高中数学第3章3.4.1.1函数的零点课时训练苏教版必修
2019-2020学年高中数学苏教版必修1学业分层测评3.4.1第1课时函数的零点word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．若函数f (x )＝mx ＋n 有一个零点是2，则函数g (x )＝nx 2－mx 的零点是________．【解析】 由条件知，f (2)＝2m ＋n ＝0，∴n ＝－2m .∴g (x )＝nx 2－mx ＝－2mx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，由g (x )＝0，得x ＝0或x ＝－12. ∴g (x )的零点是0和－12. 【答案】 0和－122．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其部分图象如图3-4-1所示，则这个函数的零点至少有________个．图3-4-1【解析】 由图象可知，当x >0时，函数至少有2个零点，因为偶函数的图象关于y 轴对称，故此函数的零点至少有4个．【答案】 43．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x ＋log 2 x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．【解析】 在同一坐标系中画出y ＝2x 和y ＝－x 的图象，可得a <0，同样的方法可得b >0，c ＝0，∴b >c >a .【答案】 b >c >a4．已知函数f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值为________．①恒为负；②等于零；③恒为正；④不小于零．【解析】 因为x 0是方程f (x )＝0的解，所以f (x 0)＝0，又因为函数f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(0，＋∞)上为增函数，且0＜x 1＜x 0，所以有f (x 1)＜f (x 0)＝0. 【答案】 ①5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c (x ≤0)，2(x >0)，若f (－4)＝0，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________. 【导学号：37590081】【解析】 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝0，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝5，c ＝4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋5x ＋4(x ≤0)，2(x >0). 作图象(略)得函数有2个零点．【答案】 26．函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为________．【解析】 函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点即2x |log 0.5 x |－1＝0的解，即|log 0.5 x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的解，作出函数g (x )＝|log 0.5 x |和函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，由图象可知，两函数共有两个交点，故函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1有2个零点．【答案】 27．已知对于任意实数x ，函数f (x )满足f (－x )＝f (x )．若f (x )有2 015个零点，则这2 015个零点之和为________．【解析】 设x 0为其中一根，即f (x 0)＝0，因为函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，所以f (－x 0)＝f (x 0)＝0，即－x 0也为方程一根，又因为方程f (x )＝0有2 015个实数解，所以其中必有一根x 1，满足x 1＝－x 1，即x 1＝0，所以这2 015个实数解之和为0.【答案】 08．若函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )为偶函数，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有________个．【解析】 依据给出的函数性质，易知f (－2)＝0，画出函数的大致图象如图：可知f (x )有两个零点．【答案】 2二、解答题9．已知二次函数y ＝x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3，其中m 为实数．(1)试讨论当m 取任意实数时，这个二次函数的零点个数，并证明你的结论；(2)若这个二次函数有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2的倒数和为23，求二次函数的解析式．【解】 (1)记二次函数对应的方程为x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0， 则Δ＝4(m －1)2－4(m 2－2m －3)＝4m 2－8m ＋4－4m 2＋8m ＋12＝16>0，∴方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0必有两个不相等的实数根， 即不论m 取何值，这个二次函数必有两个零点．(2)依题意，x 1，x 2是方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝2(m －1)，x 1x 2＝m 2－2m －3.又1x 1＋1x 2＝23，即x 1＋x 2x 1x 2＝23， ∴2(m －1)m 2－2m －3＝23，① 解之得m ＝0或m ＝5.经检验m ＝0或m ＝5都是方程①的解．故所求二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －3或y ＝x 2－8x ＋12.10．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．【解】 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0. (2)当x ∈0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1； ∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1.∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)．能力提升]1．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0零点的个数为________． 【解析】 x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3，x ＝1(舍去)， ∴f (x )在(－∞，0]上有一个零点；x ＞0时，f (x )＝ln x －2在(0，＋∞)上递增，f (1)＝－2＜0，f (e 3)＝1＞0，∵f (1)·f (e 3)＜0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上，f (x )在R 上有2个零点．【答案】 22．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．【解析】 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0.【答案】 03．若方程x 2－2|x |－a ＝0恰有3个实根，则a 的取值范围是________．【解析】 本题可化为y ＝x 2－2|x |与y ＝a这两个函数图象交点个数的问题，在同一坐标系内，画出这两个函数的图象如图所示，观察图象，可知只有当a ＝0时两个图象才恰有3个交点．【答案】 a ＝04．已知二次函数f (x )满足：f (0)＝3，f (x ＋1)＝f (x )＋2x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝f (|x |)＋m (x ∈R )，若函数g (x )有4个零点，求实数m 的取值范围.【导学号：37590082】【解】 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3.f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋3)，f (x )＋2x ＝ax 2＋(b ＋2)x ＋3，∵f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋2，a ＋b ＋3＝3，解得a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3.(2)由(1)，得g (x )＝x 2－|x |＋3＋m ，在平面直角坐标系中，画出函数g (x )的图象，如图所示，由于函数g (x )有4个零点，则函数g (x )的图象与x 轴有4个交点．由图象得⎩⎨⎧ 3＋m >0，114＋m <0，解得－3<m <－114，即实数m 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－114.。
高中数学第三章函数的应用3.4.1第2课时用二分法求方程的近似解课件苏教版必修1
由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解.
