理论力学(机械工业出版社)第五章点的运动学习题解答解析

习 题

5-1 如图5-13所示，偏心轮半径为R ，绕轴O 转动，转角t ωϕ=（ω为常量），偏心距e OC =，偏心轮带动顶杆AB 沿铅垂直线作往复运动。试求顶杆的运动方程和速度。

图5-13

)(cos )sin(222t e R t e y ωω-+

=

)

(cos 2)2sin()[cos(2

2

2

t e R t e t e y

v ωωωω-+==

5-2 梯子的一端A 放在水平地面上，另一端B 靠在竖直的墙上，如图5-14所示。梯子保持在竖直平面内沿墙滑下。已知点A 的速度为常值v 0，M 为梯子上的一点，设MA = l ，

MB = h 。试求当梯子与墙的夹角为θ时，试点M 速度和加速度

的大小。

图5-14

A M x h

l h

h x +=

=θsin θcos l y M = 0cos v h l h x h l h h x

A M +=+== θθ 得 θ

θ

cos )(0h l v +=

θθθθθt a n

)

(c o s )(s i n s i n 0

0h l lv h l v l l y

M +-=+⨯-=-= 0=M x

θ

θθθθ322

002

020cos )(cos )(sec )(sec )(h l lv h l v h l lv h l lv y M +-

=+⨯+-=+-=

θ

3220

cos )(h l lv a M

+=

5-3 已知杆OA 与铅直线夹角6/πt =ϕ（

以 rad 计，

t 以s 计），小环M 套在杆OA 、CD 上，如图5-15所示。铰O

至水平杆CD 的距离h =400 mm 。试求t = 1 s 时，小环M 的速度和加速度。

图5-15

ϕtan h x M = ϕϕϕ

22sec 6

π

400sec ⨯== h x

M ϕϕϕϕϕϕϕs i n s e c 9

π200s i n s e c 6π3π400)s i n s e c 2(6π400323

3=⨯⨯=⨯⨯= M x

当s 1=t 时6

π=ϕ

mm/s 3.2799π

800346π400)6π(sec 6π4002==⨯==

M

v 223232mm/s 8.168327π80021)32(9π200)6πsin()6π(sec 9π200==⨯⨯=⨯⨯=M

a

5-4 点M 以匀速u 在直管OA 内运动，直管OA 又按t ωϕ=规律绕O 转动，如图5-16所示。当t = 0时，M 在点O 处，试求在任一瞬时点M 的速度和加速度的大小。

图5-16

)cos(t ut x ω= )sin(t ut y ω=

)sin()cos(t t u t u x

ωωω-= )cos()sin(t t u t u y ωωω+=

)cos()sin()sin(2t t u t u t u x

ωωωωωω---= )]cos()sin(2[t t t u ωωωω+-= )]sin()cos()[cos(t t t t u y ωωωωω-+= )]sin()cos(2[t t t u ωωωω-= 222)(1t u y x

v ω+=+= 222)(4t u y

x a ωω+=+=

5-5 点沿曲线AOB 运动，如图5-17所示。曲线由AO 、

OB 两段圆弧组成，AO 段半径R 1= 18m ，OB 段半径R 2= 24m ，

取圆弧交接处O 为原点，规定正方向如图。已知点的运动方程s =3 +4t – t 2

，t 以s 计，s 以m 计。试求：(1) 点由

t = 0 到t = 5 s 所经过的路程；（2）t = 5 s 时点的加速

度。

图5-17

243t t s -+= t s

v 24-== 0=v 时s 2=t 3)0(=s 7)2(=s 2)5(-=s

由t = 0 到t = 5 s 所经过的路程 m 13|72|)37(=--+-=s

2τ-=a 2122n m/s 28

36

)104(==-==R R v a

2222

n 2τm/s 828.22222==+=

+=

a a a

5-6 图5-18所示的摇杆滑道机构中的滑块M 同时在固定的圆弧槽BC 和摇杆OA 的滑道中滑动。如BC 的半径为R ，摇杆OA 的轴O 在弧BC 的圆周上。摇杆绕轴O 以等角速度ω转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法

和自然法给出点M 的运动方程，并求其速度和加速度。

图5-18

直角坐标法

)2cos 1(cos t R R R x ωθ+=+= t R R y ωθ2sin sin == t R x

ωω2sin 2-= t R y ωω2cos 2= t R x ωω2cos 42-= t R y

ωω2sin 42-= ωR y x

v 222=+=

2224ωR y

x a =+=

自然法

t R t R s ωω22=⨯=

ωR s

v 2== 0τ==s

a 22

n 4ωρ

R v a ==

5-7 小环M 在铅垂面内沿曲杆ABCE 从点A 由静止开始运动，如图5-19所示。在直线段AB 上，小环的加速度为g ；在圆弧段BCE 上，小环的切向加速度ϕτ

cos g a =。曲杆尺寸如图

所示，试求小环在C 、D 两处的速度和加速度。

图5-19

在直线段AB

R v R v B B g 2g 2022

==-

圆弧段BCE

ϕcos g τ=a

R

s

t v cos g d d =