直接证明和间接证明基础+复习+习题+练习)

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江苏高考直接证明与间接证明专题练习(附答案)

2019 江苏高考直接证明与间接证明专题练习（附答案）直接证明是相关于间接证明说的，综合法和剖析法是两种常有的直接证明。

以下是直接证明与间接证明专题练习，请考生查缺补漏。

【典例 1】 (2019 天津高考 )已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数 .设会合 M={0 ， 1，2，， q-1} ，会合A={x|x=x1+x2q++xnqn-1 ，xiM ， i=1 ， 2，， n}.(1)当 q=2， n=3 时，用列举法表示会合 A.(2)设 s， tA ，s=a1+a2q++anqn-1， t=b1+b2q++bnqn-1 ，此中ai，biM ， i=1 ， 2，， n.证明：若 an1 及 a0 可知 0，只要证 1，只要证 1+a-b-ab1，只要证 a-b-ab1，即 -1.这是已知条件，因此原不等式得证 .考向3 反证法(高频考点) 【典例 3】 (1)(2019 山东高考改编 )用反证法证明命题设 a， b 为实数，则方程 x3+ax+b=0 起码有一个实根时，要做的假设是 ________.(2)(2019 陕西高考 )设 {an} 是公比为q 的等比数列 .推导 {an} 的前 n 项和公式；设 q1，证明数列 {an+1} 不是等比数列 .[ 思路点拨 ] (1) 起码的否认是少于.(2)分 q=1 和 q1 两种状况求解 .用反证法证明 .[ 分析 ] (1) 已知 a， b 为实数，则方程x3+ax+b=0 起码有一个实根的否认为方程x3+ax+b=0 没有实根 .[ 答案 ] 方程 x3+ax+b=0 没有实根(2)设 {an} 的前 n 项和为 Sn，当 q=1 时， Sn=a1+a1++a1=na1；当 q1 时， Sn=a1+a1q+a1q2++a1qn-1，qSn=a1q+a1q2++a1qn，①-得， (1-q)Sn=a1-a1qn ，Sn=， Sn=证明：假定 {an+1} 是等比数列，则对随意的kN+ ，(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1) ，a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1 ，aq2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1 ，家庭是少儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好少儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出初期抓好少儿阅读的要求。

高考数学7.4直接证明与间接证明练习

【师说高中全程温习构思】（新课标）高考数学直接证明与间接证明练习一、选择题 1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有( ) A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个答案：D2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”的进程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合利用D ．间接证明法答案：B3．若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( )A ．ac2＜bc2B ．a2＞ab ＞2C ＜1b ＞a b答案：B4．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a≥0)，则P 、Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值肯定答案：C5．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( )A ．若a ＞b ，则ac2＞bc2B ．若a c ＞b c，则a ＞b C ．若a3＞b3且ab ＜0，则1a ＞1bD ．若a2＞b2且ab ＞0，则1a ＜1b答案：C6．函数y ＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y ＝f(x ＋2)是偶函数，则f(1)，f ，f 的大小关系是( )A ．f ＜f(1)＜fB ．f ＞f(1)＞fC ．f ＞f ＞f(1)D ．f(1)＞f ＞f答案：B二、填空题7．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a≥0)，则P ，Q 的大小关系是__________．解析：假设P ＜Q ，∵要证P ＜Q ，只要证P2＜Q2，只要证：2a ＋7＋2a a ＋7＜2a ＋7＋2a ＋3a ＋4，只要证：a2＋7a ＜a2＋7a ＋12，只要证：0＜12，∵0＜12成立，∴P ＜Q 成立．答案：P ＜Q8．若是a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b 应知足的条件是__________．答案：a ≥0，b≥0且a≠b9．在不等边三角形中，a 为最大边，要想取得∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应知足__________．答案：a2＞b2＋c2三、解答题10．已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b2－ac ＜3a.证明：∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，∴a ＞0且c ＜0，∴b2－ac ＞0.要证b2－ac ＜3a ，只需证b2－ac ＜3a2，∵a ＋b ＋c ＝0，∴只需证b2＋a(a ＋b)＜3a2，即证2a2－ab －b2＞0，即证(a －b)(2a ＋b)＞0，即证(a －b)(a －c)＞0.因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，a －c ＞0，所以(a －b)(a －c)＞0，显然成立，故原不等式成立．11．在锐角三角形中，求证：sinA ＋sinB ＋sinC ＞cosA ＋cosB ＋cosC.证明：∵在锐角三角形中，A ＋B ＞π2， ∴A ＞π2－B.∴0＜π2－B ＜A ＜π2. 又∵在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内正弦函数是单调递增函数， ∴sinA ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B. 即sinA ＞cosB ，同理sinB ＞cosC ，sinC ＞cosA.∴sinA ＋sinB ＋sinC ＞cosA ＋cosB ＋cosC.12．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并肯定a ，b ，c 为何值时，等号成立．解析：因为a ，b ，c 均为正数，由大体不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ac ，①同理1a2＋1b2＋1c2≥1ab ＋1bc ＋1ac，② 故a2＋b2＋c2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab＋bc ＋ac ＋31ab ＋31bc ＋31ac ≥6 3.③ 所以原不等式成立当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．。

