2020衡水名师原创理科数学专题卷：专题三《基本初等函数》 含答案解析
河北衡水第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案
河北衡水第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个 【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确； 因为()()00112f x f x =+=-， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈， ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减得，23πω=， 所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．2．已知函数()3log,092sin,917 44x xf xx xππ⎧<<⎪=⎨⎛⎫+≤≤⎪⎪⎝⎭⎩，若()()()()f a f b f c f d===，且a b c d<<<，则（）A．1ab=B．26c dπ+=C．abcd的取值范围是()153,165D．+++a b c d的取值范围是31628,9⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】作出函数()f x的图象，利用对数的运算性质可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D选项的正误.【详解】由3log2x≤可得32log2x-≤≤，解得199x≤≤.作出函数()f x的图象如下图所示：由图象可得1191115179a b c d<<<<<<<<<，由33log loga b=，可得33log loga b-=，即()333log log log0a b ab+==，得1ab=，A选项正确；令()442xk k Zππππ+=+∈，解得()41x k k Z=+∈，当()9,17x∈时，令94117k<+<，解得24k<<，由于k Z∈，3k∴=，所以，函数[]()2sin 9,1744x y x ππ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭的图象关于直线13x =对称， 则点()(),c f c 、()(),d f d 关于直线13x =对称，可得26c d +=，B 选项错误；()()()22613169153,165abcd c c c =-=--+∈，C 选项正确； 126a b c d a a+++=++，下面证明函数1y x x =+在()0,1上为减函数，任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，则()12121212121111y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121x x x x x x x x x x x x ---=-+=， 1201x x <<<，则120x x -<，1201x x <<，所以，12y y >，所以，函数1y x x=+在()0,1上为减函数， 119a <<，则13162628,9a b c d a a ⎛⎫+++=++∈ ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3．下列函数求值域正确的是（ ）A．()1f x x =+的值域为[2)+∞，B ．222()1x x g x x ++=+的值域为[2)+∞，C．()h x =(0D．()w x =的值域为[2【答案】CD 【分析】()12f x x x =++-去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A ；2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++讨论10x +>和10x +<，利用基本不等式求值域可判断选项B ；()1111h xx x x x =+--=++-利用单调性即可判断选项C ；()w x 定义域为[31]-，，将()13w x x x =-++两边平方可得()222(1)44w x x =-+++，由于()0w x >，可得()22(1)44w x x =-+++，求出2(1)t x =-+的范围即可求()w x 值域，可判断选项D. 【详解】对于选项A ：原函数化为211()12312212x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-<≤⎨⎪->⎩，，，， 其图象如图，原函数值域为[3)+∞，，故选项A 不正确，对于选项B ：2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++，定义域为{}|1x x ≠-， 当1x <-时，10x +<，此时[][]11(1)2(1)211x x x x ⎛⎫⎛⎫-++-≥-+⨯-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以1(1)21x x ++≤-+，当且仅当1(1)1x x -+=-+即2x =-时等号成立， 当1x >-时，10x +>，此时11(1)(1)211x x x x ++≥+⨯=++，当且仅当111x x +=+即0x =时等号成立， 所以函数()g x 值域为(2][2)-∞-⋃+∞，，，故选项B 不正确； 对于选项C ：()h x 的定义域为[1)+∞，， (11)(11)()111111x x x x h x x x x x x x ++-+--=+-==++-++-，因为1y x =+1y x =-[1)+∞，上是增函数，所以11y x x =+-[1)+∞，上是增函数，又y =[1)+∞，上恒不等于0，则y =在[1)+∞，上是减函数，则()h x 的最大值为()1h =又因为()0h x >，所以()h x 的值域为(0，故选项C 正确；对于选项D ：()w x 的定义域为[31]-，，()w x ======设2(1)t x =-+，则[40]t ∈-，，[]0,4，[]44,8∈，则()2,w x ⎡=⎣，()w x 的值域为[2，故选项D 正确， 故选：CD 【点睛】方法点睛：求函数值域常用的方法（1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到；（2）利用常见函数的值域：一次函数值域为R ；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为{}|0y y ≠；指数函数的值域为{}|0y y >；对数函数值域为R ；正、余弦函数的值域为[]1,1-；正切函数值域为R ；（3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域； （4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域；（5）换元法：对于一些无理函数如y ax b =±±数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域；（6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如222a b ab +≥，a b +≥，以及绝对值三角不等式等；（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的一元二次方程，利用判别式求值域，形如y Ax =+22ax bx c y dx ex f++=++的函数适用； （8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域； （9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦的函数求值域，均可使用配方法；（10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法；（11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.4．对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正实数a ，b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（ ）A ．()xf x e =B ．()f x =C ．()()2sin f x x=D ．()sin f x x x =⋅【答案】BCD 【分析】假设各函数是“控制增长函数”，根据定义推断()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 恒成立的条件，并判断,a b 的存在性，即可得出结论. 【详解】对于A. ()()f x a f x b +≤+可化为22()()11x a x a x x b ++++≤+++，22ax a a b ≤--+0a >，不等式在x ∈R 上不恒成立，所以2()1f x x x =++不是“控制增长函数”； 对于B. ()()f x a f x b +≤+可化为，b ≤，即2||||2x a x b +≤++恒成立.又||||x a x a +≤+，故只需保证2||||2x a x b +≤++.20,2a b b b->≥ ，当220a b -≤时，b ≤恒成立，()f x ∴=“控制增长函数”；对于C.()21()sin 1,()()2f x x f x a f x -≤=≤∴+-≤，2b ∴≥时，a 为任意正数，()()f x a f x b +≤+恒成立， ()2()sin f x x ∴=是“控制增长函数”；对于D. ()()f x a f x b +≤+化为，()sin()sin x a x a x x b ++≤+，令2a π= ，则(2)sin sin ,2sin x x x x b x b ππ+≤+≤，当2b π≥时，不等式()sin()sin x a x a x x b ++≤+恒成立，()sin f x x x ∴=⋅是“控制增长函数”.故选：BCD 【点睛】本题考查了新定义的理解，函数存在成立和恒成立问题的研究.我们可先假设结论成立，再不断寻求结论成立的充分条件，找得到就是“控制增长函数”.如果找出了反例，就不是“控制增长函数”.5．函数()()1xfx x Rx=∈+，以下四个结论正确的是（）A．()f x的值域是()1,1-B．对任意x∈R，都有()()1212f x f xx x->-C．若规定()()()()()11,n nf x f x f x f f x+==，则对任意的(),1nxn N f xn x*∈=+ D．对任意的[]1,1x∈-，若函数()2122f x t at≤-+恒成立，则当[]1,1a∈-时，2t≤-或2t≥【答案】ABC【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.【详解】由函数解析式可得11,01()11,01xxf xxx⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪-⎩，有如下函数图象：∴()f x的值域是()1,1-，且单调递增即()()1212f x f xx x->-(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB正确；对于C，有()11xf xx=+，若()1,1(1)nxn N f xn x*-∈=+-，∴当2n≥时，11(1)||()(())1||1||1(1)||n nxxn xf x f f xx n xn x-+-===+++-，故有(),1n xn N f x n x*∈=+.正确. 对于D ，[]1,1x ∈-上max 1()(1)2f x f ==，若函数()2122f x t at ≤-+恒成立，即有211222t at -+≥，220t at -≥恒成立，令2()2h a at t =-+，即[]1,1a ∈-上()0h a ≥， ∴0t >时，2(1)20h t t =-+≥，有2t ≥或0t ≤（舍去）；0t =时，()0h a 故恒成立；0t <时，2(1)20h t t -=+≥，有2t ≤-或0t ≥（舍去）；综上，有2t ≥或0t =或2t ≤-；错误. 故选：ABC 【点睛】 方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.2、数学归纳法：当1n =结论成立，若1n -时结论也成立，证明n 时结论成立即可.3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.6．设函数()f x 是定义在区间I 上的函数，若对区间I 中的任意两个实数12,x x ，都有1212()()(),22x x f x f x f ++≤则称()f x 为区间I 上的下凸函数.下列函数中是区间(1,3)上的下凸函数的是（ ） A ．()21f x x =-+ B ．()2f x x =-- C ．3()5f x x =+ D ．21()1x f x x +=- 【答案】ACD 【分析】根据函数的解析式，求得1212()()()22x x f x f x f ++=，可判定A 正确；根据特殊值法，可判定B 不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C 、D 正确. 