2.2直接证明与间接证明
_高中数学第二章推理与证明2
跟踪练习
(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相 加 得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
人教版 选修2-2
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明 命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明 ，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式 的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出 发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式；
人教版高中数学第二章2.2-2.2.2反证法
2．反证法证明问题的一般步骤．
[变式训练] 已知函数 f(x)＝ax＋xx－＋21(a＞1)．用反证 法证明方程 f(x)＝0 没有负数根．
证明：假设存在 x0＜0(x0≠－1)，满足 f(x0)＝0， x0－2
则 ax0＝－x0＋1. 因为 a＞1，x0＜0，所以 0＜ax0＜1，
所以 0＜－xx00－ ＋21＜1，即12＜x0＜2. 与假设 x0＜0 矛盾，故方程 f(x)＝0 没有负数根．
因为 AB⊥平面 α，AC⊥平面 α，BC⊂平面 α，
所以 AB⊥BC，AC⊥BC，在平面 β 内经过点 A 有两 条直线都和 BC 垂直，这与平面几何中经过直线外一点只 能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点 A 只 能有平面 α 的一条垂线．
图①
图②
归纳升华 (1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一 存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛 盾，所以宜用反证法证明． (2)若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面 情况一一驳倒，才能推断结论成立．
（1－a）＋b
所以
2
≥ （1－a）b>
14＝12.
同理（1－2b）＋c>12，（1－2c）＋a>12.
三式相加得
（1－2a）＋b＋（1－2b）＋c＋（1－2c）＋a>32， 即32>32，矛盾． 所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于14.
归纳升华 1．反证法是利用原命题的否定不成立则原命题成立 来进行证明的．在使用反证法时，必须在假设中罗列出所 有与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是 不完全的． 2 ． 对 于 否 定 性 命 题 或 结 论 中 出 现 “ 至 多 ”“ 至 少”“不可能”等字样时，常用反证法．
2.2.1直接证明与间接证明(综合法分析法)
【思考下列问题】 1、如图所示：已知 PA 于A , PB B ,
a , a AB , 求证： a PB
P
A
B
a
由已知开始，结合定理推理，得出结论
例2、在ABC中，设CB a， CA b， 1 2 2 2 求证：S ABC |a| |b| （a b） 2
n
【例】在ΔABC中，三个内角A , B , C对应的边
分别是a , b , c ，且 A , B , C 成等差数列，
a , b , c 成等比数列。
求证： ΔABC是等边三角形。
【分析】 条件是什么？ A , B , C 成等差数列 2B = A + C b2 = a c
a , b , c 成等比数列
格 式
只要证： 只需证：
显然成立
上述各步均可逆
所以 结论成立
所以 结论成立
【例1】求证：当一个圆与一个正方形的周长
相等时，圆面积比正方形面积大。
【例】 如图： SA 平面ABC , AB BC
过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC
的垂线，垂足为F。
求证： AF SC
EDC >EDB AC > AB B > C
B >C AC > AB 因为 BD =DC , AD =AD EDC >EDB 因为 BD =DC , ED =ED EC > BE EBC >ECB
【分析法】
从结论出发，寻找结论成立的充分条件 直至最后，把要证明的结论归结为判定一 个明显成立的条件。 要证： 要证：
综合法
利用已知条件和某些数学定义、定理、
数学选修2-2苏教版2.2直接证明与间接证明(19张)
3．某个命题与正整数 n 有关，若 n＝k(k∈N*)时该命题成立， 那么可推得 n＝k＋1 时该命题也成立，现在已知当 n＝5 时该命题 不成立，那么可推得( C )
A．当 n＝6 时该命题不成立 B．当 n＝6 时该命题成立 C．当 n＝4 时该命题不成立 D．当 n＝4 时该命题成立
4．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)存在有理数根，那么 a，b，c 中至少有一个是偶数．下列
假设中正确的是__②___. ①假设 a，b，c 都是偶数；②假设 a，b，c 都不是偶数； ③假设 a，b，c 至多有一个偶数；④假设 a，b，c 至多有两
个偶数．
5．若 a＞b＞0，则 a＋1b＞__b＋1a(用“＞”、“＜”、“＝”填空)．
考点1 综合法
例1：已知 a，b，c 为正实数，a＋b＋c＝1. 求证：(1)a2＋b2＋c2≥13； (2) 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2≤6.
