高考数学元二次不等式及其解法复习好题精选

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高考数学考点26 一元二次不等式及其解法试题

本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

考点26 一元二次不等式及其解法本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、选择题1.〔2021·高考文科·Ｔ7〕假设数列{}n a 的通项公式是a n =(-1)n(3n -2),那么12a a ++…10a += 〔A 〕15 (B)12 〔C 〕-12 (D) -15【思路点拨】观察数列{}n a 的性质，得到.31094321=+==+=+a a a a a a【精讲精析】选A. .31094321=+==+=+a a a a a a 故.151021=+++a a a2.〔2021·高考文科·Ｔ5〕不等式2x 2-x-1>0的解集是〔〕 A.1(,1)2-- B.〔1， +∞〕 C.〔-∞，1〕∪〔2，+∞〕 D.1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 【思路点拨】“十字相乘法〞把左边分解因式，然后求解.【精讲精析】选 D.由 2x 2-x-1>0得〔x-1〕(2x+1)>0,解得x>1或者x<21-,从而得原不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞，应选D. 二、填空题3.〔2021·高考文科·Ｔ13〕函数y =的定义域是___________ 【思路点拨】要使函数有意义，那么062>--x x ，再解此不等式.【精讲精析】答案：(-3,2).由062>--x x 可得,062<-+x x 即0)2)(3(<-+x x ，所以-3<x<2.本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

高考数学计算题型精练(新高考通用版)专题01 解一元二次不等式(解析版)

解一元二次不等式1．解不等式(1)23400x x -++>(2)311x <+【答案】(1){}58x x -<<(2){2x x >或}1x <-【详解】（1）由23400x x -++>，得23400x x --<，即()()850x x -+<，解得58x -<<，所以不等式的解集为{}58x x -<<；（2）由311x <+，得201x x ->+，即()()210x x -+>，解得2x >或1x <-，所以不等式得解集为{2x x >或}1x <-.2．解不等式：(1)231x x x -+≥+；(2)22222x x x ->+.【答案】(1){}1-(2)∅【详解】（1）由231x x x -+≥+得2210x x ++≤，即()210x +≤，10x ∴+=，1x ∴=-，即不等式231x x x -+≥+的解集为{}1-；（2）由22222x x x ->+得2220x x ++<，即()2110x ++<，不可能成立，即不等式22222x x x ->+的解集为∅.3．解一元二次不等式：(1)24410x x ++>；(2)2230--≤x x .【答案】(1)11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由()22441210x x x ++=+>可知，不等式24410x x ++>的解集为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）解2230x x --=得1231,2x x =-=，故由不等式2230--≤x x ，得312x -≤≤，故不等式2230--≤x x 的解集为31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.4．解下列不等式：(1)1323232x x x -+<-<+；(2)3x +4﹣x 2＜0．【答案】(1){x |x ＞7}；(2){x |x ＞4或x ＜﹣1}.【详解】（1）1323232x x x -+<-<+ ，1323,3232x x x x -∴+<--<+，7x ∴>且92x >-，∴x ＞7∴不等式的解集为{x |x ＞7}.（2）∵3x +4﹣x 2＜0，∴x 2﹣3x ﹣4＞0，∴（x ﹣4）（x +1）＞0，∴x ＞4或x ＜﹣1，∴不等式的解集为{x |x ＞4或x ＜﹣1}．5．求解下列不等式的解集：(1)2450x x -++<；(2)20252x x ≤-+；(3)4170x --≤；(4)()()()21502x x x +-<-；(5)4123xx -≥+.【答案】(1){1x x <-或}5x >(2)122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭(3)322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭(4){}12x x -<<(5)3123x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭【详解】（1）解：由2450x x -++<可得2450x x -->，解得1x <-或5x >，故原不等式的解集为{1x x <-或}5x >.（2）解：由20252x x ≤-+可得()()2120x x --≤，解得122x ≤≤，故原不等式的解集为122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（3）解：由4170x --≤可得417x -≤，即7417x -≤-≤，解得322x -≤≤，故原不等式的解集为322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（4）解：由()()()21502x x x +-<-可得10250x x x +⎧<⎪-⎨⎪-≠⎩，解得12x -<<，故原不等式的解集为{}12x x -<<.（5）解：由4123x x -≥+可得()23443110232323x x x x x x x +-----==≤+++，解得3123x -<≤，故原不等式的解集为3123x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭.6．