信号与系统第四章1.ppt

0
t
(a)
0
t
(b)
0
t
(c)
三个信号单边拉斯变换为
1 F1(s) F2(s) F3(s) s 2
(Re[s] 2)
说明1：本书主要讨论单边拉斯变换，没有特殊说明均指单边拉斯变换。
说明2：为便于研究 t =0 时刻发生跳变的现象,规定积分下限 从0– 开始。
4. 1.4 常用信号的单边拉普拉斯变换
F1(s)
f1(t )estd t
e testd t 1
0
s
Re[s] (4 9)
因果信号收敛域应满足> = 0
收敛轴
(即收敛轴的右边区域)
或写为 Re[s] = > = 0
收敛坐标0 =
例2：求反因果信号f2(t ) = e t ( t ) 的拉斯变换 ( 为实数 )
第四章 连续时间信号与系统的复(s)频域分析
频域分析法的局限性
频域分析法中基本变量为 ，e j t为基本信号。 1）只能求yz s (t ) Yzs ( j) E( j) H( j)
2）有些函数FT不存在 [如f (t)=e t (t) >0时]
3）某些简单函数的FT形式复杂 [如(t) () + 1/j]
1
(Re[s] 0) (4 20)
s j0
e j0 t (t )
1
(Re[s] 0) (4 20)
s j0
f (t ) sin0t (t ) F (s)
连续系统的复(S)频域分析(拉普拉斯变换) 拉普拉斯 （法国数学家1749~1825）
s(复频)域分析中基本变量为s = +j ， e s t 为基本信号
1) y(t ) yzi (t ) yzs (t ) Y (s) Yzi (s) Yzs (s) 2) 很多傅里叶变换不存在的函数f (t)，存在拉普拉斯变换。 3）很多函数的LT的形式简单 [如 (t) 1/s ]
3、 f (t) (t)
(t ) 1 (Re[s] 0) (4 17)
s
4、 f (t) es0 t (t )
若 S0 且 0
es0t (t ) 1
s s0
(Re[s] Re[s0 ]) (4 18)
e t (t ) 1 (Re[s] ) (4 19) s
若 S0 j0 且0 0 e j0 t (t )
j
0
4. 1.2 双边拉普拉斯变换的收敛域
收敛域的概念：
F(s) f (t)estd t (4 2)
若 f (t)e td t （ R）, 则 f (t)的拉斯变换一定存在。
收敛域：使 f (t )的F (s)存在的 的取值范围
源自文库
例1：求因果信号f1(t )= e t(t) 的拉斯变换 (为实数)
对于任意信号f (t)，其单边拉斯变换定义为 F(s) f (t)estd t 0 1、 f (t) (t) （t) 1 (Re[s] ) (4 15)
2、 f (t) (n)(t) (n（) t ) sn (Re[s] ) (4 16)
(n（) t )(t )d t (1)n (n) (0) (1 34)
t
ℱ [ f (t) e t ]存 (4在 2)
f (t ) 1 j F (s)estds
j2 j
(4 4)
双边拉普拉斯变换对
F (s) f (t )est d t
f (t ) 1 j F (s)e st ds
j 2 j
(4
2)
(4 4)
双边拉普拉斯变换对
对于任意信号f (t)，其单边拉斯变换定义为 F(s) f (t)estd t 0 任意信号f (t )单边拉斯变换等于f (t ) (t )的双边拉斯变换。
结论：任意信号 f (t)的单边拉斯变换其收敛域为 Re[s] 0
f1 (t )
1 e2t (t)
f2 (t) 1
f3 (t) 1
(即f (t )绝对可积)
当函数f (t) [如f (t)=et(t) >0时]不满足绝对可积条件时其FT
不存在 [特殊函数 如1、(t)、Sgn(t)等除外] 。
令
fb(t)
f (t)e t (
0) , 使 lim t
fb (t )=0
(收敛）[e t 称衰减因子]
F
(s
) f
(
t)ef(ttd)te std
F(s) f (t)estd t (4 2)
F2(s)
f2 (t )estd t
0 (-e t )estd t
1
s
Re[s] (4 10)
收敛轴
收敛坐标0 =
反因果信号收敛域应满足 < = 0 （即收敛轴的左边区域） 或写为 Re[s] = < = 0
例3：求双边信号f (t )= e t (t ) +e t (– t ) 的拉斯变换
4. 1 连续时间信号的复频域分析 拉普拉斯变换
4. 1.1 从傅里叶变换(FT )到拉普拉斯变换(LT )
F ( j ) f (t)e jtd t (3 64) 傅里叶正变换
f (t) 1 F ( j )e jtd (3 66) 傅里叶反变换
2
FT存在的充分条件
f (t) dt
F(s)= F1(s) + F2(s)
已知：因果信号收敛域满足> 反因果信号收敛域满足<
双边信号当 < 时其拉斯变换存在，其收敛域为 < Re[s]<
当 < 时
当 时
双边信号当 时没有公共的收敛域，其拉斯变换不存在。 可见双边拉斯变换收敛条件比较苛刻，限制了应用。
4. 1.3 单边拉普拉斯变换的收敛域
(4 6)
简写为 F(s) = ℒ[ f (t)] f (t) = ℒ1 [ F(s)]
简记为 f (t) F (s)
傅里叶变换 f (t) F( j)
建立了时域与频域间的关系(有明确的物理意义)
拉普拉斯变换 f (t) F(s) s j
建立了时域与复频域间的关系(无明确的物理意义)(工具)
F(s)称为 f (t) 的双边拉普拉斯(正)变换[ 或称f (t) 的象函数]
时间函数f (t) 称为 F(s)的双边拉普拉斯逆变换 [或称F(s)原函数]
单边拉普拉斯变换对
F (s) f (t )estd t 0
0
t0
f
(t)
1
j2
j j
Fb
(s
)e
s
t
d
s
t 0
(4 5)