高考数学一轮复习第十四章第4讲直接证明与间接证明配套训练理新人教A版

第4讲直接证明与间接证明分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．下列各式中对x ∈R 都成立的序号是________． ①lg(x 2＋1)≥lg(2x ) ②x 2＋1＞2x ③1x 2＋1≤1④x ＋1x≥2解析 ①④中x 必须大于0，故①④排除，②中应x 2＋1≥ 2x ，故②不正确．答案 ③ 2．下列命题：①三角形中至少有一个内角不小于60°； ②四面体的三组对棱都是异面直线；③闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点；④设a ，b ∈Z ，若a ＋b 是奇数，则a ，b 中至少有一个为奇数；其中假命题的序号是________．解析 a ＋b 为奇数⇔a ，b 中有一个为奇数，另一个为偶数，故④错误．答案 ④3．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是________命题(填“真”、“假”)．解析 ∵S n ＝2n 2－3n ，∴S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝4n －5(n ＝1时，a 1＝S 1＝－1符合上式)．又∵a n ＋1－a n ＝4(n ≥1)，∴{a n }是等差数列．答案真4．设a 、b 、c 均为正实数，则三个数a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a，则下列关于a ，b ，c 三个数的结论，正确的序号是________． ①都大于2 ②都小于2③至少有一个不大于2 ④至少有一个不小于2 解析 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c 时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2. 答案 ④5．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为________．解析 ∵a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数． ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b .答案 A ≤B ≤C6．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： (ⅰ)1] .解析由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1*1+(n -1).又∵1*1=1,∴n *1=n . 答案 n二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列．(1)解当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1.又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p ＜q ＜r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.①又因为p ＜q ＜r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证． 8．(2012·南通模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式； (2)设数列{b n }的通项公式为b n ＝a na n ＋t，问是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，m∈N *)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 13＝34，3a 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋8d ＝17，a 1＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)假设存在正整数t .由(1)知b n ＝2n －12n －1＋t，要使b 1，b 2，b m 成等差数列；则需2b 2＝b 1＋b m ，即2×33＋t ＝11＋t ＋2m －12m －1＋t ，整理，得m ＝3＋4t －1.当t ＝2时，m ＝7；当t ＝3时，m ＝5；当t ＝5时，m ＝4. 故存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列．分层训练B 级创新能力提升1．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________．解析首先a ≥0，b ≥0且a 与b 不同为0.要使a a ＋b b ＞a b ＋b a ，只需(a a ＋b b )2＞(a b ＋b a )2，即a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2，只需(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )，只需a 2－ab ＋b 2＞ab ，即(a －b )2＞0，只需a ≠b .故a ，b 应满足a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b2．已知函数f (x )满足f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，则f 21＋f 2f 1＋f 22＋f 4f 3＋f 23＋f 6f 5＋f 24＋f 8f 7＝________.解析由f (p ＋q )＝f (p )f (q )，令p ＝q ＝n ，得f 2(n )＝f (2n )，原式＝2f 21f1＋2f 4f 3＋2f 6f 5＋2f 8f 7＝2f (1)＋2f1f 3f 3＋2f 1f 5f 5＋2f 1f 7f 7＝8f (1)＝24. 答案 243．(2011·辽宁卷)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a >0，证明：当0<x <1a时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ；(3)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f ′(x 0)<0.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x－2ax ＋(2－a )＝－2x ＋1ax －1x.①若a ≤0，则f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝1a，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递减． (2)证明设函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－x ，则g (x )＝ln(1＋ax )－ln(1－ax )－2ax ， g ′(x )＝a 1＋ax ＋a1－ax －2a ＝2a 3x21－a 2x 2.当0<x <1a时，g ′(x )>0，而g (0)＝0，∴g (x )>0，故当0<x <1a时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x .(3)证明由(1)可得，当a ≤0时，函数y ＝f (x )的图象与x 轴至多有一个交点．∴a >0，从而f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0.不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，0<x 1<x 2，则0<x 1<1a<x 2.由(2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a－x 1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1a－x 1>f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －⎝⎛⎭⎪⎫1a －x 1＝f (x 1)＝0. 从而x 2>2a －x 1，于是x 0＝x 1＋x 22>1a .由(1)知f ′(x 0)<0.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。