知识点二
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
用二分法求方程f(x)＝0近似解的一般步骤：
第一步：取一个区间(a，b)，使f(a)· f(b)<0，令a0＝a，b0＝b； 1 第二步：取区间(a0，b0)的中点，x0＝ (a0＋b0)； 2 第三步：计算f(x0).
答案 ①取区间(1,2)的中点1.5.
②计算f(1.5)的值，用计算器算得f(1.5)≈－0.018.
因为f(1.5)· f(2)<0，所以零点在区间(1.5,2)内.
答案
梳理
二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)· f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把
函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，
1
2
3
4
5
答案
(2,3) 3.方程2x－1＋x＝5的根所在的区间为________.
1
2
3
4
5
答案
4.定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，
a＋ b b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当f( )＝0时，则 2 a＋b x＝ 2 函数f(x)的零点是________.
(1)若f(x0)＝0，则x0就是f(x)＝0的解，计算终止； (2)若f(a0)· f(x0)<0，则解位于区间(a0，x0)中，令a1＝a0，b1＝x0； (3)若f(x0)· f(b0)<0，则解位于区间(x0，b0)中，令a1＝x0，b1＝b0.
高中数学 3.4.1函数与方程(二)配套训练 苏教版必修1
3.4.1 函数与方程(二)一、基础过关1．设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是不间断的，且f (a )·f (b )<0，取x 0＝a ＋b2，若f (a )·f (x 0)<0，则利用二分法求函数零点时，零点所在区间为__________．2．下列图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是________．(填图象编号)3．对于函数f (x )在定义域内用二分法的求解过程如下：f (2 011)<0，f (2 012)<0，f (2 013)>0，则下列叙述正确的是________．(填序号) ①函数f (x )在(2 011,2 012)内不存在零点； ②函数f (x )在(2 012,2 013)内不存在零点；③函数f (x )在(2 012,2 013)内存在零点，并且仅有一个； ④函数f (x )在(2 011,2 012)内可能存在零点．4．设f (x )＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间________．5．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是________．6．用“二分法”求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．7．用二分法求方程x 3－x －1＝0在区间[1.0,1.5]内的实根．(精确到0.1) 8．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，求实数a 的取值范围． 二、能力提升9．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 … y ＝2x1.149 1.5162.02.6393.4824.595 6.0638.010.556…10．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点，可以取的初始区间为________．11．方程2－x＋x2－3＝0的解的个数是________．12．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：用二分法的思想你最多称几次就可以发现这枚假币？三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．答案1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，a ＋b 22．① 3．④ 4．(1.25,1.5) 5．2 6．[2,2.5]7．解 令f (x )＝x 3－x －1，f (1.0)＝－1<0， f (1.5)＝0.875>0.用二分法逐项计算，列表如下：∵区间x 3－x －1＝0的近似解为1.3.8．解 由于函数f (x )的图象的对称轴是x ＝－12∉(0,1)，所以区间(0,1)上的零点是变号零点，因此，有f (0)f (1)<0，即a (2＋a )<0，所以－2<a <0. 9．(1.8,2.2) 10．[－2,1] 11．212．解 第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称； 第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币． ∴最多称四次． 13．证明 ∵f (1)>0，∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0， ∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0，则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上至少各有一个零点，又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。
高中数学苏教版必修一《第3章3.4.1第1课时》课件
由图象知 g(x)＝lg (x＋1)的图象和 h(x)＝2－2x 的图象有且只有一个交点， 即 f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2 有且只有一个零点．
反思与感悟 判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确 定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点 的个数判定函数零点的个数．
8
9
f(x) －4 －1.306 9 1.098 6 3.386 3 5.609 4 7.791 8 9.945 9 12.079 4 14.197 2
由上表和图象可知 f(2)<0，f(3)>0，即 f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零 点．由于函数 f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．
2．方程、函数、图象之间的关系 方程 f(x)＝0 有实数根 ⇔函数 y＝f(x)的图象 与x轴有交点 ⇔ 函数 y＝f(x) 有零点 ．
3．函数零点的存在性定理 一般地，若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且 f(a)·f(b)<0， 则函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
例 4 求函数 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 的零点个数． 解 方法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定 存在零点．又显然 f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2 在(0，＋∞)上为增函数． 故 f(x)有且只有一个零点． 方法二 在同一坐标系下作出 h(x)＝2－2x 和 g(x)＝lg (x＋1)的草图．