解下列不等式：(1)2560x x -+<；(2)2230x x -++<；(3)3113x x +>--；(4)103x x +≥-.【答案】(1)()2,3(2)()(),13,-∞-⋃+∞(3)()2,3-(4)(](),13,-∞-+∞ 【详解】（1）由2560x x -+<，得()()230x x --<，解得23x <<，故不等式的解集为()2,3.（2）由2230x x -++<，得2230x x -->，即()()130x x +->，解得1x <-或3x >，故不等式的解集为()(),13,-∞-⋃+∞.（3）由3113x x +>--，得2403x x +<-，即()()2430x x +-<，解得23x -<<，故不等式的解集为()2,3-.（4）由103x x +≥-，得()()13030x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得1x ≤-或3x >，故不等式的解集为(](),13,-∞-+∞ .7．解下列不等式(1)()22log 21x -≤(2)()()140x x --≥；(3)23280x x --+≥；【答案】(1){|2x x -≤<2}x <≤.(2)1{|}4x x x ≤≥或(3)4{|-2}3x x ≤≤．【详解】（1）由()22log 21x -≤得2022x <-≤，即224x <≤，解得2x -≤<2x <≤.所以原不等式的解集为{|2x x -≤<2}x <≤.（2）由()()140x x --≥解得1x ≤，或4x ≥.所以原不等式的解集为{|1x x ≤或4}x ≥.（3）不等式23280x x --+≥变形为，23280x x +-≤，即()()3420x x -+≤，解得423x -≤≤.所以原不等式的解集为4{|2}3x x -≤≤8．解下列关于x 的不等式：(1)2240x x -++>(2)2311x x -≥+【答案】(1)(1(2)()[),14,∞∞--⋃+【详解】（1）2240x x -++>等价于2240x x --<，即()110x x --<解得11x <<，故该不等式的解集为：()11（2）()()23410041011x x x x x x ---≥⇒≥⇒-+≥++且10x +≠，解得4x ≥或1x <-.即该不等式的解集为：()[),14,∞∞--⋃+9．求下列不等式的解集：(1)4351x x +>-(2)2332x x -<-【答案】(1)(1,8)(2)(1,)+∞【详解】（1）()()4385018011x x x x x x +->⇔<⇔--<--，故解集为(1,8)；（2）|23|32322332x x x x x -<-⇔-+<-<-，故解集为(1,)+∞.10．解下列不等式：(1)22530x x +-<；(2)2362x x -+≤；(3)5132x x +≤-；(4)()()()12253x x x x --<-+【答案】(1)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2),11,33⎛⎡⎫-∞-++∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭ (3)[)13,3-(4)()(),11,-∞+∞ 【详解】（1）22530x x +-< ，()()2130x x ∴-+<，132x ∴-<<，即不等式的解集为13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2362x x -+≤ ，23620x x -∴+≥，解得1x ≤-1x ≥+即不等式的解集为,11⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；（3）5132x x +≤- ，()153230x x x ⎧+≤-⎪∴⎨⎪->⎩或()153230x x x ⎧+≥-⎪⎨⎪-<⎩解得133x -≤<，即不等式的解集为[)13,3-；（4）()()()12253x x x x --<-+ ，整理得2210x x -+>，解得1x ≠，即不等式的解集为()(),11,-∞+∞ .11．解下列不等式：(1)234x x <+；(2)220x x +-≥(3)()90x x ->.【答案】(1)()1,4-(2)[]1,2-(3)()0,9【详解】（1）不等式234x x <+，可化为2340x x --<，方程2340x x --=的解为11x =-或24x =，作函数234y x x =--的图象可得，观察图象可得不等式2340x x --<的解集为()1,4-，所以不等式234x x <+的解集为()1,4-；（2）不等式220x x +-≥，可化为220x x --≤，方程220x x --=的解为31x =-或42x =，作函数2y x x 2=--的图象可得，观察图象可得不等式220x x --≤的解集为[]1,2-，所以不等式220x x +-≥的解集为[]1,2-；（3）不等式()90x x ->，可化为290x x -<，方程290x x -=的解为50x =或69x =，作函数29y x x =-的图象可得，观察图象可得不等式290x x -<的解集为()0,9，所以不等式()90x x ->的解集为()0,9.12．求下列不等式的解集：(1)23100x x -->；(2)23540x x -+->【答案】(1){|5x x >或}2x <-(2)∅【详解】（1）原不等式化为()()250x x +->，解得5x >或<2x -，所以原不等式解集为{|5x x >或}2x <-；（2）原不等式化为23540x x -+<，又2(5)434230∆=--⨯⨯=-<，所以原不等式无解，解集为∅．13．解下列不等式：(1)22320x x +->；(2)2230x x -+>．【答案】(1)122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2)R【详解】（1）原不等式可化为22320x x --<，即()()2120x x +-<，故原不等式的解集为122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.（2）∵()2243180∆=--⨯⨯=-<,∴原不等式的解集为R .14．解不等式：(1)260x x +-≤(2)2620x x --<．