高考复习数学直接证明与间接证明专项练习(附解析)

2019高考复习数学直接证明与间接证明专项练习（附解析）直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。

以下是直接证明与间接证明专项练习，请考生认真练习。

1.(2019山东，文4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根2.要证:a2+b2-1-a2b2≤0，只要证明()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥03.设a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+()A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于24.(2019天津模拟)p=，q=(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为()A.p≥qB.p≤qC.p>qD.不确定5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1+x2>0，则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负6.(2019福建三明模拟)命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立()A.不成立B.成立C.不能断定D.与n取值有关7.用反证法证明“如果a>b，那么”假设内容应是.8.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到角A为钝角的结论，三边a，b，c应满足.9.已知a>0，求证:≥a+-2.10.已知在数列{an}中，a1=5，且an=2an-1+2n-1(n≥2，且nN*).(1)证明:数列为等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.能力提升组11.已知m>1，a=，b=，则以下结论正确的是()A.a>bB.aa+b，那么a，b应满足的条件是.13.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明:≥1.14.△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证:.15.(2019福建宁德模拟)设函数f(x)定义在(0，+∞)上，f(1)=0，导函数f'(x)=，g(x)=f(x)+f'(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值.(2)是否存在x0>0，使得|g(x)-g(x0)|<对任意x>0成立?若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案1.A解析:“至少有一个”的否定为“没有”.2.D解析:因为a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0，故选D.3.D解析:a>0，b>0，c>0，∴≥6，当且仅当a=b=c=1时，等号成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.4.B解析:q==p.5.A解析:由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数.由x1+x2>0，可知x1>-x2，即f(x1)b2+c2解析:由余弦定理cos A=<0，则b2+c2-a2<0，即a2>b2+c2.9.证明:要证≥a+-2，只需要证+2≥a+.又a>0，所以只需要证，即a2++4+4≥a2+2++2+2，从而只需要证2≥只需要证4≥2，即a2+≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立. 10.(1)证明:设bn=，则b1==2.因为bn+1-bn=[(an+1-2an)+1]=[(2n+1-1)+1]=1，所以数列为首项是2，公差是1的等差数列.(2)解:由(1)知，+(n-1)×1，则an=(n+1)·2n+1.因为Sn=(2·21+1)+(3·22+1)+…+(n·2n-1+1)+[(n+1)·2n+1]，所以Sn=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n+n.设Tn=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n，①2Tn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1.②②-①，得Tn=-2·21-(22+23+…+2n)+(n+1)·2n+1=n·2n+1，所以Sn=n·2n+1+n=n·(2n+1+1).11.B解析:a=，b=，又，即aa+b?()2·()>0?a≥0，b≥0，且a≠b.13.证明:因为+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，所以+(a+b+c)≥2(a+b+c)，即≥a+b+c.所以≥1.14.证明:要证，即证=3，也就是=1，只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，即证c2+a2=ac+b2.又△ABC三内角A，B，C成等差数列，所以B=60°，由余弦定理，得b2=c2+a2-2accos 60°，即b2=c2+a2-ac，故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.15.解:(1)因为(ln x)'=，所以f(x)=ln x，g(x)=ln x+，g'(x)=.令g'(x)=0得x=1.当x(0，1)时，g'(x)<0，故(0，1)是g(x)的单调递减区间，当x(1，+∞)时，g'(x)>0，故(1，+∞)是g(x)的单调递增区间，因此x=1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)=1.(2)满足条件的x0不存在.理由如下:假设存在x0>0，使得|g(x)-g(x0)|<对任意x>0成立，“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

直接证明与间接证明练习题(基础、经典、好用)