解析：(1)证法一：a2＋b2＋c2－13＝13(3a2＋3b2＋3c2－1) ＝13[3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2] ＝13(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc) ＝13[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0. ∴a2＋b2＋c2≥13. 证法二：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
图 10－2－1
综合法的思维过程是由因导果的顺序，是从A推演到B的途径， 但由A推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等，可由B，B1， B2能推演出的进一步的中间结论更多，如C1，C2，C3，C4等等， 最终能有一个(或多个)可推演出结论B即可．
2．分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法或执果索 因法．它常见的书面表达形式是：“要证…，只需证…”或“… ⇐…”．利用分析法证明“若 A 则 B”命题的分析法思考过程可用 如图 10－2－2 的框图表示为：
直接证明和间接证明课程教案
直接证明和间接证明课程教案第一章：引言1.1 课程目标本课程旨在帮助学生理解直接证明和间接证明的基本概念，掌握它们的应用方法，并能够灵活运用这两种证明方式解决实际问题。
1.2 课程内容本章将介绍直接证明和间接证明的定义、分类和基本方法。
1.3 教学方法采用讲授、案例分析、小组讨论等多种教学方法，帮助学生理解和掌握相关概念和方法。
第二章：直接证明2.1 定义和分类2.1.1 直接证明的定义直接证明是通过逻辑推理，直接从已知事实或前提出发，推导出要证明的结论。
2.1.2 直接证明的分类（1）直接逻辑推理：根据已知事实或前提，直接推导出结论。
（2）数学归纳法：先证明基本情况，再证明归纳步骤。
2.2 基本方法2.2.1 演绎法从一般到特殊的证明方法，即从一般原理推导出特殊情况下的结论。
2.2.2 归纳法从特殊到一般的证明方法，即先证明特殊情况，再推导出一般结论。
第三章：间接证明3.1 定义和分类3.1.1 间接证明的定义间接证明是通过证明相反命题的假性，从而证明原命题的真性。
3.1.2 间接证明的分类（1）反证法：假设相反命题为真，通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题为真。
（2）归谬法：假设相反命题为真，推导出明显错误的结论，从而证明原命题为真。
3.2 基本方法3.2.1 反证法假设相反命题为真，通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题为真。
3.2.2 归谬法假设相反命题为真，推导出明显错误的结论，从而证明原命题为真。
第四章：证明的辅助方法4.1 数学归纳法数学归纳法是一种包含直接证明和间接证明的方法，先证明基本情况，再证明归纳步骤。
4.2 逆否命题法将原命题的逆否命题作为证明对象，先证明逆否命题，再根据逆否命题与原命题的等价性得出原命题的证明。
第五章：练习与案例分析5.1 练习题设计一些有关直接证明和间接证明的练习题，帮助学生巩固所学内容。
5.2 案例分析分析一些实际案例，让学生运用直接证明和间接证明的方法解决问题。
直接证明和间接证明(4个课时)教案
直接证明和间接证明(4个课时)教案2．2直接证明与间接证明教学目标：（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议：1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用）2．重点、难点分析重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；②综合性问题证明方法的选择．（1）不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．（2）比较法证明不等式的分析①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法．由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”．其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式．③综合法证明不等式的逻辑关系是：（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．③用分析法证明不等式的逻辑关系是：（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要条件）<==（结论）④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.（5）关于分析法与综合法关系①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论已知.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知结论．③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．第一课时不等式的证明（比较法）教学目标1．掌握证明不等式的方法——比较法；2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．教学重点:比较法的意义和基本步骤.教学难点:常见的变形技巧.教学方法；启发引导法.教学过程：（－）导入新课教师提问：根据前一节学过（不等式的性质）的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小？找学生回答问题．（学生回答：，，，）［点评］要比较两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．（二）新课讲授【尝试探索，建立新知】作差比较法[问题] 求证教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．学生研究证明不等式，尝试完成问题．［本问点评］①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．③理论依据是：④由，，知：要证明只需证；需证明这种证明不等式的方法通常叫做比较法．目的：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．【例题示范，学会应用】教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．例1．求证［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．证明：∵＝＝，∴．［本例点评］①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．例2 .已知都是正数，并且，求证：［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．证明：＝＝．因为都是正数，且，所以．∴．