【详解】对于A 中，任取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，则1212()()12x x f x x +=-++， 121212()()1(2121)()122f x f x x x x x +=-+-+=-++，可得1212()()()22x x f x f x f ++=，满足1212()()()22++≤x x f x f x f ，所以A 正确；对于B 中，取1235,22x x ==，则1222x x +=， 可得351()()222f f ==-，所以12()()122f x f x +=-，12()(2)02x x f f +==， 此时1212()()()22x x f x f x f ++>，不符合题意，所以B 不正确； 对于C 中，函数3()5f x x =+，由幂函数3y x =的图象向上移动5个单位，得到函数3()5f x x =+的图象， 如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=， 因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；对于D 中，函数213()211x f x x x +==+-- 由函数3y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到21()1x f x x +=-的图象，如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=，因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.7．已知函数()()23,03,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[]4,6上是增函数 B ．()()220204f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619ii x==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则{}11,13k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】根据()f x 在[2-，0]上的单调性判断A ，根据(2020)(2)f f =-判断B ，根据图象的对称性判断C ，根据直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点判断D ． 【详解】解：由题意可知当3x -时，()f x 是以3为周期的函数， 故()f x 在[4，6]上的单调性与()f x 在[2-，0]上的单调性相同， 而当0x <时，239()()24f x x =-++，()f x ∴在[2-，0]上不单调，故A 错误；又(2020)(2)2f f =-=，故(2)(2020)4f f -+=，故B 正确； 作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(,6)-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(,6)-∞上有6个交点，不妨设1i i x x +<，1i =，2，3，4，5， 由图象可知1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称， ∴613392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，故C 正确；若直线1y kx =+经过点(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与23(0)y x x x =--<相切，则消元可得：2(3)10x k x +++=， 令0∆=可得2(3)40k +-=，解得1k =-或5k =-， 当1k =-时，1x =-，当5k =-时，1x =（舍)，故1k =-．若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性可得1k =．因为方程()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点， 113k ∴-<<-或1k =，故D 正确．故选：BCD ． 【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数周期性、对称性的应用，属于中档题．8．已知函数4()nnf x x x =+(n 为正整数)，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()f x 始终为奇函数B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称 【答案】BC 【分析】由已知得()()4()nnf x x x -=-+-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4()g t t t=+，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4()f x x x=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D.【详解】因为函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-， 当n 为偶数时，()()44()()nn nnf x x x f x x x -=-+=+=-，函数()f x 是偶函数； 当n 为奇数时，()4()nnf x x f x x-=-+=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确；当n 为偶数时，>0n x ，所以4()4n n f x x x =+≥=，当且仅当4n n x x =时， 即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t=+， 而4()g t t t=+在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，上单调递递减， 所以4()g t t t =+在2t =时，取得极小值4(2)242g =+=，故C 正确； 当1n =时，函数4()f x x x=+上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ，，则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫⎪⎝⎭，代入4()f x x x=+不满足， 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确， 故选：BC ． 【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.二、导数及其应用多选题9．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x'=，()'f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点C ．当120x x e <<< 时，221212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32m ≥D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()g x ，再利用导数确定()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，得1212ln 10ln 2x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确2ln 1()x g x x+=， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得121ln 2x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<，故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在12e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数．当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >()g x ∴的大致图象为()g x ∴只有一个零点，故B 错．记2()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32m ∴≥． 故C 正确．2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个交点．()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得320x e -=，当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，332203()21202H x e e --⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0(0,)x x ∈时，322ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．10．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.。
2020衡水名师文科数学专题卷：专题2《函数概念及其基本性质》 Word版含答案
2020衡水名师原创文科数学专题卷 专题二 函数概念及其基本性质考点04：函数及其表示（1—3题,13,14题，17,18题）考点05：函数的单调性（4—6题，9—12题，15题，19—22题） 考点06：函数的奇偶性与周期性（7—8题，9—12题，16题，19—22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
） 1．考点04 易 函数1()lg(1)x f x x -=+的定义域为（ ）A ．(1,)-+∞B ．(1,1)(1,)-+∞C ．(1,0)(0,)-+∞D ．(1,0)(0,1)(1,)-+∞2． 考点04 中难 已知函数2log (0)()3,(0)xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则1[()]4f f 的值是（ ）A. 9B.19C. -9D. 19-3．考点04 中难已知(1)f x +的定义域为[)2,3-，(2)f x -的定义域是( ) A ．[)2,3- B ．[)1,4- C ．[)0,5 D ．[)1,64．考点05 易下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( ) A. xy e -= B. 3y x =C. ln y x =D. y x =5． 考点05中难对于函数()f x 的定义域中的任意的1212,()x x x x ≠，有如下的结论： ①1212()()()f x x f x f x +=⋅； ②1212()()()f x x f x f x ⋅=+； ③1212>0f x f x x x ()-()-；④1212<0f x f x x x ()-()-，当()10x f x =时，上述结论中正确的是( ) A.①③ B.①②③ C.①④ D.②④6. 考点05 中难下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是（ ） A ．cos y x = B ．()12xy =C ．()12xy =D ． ()12xy =7． 考点06 易已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e xf x =，则1(ln )2f =( ) A ．12-B ．12C ．-2D ．28． 考点06 难偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时,()1f x x =-，则关于x 的方程1()()9x f x =，在[0,3]x ∈上解的个数是（ ）A ． 1B ．2 C.3 D.4 9．考点05，考点06 中难若()f x 是偶函数且在(0,)+∞上减函数，又()31f -=，则不等式()1f x <的解集为( ) A.{|}330x x x ><<或- B.3{}03|x x x <-<<或 C.3{}3|x x x <->或D.30{|03}x x x -<<<<或10． 考点05，考点06中难已知定义在R 上的偶函数，()f x 在0x >时，()e ln xf x x =+，若()(1)f a f a <-，则a 的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．1(,)2-∞C ．1(,1)2D ．(1,)+∞ 11． 考点05，考点06 中难设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的R x ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，1()()12x f x =-，若关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>在区间(2,6]-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是( )A.B.2)C.2]D.2]12．考点05，考点06 难已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时21()log (),()2f x x m f =-+=实数m =（ ）A. B. - C.1 D. 1第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分） 13． 考点04 中难函数21()4f x x =-的定义域是_____. 14． 考点04 难定义:如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在00()x a x b <<,满足0()()()f b f a f x b a-=-,则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”, 0x 是它的一个均值点.例如y x =是[]2,2-上的平均值函数, 0就是它的均值点.若函数2()1f x x mx =--是[]1,1-上的“平均值函数”,则实数m 的取值范围是__________15． 考点05易 函数1()21x f x x +=+的单调递减区间为_______． 