直接证明与间接证明一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数2．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥03．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定4．(2013·东莞调研)对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是( )A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m ⊂α，n ∥α，则m ∥nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n5．已知函数f (x )＝(12)x ，a ，b 是正实数，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b)，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A二、填空题6．下列条件：①ab ＞0，②ab ＜0，③a ＞0，b ＞0，④a ＜0，b ＜0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的个数是________．7．(2013·阳江月考)下面有3个命题：①当x ＞0时，2x ＋12x 的最小值为2；②若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2.③在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22.类比到空间，若三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S —ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22. 其中错误．．命题的序号为________． 8．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x n n)，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．三、解答题9．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3；(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a＞c . 11．(2013·珠海模拟)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，试问A 、B 、C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．解析及答案一、选择题1．【解析】 “自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定为“a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数”．【答案】 B2．【解析】 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.【答案】 D3．【解析】 ∵P 2＝2a ＋7＋2a a ＋7＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a ＋3a ＋4＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，∴P 2＜Q 2，∴P ＜Q .【答案】 C4．【解析】对于平面α和共面直线m 、n .设m ，n 确定的平面为β，对于C ，若m ⊂α，则m ＝α∩β，从而n ∥α可得m ∥n ，因此C 正确．【答案】 C5．【解析】 ∵a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝(12)x 在R 上是减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b)，即A ≤B ≤C . 【答案】 A二、填空题6．【解析】要使b a ＋a b ≥2，只要b a ＞0且a b ＞0，所以a ，b 不为0且同号即可，故有3个．【答案】 37．【解析】对于①，2x ＋12x 取得最小值为2的条件是x ＝0，这与x ＞0相矛盾；易证②成立；对于③，可将该三棱锥补成长方体，其外接球的直径恰好是长方体的体对角线．【答案】 ①8．【解析】 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，∴f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f (A ＋B ＋C 3)＝f (π3)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.【答案】 332 三、解答题9．【证明】 (1)x 是正实数，由基本不等式知 x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3，故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)．(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立．由(1)知，当x ＞0时，不等式成立．当x ≤0时，8x 3≤0，又(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)[(x －12)2＋34]≥0，此时不等式仍然成立．10．【证明】 (1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a ≠c )，∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a 是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0与f (1a )＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a >c .11．【解】 A 、B 、C 成等差数列，下面用综合法给出证明：∵1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，∴a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，∴ca＋b＋ab＋c＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12，∵0°＜B＜180°，∴B＝60°.∴A＋C＝120°＝2B，∴A、B、C成等差数列．。

直接证明与间接证明知识点+例题+练习

教
学
过
程
1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易
寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从
条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常
常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
4．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命
题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是
错误的．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2014·安阳模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是________．
①1
a＜
1
b；②a＋
1
b＞b＋
1
a；③b＋
1
a＞a＋
1
b；④
b
a＜
b＋1
a＋1
.
2．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应反设________成立．
3．(2014·上海模拟)“a＝1
4”是“对任意正数x，均有x＋
a
x≥1”的
________条件．教学效果分析。

苏教版数学高二数学《直接证明与间接证明》基础训练(苏教版选修1-2)