【答案】(1){}32x x -≤≤(2)322x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或【详解】（1）原不等式等价于：()()320x x +-£解得：32x -≤≤所以原不等式解集为：{}32x x -≤≤（2）原不等式等价于：2260x x +->即()()2320x x -+>解得：<2x -或32x >所以原不等式的解集为：3|22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或15．解下列不等式：(1)22320x x +->；(2)()()321x x x x -≤+-.【答案】(1)1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2)1|2x x ⎧≤-⎨⎩或}1x ≥【详解】（1）原不等式可化为22320x x --<，所以(21)(2)0,x x +-<解得122x -<<，故原不等式的解集是1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.（2）原不等式可化为2210,x x --≥所以(21)(1)0+-≥x x ，解得12x ≤-或1x ≥，故原不等式的解集为1|2x x ⎧≤-⎨⎩或}1x ≥.16．解下列不等式.(1)x 2－5x ＋6>0；(2)－3x 2＋5x －2>0.【答案】(1)()(),23,∞∞-⋃+(2)2,13⎛⎫⎪⎝⎭【详解】（1）因为()()256230x x x x =-->－＋，所以2x <或3x >，即()(),23,x ∈-∞+∞U ；（2）因为23520x x >－＋－，即23520x x +<-，所以()()1320x x --<，解得213x <<，即2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.17．解下列不等式：(1)2230x x +->(2)24410x x -+-≥(3)24320x x -+-<【答案】(1)()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(2)12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(3)R【详解】（1）由2230x x +->可得()()2310x x +->，所以1x >或32x <-，即解集为()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）由24410x x -+-≥可得()2210x -≤，所以12x =，即解集为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（3）由24320x x -+-<可得2232343220416x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以解集为R .18．求下列不等式的解集：(1)23262x x x -++<-；(2)()()()221332x x x +->+【答案】(1){4x x <-或}1x >(2)∅【详解】（1）原不等式整理得，2340+->x x ，即()()140x x -+>，解得<4x -或1x >，∴原不等式的解集为{4x x <-或}1x >（2）原不等式整理得，2590x x ++<，2Δ5419110=-⨯⨯=-< ，∴原不等式的解集为∅.19．解下列不等式:(1)2102x x -≤+;(2)|12|3x ->．【答案】(1)12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦；(2){1xx <-∣或2}x >【详解】（1）(2)(21)0211022022x x x x x x +-≤⎧-≤⇒⇒-<≤⎨+≠+⎩，所以不等式的解为12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.（2）|12|3x -> ，123x ∴->或213x ->，1x ∴<-或2x >,所以不等式的解为{1xx <-∣或2}x >.20．解下列关于x 的不等式：(1)2440x x -+-<(2)105xx ->-【答案】(1){}2xx ≠∣(2){15}x x <<∣【详解】（1）由2440x x -+-<可得：()224420x x x -+=->，所以2x ≠，故解集为{}2xx ≠∣.（2） 105x x ->-，105x x -∴<-，等价转化为()()150x x --<，解得15x <<，所以不等式解集为{15}xx <<∣.21．（1）4220x x --<；（2）()222log 5log 60x x -+≥．【答案】（1）(),1-∞；（2）(][)0,48,+∞ .【详解】（1）令()2,0xm m =>，则原不等式可化为：220m m --<，解得：12m -<<，所以02m <<.解不等式22x <，解得：1x <，所以原不等式的解集为(),1-∞（2）令2log n x =，则原不等式可化为：2560n n -+≥，解得：2n ≤或3n ≥，即2log 2x ≤或2log 3x ≥，解得：04x <≤或8x ≥，所以原不等式的解集为(][)0,48,+∞ .22．求下列不等式的解集：(1)23280x x --+≥；(2)3121xx ≤+.【答案】(1)423x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭(2)112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭【详解】（1）因为23280x x --+≥，所以23280x x +-≤，则()()3420x x -+≤，解得423x -≤≤，所以23280x x --+≥的解集为423x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）因为3121xx ≤+，所以31021x x -≤+，则321021x x x --≤+，即1021x x -≤+，故()()1210210x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得112x -<≤，所以3121x x ≤+的解集为112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭.23．