即：[本例点评]①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;3322例、已知都是实数且求证≠+>+a b a b a b a b ab3,,,33223223:()()()()a b a b ab a a b ab b +-+=---证明2222()()()()a a b b a b a b a b =---=--2()()a b a b =+-,0,0a b a b >∴+>Q 2()0a b a b ≠∴->Q 又23322()()0()()0a b a b a b a b ab +->+-+>故即3322a b a b ab ∴+>+[本例点评]①作差后是通过分组，提取公因式对差式进行恒等变形，化成n 个括号相乘的形式，从而推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——分组，提取公因式法;求商比较法：1 ,,,,.a b b a a b a b a b a b ≥=例已知是正数求证当且仅当时等号成立:a b a b a b b a b a a b a a b a b b ---⎛⎫== ⎪⎝⎭证明(,,)0,1,0,1,.a b a b a a a b a b b b a b -⎛⎫≥>≥-≥∴≥ ⎪⎝⎭=根据要证的不等式的特点交换的位置不等式不变不妨设则当且仅当时等号成立,,.a b b a a b a b a b ∴≥=当且仅当时等号成立 小结：作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式． （最后是与1比较）(三)课堂练习教师指定练习题，要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题．练习：1．求证2．已知 ， ， ，d 都是正数，且，求证 目的:掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反馈课堂教学效果，调节课堂教学．（四）布置作业2、已知：a ，b ∈R ＋．求证：a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3 2211x x ≤+3、求证： ．7341(0)q q q q +≥+>4、求证： 2,()a ba b R a b ab ++∈≥5、设a,b 求证：第二课时 综合法●教学目标(一)教学知识点 综合法证明不等式. (二)能力训练要求1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式. (三)德育渗透目标 掌握综合法、分析法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A (已知)⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有: (1)a 2≥0或(a ±b )2≥0.(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab 即a 2+b 2≥2|ab |.(3)ab ba ≥+2,对a >0,b >0,当且仅当a =b 时取“=”号. (4)当a ,b 同号时有abb a +≥2,当且仅当a =b 时取“=”号.(5)33abc c b a ≥++ (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号. (6)a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号. ●教学难点“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点. ●教学过程 1.课题导入［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读投影片§6.3.3 A)我们要掌握下面重要的不等关系: (1)a 2≥0,或(a ±b )2≥0;(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab ,即a 2+b 2≥2|ab |;(3)ab ba ≥+2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号; (4)ab ≤222b a +,(a ,b ∈R);ab ≤(2ab )2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号;(5)abb a +≥2,(ab >0),当且仅当a =b 时取“=”号； （6）33abc c b a ≥++,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号；（7)a 3+b 3+c 3≥3abc ,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号.今天，我们在上一节课学习“比较法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.2.讲授新课一般地，从已知条件出发，利用定义、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。
22直接证明与间接证明教学设计教案
22直接证明与间接证明教学设计教案第一章：直接证明与间接证明的概念介绍1.1 直接证明的概念1.2 间接证明的概念1.3 直接证明与间接证明的区别与联系第二章：直接证明的方法与技巧2.1 综合法2.2 分析法2.3 穷举法2.4 反证法第三章：间接证明的方法与技巧3.1 反证法3.2 归谬法3.3 举例法3.4 类比法第四章：直接证明与间接证明的应用实例4.1 几何证明实例4.2 代数证明实例4.3 数列证明实例4.4 函数证明实例第五章：总结与练习5.1 直接证明与间接证明的总结5.2 相关练习题及解答第六章：综合性练习与拓展6.1 综合性练习题及解答6.2 证明方法的拓展与应用6.3 证明题目的设计与分析第七章：数学竞赛中的直接证明与间接证明7.1 数学竞赛中直接证明的问题类型7.2 数学竞赛中间接证明的问题类型7.3 数学竞赛证明题目的解题策略第八章：直接证明与间接证明在实际问题中的应用8.1 直接证明在实际问题中的应用案例8.2 间接证明在实际问题中的应用案例8.3 直接证明与间接证明在科学研究中的应用第九章：数学史中的直接证明与间接证明9.1 古代数学家与直接证明9.2 古代数学家与间接证明9.3 直接证明与间接证明在数学发展史中的重要性第十章：总结与复习10.1 直接证明与间接证明的回顾与总结10.2 重点知识点梳理10.3 复习题及解答重点和难点解析重点环节一：直接证明与间接证明的概念介绍直接证明与间接证明的概念是理解整个教学内容的基础，对于学生来说是一个关键的认知节点。
需要通过丰富的实例和生活中的比喻，帮助他们建立起清晰的概念框架。
重点环节二：直接证明的方法与技巧综合法、分析法、穷举法和反证法是直接证明的主要方法，这些方法的掌握对于学生解决实际证明问题至关重要。
应通过详细的案例分析和练习，使学生能够熟练运用这些方法。
重点环节三：间接证明的方法与技巧反证法、归谬法、举例法和类比法是间接证明的重要手段，它们各有特点和适用场景。
反证法
2.2.2 反 证 法
复习
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、 公理、定理，直接推理证明结论的真实性。
常用的直接证明方法有综合法与分析法。
综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。 在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。 先用分析法寻求解题思路，再用综合法解答或证明；有时要 分析法和综合法结合起来交替使用。
因为在ABC中，C是直角，所以B C 180
由三角形内角和为 180，可知A 0
这与在ABC中A 0，180 相矛盾，
所以假设不成立，故B是锐角，即原命题成立.
