函数项级数一致收敛性

函数项级数一致收敛性有关问题的讨论

函数项级数是微积分的主要内容之一，是数学分析研究的重点．用函数项级数(或函数列)来表示(或定义)一个函数，判断其一致收敛性是关键．从函数项级数一致收敛的定义及性质出发，下面主要讨论函数项级数(或函数列)一致收敛性的判别及其应用．

1 函数项级数一致收敛的相关定义

定义1.1

[]1(31)

P 设函数列{})(x S n 是函数项级数

∑∞

)(n n

x u

的部分和函数列，若,0>?ε 存在正

整数)(εN ，当n >)(εN 时，不等式

∑=-n

k k

x S x u

)()(=)()(x S x S n -<ε

对I 上一切x 都成立，则称

∑∞

)(n n

x u

在I 上一致收敛于()S x ．

一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达：定义1.1[]2(67)

P 函数列{})(x S n (或

∑∞

)(n n

x u

)在I 上一致收敛于()S x

?∞

→n lim I

x ∈sup )(x R n =0)()(sup lim =-∈∞→x S x S n I

x n ，其中)(x R n =()()n S x S x -称为函数项级数

∑∞

)(n n

x u

的余项．

定义1.2 函数列{})(x S n 在I 上非一致收敛于()S x

?00>?ε，0>?N ，N n >?0，I x ∈?0，使得)()(000x S x S n -≥0ε．

定义 1.3 函数列{})(x S n 在区间()b a ,内的任一闭区间上一致收敛时，称{})(x S n 在区间()b a ,内闭一致收敛．

2 一致收敛函数项级数的性质[]

3(417430)

P -

定理2.1（逐项取极限）设级数

∑∞

=1)(n n

x u

在0x 的某个空心邻域0U (0x )={}δ<-<||0:0x x x 内

一致收敛，0

lim x x →()n n u x c =．则

∑∞

n n

收敛，且

lim

x x →∑∞

)(n n

x u

=∑∞=→1

)(lim 0

n n x x x u =∑∞

n n c ．（1）

定理2.2（连续性）若)(x u n 在区间I 上连续(1,2,n =???)，

∑∞

)(n n

x u

在I 上一致收敛，则()S x

≡∑∞

)(n n x u 在I 上连续．

定理2.2' 若)(x u n 在(,)a b 内连续(1,2,n =???)，

∑∞

)(n n

x u

在(,)a b 内闭一致收敛，则()S x ≡

∑∞

)(n n

x u

在(,)a b 内连续．

定理2.3（逐项求导）若级数

∑∞

)(n n

x u

区间I 上满足以下三条：

（1）级数

∑∞

)(n n

x u

在I 上收敛(或验证在I 上至少有一个收敛点)；

（2）)(x u n 在I 上有连续导数(1,2,n =???)；（3）

()n n u x ∞='∑在I 上一致收敛(或在I 的任一内闭区间上一致收敛)，则∑∞

)(n n

x u

区间I 上可微，

且可逐项求导，即在I 上有

d dx

∑∞=1

)(n n x u =1()n n d u x dx ∞

=??

???∑ （2）定理2.4（逐项求积分）若级数

∑∞

=1)(n n

x u

的各项连续，并且此级数在[,]a b 上一致收敛，则有

()()b b

n n a

n n u x dx u x dx ∞

∞

===∑∑??

（3）

一般地，若当∞→n 时，

()0b

n a

R x dx →?

，则上式为真．

3 一致收敛性的判断

判别一致收敛的方法有多种，下面将分别进行介绍和讨论．

3.1 利用一致收敛的定义

通常称定义1.1为“N -ε法”，定义1.2为“确界法”，从中还可以得到一种更简便的方法“放大法”：

若,0n n N α+

?∈?>，使得)(,)()(I x x S x S n n ∈?≤-α，且n →∞时，0n α→，则n →∞

时，()n S x 在I 上一致收敛于()S x ．

例1 讨论级数

321

()()()n n u x x x

x x x ∞

==+-+-+???∑在下列区间的一致收敛性．

(1)2

0≤

≤x ， (2)10≤≤x ．解令n

k k n x x u S ==

∑=1)(，则001;()lim ()1 1.