16． 考点06 中难 若函数(21)1()1a x f x x x++=++为奇函数,则a =__________.三.解答题（共70分）17．（本题满分10分） 考点04 易 已知函数2()(2)3f x x a x =+--．1.若函数()f x 在[2,3]-上是单调函数，求实数a 的取值范围；2.当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x ≥+-恒成立，求实数m 的范围．18．（本题满分12分）考点04 中难 已知函数222,5,5()[]x a f x x x +-∈=+． 1.当1a =-时，求函数()f x 的最大值和最小值；2.求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数.19．（本题满分12分）考点05，考点0,6 中难已知函数()()log 2a f x x =+，()()log 2a g x x =-，其中(0a >且1)a ≠，设()()()h x f x g x =-.1.求函数()h x 的定义域，判断()h x 的奇偶性，并说明理由；2.若()22f =，求使()0h x <成立的x 的集合.20．（本题满分12分） 考点05，考点06中难设函数()f x 是增函数，对于任意,R x y ∈都有()()()f x y f x f y +=+ 1.求(0)f ；2.证明()f x 奇函数；3.解不等式211()()(3)22f x f x f x ->21．（本题满分12分） 考点05，考点0,6 难 已知2(),(2,2)4xf x x x =∈-+ 1.判断()f x 的奇偶性并说明理由； 2.求证：函数()f x 在(2,2)-上是增函数；3.若(2)(12)0f a f a ++->，求实数a 的取值范围.22．（本题满分12分） 考点05，考点0,6 难已知二次函数2()(,,R)f x ax bx c a b c =++∈对任意实数x ,都有21()(1)4x f x x ≤≤+恒成立.1.证明:(1)1f =;2.若(1)0f -=,求()f x 的表达式;3.在2的条件下,设()(),[0,)2m g x f x x x =-∈+∞,若()g x 图像上的点都位于直线34y =-的上方,求实数m 的取值范围.参考答案1答案及解析： 答案：C解析：解:要使函数有意义,则,即,即,即且,则函数的定义域为,所以C 选项是正确的2答案及解析： 答案：B 解析：3答案及解析： 答案：D 解析：4答案及解析： 答案：B解析：选项A, 1xxy e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭,在R 上为减函数; 选项B, 3y x =在R 上为增函数;选项C, ln y x =,定义域为()0,+∞,且在()0,+∞上为增函数; 选项D, ,0,{,0x x y x x x ≥==-<在[)0,+∞上为增函数,在(),0-∞上为减函数.5答案及解析：答案：A解析：6答案及解析：答案：D解析：7答案及解析：答案：C解析：8答案及解析：答案：D解析：9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：B解析：11答案及解析：答案：B解析：12答案及解析：答案：D解析：函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 11()()22f f ∴-=-=则211()log ()22f m -=+=解得1m = 故选：D.13答案及解析：答案：{2|x x ＞﹣，且2}x ≠解析：要使()f x 有意义，则：22040x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得2x >-，且2x ≠， ()f x ∴的定义域为{2|x x >-且2}x ≠．14答案及解析： 答案：(0,2) 解析：15答案及解析： 答案：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭解析：16答案及解析： 答案：1- 解析：17答案及解析：答案：1.函数()f x 的对称轴为22a x -=-, 又有函数()f x 在[2,3]-上是单调函数232a -∴-≥或222a --≤-, 解得4a ≤-或6a ≥.∴实数a 的取值范围为(,4][6,)-∞-+∞.2.当5a =，[1,1]x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立， 即21x x m ++>恒成立，令2()1g x x x =++，min ()g x m >恒成立函数()g x 的对称轴1[1,1]2x =-∈-, ∴min 13()()24g x g =-=，即34m >m ∴的范围为3(,)4-∞.解析：18答案及解析：答案：1.当1a =-时，()2222(11)f x x x x --+==+.∵,5[]5x ∈-，故当1x =时，()f x 的最小值为1， 当5x =-时，()f x 的最大值为372.函数()22()2f x x a a =++-的图象的对称轴为x a =-.∵()f x 在[]5,5-上是单调的， ∴5a -≤-或5a -≥.即实数a 的取值范围是5a ≤-或5a ≥. 解析：19答案及解析： 答案：1.()log (2)a f x x =+的定义域为{2|}x x >－，()()log 2a g x x =-的定义域为{}2|x x <，()()()h x f x g x ∴=-的定义域为{}{|}|2222{|}x x x x x x >-⋂<=-<<．()()()2()2()a a h x f x g x log x log x =-=+--，()log 2log 2()()(log 2lo )[()()]g 2a a a a h x x x x x h x ∴-=--+=-+--=-， ()h x ∴为奇函数．2.()()2log 22log 42 2.a a f a =+==∴=，()22()log 2log ()2h x x x ∴=+--，()0h x ∴<等价于22()log 2l 2(og )x x +<-， 222020x x x x +<-⎧⎪∴+>⎨⎪->⎩解得20x -<<.故使()0h x <成立的x 的集合为{}2|0x x -<<． 解析：20答案及解析：答案：1.由题设，令0x y ==，恒等式可变为(00)(0)(0)f f f +=+，解得(0)0f =， 2.令y x =-，则由()()()f x y f x f y +=+得(0)0()()f f x f x ==+-，即得()()f x f x -=-，故()f x 是奇函数3.由211()()(3)22f x f x f x ->， 2()(3)2()f x f x f x ->，即2()(3)2()f x f x f x +->，又由已知()()()f x y f x f y +=+．得：[2()]2()f x f x =2(3)(2)f x x f x ->，由函数()f x 是增函数，不等式转化为232x x x ->即250x x ->，∴不等式的解集{|0x x <或5}x >解析：21答案及解析： 答案：1.()()()2244xxf x f x x x --==-=-+-+，所以函数是奇函数2.证明：设1x ，2x 为区间(2,2)-上的任意两个值，且12x x <12122212()()()()44x x f x f x x x -=-++=21122212()(4)(4)(4)x x x x x x --++ 因为1222x x -<<< 所以 21120,40x x x x ->-<即12()()0f x f x -<所以函数()f x 在(2,2)-上是增函数3.因为()f x 为奇函数，所以由(2)(12)0f a f a ++->得(2)(12)(21)f a f a f a +>--=-又因为函数()f x 在(2,2)-上是增函数所以222,2212,22 1.a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩即40,13,223.a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩ 故1(,0)2a ∈- 解析：22答案及解析：答案：1.由题意可得211(1)(11)14f ≤≤⨯+=,则(1)1f =. 2.由1知(1)1f =,即1a b c ++=.又(1)0f -=,即0a b c -+=,两式相减可得11,22b a c =+=,即12c a =-.所以211()22f x ax x a =++-. 对任意实数x,都有()f x x ≥,即211022ax x a -+-≥恒成立,又因为()f x 为二次函数,所以0a ≠,则有2011()4()022a a a >⎧⎪⎨∆=---≤⎪⎩,化简得201(2)02a a >⎧⎪⎨-≤⎪⎩, 所以111,424a c a ==-=,所以2111()424f x x x =++,经检验,符合题意.3.由题意知21113()()()242244m m g x f x x x x =-=+-+>-在[0,)+∞上恒成立. 设2()2(1)4h x x m x =+-+,则()0h x >在[0,)+∞上恒成立, ①由0∆<,即2[2(1)]440m --⨯<，解得13m -<<; ②由02(1)02(0)40m h ∆≥⎧⎪-⎪-≤⎨⎪=>⎪⎩,解得1m ≤-.综上可知,实数m 的取值范围为(,3)-∞.解析：。
2018衡水名师原创理科数学专题卷：专题三《基本初等函数》(含答案解析)(2020073123522
2019届高三一轮复习理科数学专题卷专题三基本初等函数考点考点考点07:指数与指数函数（08:对数与对数函数（09: 二次函数与幕函数1 —3 题，8—10 题,4 —7 题，8—10 题,（11,12 题，16 题）考试时间：120分钟13,14 题，17-19 题)15 题，17 题，20-22 题)满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一、选择题（本题共12小题，每小题5分, 一项是最符合题目要求的。
）1.【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中考点07函数y _x2 2x的值域是（）A. RB.C.D. 0,::2.【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中考点07中难[2」_1,xM0设函数f x二1jX2 , X A 0如果f X。
1,则X。
的取值范围是（A. -1,1 B. -i,o U 1， C.3.【2017课标1,理11】设x、y、z为正数，且2x=3y考点07 难=5z，则（A. 2x<3y<5z B.5z<2x<3y C. 3y<5z<2x D. 3y<2x<5z 4.【来源】2016-2017 学年黑龙江虎林一中月考考点08易已知函数f x = 3log a4x-7 2 ( a 0 且a=1)过定点P , 则P点坐标（）A. 1,2 B C. 2,2 D .3,25.【来源】2016-2017学年河北定州中学周练考点08若函数f（x）(1 )x,x5o)",01h (，则f -f logB. C. D.6. 【2017北京，理8】 考点08中难根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子80M总数N 约为1080.则下列各数中与 最接近的是( N(参考数据：Ig3〜0.48函数 f (x) = log 2 '、x *log 2(2 x)的最小值为()11- C . -- D24& ［ 2017江西九江三模】 考点07,考点08易 已知a =21.3,b =40.7,c =1 n6，贝U a,b,c 的大小关系为A. a :: b :: cB. b c ：： a c. c ：： a b D. c . b ：： a9. [ 2017天津，理6】 考点07考点08,中难已知奇函数 f (x)在 R 上是增函数， g( X )二 xf()若 a = g(-Iog 2 5.1) ,b=g(2.) ,c=g(3),则a , b , c 的大小关系为()A a ::: b ::: cB c ::: b ::: aC b ： a ::: cD b ::: c ： a10.[来源】2017届山西太原市高三上期中 考点07考点08,难[2x -2,x=0已知函数f x，若f f m ・：「.0，则实数m 的取值范围为()' * 丨 log 1 ( —x ), x c 0一 ' L2c.」：，-1】U 0,1 D.-1,0 1J 1,log 23I 2」11.［来源】2016-2017学年黑龙江佳木斯一中期中考点09易im幕函数f (x ) = ( m - m - 1)x 在0, •上是增函数，则 m =()A. 2 B . -1 C . 4D . 2 或-112.［来源】2017届河北定州中学高三周练 考点09中难给出下列函数①f (X )= - I ；②f (X )= X 2 ；③f (X )= X 3 ；④f(x )= x 2 ；⑤ 12丿(A ) 1033 (B ) 5310 (C ) 1073(D ) ’ C 93[107.［来源】 2016-2017学年浙江杭州西湖高级中学期中考点08中难A . 0A. -2，1 U 2「B.—oO,—2】u\,—[,Iog 2 3A. 1 个 B • 2 个 C • 3 个D第n 卷(非选择题)二填空题(每题5分，共20分)13.【来源】2016届辽宁省抚顺一中高三四模 考点07中难实数a 的取值范围是.15. 【来源】2016届吉林省白城一中高三下 4月月考 考点08中难已知函数 f(x)=ln(j1+9x 2 —3x)十1，则 f(lg2) +f(lg[)= _______________ .216.【来源】2016届辽宁省大连师大附中高三下学期精品试卷考点09难1若a x a 对于^e(0,1)恒成立，则实数a 的取值范围是 ________________________________ . 三.解答题(共70分)17.(本题满分10分)【来源】2017届山东潍坊中学高三上学期月考 考点07,考点08易 化简求值：(2) [(1 Tog 6 3$ +Iog 6 2gog 6 18〕*log 6 4.18.