解下列不等式的解集：(1)2440x x -+>；(2)23520x x +-->；(3)22730x x ++>；(4)221x x <-.【答案】(1)()(),22,-∞+∞ (2)2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)()1,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭(4)∅【详解】（1）2440x x -+>可化为()220x ->，解得2x ≠，所以不等式的解集为()(),22,-∞+∞ .（2）23520x x +-->可化为23520x x +<-，即()()3210x x --<，解得213x <<，所以不等式的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭.（3）22730x x ++>可化为()()2130x x ++>，解得3x <-或12x >-，所以不等式的解集为()1,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭.（4）221x x <-可化为2210x x -+<，因为不等式对应的方程的判别式()214270∆=--⨯=-<，所以不等式的解集为∅．24．解下列不等式：(1)24410x x -+>；(2)2690x x -+≤；(3)2230x x -+->；(4)(2)(3)6x x +-<.【答案】(1)1{|}2x x ≠(2){|3}x x =(3)∅(4){|34}x x -<<【详解】（1） 24410x x -+>，∴()2210x ->，解得：12x ≠.所以解集为：1{|}2x x ≠（2） 2690x x -+≤，∴()230x -≤，解得：3x =.所以解集为：{|3}x x =（3） 2230x x -+->，∴()()2241380∆=-⨯-⨯-=-<，所以方程无解，解集为∅.所以解集为：∅（4） (2)(3)6x x +-<，∴()()340x x +-<，解得：34x -<<.所以解集为：{|34}x x -<<25．解下列不等式．(1)22310x x -+-<；(2)220x x ++<．【答案】(1){1x x >或12x ⎫<⎬⎭；(2)∅【详解】（1）由22310x x -+-<得：()()2110x x -->，解得：12x <或1x >，所以不等式的解集为：{1x x >或12x ⎫<⎬⎭；（2）由220x x ++<，令220x x ++=，可知141270∆=-⨯⨯=-<，又22y x x =++对应抛物线开口向上，所以220x x ++<的解集为：∅.26．求下列不等式的解集．(1)22530x x -+-≤；(2)+42+1x x ≥【答案】(1){1x x ≤或32x ⎫≥⎬⎭(2){}12x x -<≤【详解】（1）22530x x -+-≤，将原不等式变形为22530x x -+≥，即()()2310x x --≥，解得1x ≤或32x ≥，故原不等式的解集为{1x x ≤或32x ⎫≥⎬⎭；（2）+42+1x x ≥，化简得+420+1x x -≥，+20+1x x -≥，等价于()()+2+10x x -≥且+10x ≠，即1x ≠-，由()()+2+10x x -≥且1x ≠-，解得12x -<≤，故原不等式的解集为{}12x x -<≤.27．解下列不等式：(1)220x x +-<(2)()()230x x +-≤【答案】(1)()2,1-(2)(][),23,-∞-+∞ 【详解】（1）()()22210x x x x +-=+-<，解得2<<1x -，即()2,1x ∈-（2）()()230x x +-≤，即()()230x x +-≥，解得3x ≥或2x ≤-，即(][),23,x ∈-∞-+∞ 28．解下列不等式(1)2230x x -++<；(2)21134x x-≥-；(3)()()21x x x --<．【答案】(1)()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；(2)23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭；(3)((),22-∞⋃+∞.【详解】（1）由2230x x -++<，化为2230x x -->，即为()()2310x x -+>，解得1x <-或32x >，所以原不等式的解集为()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）由21134x x -≥-，可得64034x x -≥-，等价为()()64430x x --≤，且430x -≠，解得2334x ≤<，所以原不等式的解集为23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（3）由()()21x x x --<，可得2420x x -+<，解得22x <-或22x >+，所以原不等式的解集为()(),2222,-∞-⋃++∞．29．求下列不等式的解集(1)12x x->；(2)25601x x x -++≥-．【答案】(1){}|10x x -<<(2){|1x x ≤-或}16x <≤【详解】（1）已知12x x ->，移项得120x x -->，通分化简得10x x-->，等价于()10x x -->，即()10x x +<，解得：10x -<<，故不等式12x x->的解集为{}|10x x -<<.（2）已知25601x x x -++≥-，等价于()()25610x x x -++-≥且10x -≠，即()()()6110x x x -+-≤且10x -≠，根据穿根法，如图可知不等式25601x x x -++≥-的解集为{|1x x ≤-或}16x <≤30．解下列不等式（组）(1)2134x -<-≤(2)125231x x ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩(3)22551233x x x x +>-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩【答案】(1)[1,1)-(2)(2,3][2,1)- (3)(,2)-∞【详解】（1）不等式2134x -<-≤可化为132134x x ->-⎧⎨-≤⎩，解得：1<1x ≤-，所以原不等式的解集为[1,1)-.