915.四点共圆-奥数精讲与测试(9年级)

知识点、重点、难点

四点共圆是圆的基本内容，它广泛应用于解与圆有关的问题．与圆有关的问题变化多，解法灵活，综合性强，题型广泛，因而历来是数学竞赛的热点内容。

在解题中，如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。因此，掌握四点共圆的方法很重要。

判定四点共圆最基本的方法是圆的定义：如果A、B、C、D四个点到定点O的距离相等，即OA＝OB＝OC＝OD，那么A、B、C、D四点共圆．由此，我们立即可以得出

1.如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。

将上述判定推广到一般情况，得：

2.如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

3.如果四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

4.如果两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等的顶角，那么这两个三角形的四个顶点共圆。

运用这些判定四点共圆的方法，立即可以推出：

正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点共圆。

其实，在与圆有关的定理中，一些定理的逆定理也是成立的，它们为我们提供了另一些证明四点共圆的方法．这就是：

1.相交弦定理的逆定理：若两线段AB和CD相交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B、C、D四点共圆。

2．割线定理的逆定理：若相交于点P的两线段PB、PD上各有一点A、C，且PA·PB =PC·PD，则A、B、C、D四点共圆。

3.托勒密定理的逆定理：若四边形ABCD中，AB·CD＋BC·DA= AC·BD，则ABCD是圆内接四边形。

另外，证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆，然后证其余各点均在这个圆上，或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际是同一个圆。

例题精讲

例1：如图，P为△ABC内一点，D、E、F分别在BC、

CA、AB上。已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、

F四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆。

证明连PD、PE、PF．由于P、D、C、F四点共圆，所以∠BDP = ∠PEC．又由于A、E、P、F四点共圆，所以∠PEC =∠AFP．于是∠BDP= ∠AFP，故B、D、P、F四点共圆。

例2：设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，垂足为E，证明：点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆。

证明以E为相似中心作相似变换，相似比为

1

2

，此变换把E关于AB、BC、CD、DA的对称点变为E在AB、BC、CD、DA上的射影P、Q、R、S （如图）.只需证明PQRS是圆内接四边形。

由于四边形ESAP、EPBQ、EQCR及ERDS

都是圆内接四边形（每个四边形都有一组对角

为直角），由E、P、B、Q共圆有∠EPQ =

∠EBQ.由E、Q、C、R共圆有∠ERQ=∠ECQ，

于是∠EPQ＋∠ERQ = ∠EBQ＋∠ECQ=90°.

同理可得∠EPS＋∠ERS=90°.从而有∠SPQ

＋∠QRS =180°，故PQRS是圆内接四边形。

例3：梯形ABCD的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰为直径各作一圆，点K位于这两个圆之外，证明：由点K向这两个圆所作的切线长度相等。

证明如图，设梯形ABCD的两腰为AB和CD，

并设AC、BD与相应二圆的第二个交点分别为

M、N.由于∠AMB、∠CND是半圆上的圆周角，

所以∠AM B=∠CND = 90°．从而∠BMC =∠

BNC=90°，故B、M、N、C四点共圆，因此

∠MNK=∠ACB．又∠ACB=∠KAD，所以∠

MNK =∠KAD.于是M、N、D、A四点共圆，因此KM·KA = KN·KD.由切割线定理得K向两已知圆所引的切线相等。

例4：如图，A、B为半圆O上的任意两点，AC、

BD垂直于直径EF，BH⊥OA，求证：DH=AC.

证法一在BD上取一点A'，使A'D= AC，则

ACDA'是矩形。连结A'H、AB、OB.由于BD⊥EF、

BH⊥OA，所以∠BDO =∠B HO=90°.于是D、B，

H、O四点共圆，所以∠HOB =∠HDB.由于∠AHB =∠AA'B = 90°，所以A、H、A'、B四点共圆。故∠DA'H=∠OAB，因此∠DHA'=∠OBA.而OA = OB，所以∠OBA=∠OAB，于是∠DHA'=∠D A'H.所以DH=DA'，故DH = AC.

证法二设圆O'为点D、B、H、O四点所共的圆，过H作HG⊥DH

，

与圆O'交于G(如图)，则∠AOC =∠HBD =∠DGH ，GD = OB = OA .