(本题满分12分)【来源】2017届吉林镇赉县一中高三上月考 考点07易已知函数f x 二ka^(k,a 为常数，a • 0且a = 1)的图象过点 A 0,1 ,B 3,8 . (1) 求实数k, a 的值；g x(2)若函数 f x 1 ,试判断函数g x 的奇偶性，并说明理由.19.(本题满分12分)【来源】2017届湖北襄阳一中高三月考 考点07中难f x ]= log 2 x •其中满足条件()>f(Xl )2f (X2)(^—2)的函数的个数是当 x (-：：,1],不等式 124 aa — a +1.0恒成立，则实数a 的取值范围为14.【来源】2016届四川南充高中高三4月模拟考点07中难已知函数f x =2x_2」，若不等式2f x -ax • a i 亠f 3广0对任意实数x 恒成立，则\17127一0.002 一2 _io_2；已知函数f x =22xJ-a4xJ a .0且a=1 .(1 )当a 时，求不等式f x :: 0的解集；2 ' f(2)当x：= [0,1耐，f x ：：：0恒成立，求实数a的取值范围.20. (本题满分12分)【来源】2017届云南曲靖一中高三月考考点08易已知函数f (x) = log 1(x2「2ax 3).2(1 )当a二-1时，求函数的值域；a的取值范围；不存(2)是否存在a R，使f (x)在(-"',2)上单调递增，若存在，求出在，请说明理由21. (本题满分12分)【来源】2016-2017学年河南郸城县一高中月考考点08中难已知函数f x =log4 4x 1 kx R是偶函数.(1 )求k的值；(2)若函数h x =4 X畀mj2x-1,^ l.0,log231,是否存在实数m使得h x最小值为0,若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. (本题满分12分)【来源】2017届湖南郴州市高三上学期质监一考点08难已知函数f(x)=log a X , g(x) =2log a(2x t-2)，其中a 0且a = 1, t R.(I)若t =4，且x・［,2］时，F(x)二g(x) - f (x)的最小值是—2,求实数a的值;41(II)若0：：：a：：：1，且［―,2］时，有f(x)_g(x)恒成立，求实数t的取值范围41. 【答案】B_x 2 2x2. 【答案】C1【解析】当 X o _ 0 时，2-1 1，则 X o ：：: -1，当 X o - 0 时，X 0 - 1，则 X o - 1，故 X o 的取值范围是-二，-1 U 1，故选C.3. 【答案】D【解析】令 2X =3y =5^ k(k 1)，则 x = log 2 k , y = log 3k , z = log 5 k 乞如旦止1，则3y lg 2 3lg k lg84. 【答案】5. ［答案】所以x = 1093.28，即—最接近1093，故选D.N7. 【答案】C【解析】参考答案的值域是〕，•：：.〔2丿【解析】••• —X2+2x = —(X-1 f +1 芒1，二函数 y=Pi12丿2x 2lg k lg 5 -- — ------- ------ 5z lg 2 5lg k第)1，则2—，故选D. 【解析】令 4x-7 =1, 得x = 2，所以f 2 =3log a 1 • 2 = 2，所以p 点坐标为2,2 .f x =4 'X .4X ,X1-1,00,11且l 04^1-1,0】,所以1 1 l 舟4故选D.f l o 4「1 f 1 \=1, f (1 A41 =4,所以 P- f log 4~ [6. 【答案】D【解析】361=Y = -----X1080,两边取对数,3613 361 80lgx = lg 80 =lg3 -lg10 =361 lg3-80 = 93.28 , 10c = ln6 ::: lne 2 二 2，所以 c ：：： a b ；故选 C.9. 【答案】C【解析】因为f(x)是奇函数且在 R 上是增函数，所以在 x 0时，f(x) 0 , 从而g(x)二xf(x)是R 上的偶函数，且在［0,=)上是增函数，a 二 g(-log 2 5.1) =g(log 25.1)，20.8 ：2，又 4 ： 5.1 ：： 8,则 2 ：： Iog 2 5.1 ：：3，所以即 0 ： 20.8 ::: log 25.1 ：：： 3， g(20.8) ：：：g(log 2 5.1) ：：g(3)，所以b ::: a ::: c ，故选C.10. 【答案】B【解析】由f(x) <0得，0兰x v 1或x v —1，所以0兰f (m )<1或f (m v -1，由1」m — 1 < m v - 一或 1 兰 m < log 2 3211. 【答案】AQ-Am -m -1 =1,解得m = -1或2 ,所以f x 二x 或2 . 2f x 二x ,又因为f X 在0, 7 上是增函数，所以f x 二x , m = 2,故选A.f (X )= log 2 仮gog“(2x )，所以函数f x 的最小值为1 , log2 x 2 92丄 4 .2-if 12 1 log 2= log 2X log 2X= gx ~~8.【答案】C【解析】因为 b =4°.7 =21.4.21.3 .2 ,0 乞 f (m>：：1 得由f(m )： - 得<m| m < -2，所以实数 m 的取值范围为—oO,-2】u -1,-2 U 1,log3，故选B.【解析】根据幕函数的定义可知12. 【答案】B【解析】①f X =为底数小于1且大于0的指数函数，在第一象限是下凸图象，故不22满足条件；②f X 二X 是开口向上的抛物线，在第一象限是下凸图象，故不满足条件；③if X ]=X 3是幕函数，在第一象限是下凸图象，故不满足条件；④f X i ； = X 2是幕函数，在第一象限是上凸图象， 故满足条件；⑤f X = log 2 X 是底数大于1的对数函数，在第一象限14. 【答案】-2：a ：6【解析】y=2X ,y=2」在R 分别为增函数、减函数，则 f X =2X -2」为增函数；7f -X ：.：-2"-2X --f(X ), f (X)在 R 为奇函数；X 2 - ax a f 3 0 ,222f X -ax a 户 f 3, f X -ax a 户 f ：；厂3 , x - ax a 卞「3 ,2 2 2x - ax a 3 0 在 R 上恒成立，(-a) -4 1 (a 3) ：： 0 , a -4a -12 ：： 0 ,—2 ： a ： 6 • 15. 【答案】2【解 析】f - x f x =l n T 9x 2 3x I n . 1 9x 2 - 3x 2 = I n 1 2 = 2’ f 1、f(lg2)+f lg_ =f(lg2)+f 卜Ig2)=2\、2丿16. 【答案】a 乜—eIn 211a 11 【解析】2X x a , In2 a In x , \ x (0,1),，令 f (x)=xIn 2 xln xxln xIn x +1 '1 1是上凸图象，故满足条件.故选：B.13•【答案】a • -34【解析】显然a 2 -a ・11 X -a 七)4 1 J y 最小二4 2 1 2 3-(a )2 0，所以原不等式即为12 4 a 0 ,2 41 X 1 X 函数y =(二)X • ( )X 是减函数，因此当X - (-：：，1]时，3 “ 34 4 .(-)X，易知2 3^2 ,所以一a £ —，即 a > ——. 4【解析】①f X = 为底数小于1且大于0的指数函数，在第一象限是下凸图象，故不20 vx £1，二f (x) = —---------- 2，令f (X 刘，二0£x£—，令f(x) v 0，二—c x c1 ,(xln x) e e所以函数g x 为奇函数.(12 分)■ f(X )在(O,1)递增；在(1,1上 递减，f(x)n ax = e ea —el n 2.17617.【答案】(1)9 (2) 110118.【答案】(1) k =1,a; (2)奇函数，理由见解析.2【解析】(1 )■.■函数f x 二ka^(k, a 为常数，a ・0且a = 1 )的图象过点J」 -3 1 A 0,1 , B 3,8 k -1,且 ka 8,解得 k=1,a. ......................................... (4 分)2(2)函数g x 为奇函数。
2020届河北衡水中学高三理科数学试卷及答案
2020届河北衡水中学高三年级期中考试理科数学试卷本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（）A．{1} B．{2} C．1 D．22．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2 B． C．1 D．33．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞44．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A． B．C．D．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜206．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，] B．（，2]C．（，2] D．（2，4]7．数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B． C． D．9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）A．f（﹣）＜f（）＜f（）B．f（﹣）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（）＜f（﹣）＜f（）10．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．611．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1] C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）e x﹣1，若g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪{1} B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[1，+∞）第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n= ．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．X ﹣2 0 4f（x） 1 ﹣1 116. 已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）△ABC中，已知，记角A，B，C 的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．18. （本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19. （本小题满分12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．20. （本小题满分12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．理科数学参考答案一．选择题1-5 B C C DA 6-10 A D B D C 11-12 D A．二．填空题13．﹣8 14.．16.．三．解答题17．解：（1）依题意：，即，又0＜A+B＜π，∴，∴，................4分（2）由三角形是锐角三角形可得，即由正弦定理得∴，，，======，∵，∴，∴，即...............12分18. ．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{c n}的前n项和…（12分）19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．-- -------6分（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…........................................（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；.........2分（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．......................7分（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x ∈[1，e]），又，当x ∈[1，e]时，x ﹣1≥0，lnx ≤1，x+2﹣2lnx ＞0，从而g'（x ）≥0（仅当x=1时取等号），所以g （x ）在[1，e]上为增函数，故g （x ）的最小值为g （1）=﹣1，所以a 的取值范围是[﹣1，+∞）．.......12分22.解：（1）在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线C 1：ρ=﹣sinθ，∴ρ2=﹣4ρsinθ，∴x 2+y 2=﹣4y ， ∴曲线C 1：x 2+y 2+y=0，∴直线AB 的普通方程为：（x 2+y 2﹣4x ）﹣（x 2+y 2+4y ）=0， ∴y=﹣x ，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣， ∴直线AB 极坐标方程为：)(61R ∈-=ρθ．.............5分 （2）根据（1）知，直线AB 的直角坐标方程为y=﹣x ， 根据题意可以令D （x 1，y 1），则，又点D 在直线AB 上，所以t 1=﹣（2+t 1），解得 t 1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t 1|=，同理，令交点E （x 2，y 2），则有，又点E 在直线x=0上，令2+t 2=0，∴t 2=﹣，∴|CE|=|t 2|=，∴|CD|：|CE|=1：2．............................10分23.解：（1）∵f （x ）=m ﹣|x ﹣3|，∴不等式f （x ）＞2，即m ﹣|x ﹣3|＞2，∴5﹣m ＜x ＜m+1，而不等式f （x ）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；........5分（2）关于x 的不等式|x ﹣a|≥f （x ）恒成立⇔关于x 的不等式|x ﹣a|≥3﹣|x ﹣3|恒成立 ⇔|x ﹣a|+|x ﹣3|≥3恒成立⇔|a ﹣3|≥3恒成立，由a ﹣3≥3或a ﹣3≤﹣3，解得：a ≥6或a ≤0．..............10分。
