值即可．答案：－129．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p ________q (填“>”“<”“≥”或“≤”)． 解析：p 与q 不能直接进行比较，只能先判断p 和q 的取值范围．∵a >2，∴p ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4. 而q ＝2－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＋2.∵a >2，∴－(a －2)2＋2<2.∴2－(a －2)2＋2<22＝4.∴q <4，从而作出比较．答案：>二、解答题10．(2011年济宁模拟测试)设a >0，b >0，c >0，求证：(1)1a ＋1b ≥4a ＋b； (2)12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 证明：(1)∵a >0，b >0，∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4， ∴1a ＋1b ≥4a ＋b. (2)由(1)得1a ＋1b ≥4a ＋b. 同理，1b ＋1c ≥4b ＋c ，1c ＋1a ≥4c ＋a， 三式相加，得2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥4b ＋c ＋4c ＋a ＋4a ＋b ，∴12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 11．若a ，b ，c 是不全相等的正数．求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c . 证明：要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立， 即证lg(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2)>lg(abc )成立， 只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc 成立． ∵a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0， c ＋a 2≥ca >0， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2≥abc >0，(*) 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立，∴原不等式成立．12．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A 、B 、C 成等差数列，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3， 即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1. 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.由余弦定理得，b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，即只需证cos B ＝12，即B ＝60°即可， 因为△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，所以B ＝60°，故原等式成立．。
高考数学第二轮复习专题训练直接证明与间接证明
2013高考数学第二轮复习专题训练：直接证明与间接证明一、解答题1. 是否存在常数a b c ，，，使得等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-++-=++对一切正整数n 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．2. 2222222()a b b c c a a b c +++++．3. 设()2x x a a f x -+=，()2x x a a g x --=（其中0a >，且1a ≠）． （1）523=+请你推测(5)g 能否用(2)(3)(2)(3)f f g g ，，，来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．4. 已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ 23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明。
二、选择题5. 观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，，可以得出的一般结论是（ ）Ａ．2(1)(2)(32)n n n n n ++++++-= Ｂ．2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=- Ｃ．2(1)(2)(31)n n n n n ++++++-= Ｄ．2(1)(2)(31)(21)n n n n n ++++++-=-6. 在证明命题“对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了（ ） Ａ．分析法Ｂ．综合法 Ｃ．分析法和综合法综合使用 Ｄ．间接证法7. 如图，在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥．若EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出：ma mb EF m m+=+．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设OAB △，OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ）Ａ．120mS nS S m n+=+ Ｂ．120nS mS S m n +=+8. 观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<≥ Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+≥ 9. 已知a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，则（ ）Ａ．2212a b ab +<< Ｂ．2212a b ab +<< Ｃ．2212a b ab +<< Ｄ．2212a b ab +<< 10. 用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（ ）Ａ．21k + Ｂ．2(21)k + Ｃ．211k k ++ Ｄ．231k k ++ 11. 正整数按下表的规律排列则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ）Ａ．22005Ｂ．22006 Ｃ．20052006+ Ｄ．20052006⨯12. 正2007边形P 被它的一些不在P 内部相交的对角线分割成若干个区域，每个区1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21域都是三角形，则锐角三角形的个数为（ ）。
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课题：直接证明和间接证明
教学目标：
1.掌握并灵活运用比较法证明简单的不等式，掌握综合法与分析法，会利用综合法和分析法证明不等式.
2. 了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式． 教学重点：
灵活作差比较法、作商比较法证明不等式，能合理进行作差（作商）后的变形、配凑，会灵活应用综合法、分析法解决不等式的证明问题 .
教材复习
比较法证明不等式的基本步骤：⎧⎫⎪⎪⎪
⎪
→→⎨
⎬⎪⎪⎪⎪⎭
⎩
配方法分解法作差（商）变形判断通分法放缩法有理化
综合法：就是从题设条件和已经证明的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不
等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用分析法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。
分析法：就是从所要证明的不等式出发，不断地利用充分条件替换前面的不等式，直至
找到题设条件或已经证明的基本不等式。
可简称为“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“⇐”或“⇔”表达。
反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；
换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性；
常用的换元有三角换元有：
已知2
2
2
a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==；
已知12
2
≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )；
放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,
要注意放缩的适度。
常用的方法是：
①添加或舍去一些项，如：a a >+12
，n n n >+)1(，2
2
131242a a ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
②将分子或分母放大（或缩小）
③真分数的性质：“若0a b <<，0m >，则
a a m
b b m
+<
+ ④利用基本不等式，如：
4lg 16lg 15lg )2
5lg 3lg (
5lg 3log 2
=<=+<⋅；
⑤利用函数的单调性
⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈；2
x x -
≥
1
4
()x R ∈；2
0x >()x R ∈ ⑦利用常用结论：
2
=>=
()*
,1k N k ∈>
，
2=<=()*
,1k N k ∈>
Ⅱ、
k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112
+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、
)1
111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） ⑧绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；
典例分析：
考点一
用综合法证明不等式
问题1．()1已知0,0,0a b c >>>，且互不相等，1abc =，
(1)
2
n n ++<
111
a b c
<++
考点二用分析法证明不等式
问题2．设0,0,2
a b c a b
>>>+，求证：c a c
<
问题3．已知0
a>，0
b>，且a b
≠
>
用比较法、综合法、分析法证明，用尽可能多的方法）
考点三 用反证法证明不等式
问题4．已知332x y +=，求证：x y +≤2．
考点四 用放缩法证明不等式
问题5．求证：2231111
12212n n n
-
<++⋅⋅⋅+<-+(n ≥2)
课后作业：
1.已知：222121n a a a ++
+=，222121n x x x +++=，*n N ∈
求证: 1122n n a x a x a x +++≤1．
2.下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中
.A 至少有一式小于1- .B 都小于1- .C 都大于等于1-，.D 至少有一式大于等于1-
3.若a ≥3,求证：321---<--a a a a ．
4.已知221x y +=，求证：≤y ax -
5.若,,a b c R +∈，1a b c ++=,求证：()1()2111
(1)(1)(1)a b c
---≥8
6.求证：1-≤
2
11x x x --+≤1
3
7.求证：22
2
111
1223n +
+++
<
8.
||1||a b a b +++≤||||
1||1||
a b a b +++
9.已知ABC △的三边长为a 、b 、c ，若1a 、1b 、1
c
成等差数列.求证：B 不可能是钝角.
10.求证：21
<+⋅⋅⋅<()*n N ∈.
11.设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：1
03
c -<<．
12. 已知 1≤22x y +≤2，求证：1
2
≤22x xy y -+≤3.
13.设0,0,,111x y x y
x y A B x y x y
+>>=
=+++++，则,A B 的大小关系是。