Δ＝0
方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有两个不相等的 有两个相等的
的根
3.4.1 第1课时 函数的零点 课件(34张) 高中数学 必修1 苏教版
3.4
函数的应用 函数的零点
阶 段 三
3．4.1 函数与方程
第1课时
阶 段 二 学 业 分 层 测 评
1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(重点) 2．会求函数的零点．(重点、难点) 3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)
[基础· 初探]
教材整理 1 零点的概念 阅读教材 P91 至 P92 例 1，完成下列问题． 1．函数零点的定义 一般地，我们把使函数 y＝f (x)的值为 0 的 实数x 称为函数 y＝f (x)的零点． 2．方程、函数、图象之间的关系 (1)函数 y＝f (x)的零点就是方程 f (x)＝0 的 实数根 ． (2)函数 y＝f (x)的零点就是它的图象与 x 轴交点的 横坐标 ．
函数零点的求法 求函数 f (x)的零点时，通常转化为解方程 f (x)＝0，若方程 f (x)＝0 有实数根， 则函数 f (x)存在零点，该方程的根就是函数 f (x)的零点；否则，函数 f (x)不存在零 点．
[再练一题] 1．若函数 f (x)＝x2－ax＋b 有两个零点 1 和 4，则函数 g(x)＝bx2－ax＋1 的零 点为________．
[再练一题] 2．根据表格中的数据，可以断定方程 ex－(x＋3)＝0(e≈2.72)的一个根所在的 区间是________．(填序号) x ex x＋3 －1 0 1 2 3
【答案】 (1)× (2)× (3)×
2．若函数 f (x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f (2)· f (5)＜0，则函数 f (x)在区间(2,5)上零点的个数是________．
【解析】 由 f (x)在区间(2,5)上是减函数，可得 f (x)至多有一个零点．又因为 f (x)是一条连续不断的曲线，f (2)· f (5)＜0，所以 f (x)在(2,5)上至少有一个零点，可 得 f (x)恰有一个零点．
高中数学 第三章3.4.1课时活页训练 苏教版必修5
一、填空题1．设实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则a 2＋b 2,2ab ，a ，12中最大的是________．答案：a 2＋b 22．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 解析：∵a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b ＋3≥2ab ＋3， ∴ab ≥2ab ＋3，∴(ab －3)(ab ＋1)≥0. ∴ab ≥3，∴ab ≥9. 答案：[9，＋∞)3．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，则下列各式中正确的是________． ①1a ＋1b ≤14 ②1a ＋1b≥1 ③ab ≥2 ④1ab≥1解析：由a ＞0，b ＞0，知a ＋b2≥ab ， 又a ＋b ＝4，∴ab ≤4，∴1ab ≥14，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，即1a ＋1b≥1.答案：②4．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)的最小值为________．解析：(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c )＝(a ＋a ＋b ＋c a )＋(b ＋a ＋b ＋c b )＋(c ＋a ＋b ＋c c )＝4＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．答案：105．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足3x ＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2 xy12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4即x ＝32，y ＝2时取等号．答案：36．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是________． (1)|a －b |≤|a －c |＋|b －c |(2)a 2＋1a 2≥a ＋1a(3)|a －b |＋1a －b≥2 (4)a ＋3－a ＋1≤a ＋2－a 答案：(3)7．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg (a ＋b 2)，则P 、Q 、R 的大小关系为________．解析：∵lg a >lg b >0， ∴12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P . 又∵a >b >1，∴a ＋b2>ab .∴lg(a ＋b 2)>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R >Q .故有P <Q <R . 答案：P <Q <R8．下列推理过程正确的是________． (1)若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2； (2)若x <0，则x ＋4x ≤2x ·4x＝4；(3)若a ，b ∈R ，且ab <0，则b a ＋ab＝－[(－b a )＋(－a b )]≤－2－b a ·－a b＝－2.解析：(1)中b a 与a b 未必均为正，故(1)错误；(2)中，当x <0时，x ＋4x ＝－[(－x )＋(－4x)]≤－2 －x ·－4x ＝－4，故(2)错误；(3)中b a 与a b 均为负，转化为－b a 与－ab均为正，可利用基本不等式．答案：(3)9．已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．解析：不等式(x ＋y )(1x ＋a y )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1＋a ＋y x ＋axy≥a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)． 所以正实数a 的最小值为4.答案：4 二、解答题10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，求a ＋b 的最小值．解： 如图所示，线性约束条件表示的区域为图中的阴影部分，A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，C (1,4)，当直线l ：y ＝－abx ＋z 过点C 时，z 取最大值8，即8＝ab ＋4，∴ab ＝4.又∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2 ab ＝2 4＝4.当且仅当a ＝b 即a ＝b ＝2时取“＝”． ∴a ＋b 的最小值为4.11．任给正实数a ，b ，比较a ＋b 2，ab ，2aba ＋b，a 2＋b 22的大小．解：由a ＋b 2≥ab ，可得2ab a ＋b ≤ab ，因此2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2，再比较a ＋b2，a 2＋b 22的大小，平方可得a 2＋2ab ＋b 24，2a 2＋2b 24，由a 2＋b 2≥2ab 易知a ＋b 2≤a 2＋b 22，可得2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22.12．已知a 、b 、c 是正实数．求证：a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥a ＋b ＋c2.证明：∵a 2b ＋c＋b ＋c4≥2a 2b ＋c ·b ＋c4＝a ，b 2a ＋c ＋a ＋c4≥2b 2a ＋c ·a ＋c 4＝b ， c 2a ＋b ＋a ＋b 4≥2c 2a ＋b ·a ＋b 4＝c ， 当a ＝b ＝c 时，上述三式等号成立．将以上三个不等式相加得(a 2b ＋c ＋b ＋c 4)＋(b 2a ＋c ＋a ＋c 4)＋(c 2a ＋b ＋a ＋b4)≥a ＋b ＋c ，∴a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥a ＋b ＋c 2.。