河北省衡水市武邑县武邑中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案
河北省衡水市武邑县武邑中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个 【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确； 因为()()00112f x f x =+=-， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈， ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减得，23πω=， 所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．2．已知函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩，其中实数 a ∈R ，则下列关于 x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0的实数根的情况，说法正确的有（ ） A ．a 取任意实数时，方程最多有5个根B ．当1515a --+<<时，方程有2个根 C ．当 15a --=时，方程有3个根 D ．当 a ≤ −4时，方程有4个根 【答案】CD 【分析】先化简方程为()1f x =或()f x a =，再对a 进行分类讨论，结合图象来确定()1f x =或()f x a =分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.【详解】解：关于x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0，即[][]()1()0f x f x a --=，故()1f x =或()f x a =.函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩中，()0,()ln 1x f x x ≥=+单调递增，()2220,(2)11x a x f x a x x a -+=-<=+-，对称轴为x a =，判别式()()411a a ∆=+-.（1）当0a ≥时，函数()f x 图象如下：由图象可知，方程()1f x =有1个根，1a >时方程()f x a =有2个根，01a ≤≤时，方程()f x a =有1个根，故1a >时已知方程有3个根，01a ≤<时，已知方程有2个根，1a =时已知方程有1个根；（2）1a =-时，函数()f x 图象如下：10a -<<时，函数()f x 图象如下：由两个图象可知，10a -≤<时，方程()1f x =有2个根，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根；（3）1a <-时，函数()f x 图象如下：方程()1f x =有两个根.下面讨论最小值21a -与a 的关系，由21a a -<解得15a --<， 故当15a --<时，21a a -<，直线y a =如图①，方程()f x a =有2个根，故已知方程有4个根；当a =21a a -=，直线y a =如图②，方程有()f x a =有1 个根，故已知方程有3个根；当112a -<<-时，21a a ->，直线y a =如图③，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根.综上可知，a 取任意实数时，方程最多有4个根，选项A错误；112a --<<时方程有2个根，1a =时已知方程有1个根，1a >时方程有3个根，故选项B 错误；当12a --=时，方程有3个根，C 正确；当142a --≤-<时，方程有4个根，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于分类讨论确定二次函数的图象，以及其最低点处21a -与a 的关系，以确定方程()f x a =的根的情况，才能突破难点.3．设函数2,0()12,02x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，对关于x 的方程2()()20f x bf x b -+-=，下列说法正确的有（ ）．A．当2b =-+1个实根 B ．当32b =时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则17210b <≤ D ．若方程有6个不等实根，则322b -+<< 【答案】BD 【分析】先作出函数()f x 的图象，进行换元()f x t =，将方程转化成关于t 的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可. 【详解】函数()22,0,0()132,01,022x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩，作图如下：由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，令()f x t =，则3,2t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，则方程转化为220b bt t +-=-，即222()22204b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭选项A 中，223b =-+时方程为(22234230t t -+-=+，即(2310t +=，故31t =，即131,12()f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=，看图知存在三个根，使得()31f x =，故A错误； 选项B 中，32b =，方程即231022t t -+=，即22310t t -+=，解得1t =或12t =，当()1f x t ==时看图可知，存在3个根，当1()2f x t ==时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B 正确；选项C 中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1）122bt t ==，则31,22b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或10,22b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，此时2204b b +--=，即2480b b -+=，解得223b =-±，132b =-2）12t t ≠时，即(]123,,02t t =∈-∞或(]12,,0t t ∈-∞.①当(]123,,02t t =∈-∞时132t =，代入方程得2220332b b +⎛⎫-⋅ ⎪⎝-=⎭，解得1710b =，由123210t t b =-=，得(]21,05t =∉-∞，不满足题意，舍去；②当(]12,,0t t ∈-∞时220b bt t +-=-，则()2420b b ∆=-->，1220t t b =-≥，120t t b +=<，解得223t <--，故C 错误；选项D 中，方程有6个不等实根，则1211,1,,122t t ⎛⎤⎛⎤∈∈⎥⎥⎝⎦⎝⎦且12t t ≠，222()2422b bt t b t t b b ϕ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭+-=+-图象如下：需满足：()2193024*********b b b b b ϕϕϕ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-≥⎨⎪⎛⎫⎪=-+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：32232b -+<<，故D 正确.故选：BD. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于对方程2()()20f x bf x b -+-=进行换元()f x t =，变成关于t 的二次方程根的分布问题，结合函数()f x 图象中函数值的分布情况来突破难点.4．已知函数()()124,01,21,1,x x f x af x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩其中a R ∈，下列关于函数()f x 的判断正确的为（ ） A ．当2a =时，342f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．当1a <时，函数()f x 的值域[]22-,C ．当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()1212242n n f x x --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．当0a >时，不等式()122x f x a -≤在[)0,+∞上恒成立 【答案】AC 【分析】对于A 选项，直接代入计算即可；对于B 选项，由题得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()m f x a f x m =-，进而得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，故()f x 的值域(]2,2-；对于C 选项，结合B 选项得当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()()121n f x f x n -=-+进而得解析式；对于D 选项，取特殊值即可得答案.【详解】解：对于A 选项，当2a =时，3111222442222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 选项正确； 对于B 选项，由于当01x ≤≤，函数的值域为[]0,2，所以当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()m f x a f x m =-，由于(]0,1x m -∈，所以()[]0,2f x m -∈，因为1a <，所以()1,1m a ∈-，所以当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，综上，当1a <时，函数()f x 的值域(]2,2-，故B 选项错误；对于C 选项，由B 选项得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()mf x a f x m =-，故当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()()1112122412n n f x f x n x n --⎛⎫=-+=--+- ⎪⎝⎭1112122422422n n n x n x --⎛⎫⎛-⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 选项正确； 对于D 选项，取812a =，34x =，则331241442f ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，122x a-=()311142482488111222222222---⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足式()122x f x a -≤，故D选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查函数的综合应用，考查分析能力与运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于根据题意得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()mf x a f x m =-，且当01x ≤≤，函数的值域为[]0,2，进而利用函数平移与伸缩变换即可求解.5．设函数(){}22,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤C ．当x ∈R 时，()()()ff x f x ≤D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC【分析】画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可． 【详解】解：画出()f x 的图象如图所示：对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确； 对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=； 当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=； 当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；对D ，取32x =，则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：一般地，若()()(){}min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．6．