二元函数的泰勒公式

§10.4. 二元函数的泰勒公式

一、高阶偏导数

二元函数),(y x f z =的两个（一阶）偏导数y

z

x z ∂∂∂∂,仍是x 与y 的二元函数.若它们存在关于x 和y 的偏导数，即

.,;,⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z y z y z x z x z y z x z x z 称它们是二元函数),(y x f z =的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个.通常将它们表为：

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x z 表为 22x

z

∂∂ 或 ).,(y x f xx

'' ⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂∂∂x z y z 表为

y x z ∂∂∂2 或 ).,(y x f xy '' （混合偏导数） ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂∂∂y z x z 表为 x y z ∂∂∂2 或 ).,(y x f yx

'' （混合偏导数） ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂∂∂y z y z 表为 22y

z ∂∂ 或 ).,(y x f yy

'' 一般地，二元函数),(y x f z =的1-n 阶偏导函数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有n 2个.二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如，符号

k k n n y

x z

∂∂∂- 或

),()(y x f n y x k k n -

表示二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数，其次接着对

y 求k 阶偏导数.

二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.

例1. 求函数 332233++-=xy y x y x z 的二阶偏导数.

解：

.233.63223232xy x y x y

z

y xy y x x z

+-=∂∂+-=∂∂ .66322y xy x

z

-=∂∂

.269222y x y x x y z +-=∂∂∂ .2692

22y x y x y x z +-=∂∂∂ ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂=∂∂∂x y z y x z 22 .26322x y x y

z

+=∂∂

例2. 证明：若,)()()(,1

222c z b y a x r r

u -+-+-==则

.0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u

y u x u

证明： 由§10.3.例2，有

.,,333r

c

z z u r

b

y y u r

a x x u --=∂∂--=∂∂--=∂∂

6

2

32

2

3)(r x r

r a x r x u

∂∂---=∂∂ ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=∂∂r a x x r 6

2

33)(r r a

x r a x r ----=.)(3125

3a x r r -+-=

同样，可得

.)(31,

)(3

12

5

32225322c z r

r z u b y r r y u -+-=∂∂-+-=∂∂ 于是，])()()[(3

322253222222c z b y a x r r z u y u x u -+-+-+-=∂∂+∂∂+∂∂

.03

333=+-

=r

r

定理1. 若函数),(y x f 在点),(00y x P 的邻域G 存在二阶混合偏导数),(y x f xy

''与),(y x f yx

''，并且它们在点),(00y x P 连续，则

),(),(0000y x f y x f yx xy

''='' )1(

证明 令),(y x F ∆∆[]),(),(0000y x x f y y x x f ∆+-∆+∆+= []),(),(0000y x f y y x f -∆+-，

①令),(),()(00y x f y y x f x -∆+=φ.对)(x φ在],[00x x x ∆+上应用拉格朗日中值定理,得 x x x y x F ∆∆+'=∆∆)(),(10θφ

[]x y x x f y y x x f x x ∆∆+'-∆+∆+'=),(),(010010θθ y x y y x x f xy

∆∆∆+∆+''=),(2010θθ； ②令),(),()(00y x f y x x f y -∆+=ψ.同样方法可以得到

y x x y x x f y x F yx

∆∆∆+∆+''=∆∆),(),(4030θθ.于是有 =∆+∆+''),(2010y y x x f xy

θθ),(4030x y x x f yx ∆+∆+''θθ. 令0,0→∆→∆y x ,取极限得(1)式.

例3. 证明：若,sin ,cos ),,(ϕρϕρ===y x y x f z 则

.112

22222222ρρϕρρ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂f

f f y f x f 证明：

ρρρ∂∂∂∂+

∂∂∂∂=∂∂y y f x x f f .sin cos ϕϕy f

x

f ∂∂+∂∂=

ϕϕϕ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y y f x x f f .cos sin ϕρϕρy

f

x f ∂∂+∂∂-= ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ϕϕρρρρsin cos 22y f

x f f f f f .sin cos sin cos sin cos 222222

22ϕϕϕϕϕϕy f x y f y x f x f ∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂=

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ϕρϕρϕϕϕϕcos sin 22y f x f f f f f ϕρϕϕρϕρcos cos sin sin 222

222x f y x f x

f ∂∂-∂∂∂-

∂∂=