（2）不等式125231x x ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩可化为5215231x x -≤-≤⎧⎨->⎩或5215231x x -≤-≤⎧⎨-<-⎩，解得：23x <≤或21x -£<，所以原不等式的解集为(2,3][2,1)- （3）不等式225513x x x +>-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩可化为2230x x <⎧⎪⎨-+≥⎪⎩，也即(220x x <⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得：2x <，所以原不等式的解集为(,2)-∞.31．解关于x 的不等式.(1)2260x x -->；(2)2230x x -++≥；(3)2320x x --<.【答案】(1)|2x x >｛或32｝x <-(2)3|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭(3)|x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭【详解】（1）∵2260x x -->，则()()2320x x +->，∴2x >或32x <-，故不等式的解集为|2x x >｛或32｝x <-（2）∵2230x x -++≥，即2230--≤x x ，则()()2310x x -+≤，∴312x -≤≤，故不等式的解集为3|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（3）令2320x x --=，则32x =或32x =，∵2320x x --<x <<故不等式的解集为33|22x x ⎧+⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭.32．解下列不等式：(1)2210x x -++<；(2)221x x -≥-．【答案】(1){|1x x >或1}2x <-(2){|01}x x ≤<【详解】（1）因为不等式2210x x -++<可化为2210x x -->，也即(21)(1)0x x +->，解得：1x >或12x <-，所以原不等式的解集为{|1x x >或1}2x <-.（2）不等式221x x -≥-可化为22(1)01x x x ---≥-，也即01x x -≥-，所以10(1)0x x x -≠⎧⎨-≤⎩，解得：01x ≤<，所以原不等式的解集为{|01}x x ≤<.33．求下列不等式的解集：(1)22530x x -+<；(2)3102x x+<-.【答案】(1)312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣(2)123x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭∣或【详解】（1）22530x x -+< ，()()2310x x ∴--<，解得312x <<.∴原不等式的解集为312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣.（2）不等式3102x x+<-等价于()()3120x x +-<，()()3120x x ∴+->，解得13x <-或2x >.∴原不等式的解集为13x x ⎧<-⎨⎩∣或}2x >.34．求下列不等式的解集：(1)（x +1）(x -4)>0(2)-x 2+4x -4<0【答案】(1)()(),14,-∞-⋃+∞(2)()(),22,-∞+∞ 【详解】（1）由()()140x x +->，解得1x <-或>4x ，故不等式的解集为()(),14,-∞-⋃+∞.（2）由2440x x -+-<，得2440x x -+>，即()220x ->，解得2x ≠，故不等式的解集为()(),22,-∞+∞ .35．解下列关于x 的不等式：(1)2320x x -+>；(2)210x x ++>.【答案】(1)(,1)(2,)-∞⋃+∞(2)R【详解】（1）不等式x 2﹣3x+2>0可化为（x ﹣1）（x ﹣2）>0，解得1x <或2x >，所以不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞）（2）因为不等式210x x ++>对应方程的判别式1430∆=-=-<，不等式210x x ++>的解集为R .36．利用函数解下列不等式：(1)22730x x ++>；(2)2450x x --≤；(3)213502x x -+->．(4)307x x -<+(5)413x x-≥-【答案】(1)132x x x ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或(2){}15x x -≤≤(3)∅(4)3{|}7x x <<－(5)732x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【详解】（1）解：方程22730x x ++=的解为1213,2x x =-=-，所以不等式的解集为132x x x ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或；（2）解：方程2450x x --=的解为121,5x x =-=，所以不等式的解集为{}15x x -≤≤；（3）解：对于方程213502x x -+-=，由于2(6)41040∆=--⨯=-<，所以不等式的解集为∅；（4）解：307x x -<+等价于7)30()(x x <－＋，方程0()3)(7x x =－＋的解为127,3x x =-=，所以原不等式的解集是3{|}7x x <<－；（5）解：移项得4103x x --≥-通分整理得2703x x-≥-，等价于()()273030x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得732x <≤，所以原不等式的解集是7|32x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭．37．解关于x 的不等式：(1)214450x x -+≤(2)2111x x +≤-【答案】(1){|59}x x ≤≤．(2){|21}x x -≤<．【详解】（1）由214450.x x -+≤所以()()590x x --≤则59x ≤≤，所以不等式214450x x -+≤的解集为：{|59}x x ≤≤．