高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.43.4.1
3.4.1 函数与方程第2课时 用二分法求方程的近似解A 级 基础巩固1.已知函数f (x )的图象如图所示，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )A ．4，4B ．3，4C ．5，4D ．4，3解析：由图象知函数f (x )与x 轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f (a )·f (b )＜0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．答案：D2．函数f (x )＝log 2x ＋2x －1的零点必落在区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1，2) 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝－154＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－52＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＜0，f (1)＝1＞0，f (2)＝4＞0，所以函数零点落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上．答案：C3．已知函数f (x )在区间(0，a )上有唯一的零点(a >0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 8，则下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 16无零点B ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a16或⎝ ⎛⎭⎪⎫a 16，a8内有零点 C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫a 16，a 内无零点D ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 16或⎝ ⎛⎭⎪⎫a 16，a 8内有零点，或零点是a16解析：由二分法求函数零点的原理可知选D. 答案：D4．定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的曲线，已知函数f (x )在区间(a ，b )上有一个零点x 0，且f (a )·f (b )＜0，用二分法求x 0时，当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0时，则函数f (x )的零点是( )A ．(a ，b )外的点B ．x ＝a ＋b2C ．区间⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2或⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b内的任意一个实数D ．x ＝a 或x ＝b解析：由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值．由f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0知，选B.答案：B5．方程|x 2－3|＝a 的实数解的个数为m ，则m 不可能等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由图可知y ＝|x 2－3|与y ＝a 不可能是一个交点．答案：A6．奇函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的三个零点是x 1，x 2，x 3，满足x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝－2，则b ＋c ＝________．解析：因为f (x )为奇函数，所以b ＝0.故f (x )＝x 3＋cx 有一个零点是0，不妨设x 1＝0，则x 2，x 3是x 2＋c ＝0的二根，故x 2x 3＝c ， 由x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝－2得c ＝－2， 故b ＋c ＝0－2＝－2. 答案：－27．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值：函数f (x )解析：由表知：f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，f (x )在区间[1，6]上至少有3个零点．答案：38．电视中某一娱乐性节目有一种猜价格的游戏，在限定时间内(如15秒)猜出某一种商品的售价，就把该商品奖给选手，每次选手给出报价，主持人告诉说高了低了，以猜对或到时为止游戏结束．如猜一种品牌的电风扇，过程如下：游戏参与者开始报价500元，主持人说高了，300元，高了，260元，低了，280元，低了，290元，高了，285元，低了，288元，你猜对了！恭喜！请问游戏参与者用的数学知识是________(只写出一个正确答案)．答案：二分法9．用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32，则下一个含根的区间为________．解析：令f (x )＝ln x －2＋x ，因为f (1)＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32－12＜0， 所以下一个含根的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 10．设x 0是方程a x＝log a x (0<a <1)的解，则x 0，1，a 这三个数的大小关系是：________． 解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝a x和y ＝log a x 的图象(如图所示)，可以看出：x 0<1，log a x 0<1，所以x 0>a ，a <x 0<1.答案：a <x 0<1B 级 能力提升11．函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象交点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0解析：在同一平面直角坐标系中作出f (x )＝2ln x 和g (x )＝x 2－4x ＋5的图象(如图所示)，由图象可见它们有2个交点．答案：B12．在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( )A ．