归纳总结：
1.定义：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条
件下，结论不经成过立正）确，的推理，
最后得出矛盾。
因此说明假设错误，从而证这明样了的原证命明题方成法立叫，做反证
法。
2.三个步骤：反设—归谬—下结论
3.归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。
归纳总结：
哪些命题适宜用反证法加以证明？ （1）直接证明有困难 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多，至少型命题
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
这与球的总数是9矛盾.因此,无论怎 样染,至少有5个球是同色的.
新 知 1.反证法的定义：
假设原命题结论不成立（即在原命题的条件下，结 论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此 说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明 方法叫反证法。
试一试： 证明：2, 3, 5不可能是等差数列
证明：假设 2，3，5是等差数列
原词语
否定词
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也可以是经过 证明的结论
练习3：P89：T3
4、已知A, B都是锐角，且A B ,
2 (1 tan A)(1 tan B) 2,
求证：A B
4
复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果
分析法 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
反证法
阅读下面的故事, 体会其中的推理: 《路边苦李》
古时候有个人叫王戎，7 岁那年的某一天和小伙伴 在路边玩， 看见一棵李子树上的果 实多得把树枝都快压 断了，小伙 伴们都跑去摘，只有王 戎站着没动。他说： “李子是苦 的,我不吃。”小伙伴摘 来一尝，李子果然苦 的没法吃。小伙伴问王 戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么 知道李子是苦的啊 ?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在 路边,李子早就没 了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李 子是苦的，不好吃 !”
练习1：P89：T2
2、已知 a 5，求证： a 5 a 3 a 2 a.
例2：已知， k (k Z)，且
2
sin cos 2sin, sin cos sin2
求证：1 tan2 1 tan2
1 tan2 2(1 tan2 )
Q P1
P1 P2
P2 P3
得到一个明显
变式1： 已知a,b, c 0,且不全相等，求证 a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
一、直接证明法：综合法
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为 依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种 证明方法叫做综合法(顺推证法)
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
求证：1 x , 1 y 中至少有一个小于2。 yx
注:“至少”、“至多” 型命题常用反证法
分析：所谓至少有一个,就是有1个或多个,要证
“至少有一个” 成立的反面“所有都”不成立.
归纳总结：
哪些命题适宜用反证法加以证明？ （1）直接证明有困难 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多，至少型命题
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
“非”命题对常见的几个正面词语ห้องสมุดไป่ตู้否定.
正面 = > 是
都是
至多有 至少有 任 一个 一个 意
的
否定 ≠ ≤ 不是 不都是 至少有 没有一 某
两个 个
个
所有 的
某些
练习、
1.用反证法证明命题“如果 a b, 那么 3 a 3 b ”时， 假设的内容应为_____________.
复习
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比
三段论
（特殊到特殊） （一般到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体 系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合 情推理.
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明:因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
(D) 假设三内角至多有两个大于 60 度。
2B = A + C b2 = a c
练习、课本P89：第1题 练习、课本P91：B组 第2题
二、直接证明法（二）：分析法
从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至 最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立 的条件。
要证：
只要证：
格 只需证： 式 显然成立
例: 证明：
3 72 5
上述各步均可逆
所以 结论成立
一、间接法证明的概念
把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题 成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法.
例1.求证： 2 是无理数.
证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ， n
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
∴m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
2．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是 ( )
（A）有一个解
（B）有两个解
（C）至少有三个解
（D）至少有两个解
3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个
不大于 60 度”时，反设正确的是
（）
(A)假设三内角都不大于 60 度；
(B) 假设三内角都大于 60 度；
(C) 假设三内角至多有一个大于 60 度；
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数，这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
P91 练习1,2
练习、 2, 3, 5 不可能成等差数列
例2. 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
证：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，
```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 )是 方程的两个根.
则ax1 = b，ax2 = b ∴ax1 = ax2
∴ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2）= 0
∵a ≠ 0
∴x 1
-
x 2
0,即x1
=
x 2
与x 1
x 矛盾 2
故假设不成立，结论成立。
注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
例3：已知x>0,y>0，x+y>2，
则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
特点:“由因导果”
例2、在ΔABC中，三个内角A , B , C对应的边 分别是a , b , c ，且 A , B , C 成等差数列， a , b , c 成等比数列。 求证： ΔABC是等边三角形。
【分析】 条件是什么？
A , B , C 成等差数列 a , b , c 成等比数列