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判断正确的有（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在定义域上单调递增C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >D ．()()()()()()()()()()()()2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=【答案】BCD 【分析】利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算(2)(21)f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．【详解】令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，∴对于任意x ∈R ，2()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，11111111121nn n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭个个，∴11f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 同理()(111)(1)(1)(1)21n f n f f f f =+++==>，对任意正有理数p ，显然有m p n=（,m n是互质的正整数），则1()1mm f p f f n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,p p p 的极限，而()1i f p >，i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >， 综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确，设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)2(21)f n f n =-，∴()()()()()()()()()()()()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题．7．设函数cos2cos2()22x x f x -=-，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的一个周期为πD ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称【答案】BC 【分析】根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】令cos2t x =，则12222ttt t y -=-=-，显然函数12222t t tty -=-=-为增函数，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos2t x =为减函数， 根据复合函数单调性可知，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 因为cos2[1,1]t x =∈-， 所以增函数12222ttt ty -=-=-在cos2[1,1]t x =∈-时，3322y -≤≤， 即()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 因为cos2()cos2(cos2c )os222)(2()2x x x x x x f f πππ+-+-=-=+-=，所以()f x 的一个周期为π，因为sin 2sin 2224x x f x π-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令sin 2sin 22(2)x x h x --=， 设(,)P x y 为sin 2sin 22(2)xx h x --=上任意一点，则(,)2P x y π'--为(,)P x y 关于,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称的点， 而sin 2(sin 2())22sin 2sin 2()22222x x x x h y x y πππ-----=-==≠--，知点(,)2P x y π'--不在函数图象上，故()h x 的图象不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，即4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.故选：BC 【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.8．已知正数,,x y z ，满足3412x y z ==，则（ ） A ．634z x y << B ．121x y z+= C ．4x y z +> D ．24xy z <【答案】AC 【分析】令34121x y z m ===>，根据指对互化和换底公式得：111log 3log 4log 12m m m x y z===，，，再依次讨论各选项即可. 【详解】由题意，可令34121x y z m ===>，由指对互化得：111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===， 由换底公式得：111log 3,log 4,log 12m m m x y z ===，则有111x y z+=，故选项B 错误； 对于选项A ，124log 12log 9log 03m m m z x -=-=>，所以2x z >，又4381log 81log 64log 064m m m x y -=-=>，所以43y x >，所以436y x z >>，故选项A 正确；对于选项C ､D ，因为111x y z +=，所以xyz x y=+，所以()()()()2222222440x y xy x y xy x y z xy x y x y -+--==-<++，所以24xy z >，则()24z x y z +>，则4x y z +>，所以选项C 正确，选项D 错误；故选：AC. 【点睛】本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于令34121x y z m ===>，进而得111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===，再根据题意求解.二、导数及其应用多选题9．某同学对函数()sin e e x xxf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于原点对称B ．对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C ．函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D ．对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减 【答案】BD 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断选项A ；由函数的性质可知()sin 1x xx f x e e -=<-可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x x e e x --->，构造函数()sin 0x x h x e e x x -=-->，求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B ；函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()0，πk (k Z ∈，且)0k ≠，可判断选项C ；求导分析()0f x '≤时成立的情况，即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：函数()sin e e x xxf x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且()()sin sin x x x xx xf x f x e e e e ----===--，所以()f x 为偶函数，即函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故A 选项错误； 对于选项B ：由A 选项可知()f x 为偶函数，所以当0x >时，0x x e e -->，所以()sin 1x xx f x e e -=<-，可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x xe e x --->，可设()sin 0x x h x e e x x -=-->，，()cos x x h x e e x -'=+±，因为2x x e e -+>，所以()cos 0x x h x e e x -±'=+>，所以()h x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00h x h >=，即()sin 1xxx f x e e-=<-恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()()00k k Z k π∈≠，，且，交点()0π-，与()0π，间的距离为2π，其余任意相邻两点的距离为π，故C 选项错误；对于选项D ：()()()()2cos sin 0xx x x xxe e x e e xf x ee -----+-'=≤，可化为e x (cos x －sin x )()cos sin 0xex x --+≤，不等式两边同除以x e -得，()2cos sin cos sin x e x x x x -≤+，当()32244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭，，cos sin 0x x -<，cos sin 0x x +>，区间长度为12π>，所以对于任意常数m >0，存在常数b >a >m ，32244a b k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，，，()k Z ∈，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减，故D 选项正确；故选：BD 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数()f x 的最值的步骤： ①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性； ③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.10．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立， 当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数； 此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点； 当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <， 则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->， 故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若2ea =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若2ea <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a 的取值范围为()0,∞+， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.。
2020年高考数学(理)总复习：基本初等函数性质及应用(解析版)