[1，4]B ．[－2，1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1解析：由于第一次所取的区间为[－2，4]， 所以第二次所取区间为[－2，1]或[1，4]，第三次所取区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52或⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4. 答案：D13．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确到0.01)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为________．解析：设等分的最少次数为n ，则由0.12n ＜0.01，得2n＞10.所以n 的最小值为4. 答案：414．判断函数y ＝x 3－x －1在区间[1，1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确到0.1)．解：因为f (1)＝－1＜0，f (1.5)＝0.875＞0，且函数y ＝x 3－x －1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1，1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：因为 1.3.15．求函数y＝ln x与函数y＝3－x的图象的交点横坐标(精确到0.1)．解：求函数y＝ln x与函数y＝3－x的图象交点的横坐标，即求方程ln x＝3－x的根．令f(x)＝ln x＋x－3，因为f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＞0，所以可取初始区间为(2，3)，列表如下：由于x－3＝0在(2，3)内的一个近似根可取为2.2，即2.2可作为两函数图象交点的横坐标的近似值．。
高中数学苏教版高一必修一学案 3.4.1 第1课时 函数的零点
3．4函数的应用3．4.1函数与方程第1课时函数的零点学习目标 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点(重点)；2.掌握函数零点的判定方法(难点)；3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点)．预习教材P91－93，完成下面问题：知识点一函数的零点函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．【预习评价】思考函数的零点是点吗？提示函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的解，即函数的零点是一个实数．知识点二函数的零点、方程的根、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．知识点三函数零点的判定定理若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．【预习评价】若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，判断下列说法是否正确．①若f(a)f(b)＞0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()②若f(a)f(b)＜0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()③若f(a)f(b)＞0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()④若f(a)f(b)＜0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()提示①×可通过反例“f(x)＝(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)f(2)＞0，但其存在两个解{－1,1}”，故①不正确；②×对于②可通过反例“f(x)＝x(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)f(2)＜0，但其存在三个解{－1,0,1}”故②不正确；③√；④×由零点存在性定理可知④不正确．题型一求函数的零点【例1】求下列函数的零点．(1)f(x)＝x2－x－6；(2)f(x)＝x3－x；(3)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．解(1)方法一令f(x)＝0，即x2－x－6＝0.∵Δ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0，∴方程x2－x－6＝0有两个不相等的实数根x1＝－2，x2＝3.∴函数f(x)＝x2－x－6的零点是x1＝－2，x2＝3.方法二由f(x)＝x2－x－6＝(x－3)(x＋2)＝0，得x1＝－2，x2＝3.∴函数f(x)＝x2－x－6的零点为x1＝－2，x2＝3.(2)∵x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，∴令f(x)＝0得x(x－1)(x＋1)＝0.∴f(x)的零点为x1＝0，x2＝1，x3＝－1.(3)当a＝0时，函数为f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，得x＝2.∴f(x)的零点为2.当a＝12时，f(x)＝(12x－1)(x－2)＝12(x－2)2，令f(x)＝0得x1＝x2＝2. ∴f(x)有零点2.当a≠0且a≠12时，令f(x)＝0得x1＝1a，x2＝2.∴f(x)的零点为1a，2.综上，当a＝0时，f(x)的零点为2；当a＝12时，函数有零点2；当a≠0且a≠12时，f(x)的零点为1a，2.规律方法根据函数零点的定义，求函数f(x)的零点就是求使f(x)＝0的x的值，即方程f(x)＝0的根．一般求法是①代数法：解方程的思想．如求一元二次方程f(x)＝0的实数根常用求根公式、分解因式等方法；②几何法：函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点．【训练1】函数y＝x－1的零点是________．解析令y＝x－1＝0，得x＝1，故函数y＝x－1的零点为1.答案 1题型二函数零点存在性定理及应用【例2】判断下列函数在给定区间上是否存在零点：(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．解(1)∵f(1)＝－20＜0，f(8)＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0.故f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．(2)∵f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，∴f(－1)·f(2)＜0，∴f(x)＝x3－x－1在[－1,2]上存在零点．(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＞log22－1＝0，f(3)＝log2(3＋2)－3＜log28－3＝0.∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在[1,3]上存在零点．规律方法由函数给定的区间[a，b]分别求出f(a)和f(b)，判断f(a)f(b)＜0是否成立，这是判断函数有无零点的基本方法，同时要注意如果f(a)f(b)＞0，并不说明函数在[a，b]上没有零点．【训练2】已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：x 12345 6f(x)1510－76－4－5则函数f(x)解析根据函数零点存在性定理可判断至少有3个零点．