1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)·(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ”过程应用了________．①分析法；②综合法；③综合法、分析法综合使用法；④间接证法．解析：证明过程是条件⇒结论，所以为综合法．答案：②2．若p ：ab >0，q ：b a ＋a b ≥2，则p 是q 的________条件．解析：若ab >0，则a ，b 同号，则b a >0，a b >0，可得b a ＋a b ≥2；若b a ＋a b≥2，则a ，b 同号，即ab >0.答案：充要3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4的最小值是________．解析：f (x )＝(x －2)2＋12(x －2)＝ 12[(x －2)＋1x －2]， ∵x ≥52，∴x －2>0， ∴f (x )≥12·2(x －2)·1x －2＝1(当且仅当x ＝3时取等号)．答案：14．若实数a ，b 满足0<a 2ab ，∴2ab <12，由a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12，又∵0<a <b ，a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大．答案：②一、填空题1．已知f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于________．解析：函数的定义域为R ，函数为奇函数且x ＝0时f (0)＝0，即2a －22＝0.∴a ＝1. 也可根据奇函数的定义f (－x )＝－f (x )恒成立．即a (2－x ＋1)－22－x ＋1＝－a (2x ＋1)－22x ＋1，即a (1＋2x )－21＋x 2x ＋1＝－a (2x ＋1)－22x ＋1恒成立．即2a ＋a ·2x ＋1＝2x ＋1＋2，∴a ＝1成立．(较烦琐)答案：12．设a >0，b >0，c >0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是________．解析：∵a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c)≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)．答案：93．已知a 、b 是不相等的正数，x ＝a ＋b 2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是x ________y . 解析：要比较x 、y 的大小．∵x >0，y >0，只需比较x 2、y 2的大小．即a ＋b ＋2ab 2与a ＋b 的大小． ∵a 、b 为不相等的正数，∴2ab <a ＋b . ∴a ＋b ＋2ab 2<a ＋b .即x 2<y 2.∴x <y . 答案：<4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A 是钝角，则a 2________b 2＋c 2(填“＞”或“＜”)．解析：因为A 为钝角，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，即b 2＋c 2－a 2<0，即a 2>b 2＋c 2. 答案：＞ 5．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m 与n 的大小关系是________．解析：∵a >b >0，∴a >b ，∴a －b >0，ab >b ，(a －b )2－(a －b )2＝a ＋b －2ab －(a －b )＝2(b －ab )<0，∴(a －b )2<(a －b )2，∴a －b <a －b ，即m <n .答案：m <n6．已知函数f (x )＝2x ，a ，b ∈(0，＋∞)，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b .则A 、B 、C 的大小关系是________．解析：∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴a ＋b 2≥2ab 2＝ab ， 2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ， ∴2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2. 又f (x )＝2x 为R 上的增函数，∴f (2ab a ＋b)≤f (ab )≤f (a ＋b 2)，即C ≤B ≤A .答案：C ≤B ≤A7．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的________条件．解析：设a ，b 分别为角A ，B 的对边，∵A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，∴A >B 是sin A >sin B 的充要条件．答案：充要8．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝________.解析：观察已知条件中有三个角α、β、γ，而所求结论中只有两个角α、β，所以我们只需将已知条件中的角γ消去即可，依据sin 2γ＋cos 2γ＝1消去γ.即sin γ＝－(sin α＋sin β)，cos γ＝－(cos α＋cos β)，∴(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝sin 2γ＋cos 2γ＝1.整理得出cos(α－β)的值即可．答案：－129．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p ________q (填“>”“<”“≥”或“≤”)．解析：p 与q 不能直接进行比较，只能先判断p 和q 的取值范围．∵a >2，∴p ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4. 而q ＝2－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＋2.∵a >2，∴－(a －2)2＋2<2.∴2－(a －2)2＋2<22＝4.∴q <4，从而作出比较．答案：>二、解答题10．(2011年济宁模拟测试)设a >0，b >0，c >0，求证：(1)1a ＋1b ≥4a ＋b； (2)12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 证明：(1)∵a >0，b >0，∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4， ∴1a ＋1b ≥4a ＋b. (2)由(1)得1a ＋1b ≥4a ＋b. 同理，1b ＋1c ≥4b ＋c ，1c ＋1a ≥4c ＋a，三式相加，得2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥4b ＋c ＋4c ＋a ＋4a ＋b ，∴12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 11．若a ，b ，c 是不全相等的正数．求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c . 证明：要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立，即证lg(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2)>lg(abc )成立，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc 成立． ∵a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0， c ＋a 2≥ca >0， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2≥abc >0，(*) 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立，∴原不等式成立．12．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A 、B 、C 成等差数列，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1. 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.由余弦定理得，b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，即只需证cos B ＝12，即B ＝60°即可，因为△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，所以B ＝60°，故原等式成立．。

高考数学第二轮复习专题训练直接证明与间接证明

2013高考数学第二轮复习专题训练：直接证明与间接证明一、解答题1. 是否存在常数a b c ，，，使得等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-++-=++对一切正整数n 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．2. 2222222()a b b c c a a b c +++++．3. 设()2x x a a f x -+=，()2x x a a g x --=（其中0a >，且1a ≠）．（1）523=+请你推测(5)g 能否用(2)(3)(2)(3)f f g g ，，，来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．4. 已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ 23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明。

二、选择题5. 观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，，可以得出的一般结论是（）Ａ．2(1)(2)(32)n n n n n ++++++-= Ｂ．2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=- Ｃ．2(1)(2)(31)n n n n n ++++++-= Ｄ．2(1)(2)(31)(21)n n n n n ++++++-=-6. 在证明命题“对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了（）Ａ．分析法Ｂ．综合法Ｃ．分析法和综合法综合使用Ｄ．间接证法7. 如图，在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥．若EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出：ma mb EF m m+=+．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设OAB △，OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是（）Ａ．120mS nS S m n+=+ Ｂ．120nS mS S m n +=+8. 观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，，则可归纳出式子为（）Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<≥ Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+≥ 9. 已知a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，则（）Ａ．2212a b ab +<< Ｂ．2212a b ab +<< Ｃ．2212a b ab +<< Ｄ．2212a b ab +<< 10. 用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（）Ａ．21k + Ｂ．2(21)k + Ｃ．211k k ++ Ｄ．231k k ++ 11. 正整数按下表的规律排列则上起第2005行，左起第2006列的数应为（）Ａ．22005Ｂ．22006 Ｃ．20052006+ Ｄ．20052006⨯12. 正2007边形P 被它的一些不在P 内部相交的对角线分割成若干个区域，每个区1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21域都是三角形，则锐角三角形的个数为（）。