n x S x S x x →∞

≤

0≤

≤x 时，()0S x =． ,0>?ε若)()(x S x S n -=ε

??≤n

n x 21，只要2ln 1

ε>n ，取1

[]ln 2N ε=，则当N n >时，

?]2

,0[∈x 均有

)()(x S x S n -=0)(-x S n <ε．因此

∑∞

)(n n

x u 在]21,0[上一致收敛于零．（2）方法1 取0ε，使21

00<

<ε，不论n 多大，只要取n

x 2

1=，就有

)21()21(n n n S S -=02

ε>．

因此，

∑∞

)(n n

x u

在[0,1]上收敛而非一致收敛．

方法2 01;()()()1

n n x x R x S x S x x ?≤<=-=?

故01

sup ()1n x R x ≤≤≡．因此，

∑∞

)(n n

x u

在[0,1]上非一致收敛．

注意在(1)中找N 的方法与技巧，对()()n S x S x -适当放大时，应使N 与x 无关，只与ε有关．例2 设1

01()()n n i i

f x f x n

n -==

+∑，1,2,n =???，其中()f x 为连续函数，证明序列{}()n f x 在任

何有限闭区间[,]a b 上一致收敛．

证记{}()n f x 的极限函数为()F x ，则

01()lim ()()()()

(01;0,1,,1).

i n n x x i n i n x

n x i i n i i F x f x f t dt f t dt f x n

n n i n θ

θ+--++

→∞

+======++<<=???-∑∑?

由于()f x 在[,1]a b +上连续，故在[,1]a b +上一致连续，即,0>?ε()0δδε?=>，使对于

',''[,1]x x a b ?∈+，只要当'''x x δ-<时，就有(')('')f x f x ε-<．取1

[]1N δ

=+，则当

,n N a x b >≤≤时，有

()11()()[,1][,1]0,1,,1i i i i i i x x x a b x a b i n n n n n N n n n

θθ

δ+

+-+<<<+∈+++∈+=???-且，.于是

0011

()()()().n n i n i i i i F x f x f x f x n n n n n

θεε--==-≤++-+<=∑∑

因此{}()n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x ．

例3 试证：22

1(1)n

n n n x

∞

=-+∑在(,)-∞+∞内一致收敛．证易知(,)x ?∈-∞+∞，当n 充分大时，22n n x ??

??+??

单调减且趋于0．故该级数为莱布尼茨型级数．则有

2211

()0(1)1

n n R x n x n +≤

≤→+++ ()n →+∞

所以级数 22

(1)n

n n n x ∞

=-+∑在(,)-∞+∞内一致收敛． 3.2 柯西准则判断一致收敛性

[]5(31)

定理3.2（一致收敛的柯西准则）函数项级数

()n n u x ∞

=∑ (部分和函数列()n

x )在I 上一致收敛

的充分必要条件为：,0>?ε总存在正整数N =)(εN ，使N n >时，不等式

12()()()n n n p u x u x u x +++++???+<ε )()((x S x S n p n -+<)ε

对任意的正整数p 和I 上任意的x 都成立．

当1=p 时得到函数项级数一致收敛的必要条件．

推论函数项级数

()n n u x ∞

=∑在数集I 上一致收敛?函数列{})(x u

在I 上一致收敛于零，即

,0>?ε+∈?N N ，当n N >时，I x ∈?都有)(x u n <ε．

例4 设{}()n u x 为[,]a b 上的可导函数列，且在[,]a b 上

()n

k k u x C ='≤∑，C 是不依赖与x 和n

的正数．证明：若

()n n u x ∞

=∑在[,]a b 上收敛，则必为一致收敛．

证 0ε?>，取m 充分大，将[,]a b m 等分，使得

4b a m C

．顺次以12,,,m x x x ???表示各小区间段的中点．由已知得，

∑∞

)(n i n

x u

收敛?()0,,,i i i i N N x n N εε?>?=>时，有

()2

n p

k i k n u x ε

+=+<

∑

，()p N +

?∈．

令12max{,,,}m N N N N =???，则[,]x a b ?∈（不妨设x 位于第i 个小区间段，{}1,2,,i m ∈???），于是

()()(())()()i

n p n p

n p

x x k n k n k n k n k n u x u x u t dt u x u t dt +++++=+=+=+=+=+''=+≤+∑∑∑∑∑??