答案 3题型三判断函数零点的个数【例3】判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．解函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x 与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．规律方法判断函数零点个数的方法：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数．【训练3】函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为________．解析如图所示，分别作出y＝ln x，y＝x－2的图象，可知两函数的图象有两个交点，即f(x)有两个零点．答案 2互动题型四零点的应用探究【探究1(0,1)与(1,2)内，试求k的取值范围．解由题意可知，方程7x2－(k＋13)x－k＋2＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，也就是说函数y＝7x2－(k＋13)x－k＋2的图象与x轴的交点横坐标分别在0与1,1与2之间，作出草图．根据图象得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0即⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋2＞0，7－(k ＋13)－k ＋2＜0，28－2k －26－k ＋2＞0.解之得－2＜k ＜43.故k 的取值范围是(－2，43)．【探究2】 已知关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是________．解析 如图所示，由图象知直线y ＝1与y ＝|x 2－4x ＋3|的图象有三个交点，则方程|x 2－4x ＋3|＝1有三个不相等的实数根， 因此a ＝1. 答案 1【探究3】 已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋1(a ∈R )，若方程f (x )＝0至少有一正根，则a 的取值范围是________．解析 对ax 2＋2x ＋1＝0，当a ＝0时，x ＝－12，不符合题意；当a ≠0，Δ＝4－4a ＝0时，得x ＝－1(舍去)．当a ≠0时，由Δ＝4－4a ＞0，得a ＜1， 又当x ＝0时，f (0)＝1，即f (x )的图象过(0,1)点， f (x )图象的对称轴方程为x ＝－22a ＝－1a ，当－1a ＞0，即a ＜0时，图象开口向下，与x 轴正半轴有一交点，满足题意；当－1a ＜0，即a ＞0时，图象开口向上，与x 轴正半轴无交点，不满足题意，综上，a 的取值范围是(－∞，0)．答案 (－∞，0)规律方法 (1)在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑四个方面：①Δ与0的关系；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．(2)求解探究2这类问题可先将原式变形为f (x )＝g (x )，则方程f (x )＝g (x )的不同解的个数等于函数f (x )与g (x )图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解．课堂达标1．函数f (x )＝1－x 21＋x 的零点是________．解析 由f (x )＝0，即1－x 21＋x＝0，得x ＝1，即函数f (x )的零点为1.答案 12．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为________(填序号)． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2＜0，f (12)＝e －1＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，又f (x )单调递增， ∴零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上．答案 ③3．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a ＜b )，并且α，β(α＜β)是函数y ＝f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系是________． 解析 函数g (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点是a ，b .由于y ＝f (x )的图象可看作是由y ＝g (x )的图象向上平移2个单位而得到的，所以a ＜α＜β＜b . 答案 a ＜α＜β＜b4．已知二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，若f (m )＜0，则在(m ，m ＋1)上函数零点的个数是________．解析 二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a 可化为f (x )＝(x ＋12)2＋a －14，则二次函数对称轴为x ＝－12，其图象如图．∵f (m )＜0，由图象知f (m ＋1)＞0，∴f (m )·f (m ＋1)＜0，∴f (x )在(m ，m ＋1)上有1个零点． 答案 15．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1有两个零点x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(－4，－2)，求a 的取值范围．解 ∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的图象是连续的且两零点x 1，x 2满足x 2∈(－4，－2)，x 1∈(0,1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)·f (1)<0⇒3a ＋1<0，f (－4)·f (－2)<0⇒8a ＋1<0⇒a <－13. ∴a 的取值范围为(－∞，－13)．课堂小结1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.。
高中数学第三章函数的应用3.4函数的应用__函数的零点课件1苏教版必修
则a=_____,b=______.
ax bx c 0 2 则 cx bx a 0 不等式的解集是___________.
3.已知不等式
变题2：已知关于x的方程3x2-5x+a=0 的两个根一个根小于-1另一个根大于 1，求实数a的取值范围.
练习
1.求证：函数-2x2+5x+2=0有两个不同的零点。 2.分别指出下列各图象对应的二次函数a,b,c 的符号。
y x y
y x
x
y
x
(1)
(2)
(3)
(4)
３.如图是一个二次函数y=ax2+bx+c的图象.
{x|x< x1,或x> x2} {x|x≠-b/(2a)} {x| x1 < x < x2}
R
判别式 △=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c （a <0）的图象
△>0
y=ax2+bx+c
△=0
y=ax2+bx+c y x1 =x2 x
△<0
y=ax2+bx+c
y x1 O x2 x
y
O
y f(b)
a x
f(a)
c
b
例题分析： 例4. 求证:函数f(x)=x3+x2+1在区间 （-2，1）上存在零点。 判断零点的存在性有哪些方法?
练习：课本P93 1-5
例5.已知关于x的方程3x2-5x+a=0有两个
异号根，求实数a的取值范围. 变题1：已知关于x的方程3x2-5x+a=0的两 个根,一个根大于1另一个根小于1，求实 数a的取值范围.