第2讲直接证明与间接证明练习含答案

第2讲直接证明与间接证明一、选择题1．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析若“a ＋b ＝1”，则4ab ＝4a (1－a )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋1≤1；若“4ab ≤1”，取a ＝－4，b ＝1，a ＋b ＝－3，即“a ＋b ＝1”不成立；则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的充分不必要条件．答案 A2．对于平面α和共面的直线m ，n ，下列命题中真命题是( )．A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m ⊂α，n ∥α，则m ∥nD ．若m ，n 与α所成的角相等，则m ∥n解析对于平面α和共面的直线m ，n ，真命题是“若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ”．答案 C3．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )．A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0，故选D. 答案 D4．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1. 其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )．A ．②③B ．①②③C ．③D ．③④⑤解析若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1. 答案 C5．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )． A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2解析 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c 时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2. 答案 D6．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )．A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．不妨令⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为π相矛盾．所以假设不成立，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．答案 D 二、填空题7．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________________________．解析 “至少有n 个”的否定是“最多有n －1个”，故应假设a ，b 中没有一个能被5整除．答案 a ，b 中没有一个能被5整除8．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________．解析取a ＝2，b ＝1，得m <n .再用分析法证明：a －b <a －b ⇐a 0，显然成立．答案 m <n9．已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)且1a ＋9b ＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围是________．解析 ∵a ，b ∈(0，＋∞)且1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9a b ＋b a ≥10＋29＝16，∴a ＋b 的最小值为16.∴要使a ＋b ≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16. 答案 (0,16]10．已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.解析由2a －b ＝lg 3，得lg 9＝2lg 3＝2(2a －b )从而lg 3和lg 9正确，假设lg 5＝a ＋c －1错误，则由⎩⎨⎧ 1＋a －b －c ＝lg 6＝lg 2＋lg 3，3(1－a －c )＝lg 8＝3lg 2，得⎩⎨⎧lg 2＝1－a －c ，lg 3＝2a －b ，所以lg 5＝1－lg 2＝a ＋c .因此lg 5＝a ＋c －1错误，正确结论是lg 5＝a ＋c . 答案 lg 5＝a ＋c 三、解答题11．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c . 证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c2≥ac ＞0. 又a ，b ，c 是不全相等的正数，故上述三个不等式中等号不能同时成立． ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc 成立．上式两边同时取常用对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(abc )，∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .12．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾，所以数列{S n }不是等比数列．(2)解当q＝1时，S n＝na1，故{S n}是等差数列；当q≠1时，{S n}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾．13．已知f(x)＝x2＋ax＋b.(1)求：f(1)＋f(3)－2f(2)；(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1 2.(1)解∵f(1)＝a＋b＋1，f(2)＝2a＋b＋4，f(3)＝3a＋b＋9，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝2.(2)证明假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于1 2.则－12<f(1)<12，－12<f(2)<12，－12<f(3)<12，∴－1<－2f(2)<1，－1<f(1)＋f(3)<1.∴－2<f(1)＋f(3)－2f(2)<2，这与f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾．∴假设错误，即所证结论成立．14．对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；(2)判断函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明．解(1)取x1＝x2＝0可得f(0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0，又由条件①得f(0)≥0，故f(0)＝0.(2)显然g(x)＝2x－1在[0,1]上满足条件①g(x)≥0；也满足条件②g(1)＝1.若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③，故g(x)是理想函数．。

12.3 直接证明与间接证明练出高分(含答案解析)