2.2

i C x x ε

ε<+-≤

原命题得证．

注意：在证明过程中对

()n p

k n u x +=+∑进行变形时，有一个重要方法可利用—阿贝尔变换．

3.3 判别函数项级数一致收敛性的常用方法

判别函数项级数一致收敛性除根据定义和柯西准则外，还可以根据级数各项的特性来判别，常用以下判别法．

3.3.1 Weierstrass 判别法定理3.3.1 (Weierstrass 判别法)

[]1(32)

P 设函数项级数

()n n u x ∞=∑定义在数集I 上，1

n M

∞

=∑为收敛

的正项级数，若对一切x I ∈，有(),n n u x M ≤1,2,n =???，则函数项级数

()n n u x ∞

=∑在I 上一致收敛．

其中

n M

∞

=∑称为

()n n u x ∞

=∑的优级数，因此该定理也称为优级数判别法．求优级数的方法有多种，主

要有以下方法：

（1）观察法；例5 证明：

cos n nx

n ∞

=∑在x <+∞时一致收敛．提示：

2cos 1

nx n n

≤可证．（2）找出()n u x 的最大值法；例6 证明

(1)n

n x

x ∞

=-∑在[0,1]上一致收敛．

提示：求出通项()n u x 的最大值点（求导法），2

x n =+时．（3）利用已知不等式法；例7 讨论

11n nx

n x

∞

=+∑在区间x <+∞上的一致收敛性．解当x <+∞时，55

12n x n x +≥，于是，3522112nx n x n ≤+．又因3

2n n ∞

=∑收敛，故级数 52

11n nx

n x

∞

=+∑在(,)-∞+∞上一致收敛．（4）利用某些已知公式进行变形，等等．例8 证明

n x e

∞

-=∑在(0,)+∞内一致收敛．

证利用泰勒公式，22

n x e nx =+++??? ()x R ∈．从而 22222222

122

x x x e

n x n x n

nx -=<=+++???

(0)x >．而级数

n n

∞

=∑一致收敛，因此由优级数判别法可知原级数在(0,)+∞内一致收敛．

3.3.2 Abel 判别法和Dirichlet 判别法

对级数

()n

n u x ∞

=∑，若()n u x =()()n n

a x

b x ．

定理3.3.2 (Abel 判别法)

[]1(33)

P 设

（1）

()1

n n a x ∞

=∑在区间I 上一致收敛；

（2）对于每一个x I ∈，{}()n b x 是单调的；

（3）{}()n b x 在I 上一致有界，即对一切x I ∈和n N +

∈，存在正数M ，使得()n b x M ≤，

则级数

()n n u x ∞

=∑在I 上一致收敛．

定理3.3.3 (Dirichlet 判别法)

[]1(34)

P 设

（1）

()1

n n a x ∞

=∑的部分和函数列1

()()n

k k S

x a x ==∑(1,2,)n =???在I 上一致有界；

（2）对于每一个x I ∈，{}()n b x 是单调的；（3）在I 上，()0n b x →→

，()n →∞，则级数

()n

n u

x ∞

=∑在I 上一致收敛．

例9

讨论

n ∞

=在区间0x <<+∞上的一致收敛性．

解

(1)n -=

．由于1

(1)n n ∞

=-∑

收敛，且与x 无关，故它对x 而言是一

对于每一个(0,)x ∈+∞

1≤．因此由Abel 判

别法可知原级数在(0,)+∞上一致收敛．

例10

讨论

(1)2

11)

n n n -∞

=10x ≤上的一致收敛性．

解

(1)2

(1)

2k k n

k -=-≤∑

，记()n b x =

．

>，故()

b x

≤→(10)

x≤，

故()

b x单调一致地趋于零．因此，由Dirichlet判别法知，级数在[10,10]