（2）由2111x x +≤-即20.1x x +≤-所以()()120x x -+≤且1x ≠，则21x -£<，所以不等式2111x x +≤-的解集为：{|21}x x -≤<．38．求下列不等式和不等式组的解集(1)2113x x -≤+(2)()2201x x x ⎧+>⎨<⎩【答案】(1){}34x x -<≤(2){}01x x <<【详解】（1）2113x x -≤+21103x x --≤+403x x -≤+，等价于()()4303x x x ⎧-+≤⎨≠-⎩，解得34x -<£，所以不等式的解集为{}34x x -<≤.（2）不等式()20x x +>解得<2x -或0x >；不等式21x <解得11x -<<，所以不等式组的解集为{}01x x <<.39．解不等式：(1)2230x x -->(2)112x x-<【答案】(1){|1x x <-或}3x >(2){|1x x <-或}0x >【详解】（1）()()223310x x x x --=-+>，解得1x <-或3x >，所以不等式2230x x -->的解集为{|1x x <-或}3x >.（2）111211,102222x x x x x x x x x------<-==<，即()210x x --<，解得1x <-或0x >，所以不等式112x x-<的解集为{|1x x <-或}0x >.40．解不等式2230x x -++<．【答案】(,1)(3,)-∞-⋃+∞【详解】由2230x x -++<得2230x x -->，即(1)(3)0x x +->，故原不等式的解集为(,1)(3,)-∞-⋃+∞，41．解下列不等式(1)224xx -<；(2)21131x x ->+【答案】(1){}12x x -<<(2)123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭【详解】（1）由224x x -<，则2222x x -<，即22x x -<，220x x --<，()()120x x +-<，解得12x -<<.故解集为{}12x x -<<（2）由21131x x ->+，则211031x x -->+，2131031x x x --->+，2031x x -->+，2031x x +<+，()()2310x x ++<，解得123x -<<-.故解集为123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭42．解下列不等式503x x ->+【答案】{}|35x x -<<【详解】解：原不等式等价于()()530x x -+>，即()()530x x -+<，解得35x -<<所以，原不等式的解集是{}|35x x -<<43．解下列不等式：(1)23520x x +->；(2)2121x x ->-.【答案】(1)1<23x x x ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭或(2)1142x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【详解】（1）23520x x +->，()()3120x x -+>，解得<2x -或13x >.故不等式的解集为1<23x x x ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭或；（2）2121x x ->-，21021x x -->-，221021x x x --+>-，41021x x -+>-，41021x x -<-，()()41210x x --<，解得1142x <<，故不等式的解集为1142x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭44．求下列不等式的解集(1)()()120x x --<(2)2540x x -+≤(3)123x -≥(4)2103x x +>-【答案】(1)()1,2(2)[]1,4(3)(][),12,-∞-⋃+∞(4)()1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【详解】（1）由()()120x x --<可得12x <<，所以其解集为()1,2，（2）由2540x x -+≤可得14x ≤≤，所以其解集为[]1,4，（3）由123x -≥可得123x -≥或123x -≤-，解得2x ≥或1x ≤-，所以解集为(][),12,-∞-⋃+∞，（4）由2103x x +>-可得()()2130x x +->，所以3x >或12x <-，所以解集为()1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.45．求下列不等式的解集：(1)2560x x -+>；(2)213502x x -+->．(3)2311x x +≥-【答案】(1){|3x x >或2}x <;(2)∅;(3){|1x x >或4}x ≤-.【详解】（1）因为2560x x -+>，即()()230-->x x ，解得3x >或2x <，所以不等式的解集为{|3x x >或2}x <；（2）因为213502x x -+->，即26100x x -+<，因为()2641040∆=--⨯=-<，所以方程26100x x +=-无实数根，又函数2610y x x =-+开口向上，所以26100x x -+>恒成立，所以不等式213502x x -+->的解集为∅；（3）由2311x x +≥-，即23101x x +-≥-，可得401x x +≥-，等价于(1)(4)0x x -+≥，且1x ≠，解得1x >或4x ≤-，所以不等式的解集为{|1x x >或4}x ≤-.46．解下列关于x 的不等式：(1)2310x x -<(2)1202x x -≥+【答案】(1){}|25x x -<<(2)122x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭【详解】（1）由2310x x -<得()()250x x +-<，解得25x -<<，所以解集为{}|25x x -<<.（2）原不等式可化为2102x x -≤+，等价于()()212020x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得122x -<≤，所以解集为122x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭.47．