§12.3 直接证明与间接证明A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若a ，b ，c 为实数，且a ab >b 2 C.1a <1bD.b a >ab答案 B解析 a 2－ab ＝a (a －b )，∵a 0，∴a 2>ab .① 又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，② 由①②得a 2>ab >b 2.2．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ≤b答案 A解析 a ＝lg 2＋lg 5＝1，b ＝e x ，当x <0时，0b .3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0答案 C解析由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2 ⇐b 2＋a (a ＋b )<3a 2⇐b 2＋a 2＋ab <3a 2 ⇐b 2＋ab <2a 2⇐2a 2－ab －b 2>0⇐a 2－ab ＋a 2－b 2>0⇐a (a －b )＋(a ＋b )(a －b )>0 ⇐a (a －b )－c (a －b )>0⇐(a －b )(a －c )>0，故选C.4．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数答案 B解析自然数a ，b ，c 中为偶数的情况为a ，b ，c 全为偶数；a ，b ，c 中有两个数为偶数；a ，b ，c 全为奇数；a ，b ，c 中恰有一个数为偶数，所以反设为a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数．二、填空题(每小题5分，共15分)5．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是__________．答案 m <n解析取a ＝2，b ＝1，得m <n .再用分析法证明： a －b <a －b ⇐a 0，显然成立．6．用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是_____．答案 a ，b ，c ，d 全是负数解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a ，b ，c ，d 中没有一个非负数，即a ，b ，c ，d 全是负数”．7．设x ，y ，z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号)．①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y 为平面，z 为直线；⑤x ，y ，z 为直线．答案 ①③④解析根据线面关系定理判定．三、解答题(共22分)8． (10分)已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.证明要证明12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，即证明12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22，只需证明12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>tan x 1＋x 22，只需证明sin (x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2).由于x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故x 1＋x 2∈(0，π)． ∴cos x 1cos x 2>0，sin(x 1＋x 2)>0， 1＋cos(x 1＋x 2)>0，故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2，即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2>2cos x 1cos x 2，即证cos(x 1－x 2)<1.由x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x 1≠x 2知上式是显然成立的．因此，12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.9． (12分)已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2， ∴SA ⊥AD .同理SA ⊥AB .又AB ∩AD ＝A ，∴SA ⊥平面ABCD .(2)解假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD . ∵BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD . ∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ， ∴平面SBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾，∴假设不成立．故不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD .B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)>0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab >2b 2D.a b <a ＋1b ＋1答案 B解析在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0， ∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．2．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2 答案 C解析因为a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≤－6，所以三者不能都大于－2.3．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m ，1)．给出以下三个结论： (1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26. 其中正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 A解析 (1)由f (1,1)＝1和f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2 得f (1,2)＝f (1,1＋1)＝f (1,1)＋2＝1＋2＝3， f (1,3)＝f (1,2)＋2＝5，f (1,4)＝f (1,3)＋2＝7， f (1,5)＝f (1,4)＋2＝9；(2)由f (1,1)＝1和f (m ＋1,1)＝2f (m,1)得f (2,1)＝f (1＋1,1)＝2f (1,1)＝2，f (3,1)＝2f (2,1)＝4， f (4,1)＝2f (3,1)＝8，f (5,1)＝2f (4,1)＝16；(3)由f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2得f (5,6)＝f (5,5)＋2，而f (5,5)＝f (5,4)＋2，f (5,4)＝f (5,3)＋2，f (5,3)＝f (5,2)＋2，f (5,2)＝f (5,1)＋2＝16＋2＝18，则f (5,6)＝26.二、填空题(每小题5分，共15分)4．关于x 的方程ax ＋a －1＝0在区间(0,1)内有实根，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，1解析 (1)当a ＝0时，方程无解．(2)当a ≠0时，令f (x )＝ax ＋a －1，则f (x )在区间(0,1)上是单调函数．依题意，得f (0)f (1)<0， ∴(a －1)(2a －1)<0，∴12<a <1.5．若a ，b ，c 为Rt △ABC 的三边，其中c 为斜边，那么当n >2，n ∈N *时，a n ＋b n 与c n 的大小关系为____________．答案 a n ＋b n <c n解析取a ＝b ＝1，c ＝2，易知当n >2时，a n ＋b n ＝2，c n ＝(2)n ＝2·(2)n －2>2，由题意，a n ＋b n 与c n 的大小关系应该是确定的，故猜想a n ＋b n <c n .事实上，注意a <c ，b <c ，n >2，所以有a n ＋b n ＝a 2a n －2＋b 2b n －2<a 2c n －2＋b 2c n －2＝(a 2＋b 2)c n －2＝c n ，故a n ＋b n <c n .6．凸函数的性质定理为如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．答案332解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.三、解答题7． (13分)已知函数f (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1.(1)若函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，求a 的取值范围； (2)设m ，n ∈R ＋，且m >n ，求证：m －n ln m －ln n <m ＋n 2.(1)解 f ′(x )＝1x －a (x ＋1)－a (x －1)(x ＋1)2＝(x ＋1)2－2ax x (x ＋1)2＝x 2＋(2－2a )x ＋1x (x ＋1)2.因为f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，所以f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立．即x 2＋(2－2a )x ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立．当x ∈(0，＋∞)时，由x 2＋(2－2a )x ＋1≥0，得2a －2≤x ＋1x.设g (x )＝x ＋1x ，x ∈(0，＋∞)．g (x )＝x ＋1x≥2x ·1x＝2，所以当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，即g (x )的最小值为2. 则2a －2≤2，即a ≤2. 故a 的取值范围是(－∞，2]．(2)证明要证m －n ln m －ln n <m ＋n2，只需证m n －1ln m n <m n ＋12，即证ln m n >2⎝⎛⎭⎫m n －1m n ＋1，则只需证ln m n －2⎝⎛⎭⎫m n－1mn ＋1>0.设h (x )＝ln x －2(x －1)x ＋1.由(1)，知h (x )在(1，＋∞)上是单调递增函数，又mn>1，所以h ⎝⎛⎭⎫m n >h (1)＝0.即ln m n －2⎝⎛⎭⎫m n －1m n ＋1>0成立．所以m －n ln m －ln n <m ＋n2.。