-上一致收敛．

例11 证明

(1)sin

x nx

∞

∑在1(,1)

内一致收敛．

证原级数=

1(1)

sin

n n

x x

∞

∑．其中1

1n x

对任意

(,1)

x∈关于n单调，且一致有界：

1n x

≤

．

下面考察级数

(1)

sin

x x

∞

∑．

因为

sin2sin sin

2sin

n n

k k

kx kx

∑∑

111

[cos()cos()]

2sin

k x k x

=--+

∑

cos cos()

2sin sin sin

224

x nx

=≤≤

((,1),1,2,)

x n

∈=???

所以

sin

∑在1(,1)

内一致有界．

而

(1)1

,(,1)

112

n n

x x x

x x x x-

=∈

-+++???+

关于n单减，又

211

n n

x x

x x x nx n

≤≤<→

+++???+

(,1)

x∈．

所以

(1)

x x

在

(,1)

上单减一致收敛于0．由Dirichlet判别法可知，级数

(1)

sin

x x

∞

∑在

(,1)

内一致收敛．

则由Abel判别法可知原级数在

(,1)

上一致收敛．

3.3.3 Dini定理

定理3.3.4(Dini定理)[]3(407)

P设()0

u x≥，在[,]

a b上连续，1,2,

n=???．又

()

u x

∞

∑在[,]

a b

上收敛于连续函数()f x ，则

()n n u x ∞

=∑在[,]a b 上一致收敛于()f x ．

证（反证法）若

()n n u x ∞

=∑在[,]a b 上非一致收敛，则0

0ε

?>，使得0,,[,]N N n N x a b +?∈?>?∈，有

00()n R x ε≥．取1N =，知11n ?>，1[,]x a b ?∈使110()n R x ε≥，令1N n =知21n n ?>，

2[,]x a b ?∈ ，使220()n R x ε≥，如此下去，我们得到{}n 的子序列12k n n n <

0()k n k R x ε≥(1,2,)k =??? （1）利用致密性原理，在有界数列{}k x 里，存在收敛子列{}

0[,]j k x x a b →∈ ()j →+∞，因()n R x 单减(关于n )，所以m N +

?∈，当j

k n m >时，有

0()()j k j j

m k n k R x R x ε≥≥ （因式（1）

）由于()()()m m R x f x S x ≡-连续，所以j →+∞时，对0()j m k R x ε≥取极限，知 00()m R x ε≥， ()m N +

?∈，与

()n n u x ∞

=∑在[,]a b 上收敛矛盾．证毕．

注意：Dini 定理在和函数便于求得的情况下应用比较方便．

例12 证明函数列1(),(1,2,)(1)n x n

f x n x

e n

=???++在区间[0,1]上一致收敛．

证当n →∞时，(1)n x x e n +

→，且(1)(1,2,),n x x

n e n

+=???都在[0,1]上连续，故由Dini 定理可知函数列(1)n x n ??+????

在[0,1]上一致收敛于x

e ．由于

(1)1111e (1)(1)(1)x n x n

x x x

n x n n n x

e e n x x e e e n n ++---=+??

+++++??

?(1)1x

n x n x e e n ≤+-+- 1

(1)1x

n x e e n =-++-在[0,1]上一致收敛于0()n →∞．

又

+，11n

x n

x e n ??++ ?

(1,2)n =???在[0,1]上连续，

因此，在[0,1]上，当n →∞时，原函数列一致收敛于

+． 3.4 一致有界与等度连续定义3.4.1

{}()n f x 在I 上一致有界，是指：,0>?M 对一切I x ∈，都有

()(1,2,n f x M n ≤=

)???成立．

例13[]3(410)