51∴log a b ＝2 或2.∵ a> b>1，∴ log a b<log a a ＝答案】 4； 22020 年高考数学（理）总复习：基本初等函数性质及应用题型一 求函数值 题型要点解析】 已知函数的解析式， 求函数值， 常用代入法， 代入时，一定要注意函数的对应法则与自 变量取值范围的对应关系，有时要借助函数性质与运算性质进行转化． －1 例 1．若函数 f （x ）＝ a |2x －4|（a>0，且 a ≠1），满足 f （1）＝ 19，则 f （x ）的单调递减区间是 （ ）A ． (－∞， 2]B ． [2，＋∞ ）C ．[ －2，＋∞ ）D ． （－∞，－ 2] 解析】 由 f （1）＝ 91，得 a 2＝ 19，解得 a ＝ 31或 a ＝－ 31（舍去 ），即 f （x ）＝ 9 9 3 3 1 2 x 41 由于 y 3＝|2x －4|在（－∞ ，2]上递减，在 [2，＋∞）上递增，所以 f （x ）在（－∞，2]上递增，在 [2，＋∞） 上递减． 答案】 B 3x 2＋ln 1＋x 2＋x ， x ≥ 0， 例 2．已知函数 f （x ）＝ 若 f （x －1）<f （2x ＋1），则 x 的取值范 3x 2＋ln 1＋x 2－x ， x<0， 围为 若 x>0，则－ x<0，f （－x ）＝3（－x ）2＋ln （ 1＋ －x 2＋x ）＝3x 2＋ln （ 1＋x 2＋x ） ＝f （x ），同理可得， x<0 时， f （ － x ） ＝ f （x ），且 x ＝0 时，f （0）＝f （0），所以 f （x ）是偶函数．因为当 解析】 x>0时，函数 f （x ）单调递增，所以不等式 f （x －1）<f （2x ＋1）等价于 |x － 1|<|2x ＋1|，整理得 x （x ＋ 2)>0 ，解得 x>0 或 x<－2. 答案】 （－∞，－ 2）∪ （0，＋∞ ） 例 3 ．已知 5a>b>1，若 log a b ＋ log b a ＝2， a b ＝ b a ，则 a＝，b ＝1∵logab ＋log b a ＝ log a b ＋ logab 2解析】题组训练一求函数值1．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间［0，＋∞ )单调递增．若实数 a 满足1 f(log2 a)＋f (log2a)≤2f(1)，则 a 的最小值是( )A.32B． 11C.I2D． 211【解析】log 2a＝－log 2a，f (log 2 a)＋f (log 2 a)≤2f(1)，所以2f(log2 a)≤2f(1)，所以|log211a|≤1，解得12≤a≤2，所以 a 的最小值是21，故选 C.【答案】C－12．若函数f(x)＝a x－2－2a(a>0，a≠ 1)的图象恒过定点x0, ，则函数f(x)在［0,3］上的最3小值等于 ______ ．【解析】令x－2＝0得x＝2，且f(2)＝1－2a，所以函数f(x)的图象恒过定点(2,1－2a)，1 1 －2因此x0＝2，a＝31，于是f(x)＝13x－2－32，f(x)在R 上单调递减，故函数f(x)在［0,3］上的最小1 值为f(3) ＝－3.I 【答案】－13题型二比较函数值大小【题型要点解析】三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1) 底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；(2) 底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3) 底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图即 b>c>1；设 f(x)＝x 3－3x ，则 f(3)＝0，∴x ＝3 是 f(x)的零点， ∵f ′(x)＝3x 2－3x · ln ，3∴f ′(3)＝27 － 27ln 3<0，f ′(4)＝48－81ln 3<0，∴函数 f(x)在(3,4)上是单调减函数， ∴ f( π)f<(3) ＝0， π3<3π，∴ a<b ；又∵ e π<πe <π3，∴ c<a ；综上 b>a>c.故选 D.答案】象比较大小．例 1 ．已知 a ＝b ＝c ＝125，则 ( )A ． a<b<cB ． b<c<aC ．c<b<aD ． b<a<c解析】 因为 a ＝243，245， c ＝1 25253，显然有 b<a ，又 a22＝43<53＝c ， 故 b<a<c.答案】例 2 ．已知 a ＝ π3，b ＝ 3π，c ＝ e π， 则 a 、 b 、 c 的大小关系为 ( A ． a>b>c B ．a>c>b C ．b>c>aD ． b>a>c解析】a ＝ π3，b ＝ 3π，c ＝ e π，∴函数 y ＝x π是 R 上的增函数，且 3>e>1，∴ 3π>e π， ∴π3－3π<0，即题组训练二 比较函数值大小1．若 a>b>1,0<c<1，则 ( )A ．a c <b cB ．ab c <ba cC ．alog b c<blog a cD ． log a c<log b c解析】 对 A ：由于 0<c<1， ∴函数 y ＝x c 在 R 上单调递增，则 a>b>1? a c >b c ，A 错误；对 B ：由于－ 1<c － 1<0，∴函数y ＝x c －1在(1，＋∞ )上单调递减，又∴ a>b>1，∴a c －1<b c 1? ba c <ab c，B 错误；对 C ：要比较aln c bln c ln c alogb c 和 blog a c ，只需比较 ln b和ln a，只需比较bln bln c和，只需bln b 和aln a；构造函数f(x)＝xln x(x>1)，则f′(x)＝ln x＋1>1>0 ，f( x)在(1，aln a11＋∞ )上单调递增，因此f(a)>f(b)>0? aln a>bln b>0? aln a<bln b，又由0<c<1 得ln c<0，∴ ln c ln c ln c ln caln a>bln b? blog a c>alog b c，C 正确；对D：要比较log a c 和log b c，只需比较ln a和ln b，而函11数y＝ln x在(1，＋∞ )上单调递增，故a>b>1? ln a>ln b>0? ln a<ln b，又由0<c<1得ln c<0，∴l ln n c a>l l n n c b? log a c>log b c，D 错误．故选 C.【答案】C2．设函数f(x)＝e x＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则( )A ．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a)C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0【解析】依题意，f(0) ＝－3<0，f(1)＝e－2>0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即0<a<1.g(1)＝－3<0，g(2)＝ln 2＋3>0，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1<b<2，于是有f(b)>f(1)>0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)<g(1)<0，g(a)<0<f(b)，选 A.【答案】A题型三求参数的取值范围【题型要点解析】利用指、对数函数的图象与性质可以求解的两类热点问题及其注意点(1) 对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时、常利用数形结合思想求解．(2) 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(3) 注意点：利用对数函数图象求解对数型函数性质及对数方程、不等式问题时切记图象的范围、形状一定要准确，否则数形结合时将误解．对于含参数的指数、指数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论．解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解．1<2.故选 C.答案】 C题组训练三 求参数的取值范围－ x ＋ 6， x ≤ 2， 例 1 ．若函数 f(x)＝ 3＋log a x ，x>2(a>0，且 a ≠1)的值域是 [4，＋∞ )，则实数 a 的取值范围是 ______ ．【解析】 当 x ≤2 时， f(x)＝－x ＋6，f(x)在(－∞，2]上为减函数，∴ f(x)∈[4＋∞)．当x>2 时，若 a ∈ (0,1) ，则 f(x)＝3＋log a x 在(2，＋ ∞ )上为减函数， f(x)∈(－∞，3＋ log a 2)，显1－ 2a x ＋ 3a ，x <1，例 1．已知 f(x)＝ln x ， x ≥ 1的值域为 R ，那么 a 的取值范围是 ( )A ． (－∞，－ 1]B.1,12C. 1,12D.0,12解析】 要使函数 f(x)的值域为 R ，需使1－2a >0，1a <2，ln 1≤ 1－ 2a ＋ 3a ，∴－ 1 ≤ aa ≥－1，例2．设函数 f(x)＝ x ＋x1， x ≤ 0，2x，x>0，则满足f(x)＋f x 1>1的 x 的取值范围是 2解析】 1由题意， 当 x> 21时，f (x)＋ f111＝2x ＋2x － >1 恒成立， 即 x> 满足题意；1当 0<x ≤12时，11 1 f(x)＋f x＝2x ＋x － ＋ 1>1 恒成立，即 0<x ≤ 满足题意；当 x ≤0 时，222f(x)＋ f x 12 1 1 1 1＝x ＋1＋x －2＋1>1，解得 x>－4，即－ 4<x ≤0.综上，x 的取值范围是 ,答案】1, 4答案】 C示不满足题意，∴ a>1，此时 f （x ）在 （2，＋∞）上为增函数， f （x ）∈（3＋log a 2，＋∞ ），由题意可 知（3＋log a 2，＋ ∞）? [4 ，＋ ∞ ），则 3＋log a 2≥ 4，即 log a 2≥1，∴1<a ≤2.答案】 （1,2]21 x2－ 2x ＋a ，x<2， 4x －3，x ≥12a ≥ － 1.分离参数得 a ≥－x 2＋2x －1＝－ （x － 1）2，函数 y ＝－（x －1）2开口向下，且对称轴为 x11＝ 1，故在, 上单调递增，所以函数在 x ＝ 处有最大值，最大值为－221即 a ≥－ 1.4答案】专题训练】 、选择题1．定义在 R 上的函数 f （x ）满足 f （－x ）＝－ f （x ），f （x －2）＝f （x ＋2），且 x ∈（ － 1,0）时， f （x ）1＝2x ＋ 5，则 f （log 220）等于 （ ）A ．14 C ．－ 1 D ．－ 5【解析】 由 f(x － 2)＝ f(x ＋2)，得 f(x)＝f(x ＋4)，因为 4<log 220<5 ，所以 f(log 220)＝f(log 2204 4 1－4)＝－ f(4－log 220)＝－f(log 2 5)＝－ (2log 25＋ 5)＝－ 1.例 2．设函数 f （x ） ＝的最小值为－ 1，则实数 a 的取值范围是解析】1当 x ≥21时， 4x －3 为增函数，最小值为11f ＝－ 1，故当 x< 时， x 2－ 2x ＋22 21， ＝－ 4，42．定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0)(x1≠x2)，都有<0，则下列结论正确的是( )A．f(0.32)<f(20.3)<f(log 25)B．f(log25)<f(20.3)<f(0.32)C．f(log25)<f(0.32)<f(20.3)D．f(0.32)<f(log 25)<f(20.3)【解析】∵对任意的x1，x2∈(－∞，0)，f x1 － f x2 且x1≠ x2，都有<0 ，x1－x2∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．又∵ f(x)是R 上的偶函数，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∵ 0<0.32 <20.3<log 25，∴ f(0.32)<f(20.3)<f(log25)．故选 A.【答案】A1 3．已知f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x)，当x∈[2,3] 时，f(x)＝log2(x－1)，则f等于3()A ．2－log23B ．log23－log 27C．log 27－log 23 D．log23－ 2【解析】因为f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x) ，所以f(x－2)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(x)，1 1 5所以 f 1＝ f 2 1＝f53 3 3f x1 － f x23答案】 A又当 x ∈[2,3]时， f(x)＝ log 2(x － 1)，1所以 f＝log 23－ 2，故选 D.3【答案】 D14．已知函数 y ＝ f( x)是 R 上的偶函数，设 a ＝ln π， b ＝(ln π2 3)， c ＝ ln π，当对任意的 x 1，x 2∈(0，＋∞ )时，都有 (x 1－x 2) ·f ([x 1)－ f (x 2)]<0 ，则 ( )A ．f(a)>f(b)>f(c)B ．f(b)>f(a)>f(c)C ．f(c)>f(b)>f(a)D ． f(c)>f(a)>f(b)【解析】 由 (x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]<0 可知，f x 1 － f x 2－x <0，所以 y ＝f(x)在(0，＋ ∞ )上单调递减．又因为函数 y ＝ f(x)是 R 上的偶函 x 1 －2＝2ln π，所以 |b|>|a|>|c|，因此 f(c)>f(a)>f(b)，故选 D.【答案】 D5．已知函数 y ＝ f( x)的图象关于 y 轴对称，且当 x ∈ ( －∞， 0)时，f(x)＋xf ′(x)<0 成立， a ＝ (20.2 ) ·f(20.2)， b ＝ (log π3) ·f(log π3)， c ＝ (log 39) ·f(log 39)，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ． b>a>cB ． c>a>bC ．c>b>aD ． a>c>b【解析】 因为函数 y ＝f(x)关于 y 轴对称， 所以函数 y ＝xf(x)为奇函数． 因为 [xf(x)]′＝f(x)＋ xf ′ ( x)，且当 x ∈(－∞，0)时， [xf(x)]′＝f(x)＋xf ′ (x)<0，则函数 y ＝xf(x)在(－∞，0)上单调递减；因为 y ＝ xf (x)为奇函数，所以当 x ∈ (0，＋ ∞ )时，函数 y ＝ xf( x)单调递减．因为 1<20.2<2,0<log π3<1， log 39＝2，所以 0<log π3<20.2<log 39，所以 b>a>c ，选 A.所以 f 7 ＝ log 2 733 41 ＝log 23＝2－ log 23，x21数，所以y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，由于a＝ln ＝－ln π<－1，b＝(ln π) 2，c＝ln π π答案】A6．设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c 大小关系正确的是( )A ．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a【解析】根据指数函数和对数函数的增减性知，因为0<a＝0.23<0.20＝1，b＝log0.30.2>log0.30.3＝1，c＝log30.2<log 31＝0，所以b>a>c，故选 B.【答案】Ba，a－ b ≤2，＋7．对任意实数a，b 定义运算“ Δ”：aΔb＝设f(x)＝3x 1Δ(1－x)，若函b，a－b>2，数f(x)与函数g(x)＝x2－6x 在区间(m，m＋1)上均为减函数，则实数m 的取值范围是( )A ．[－1,2] B．(0,3]C．[0,2] D．