解下列不等式(1)14x<；(2)217x -<．【答案】(1){x |x ＜0或x ＞14}(2){x |－3＜x ＜4}【详解】（1）由14x <，得140x ->，即410x x ->，则x (4x －1)＞0，解得x ＜0或x ＞14，∴不等式的解集为{x |x ＜0或x ＞14}．（2）由|2x －1|＜7，得－7＜2x －1＜7，解得－3＜x ＜4，∴不等式的解集为{x |－3＜x ＜4}．48．解下列不等式：(1)()()214x x -+<；(2)201x x -≥+.【答案】(1){}|23x x -<<(2){|1x x <-或}2x ≥【详解】（1）由()()214x x -+<得260x x --<即()()023x x +-<,解得23x -<<,所以不等式的解集为{}|23x x -<<.（2）原不等式等价于(2)(1)010x x x -+≥⎧⎨+≠⎩解得1x <-或2x ≥.所以不等式的解集为{|1x x <-或}2x ≥.49．解下列不等式；(1)2230x x -+->；(2)()()2132x x -->；(3)132x x +≥-【答案】(1)∅；(2)4|13x x ⎧⎫⎨<⎩<⎬⎭(3)72,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【详解】（1）因为2230x x -+->，所以2230x x -+<，因为()2120x -+<无解，所以x ∈∅，所以原不等式的解集为∅；（2）因为()()2132x x -->，所以23740x x -+->，即23740x x -+<，因为()()3410x x --<，所以413x <<，所以原不等式的解集为4|13x x ⎧⎫⎨<⎩<⎬⎭；（3）因为132x x +≥-，所以2702x x -+≥-，即2702x x -≤-，所以()()272020x x x ⎧--≤⎨-≠⎩解得722x <≤，所以原不等式的解集为72,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.。

(完整版)一元二次不等式及其解法练习题

一元二次不等式及其解法练习班级：姓名：座号：1 比较大小：（1）2 6+ （2）2 21)-；（3；（4）当0a b >>时，12log a _______12log b .2. 用不等号“>”或“<”填空：（1）,____a b c d a c b d ><⇒--；（2）0,0____a b c d ac bd >><<⇒；（3）0a b >>⇒ （4）22110___a b a b>>⇒.3. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（）.A ．220x a <>C ．20x ax <<D ．22x a ax >>4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11a b<，③33a b >，④lg lg a b >，其中成立的是 .5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 .6.比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小.7. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（）. A ．()()f x g x > B ．()()f x g x = C ．()()f x g x < D ．随x 值变化而变化8.（1）已知1260,1536,aa b a b b<<<<-求及的取值范围.（2）已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.9. 已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（）.A ．(,0)2π-B ．[,0]2π-C ．(,0]2π-D ．[,0)2π- 10.求下列不等式的解集.（1）2230x x +->；（2）2230x x -+-> （3）2230x x -+-≤.（4）24410x x -+> （5）24415x x -> （6）21340x ->（7）23100x x --> （8）2450x x -+< （9）23710x x -≤（10）2250x x -+-< （11）23100x x --+> （12）(9)0x x ->11.（1）不等式230x x -<的解集是 . （2）不等式2524x x -<的解集是 . （3）不等式(5)(2)0x x --<的解集为 . 12.不等式12--x x ≥0的解集是（） A.［2,＋∞］ B.(－∞,1)∪［2,＋∞） C.(－∞,1) D.(－∞,1)∪［2,＋∞) 13、不等式13+-x x ≤ 3的解集为 .14 y =的定义域为 .15. 函数y =的定义域是（）.A ．{|4x x <-或3}x >B ．{|43}x x -<<C ．{|4x x ≤-或3}x ≥D ．{|43}x x -≤≤ 16. 集合A ={2|540}x x x -+≤，B =2{|560}x x x -+≥，则AB =（）.A ．{|12x x ≤≤或34}x ≤≤B ．{|12x x ≤≤且34}x ≤≤C ．{1，2，3，4}D ．{|41x x -≤≤-或23}x ≤≤17.2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围.18.不等式2223931711()()33x x x x --+-≤的解集是（）.A ．[2，4]B ．(,2][4,)-∞+∞C ．RD ．(,2][4,)-∞-+∞19.(1)若关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.(2)当m 是什么实数时，关于x 的一元二次方程2(1)0mx m x m --+=没有实数根.20. 已知方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，且12x x <，若0a <，则不等式20ax bx c ++<的解为（）.A ．RB ．12x x x <<C ．1x x <或2x x >D ．