P 设{}()n f x 在区间[0,1]上一致有界，试证存在一个子序列，在[0,1]的一切有理

点收敛．

证我们知道[0,1]的全体有理点可以排成一个数列{}n a ．

因{}()n f x 一致有界，故{}1()n f a 是有界数列．由致密性原理知其中存在收敛的子序列．为了便于叙述，记此收敛的子序列为{}

1,1()n f a ，于是{}

{}1,()()n n f x f x ?在1x a =处收敛．同理，因

{}1,2()n

a 是有界数列，又必存在收敛子列{}2,2()n f a ．即{}{}2,1,()()n n f x f x ?，{}2,()n f x 在

12,x a a =处都收敛．如此不断地进行下去，不断地在子序列里取子序列，使{},()k n f x 在12,,,k x a a a =???处收敛，于是得到一串子序列：

1,11,21,31,2,12,22,32,3,13,23,33,,1,2,3,(),(),(),,(),(),(),(),,(),(),(),(),,(),(),(),(),,(),n n n n n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

最后能用上表对角线元素组成一个子序列{}

,()n n f x ，即1,12,23,3(),(),(),f x f x f x ,???,(),n n f x ???易知此序列在点(1,2,)i a i =???上收敛．事实上，{}(1,2,)i a i ?∈???，已知上面的子序列中第i 个子序列在i a 处收敛，而,1,1(),()i i i i f x f x ++???是第i 个子序列的子序列，故{}

,()n n f x 在i a 点上收敛．由此知{}

,()n n f x 在{}12,,,,n a a a ??????上收敛．

定义 3.4.2 设Ω是区间I 上定义的函数族，Ω上的函数在I 上等度连续，是指：0ε?>，

0δ?>，当12x x I ∈，且12x x δ<－时有12()()()f x f x f ε-

特别，I 上定义的函数序列{}()n f x ，在I 上等度连续，是指：0,0εδ?>?>，当12x x I

∈，

且12x x δ<－时有12()()()n n f x f x n N ε+-

例14 设函数序列()n f x 在区间[,]a b 上等度连续的，且有()0,1,2,n f x n ≥=???．试证：若在

[,]a b 上有()()n f x f x →()n →∞，则在[,]a b 上有()()n f x f x →→()n →∞．

证因{}n f 等度连续，0,0εδ?>?>，当12x x I ∈，且12x x δ<－时有12()()2

n n f x f x ε

-<，

令∞→n 取极限可得εε

<≤

-2

)()(21x f x f ．

此即表明)(x f 在I 上一致连续，从而()f x 连续．由Dini 定理知，在[,]a b 上，()()n f x f x →→()n →∞．

4 函数项级数非一致收敛的判断

这里也给出几种巧证函数项级数非一致收敛的方法，这些方法为一些教科书所忽视，但对判别函数项级数非一致收敛却十分有用．

4.1 利用定义法判别（见例1用“N ε-法”） 4.2 利用柯西准则法判别

由函数项级数一致收敛的柯西准则，可以得到以下命题．命题 4.2.1 ()1

n n u x ∞

=∑在区间I 上非一致收敛?0

0,,,,,

N N n N x I p N ε

++?>?∈?>?∈?∈有

().n p

k n u x ε+=+≥∑

（证明略）

特别，当n →∞时，若通项n u 在区间I 上非一致收敛于0，则函数项级数()n

u x ∑在区间I 上

非一致收敛．

根据函数列一致收敛的概念，又有以下命题．

命题 4.2.2 若函数项级数

1()n

n u

x ∞

=∑在区间I 上逐点收敛，且在区间I 中存在一点列{}n x ，使

lim ()0n n n u x →∞

≠，则函数项级数1

()n n u x ∞

=∑区间I 上非一致收敛．

（证明略）例15 证明级数

sin n nx

n ∞

=∑

在0x =的邻域内非一致收敛．

分析要证片段

sin n p

k n kx k ε+=+≥∑（某个事先给定的正数）．取p n =，又在[,]42ππ

上恒有sin sin 4x π≥，则只要使[,]42kx ππ

∈，就有221

1sin 11sin sin 424n

n k n k n kx k k ππ

=+=+≥?≥∑∑．为此，取4n x x n

，因为12n k n +≤≤，所以

(1)

4442

n k n n

<+≤?

≤?

，即

[,]442k n πππ

?∈．

则n N +

?∈，

有2220

sin()

sin

sin 144sin 24n

k n k n k n k kx n k k

k π

πε

=+=+=+?