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课题：直接证明和间接证明
教学目标：
1.掌握并灵活运用比较法证明简单的不等式，掌握综合法与分析法，会利用综合法和分析法证明不等式.
2. 了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式．教学重点：
灵活作差比较法、作商比较法证明不等式，能合理进行作差（作商）后的变形、配凑，会灵活应用综合法、分析法解决不等式的证明问题 .
教材复习
比较法证明不等式的基本步骤：⎧⎫⎪⎪⎪
⎪
→→⎨
⎬⎪⎪⎪⎪⎭
⎩
配方法分解法作差（商）变形判断通分法放缩法有理化
综合法：就是从题设条件和已经证明的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不
等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用分析法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。

分析法：就是从所要证明的不等式出发，不断地利用充分条件替换前面的不等式，直至
找到题设条件或已经证明的基本不等式。

可简称为“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“⇐”或“⇔”表达。

反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；
换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性；
常用的换元有三角换元有：
已知2
2
2
a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==；
已知12
2
≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )；
放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,
要注意放缩的适度。

常用的方法是：
①添加或舍去一些项，如：a a >+12
，n n n >+)1(，2
2
131242a a ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
②将分子或分母放大（或缩小）
③真分数的性质：“若0a b <<，0m >，则
a a m
b b m
+<
+ ④利用基本不等式，如：
4lg 16lg 15lg )2
5lg 3lg (
5lg 3log 2
=<=+<⋅；
⑤利用函数的单调性
⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈；2
x x -
≥
1
4
()x R ∈；2
0x >()x R ∈ ⑦利用常用结论：
2
=>=
()*
,1k N k ∈>
，
2=<=()*
,1k N k ∈>
Ⅱ、
k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112
+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、
)1
111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ；（程度小） ⑧绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；
典例分析：
考点一
用综合法证明不等式
问题1．()1已知0,0,0a b c >>>，且互不相等，1abc =，
(1)
2
n n ++<
111
a b c
<++
考点二用分析法证明不等式
问题2．设0,0,2
a b c a b
>>>+，求证：c a c
<
问题3．已知0
a>，0
b>，且a b
≠
>
用比较法、综合法、分析法证明，用尽可能多的方法）
考点三用反证法证明不等式
问题4．已知332x y +=，求证：x y +≤2．
考点四用放缩法证明不等式
问题5．求证：2231111
12212n n n
-
<++⋅⋅⋅+<-+(n ≥2)
课后作业：
1.已知：222121n a a a ++
+=，222121n x x x +++=，*n N ∈
求证: 1122n n a x a x a x +++≤1．
2.下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中
.A 至少有一式小于1- .B 都小于1- .C 都大于等于1-，.D 至少有一式大于等于1-
3.若a ≥3,求证：321---<--a a a a ．
4.已知221x y +=，求证：≤y ax -
5.若,,a b c R +∈，1a b c ++=,求证：()1()2111
(1)(1)(1)a b c
---≥8
6.求证：1-≤
2
11x x x --+≤1
3
7.求证：22
2
111
1223n +
+++
<
8.
||1||a b a b +++≤||||
1||1||
a b a b +++
9.已知ABC △的三边长为a 、b 、c ，若1a 、1b 、1
c
成等差数列.求证：B 不可能是钝角.
10.求证：21
<+⋅⋅⋅<()*n N ∈.
11.设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：1
03
c -<<．
12. 已知 1≤22x y +≤2，求证：1
2
≤22x xy y -+≤3.
13.设0,0,,111x y x y
x y A B x y x y
+>>=
=+++++，则,A B 的大小关系是。