因此Rt △OAC ≌Rt △GDH ，故DH = AC .

证法三 因为D 、B 、H 、O 四点共圆，且直径为OB ．而Rt △AOC 的斜边为OA ，利用正弦定义及正弦定理，得,.sin sin AC DH

OA OB AOC DBH

=

=∠∠由于OA =OB ，∠

AOC =∠DB H ，所以DH = AC .

例5：如图，已知锐角三角形ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高线CC'及其延长线交于M 、N ，以AC 为直径的圆与AC 边的高线BB'及其延长线交于P 、Q ，求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆。

证明 设BC 上的高为AA'，△ABC 的垂心为H ，则A'在以AB 为直径的圆上，从而AH ×HA'=MH ×HN .同理AH ×HA'=PH ×HQ .于是MH ×HN = P H ×HQ ，故M 、N 、P 、Q 四点共圆。

说明 另证：在Rt △ABM 和Rt △ACP 中，AM' =AC'·AB ，AP 2

= AB'·AC .又△ABB'∽△

ACC'，有AC'·AB =AB'·AC ．于是AM 2

= AP 2

，即AM =AP ．但M 、N 关于AB 对称，P 、Q 关于AC 对称，故AM =AN ，AP=AQ .因此M 、N 、P 、Q 在以A 为圆心的圆上。

也可由MH ×HN =BH ×HB'=CH ×HC'=PH ×HQ 推出M 、N 、P 、Q 四点共圆。

例6：如图，ABCD 是圆内接四边形，AD 、BC 的延长线交于P ，△PAB 与△PCD 的外心、垂心分别是1O 、2O 和1H 、2H ，求证：1O 、2O 、

1H 、2H

四点共圆。

证明 因为1H 是△PAB 的垂心，所以

1H PB ∠＋∠ABP = 90°.又因为2O 是△PCD 的外心，所以

212O P C C D P ∠+∠=90°.而21

2

CDP CO P ∠=∠，所以

2O P C C D P ∠+∠ =90°.因为A 、

B 、

C 、

D 四点共圆，所以∠CDP =∠ABP ，所以12H PB O PC ∠+∠，所以2H 、1O 、P 三点共线．同理可证2H 、2O 、

P 三点共线。显然△PAB ≌△PCD ，因此

11

22

PH PO PH PO =

，即1221PH PO PH PO = ，故1O 、2O 、1H 、2H 四点共圆。

例7：两个等圆彼此相交，从它们的对称中心引出两条射线交圆周于不在同一条直线上的四个点，试证：这四个点必在同一个圆周上。

证明 如图，设过两圆的对称中心O 的二条射线为11A B 、22A B ，1A 、

2A 位于第一个圆周上，而1B 、2B 位于第二个圆周上。

设点3A 、3B 和4B 分别是点2B 、1A 和2

A 关于点O 的对称点，根据相交弦定理有3

B O ·1OB =2B O ·4OB .因为3B O =1OA ，

4OB =2OA ，从而1OA ·1OB =2OB ·2OA ，故1A 、1B 、2A 、2B 四点必在同一个圆周上。

例8：如图，AB 为定⊙O 中的定弦，作⊙O 的弦11C D 、22C D 、…、

20002000C D ，对其中每一i （i ＝1，2，…，2000）i i C D 都被弦AB 平分于i M 点，过i i C D 、分别作⊙O 的切线，两切线交于i P ，求证： 122000P P P 、、

、必在同一个圆周上，并指出圆心是什么点。 证明 连结i OC 、i OD ．对每一个i （i = 1，2，…，2000），因为i i C D 均被AB 平分于i M ，所以i i i i i i C M M D AM M B = .又i i PC 、i i PD 分别切⊙O 于i i C D 、，故知i i i O C P D 、、、四点共圆，且i OP 通过i i C D 的中点i M ，所以

i i i i i i C M M D PM M O

= ，所以i i i A M M B P M M O = .故A 、O 、B 、i P 四点共圆，即122000P P P 、、

、必在同一个圆周上。因为O 、A 、B 为定点，所以圆心即为△OAB 的外心。