=≥

>==∑∑

∑

因此可取0ε=

（证明略）例16 证明：

11(1)x n n x e n n ∞

=??-+???

?∑在(0,)+∞上非一致收敛．证因为n N +

?∈，当x →+∞时，易知

1(1)x n x e n n ??

-+????

→∞．所以对任意(0,)x ∈+∞，当n →∞时，通项

1(1)x n x e n n ??-+????

非一致收敛于0．所以原级数在(0,)+∞非一致收敛．

例17 讨论级数

2sin

3n n n x

∞

=∑在(0,)+∞上的一致收敛性．解显然原级数在(0,)+∞上逐点收敛，取2(0,)3

n n x =∈+∞，1,2,n =???，有

()2sin

1()2n n n n

u x n =→→∞，故原级数在(0,)+∞上非一致收敛． 4.3 利用一致收敛函数列的性质判别[8](3637)

P -

一致收敛函数列的性质：设各项连续的函数列{})(x S n 在区间上一致收敛于)(x S ，则对任何以

)(00I x x ∈为极限的数列{}n x ，都有 )()(lim 0x S x S n n =∞

→．

由上性质可得如下命题：命题4.3.1 若连续的函数项级数

()n n u x ∞

=∑（记1

()()n

k k S

x u x ==∑）在区间I 上逐点收敛于)(x S ，

且{}0,:n x I x I ?∈?? 0lim n n x x →∞

=有0lim ()()n n n S x S x →∞

≠，则函数项级数

()n

n u

x ∞

=∑在区间I 上非一

致收敛于)(x S ．（证明略）

例18 讨论函数项级数

sin ([0,1))p

n nx

p n ∞

=∈∑在[0,]π上的一致收敛性．解由Dirichlet 判别法易知该级数在区间[0,]π上逐点收敛，设其和函数为()S x ，则

(0)0S =．取1

[0,](1,2,)n x n n

π=∈=???，则0()n x n →→∞，而

1sin

sin sin 1()sin n n

n n n

p k k k k k k k k

k n n n u x k k n n n ======≥≥=∑∑

∑∑∑

所以 1011

1lim ()lim sin sin 0(0)n

n k n n n k k k

u x xdx S n n →∞→∞==≥=>=∑∑?．故原级数在[0,]π上非一致收敛．

4.4 利用和函数的连续性质及端点发散性判别命题4.4.1 若连续函数项级数

1()n

n u

x ∞

=∑在区间I 上逐点收敛于和函数)(x S ，且0x I ?∈，)

(x S 在0x 处不连续，则函数项级数

()n

n u

x ∞

=∑在区间I 上非一致收敛于)(x S ．（证明略）

命题4.4.2

[9](63)

P 若函数项级数

()n

n u

x ∞

=∑在区间(,]a b （或(,)a +∞）上逐点收敛，但在左端点

x a =处发散，n N +

?∈，()n u x 在左端点x a =（右）连续，则函数项级数1

()n n u x ∞

=∑在区间(,]a b

（或(,)a +∞）上非一致收敛．

证用反证法．假设函数项级数

()n

n u

x ∞

=∑在区间(,]a b （或(,)a +∞）上一致收敛．即

0,,,(,]N N n N x a b ε+?>?∈?>?∈或(,)a +∞，有12()()()n n n p u x u x u x ε+++++???+<．

又因n N +∈，()n u x 在左端点x a =（右）连续，令x a →（或a +

），对上式两端取极限，得

12()()()n n n p u a u a u a ε+++++???+≤

则级数收敛，与已知矛盾，故函数项级数

()n n u x ∞

=∑在区间(,]a b （或(,)a +∞）上非一致收敛．

例19 讨论函数项级数

n ne

∞

-=∑在区间为(0,)+∞上的一致收敛性．

解易知函数项级数

n ne

∞

-=∑在区间(0,)+∞上逐点收敛，且每一项都在0x =处连续，而函数

项级数

n ne

∞

-=∑在0x =处发散，故该函数项级数在(0,)+∞上非一致收敛．

该题还可利用其它方法判别，但相比较而言此方法更为简便．例20 讨论

0(1)n

n x x

∞

=-∑在区间01x ≤≤上的一致收敛性．

解 10

()(1)(1)1n

k n n k k S x x x

x x x +===

-=-=-∑∑．于是

101;