2019-2020年苏教版数学必修一讲义：第3章+3.4+3.4.1 第1课时 函数的零点及答案
3.4 函数的应用 3.4.1 函数与方程 第1课时 函数的零点1．函数零点的定义一般地，我们把使函数y ＝f (x )的值为0的实数x 称为函数y ＝f (x )的零点． 2．方程、函数、图象之间的关系(1)函数y ＝f (x )的零点就是方程f(x )＝0的实数根． (2)函数y ＝f (x )的零点就是它的图象与x 轴交点的横坐标． 3．零点存在性定理若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有零点．( ) (2)任意两个零点之间函数值保持同号．( ) (3)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，则一定有f (a )·f (b )＜0. ( )[答案] (1)× (2)× (3)×[提示] (1)可举反例f (x )＝x 2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)为正，在(2,3)上f(x)为负，故在零点1和3之间有正有负．(3)举例f(x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f(x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f(2)·f(－2)>0.2．函数y＝x2＋3x＋2的零点是________，其图象与x轴的交点为________．－1或－2(－1,0)，(－2,0)[令x2＋3x＋2＝0，则(x＋2)(x＋1)＝0，∴x＝－1或x＝－2.]3．若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________．1[由f(x)在区间(2,5)上是减函数，可得f(x)至多有一个零点．又因为f(x)是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，所以f(x)在(2,5)上至少有一个零点，可得f(x)恰有一个零点．](1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝2x－8；(3)f(x)＝1－log4x；(4)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．思路点拨：根据函数零点的方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根．[解](1)∵f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令f(x)＝0，得x＝0,1，－1，故f(x)的零点为x＝－1，0,1.(2)令f(x)＝2x－8＝0，∴x＝3，故f(x)的零点为x＝3.(3)令f(x)＝1－log4x＝0，∴log4x＝1，∴x＝4.故f(x)的零点为x＝4.(4)当a ＝0时，函数为f (x )＝－x ＋2， 令f (x )＝0，得x ＝2. ∴f (x )的零点为2.当a ＝12时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x －2)＝12(x －2)2，令f (x )＝0得x 1＝x 2＝2. ∴f (x )有零点2.当a ≠0且a ≠12时，令f (x )＝0得x 1＝1a ，x 2＝2. ∴f (x )的零点为1a ，2.综上，当a ＝0时，f (x )的零点为2；当a ＝12时，函数有零点2；当a ≠0且a ≠12时，f (x )的零点为1a ，2.函数零点的求法求函数f (x )的零点时，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数根，则函数f (x )存在零点，该方程的根就是函数f (x )的零点；否则，函数f (x )不存在零点．1．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 有两个零点1和4，则函数g (x )＝bx 2－ax ＋1的零点为________．14或1 [由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1＋4＝5，b ＝1×4＝4，∴g (x )＝4x 2－5x ＋1＝(4x －1)(x －1)，令g (x )＝0，则x ＝14或1，即g (x )的零点为14或1.]________．(填序号)①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. 思路点拨：利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f (a )f (b )<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x 轴是否有交点．③ [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －1>0，∴零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上．]1．判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是利用函数图象．2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f (x )的图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )>0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点．2．根据表格中的数据，可以断定方程e x －(x ＋3)＝0(e ≈2.72)的一个根所在的区间是________．(填序号)③ [设f (x )＝e x －(x ＋3)，由上表可知，f (－1)＝0.37－2<0，f (0)＝1－3<0，f (1)＝2.72－4<0，f (2)＝7.40－5>0，f (3)＝20.12－6>0，∴f (1)·f (2)<0，因此方程e x －(x ＋3)＝0的根在(1,2)内．]1．如何去求一个方程的零点？[提示] (1)可以解方程；(2)可以结合图象；(3)可以用零点存在性定理． 2．求方程零点的方法有何优缺点？能否用来判断零点的个数？ [提示] 解方程法．优点：解的准确，不需估算． 缺点：有些方程，我们解不出根的精确值，如f (x )＝2x －3x .图象法和零点存在性定理解得的零点未必是精确值，但我们可以通过图象的交点个数来判断方程零点的个数．【例3】 (1)函数f (x )＝e x －3的零点个数为________． (2)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数是________． (3)已知关于x 的一元二次方程(x －1)(3－x )＝a －x (a ∈R )，试讨论方程实数根的个数．思路点拨：(1)利用函数的零点的概念解方程求解．(2)利用函数图象来求解．(3)原方程可化为(x －1)(3－x )＋x ＝a ，利用直线y ＝a 与抛物线y ＝(x －1)(3－x )＋x 的位置关系讨论，也可以利用判别式．(1)1 (2)2 [(1)令f (x )＝0，∴e x －3＝0，∴x ＝ln 3，故f (x )只有1个零点．(2)在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y ＝ln x 与y＝1x－1的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－1x－1的零点个数为2.](3)[解]法一：原方程化为－x2＋5x－3＝a.令f(x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a.