11章作业题解-动量矩定理

理论力学11章作业题解

11-3 已知均质圆盘的质量为m ，半径为R ，在图示位置时对O 1点的动量矩分别为多大？图中O 1C=l 。

解 (a) 2

1l m l mv L c O w == ，逆时针转动。

(b) w w 2

210||1mR J L v m r L c c c O =+=+´=r

r ，逆时针转动。

(c ) )2(2

2

12

2

12

1l R m ml mR ml J J c O +=+=+=

w w )2(2

2111l R m J L O O +==，逆时针转动。 (d)

w

w mR R l mv R l R v mR l mv J l mv L v m r L c c c c c c c O )5.0()5.0(/||2

2

11-=-=-=-=+´= r r

，顺时针转动

v c

v c

v c

11-5 均质杆AB 长l 、重为G 1，B 端刚连一重G 2的小球，弹簧系数为k ，使杆在水平位置保持平衡。设给小球B 一微小初位移0d 后无初速度释放，试求AB 杆的运动规律。 解 以平衡位置（水平）为0=j ，顺时针转为正。平衡时弹簧受力为：

)5.0(312G G F s +=

弹簧初始变形量：

k G G k F s st /)5.0(3/12+==d

在j 角时弹簧的拉力为（小位移）：

3/)5.0(3)3/(12l k G G l k F st s j j d ++=+=¢

系统对A 点的动量矩：

j j j

&&&2

21233l g

G G l l g G J L A A +=×+= 对点的动量矩定理)(/å=E

i A A F M dt dL r ：

j j 9

3/5.0332

21221kl l F lG lG l g G G s -=¢-+=+&& 0)3(321=++j j

G G gk &&，令)

3(3212G G gk

p +=则有02=+j j

p &&，其解为： )cos()sin(pt B pt A +=j

由初始条件0| ,/|000====t t l j

d j &得l B A / ,00d ==。故运动方程为： )cos(0

pt l

d j =

G 1

G 2

F Ax F Ay

F s

11-10 一半径为r 、重为W 1的均质水平圆形转台，可绕通过中心Ｏ并垂直于台面的铅直轴转动。重W 2的物块A ，按规律s =at /2 沿台的边缘运动。开始时，圆台是静止的。求物块运动以后，圆台在任一瞬时的角速度与角加速度。

解 （1）运动分析

物块A的相对速度: at dt ds v r ==/ （2）受力分析 （3）建立动力学方程

0)(==\=åconst L F M z i z Q

0)(2=-+=r m v r J L r z w w r

W W at

W )2(2212+=

w 求导得角加速度：

r

W W a

W )2(2212+=

a

W 1

W 2

F x

F y

F z

m x m y

z

v r

11-17 均质圆柱体A 和B 的重量均为W ，半径均为r 。一绳绕于可绕固定轴O 转动的圆柱A 上，绳的另一端绕在圆柱B 上。求B 下落时质心的加速度。摩擦不计。 解 (1) 运动分析

系统有2个独立的坐标参数，设两轮的角速度为ωA 和ωB 。 则有合成运动可得：r r v B A C w w +=

上式恒成立可求导得：r r a B A C a a += (2) 受力分析 (3) 建立动力学方程 对轮A:

r F J A O 1=a

对轮B:

1

1F mg ma r F J C B C -==a

3个方程求解3个未知量：1,,F B A a a 得：

C

v C

A

w

B

w

C mg

mg

F 1F R

11-19 半径为r 的均值圆轮在半径为R 的圆弧面上作纯滚动。初瞬时0j j =（微小），00=j

&。试求圆轮的运动方程。

解 圆轮由于受约束只有1个自由度，取广义坐标j 描述圆轮的运动。 （1）运动分析

r r R r R a r r R r R v t

C C /)( ),(/)( ),(-=-=-=-=j a j

j w j

&&&&&&

（2）受力分析，作示力图

（3）用刚体平运动微分方程建立圆轮的动力学方程

îíì-=--=-Fr r r R mr mg F r R m /)(sin )(2

2

1j j j

&&&& 解得：0sin )

(32=-+j j

r R g

&&

由于j 微小，故有j j »sin ，方程可简化为（另)

(322r R g

k -=

）

02=+j j

k && 其解为：)cos()sin(kt B kt A +=j 由初始条件得：0 ,0j ==B A 故运动方程为：) )

(32cos()cos(00t r R g

kt -==j j j

W

F

F N

v C

w