()lim ()0 1.n n x S x S x x →∞

≤

取0ε，使01

02ε<<

，不论n

多么大，只要取x = ，就有

011

122n S S ε-=-=>

因此，级数

(1)n

n x x

∞

=-∑在[0,1]上收敛而非一致收敛．

5 综合应用

例21

[]4(368)

证明级数

(1)

x n

n e n

∞

=+-∑在任何有界区间[,]a b 上一致收敛．

证 [,]x a b ?∈

，

(1)

n n

∞

=-∑，且余项

(

)

()

()0()1

11c

n e R x n n n n ≤

≤

→→∞+++ {}(max ,)c a b =，故 [,]

lim sup ()0n n x a b R x →∞∈=．

所以级数

(1)

n n

∞

=-∑[,]a b 上一致收敛．

例22 证明：级数

(1)1

(1)nx

n x n nxe

n xe ∞

---=??--??∑在闭区间01x ≤≤上收敛但非一致收敛，而它

的和在此区间上是连续函数．

证考虑部分和

(1)1()(1)n

kx k x nx

n k S x kxe k xe nxe ----=??=--=??∑，

显然在[0,1]上其极限函数()S x 存在（即级数的和）且连续：()lim ()0n n S x S x →∞

==．

但此级数在[0,1]上非一致收敛．用反证法．若不然，则对任给的0ε>，存在数()N N ε=，使当n N ≥时，对于[0,1]上的一切x 值，均有()()n S x S x ε-<．

今取1012e ε-=

，应有11()()2n S x S x e --<．取01x x n ==，则也应有11

()()2

n S x S x e --<，但另一方面，却有1

0000()()()n n S x S x S x e

ε--==>，矛盾．证毕．

例23

[]4(385)

P 证明函数1

()x n f x n ∞

∑在(1,)+∞无穷次可微．证（1）先证()f x 在(1,)+∞上可微．任取0(1,)x ∈+∞，则0δ?>使得

00112x x δδ<+≤<+<∞．

在0[1,2]x δδ++上，考察111ln ()x x n n n

n n

∞

∞=='=-∑∑．

由于01ln ln 0,[1,2]x n n x x n n δδδ+≤≤∈++ 而12

1ln lim 0n n n n δδ++→∞?=．由比较判别法知11ln n n n

δ∞+=∑收

敛．从而函数项级数1

ln x n n

n ∞

∑在0[1,2]x δδ++一致收敛．故函数()f x 在0[1,2]x δδ++上可微且111ln ()()x x n n n f x n n ∞

∞==''==-∑∑，则001ln ()x n n

f x n

∞

='=-∑．由0(1,)x ∈+∞的任意性，()f x 在(1,)+∞上

可微，且1

ln ()x n n

f x n ∞

='=-

∑．（2）再证对任意自然数k ，均有 ()

(1)ln ()k k k x

n n

x n ∞

=-=∑．事实上，当1k =时，由（1）知结论成立．

假设m k =时结论成立，则当1m k =+时，考察: 1111

(1)ln (1)ln ()k k k k x x

n n n n

n n ++∞

∞==--'=∑∑．由于1111(1)ln ln k k k x n n n n δ++++-≤，0[1,2]x x δδ∈++．而112

1ln lim 0k n n n n δδ+++→∞?=．故级数111ln k n n n

δ+∞+=∑收敛，从而函数项级数1

(1)ln ()k k x

n n

n ∞

=-'∑在0[1,2]x δδ++一致收敛，故函数()()k f x 在0[1,2]x δδ++可微，且 11()

(1)ln (1)ln (())()k k k k k x x

n n n n

x n n ++∞

∞

==--'==∑∑．由以上证明可知函数()f x 在(1,)+∞无穷次可微．

通过以上对函数项级数（函数列）一致收敛非一致收敛相关问题的讨论，希望能对这部分内容的学习提供一些参考．