作函数f(x)＝－x2＋5x－3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为12－25 4×(－1)＝134，画出如图所示的简图：由图象可以看出：①当a＞134时，方程没有实数根；②当a＝134时，方程有两个相等的实数根；③当a＜134时，方程有两个不相等的实数根．法二：原方程化为x2－5x＋3＋a＝0.Δ＝25－4(3＋a)＝－4a＋13.①当Δ＜0，即a＞134时，方程没有实数根；②当Δ＝0，即a＝134时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＞0，即a＜134时，方程有两个不相等的实数根．(变条件)若把本例(3)中x加以限制(1＜x＜3)，求解相应问题．[解]原方程可化为－x2＋5x－3＝a(1＜x＜3)，作函数f (x )＝－x 2＋5x －3(1＜x ＜3)的图象，注意f (x )＝－x 2＋5x －3的对称轴为x ＝52，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－254＋252－3＝50－25－124＝134，f (1)＝－1＋5－3＝1，f (3)＝－9＋15－3＝3.故f (x )在1＜x ＜3上的草图如图所示： 由图可知，①当a ＝134或1＜a ≤3时，方程有一个实数根； ②当3＜a ＜134时，方程有两实数根； ③当a ≤1或a ＞134时，方程无实数根．判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f (x )＝g (x )的根是函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )A [B 、C 、D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点．]2．函数f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10)的零点个数是________． 3 [∵f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10) ＝(x －1)(x ＋5)(x －2)，由f (x )＝0，得x ＝－5或x ＝1或x ＝2.]3．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表：4 [∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0，f (6)·f (7)＜0，∴共有4个区间．] 4．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．[解] 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14. 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，f (4)<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，26m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，26m ＋38>0，解得－1913<m <0.所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1913，0.。
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3.4.1 函数与方程
第1课时 函数的零点
1.(2016山东济南高一期末)函数f(x)=log2x-的零点所在的区间为( ).
A.(1,2) B.(2,3) C. D.
答案:A
解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),且函数f(x)单调递增,∵f(1)=log21-1=-1<0,f(2)=log22-=1->0,
∴
在区间(1,2)内,函数f(x)存在零点,故选A.
2.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是( ).
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
答案:C
解析:令f(x)=2ax2-x-1,
∵
方程在(0,1)内恰有一个解,
∴f(x)与x
轴在(0,1)内恰有一个交点,
∴f(0)·f(1)<0,即-1·(2a-2)<0,∴a>1.
3.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是( ).
A.2,3 B.
C.-,- D.-2,-3
答案:C
解析:由题意可知,2,3是方程x2-ax-b=0的两根,由根与系数的关系知,a=2+3=5,-b=2×3,b=-6,
∴g(x)=-6x2-5x-1=-(2x+1)(3x+1).
令g(x)=0,得x=-或x=-,
∴函数g(x)的零点为-,-.
4.已知方程x2+(a-1)x+(a-2)=0的一个根比1大,另一个根比1小,则a的取值范围是( ). (导
学号51790198)
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
答案:A
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解析:方程的一根比1大,一根比1小,即函数f(x)=x2+(a-1)x+(a-2)的零点一个在(1,0)点的右侧,
一个在(1,0)点的左侧,画出f(x)的大致图象如图所示.由题意,得f(1)<0,即1+(a-1)·1+(a-2)<0,解
得a<1.
5.函数f(x)=的零点个数为 .
答案:2
解析:由f(x)=0,得解之可得x=-3或x=e2,故零点个数为2.
6.设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的端点为整数的最小区间是
.
(导学号51790199)
答案:(1,2)
解析:方法一:设f(x)=x3-,则f(0)=0-=-4<0,f(1)=13-=-1<0,f(2)=23-=7>0,f(3)=33-=26>0.
由f(1)·f(2)<0,知f(x)在(1,2)上有零点[f(x)的图象在(1,2)上连续].∴x0∈(1,2).
方法二(图象法):在同一坐标系内画出两个函数的图象如图,由图象知x0∈(1,2).
7.求下列函数的零点:
(1)f(x)=-x2+2x+3;
(2)f(x)=log3(x+2);
(3)f(x)=6x-5.
解(1)令-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3,
即函数的零点是-1,3.
(2)令log3(x+2)=0,解得x=-1,
即函数的零点是-1.
(3)令6x-5=0,解得x=log65.
即函数的零点是log65.
8.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求k的取值范围
.
(导学号51790200)
解设f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,
∵f(x)=
0的两根中,一根在(0,1)内,
一根在(1,2)内,
∴
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∴
x的取值范围.
(导学号51790201)
解∵-是函数的一个零点,
∴f=0.
∵y=f(x)是偶函数,且在(-
∞,0]上是增函数,
∴当lox≤0即x≥1时,lox≥-
,
解得x≤2,即1≤x≤2.
由对称性可知,当lox>0时,≤x<1,
综上所述,x的取值范围是.