[1,3]－x＋1，x>0 ，【解析】由题意得f(x) ＝x＋1x＋1，x≤0，3∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，函数g(x)＝(x－3)2－9 在(－∞，3]上单调递减，若m≥0，函数f(x)与g( x)在区间(m，m＋1)上均为减函数，则得0≤m≤2，故选 C.m＋1≤3，【答案】Cfx ，x>0，8．已知函数f(x) ＝a|log2 x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝给出下列命题：f －x ，x<0，①F(x)＝|f(x)|；②函数F(x)是偶函数；③当a<0 时，若0<m<n<1，则有F(m)－F(n)<0 成立；④当a>0 时，函数y＝F(x)－2有 4 个零点．其中正确命题的个数为( )A ．0 B．1C．2 D． 3fx ，x>0 【解析】①∵函数f(x)＝a|log2x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝，∴ |f(x)|＝f －x ，x<0 |a |log2x|＋1|，∴ F(x)≠|f(x)|，①不对；f －x ，x<0②∵ F(－x)＝＝F(x)，∴函数F(x)是偶函数，故②正确；fx ，x>0③∵当a<0 时，若0<m<n<1，∴ |log2m|>|log2n|，∴ a|log2m|＋1<a|log2n|＋1，即F(m)<F( n) 成立，故F(m)－F(n)<0 成立，所以③正确；f x ，x>0，④∵ f(x)＝a|log2x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝f －x ，x<0，∴x>0 时，(0,1)单调递减，(1，＋∞)单调递增，∴x>0 时，F(x)的最小值为F(1)＝1，故x>0 时，F(x)与y＝－2有 2 个交点，∵函数F(x)是偶函数，∴ x<0 时， F (x)与y＝－2有2个交点，故当a>0时，函数y＝F(x)－2有4个零点，所以④正确．答案】D二、填空题1.已知奇函数f(x)在R 上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c 的大小关系为____ ．【解析】依题意a＝g(－log25.1)＝( －log25.1) f·( －log 25.1)＝log25.1f(log 25.1)＝g(log 25.1)．因为f(x)在R 上是增函数，可设0<x1< x2，则f(x1)<f(x2)．从而x1f(x2)<x2f( x2)，即g(x1)< g(x2)．所以g(x)在(0，＋∞ )上亦为增函数．又log25.1>0,20.8>0,3>0，且log25.1<log28＝3，20.8<21<3，而20.8<21＝log24<log25.1，所以3> log25.1 > 20.8> 0，所以c> a>b.答案】b<a<cx，x≤122．已知函数f(x)＝若不等式f(x)≤5－mx 恒成立，则实数m 的取值ln x－ 1 ，1<x≤ 2范围是_______【解析】设g(x)＝5－mx，则函数g(x) 的图象是过点(0,5) 的直线．在同一坐标系内画出函数y＝f(x)和g(x) ＝5－mx的图象，如图所示．∵不等式f(x)≤5－mx恒成立，∴函数y＝f(x)图象不在函数g(x)＝5－mx 的图象的上方．结合图象可得，① 当m<0时不成立；②当m＝0时成立；③当m>0时，需满足当x＝2时，55g(2)＝5－2m≥0，解得0<m≤2.综上可得0≤m≤2.∴实数m 的取值范围是0，52 .xln 1＋x ＋x2，x≥03．已知函数f(x)＝2，若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则实数 a 的取值范－xln 1－x ＋x2，x<0围是( )A．(－∞，－1]∪[1 ，＋∞ ) B．[－1,0]C．[0,1] D．[－1,1]xln 1＋x ＋x2，x≥0解析】函数f(x)＝2－xln 1－x ＋x2，x<0将x 换为－x，函数值不变，即有f(x)图象关于y 轴对称，即f(x)为偶函数，有f(－x)＝xf(x)，当x≥0 时，f(x)＝xln(1＋x)＋x2的导数为f′(x)＝ln (1 ＋x)＋1＋x＋2x≥0，则f( x)在[0 ，＋＋∞)递增，f(－a)＋f(a)≤2f(1)，即为2f(a)≤2f(1)，可得f(|a|))≤f(1)，可得|a|≤1，解得－1≤a≤1.答案】D3a － 1 x－4a ，x<1 ，4．已知函数f(x)＝在R 上不是单调函数，则实数 a 的取值范log a x，x≥1围是_______ ．【解析】当函数f(x)在R 上为减函数时，有3a－1<0 且0<a<1 且(3a－1) ·＋14a≥log a1，11解得7≤a< 3，当函数f(x)在R 上为增函数时，有3a－1>0 且a>1 且(3a－1) ·＋14a≤log a1，a73无解．11 ∴当函数 f(x)在 R 上为单调函数时，有 17≤a<13，∴当函数 f(x)在 R 上不是单调函数时，731 1 1 1有 a>0 且 a ≠1 且 a<7或 a ≥3即 0<a< 7或3≤ a<1 或 a>1.7 3 7 35．定义函数 y ＝ f(x)， x ∈I ，若存在常数 M ，对于任意 x 1∈ I ，存在唯一的 x 2∈ I ，使得 f x 1 ＋ f x 2 f x1 ＋2f x2＝M ，则称函数 f(x)在 I 上的“均值”为 M ，已知 数 f(x)＝log 2x 在[1,22 016]上的“均值”为解析】 根据定义，函数 y ＝ f(x)， x ∈ I ，若存在常数21当 x 1∈[1,22 016]时，选定 x 2＝2x1 ∈[1,22 016]，可得 M ＝21log 2(x 1x 2)＝1 008.x 12答案】 1 00811，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，即 b 2b ＝bb 2.∴2b ＝b 2，∴b ＝2，a ＝4.f( x)＝ log 2x ， x ∈ [1,2 2 016] ，则函M ，对于任意 x 1∈ I ，存在唯一f x 1 ＋ f x 2的 x 2∈I ，使得 1 22＝M ，则称函数 f(x)在 I 上的 “均值” 为 M ，令 x 1x 2＝1·22 016＝22 016， 22 016。
2020衡水名师理科数学专题卷：专题四《函数的图象、函数的应用》 Word版含答案
2020衡水名师原创理科数学专题卷 专题四 函数的图象、函数的应用考点10：函数的图象（1-5题，13题，17,18题） 考点11：函数与方程（6-10题，14,15题，19-21题） 考点12：函数模型及其应用（11,12题，16题，22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
） 1、考点10 中难函数2()ln(1)f x x =+的图像大致是( )A. B. C. D.2、 考点10 中难函数2e e ()||2x x f x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A.B. C. D.3、考点10 中难函数12||xx y x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=的图像大致形状是( )A. B.C. D.4、考点10 难 函数sin (0)ln xy x x=≠的部分图象大致是( ) A. B.C.D.5、考点10 难如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线1l ,2l 之间, 12//l l ,l 与半圆相交于F ,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E ,D 两点。
设弧长FG 的长为()0πx x <<,y EB BC CD =++,若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图像大致是( )A.B.C.D.6、考点11 易 已知函数26()log f x x x=-,在下列区间中,包含()f x 的零点的区间是( ) A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,4D ．()4,+∞7、考点11 易已知函数21e ,0()2,0xx f x x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若若函数()y f x m =-有两个不同的零点，则m 的取值范围( ) A ．(1,1)-B ．(1,1]-C ．(1,)-+∞D ．[1,)-+∞8、考点11 中难已知函数2,0()2,0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，若方程21()()04f x bf x ++=有六个相异实根， 则实数b 的取值范围( ) A.(2,0)-B.(2,1)--C.5(,0)4- D.5(,1)4-- 9、考点11 难设函数,01(),()()411,101x x f x g x f x mx m x x ≤<⎧⎪==--⎨--<<⎪+⎩,其中0m ≠.若函数()g x 在区间(1,1)-上有且仅有一个零点,则实数m 的取值范围是( ) A. 14m ≥或1m =- B. 14m ≥C. 15m ≥或1m =- D. 15m ≥10、考点11 难若关于x 的方程e 0e exx xx m x ++=-有三个不相等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中R m ∈,e 2.71828...=为自然对数的底数,则3122312(1)(1)(1)e e e x x x x x x ---的值为( ) A.eB.1C.1m +D.1m -11、考点12 易一个容器装有细沙3()a cm ,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出, t 秒后剩余的细沙量为3()bty aecm -=,经过8秒后发现容器内还有一半的沙子,则再经过( )秒,容器中的沙子只有开始时的八分之一. A. 8? B.16 C.24 D.3212、考点12 难气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n 天的维修保养费为4.910n+元(*)n N ∈,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了( ) A.600天 B.800天 C.1000天 D.1200天第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分） 13、考点10 易 已知函数211x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是____________ 14、考点11 易 已知函数22log (),0(){3,0x a x f x x ax a x +≤=-+>有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是__________15、考点11 难在用二分法求方程()0?f x =在[]0,1上的近似解时,经计算,()()()0.6250,0.750,0.68750f f f <><,则可得出方程的一个近似解为__________(精确度0.1).16、考点12 难已知M 是函数()2112sin π2x f x e x --⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,5[3]x ∈-上的所有零点之和,则M 的值为__________三.解答题（共70分）17、（本题满分10分）考点 10 易已知函数() f x 是奇函数, 0x >时2()2f x x x =-+1.求() f x 解析式2.试作出函数()y f x =是的图象;3.若函数()y f x =在区间[]1,2a --上单调递增,求实数a 的取值范围 18、（本题满分12分） 考点11 中难已知函数f ()x 是定义域为R 的奇函数,当0x >时, 2()2f x x x =- 1.求(0)f 的值;2.在答题卷上画出函数f ()x 的图象,并根据图象写出f ()x 的单调区间;3.若函数()()21g x f x a =--有三个零点,求a 的取值范围。
2020衡水名师原创理科数学专题卷：专题04《函数的图象、函数的应用》
1． 已知函数 f (x) 对任意的 x R 有 f (x) f (x) 0 ，且当 x 0 时， f (x) ln(x 1) ，则函数 f (x)
C．
y
x4 10
D．
y
x5 10
第Ⅱ卷（非选择题） 二.填空题（每题 5 分，共 20 分）
13．若直线 y 2a 与函数 y | ax 1 | (a 0 且 a 1) 的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是
14．某同学在借助计算器求“方程
的近似解（精确 ）”时，设
，算得
，
；在以下过程中，他用“二分法”又取了 4 个 x 的值，计算了其函数值的正负，并得
19 ．（ 本 题 满 分 12 分 ） 已 知 命 题 p : “ 函 数 f x 2x2 2x m 在 R 上 有 零 点 ”． 命 题 q : “ 函 数
f x x2 2mx n 在1, 2上单调递增”．
（1）若 p 为真命题，则实数 m 的取值范围； （2）若 p q 为真命题，则实数 m 的取值范围．
2020 衡水名师原创理科数学专题卷 专题四 函数的图象、函数的应用
考点 10：函数的图象（1-5 题，13 题，17,18 题） 考点 11：函数与方程（6-10 题，14,15 题，19-21 题） 考点 12：函数模型及其应用（11,12 题，16 题，22 题）
考试时间：120 分钟 满分：150 分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上
出判断：方程的近似解是
．那么他所取的 x 的 4 个值中最后一个值是
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。