无解21若不等式220ax bx +->的解集为1{|1}4x x -<<-，则,a b 的值分别是 .22设关于x 的不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，求a b .23.不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，则a b +等于（）.A ．-14B ．14C ．-10D ．1024.若方程20ax bx c ++=（0a <）的两根为2，3，那么20ax bx c ++>的解集为（）. A ．{|3x x >或2}x <- B ．{|2x x >或3}x <- C ．{|23}x x -<< D ．{|32}x x -<< 25已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（） A ．11{|}32x x -<或 C ．{|32}x x -<< D ．{|32}x x x <->或 26已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为1{|3x x <或1}2x >，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集.27.二次不等式的解集是全体实数的条件是（1）20ax bx c ++>对一切x R ∈都成立的条件为（）（2）20ax bx c ++<对一切x R ∈都成立的条件为（）A ．00a >⎧⎨∆>⎩B ．00a >⎧⎨∆<⎩C ．00a <⎧⎨∆>⎩D ．00a <⎧⎨∆<⎩28.关于x 的不等式20x x c ++>的解集是全体实数的条件是（）. A ．14c D ．14c ≥29.若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是 30. 在下列不等式中，解集是∅的是（）.A ．22320x x -+>B ．2440x x ++≤C ．2440x x --<D ．22320x x -+-> 31. 关于x 的不等式2(1)10x a x ---<的解集为∅，则实数a 的取值范围是（）.A ．3(,1]5-B ．(1,1)-C ．(1,1]-D ．3(,1)5-32. 若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.33. 解关于x 的不等式2(2)20x a x a +--<（a ∈R ）.34（1）. 设2280x x a -+-≤对于一切(1,3)x ∈都成立，求a 的范围.（2）若方程2280x x a -+-=有两个实根12,x x ，且13x ≥，21x ≤，求a 的范围.35.设函数2()(8),f x ax b x a ab =+---的两个零点分别是－3和2；（1）求()f x ；（2）当函数()f x 的定义域是[0，1]时，求函数()f x 的值域.1< < < < 2.> < > < 3B 4 ③5.ab ab a <<26 <7 A 8.35、解：(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，∴函数图象过点(－3，0)、(2，0)∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0 ……⑴ 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0 ……⑵ ⑴ －⑵得：b ＝a ＋8 … ⑶ ⑶代入⑵得：4a ＋2a －a －a(a ＋8)＝0即a 2＋3a ＝0∵a≠0 ∴a ＝－3 ∴b ＝a ＋8＝5 ∴f(x)＝－3x 2－3x ＋18 (2)由(1)得f(x)＝－3x 2－3x ＋18，图象的对称轴方程是：21-=x ，且10≤≤x ∴12)1()(min ==f x f ， 18)0()(max ==f x f ∴f(x)的值域是[12,18]。

高考数学第 6.2 一元二次不等式及其解法文

一元二次不等式及其解法(45分钟 100分)一、选择题(每题5分,共40分)1.一元二次不等式x2-5x-24<0的解集为( )A.(-∞,-3)B.(8,+∞)C.(-3,8)D.(-∞,-3)∪(8,+∞)2.(2021·宜昌模拟)函数f(x)=√x −2-1√3x −x 2的概念域是( )A.{x|2≤x ≤3}B.{x|2≤x<3}C.{x|0<x<3}D.{x|x>3}3.(2021·黄石模拟)在R 上概念运算⊗:x ⊗y=x(1-y).假设不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x 成立,那么( ) <a<1 <a<212<a<32 32<a<124.(2021·天门模拟)已知函数f(x)={x +2,x ≤0,−x +2,x >0,那么不等式f(x)≥x2的解集为( )A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,1]D.[-1,2]5.(2021·仙桃模拟)假设不等式ax2+bx+c>0的解集是(-4,1),那么不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集为() A.(−43,1)B.(-∞,-1)∪(43,+∞)C.(-1,4)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)6.(2021·武昌模拟)假设“0<x<1”是“(x-a)[x-(a+2)]≤0”的充分没必要要条件,那么实数a 的取值范围是()A.[-1,0]B.(-1,0)C.(-∞,0]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,+∞)7.(2021·武汉模拟)已知f(x)=x2+ax+b(a ,b ∈R)的值域为[0,+∞),且f(x)<c 的解集为(m,m+5),那么c 的值为( )B.252C.253D.2548.已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.假设有f(a)=g(b),那么b 的取值范围为( )A.[2-√2,2+√2]B.(2-√2,2+√2)C.[1,3]D.(1,3)二、填空题(每题5分,共20分)9.假设关于x 的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集为[-1,+∞),那么实数a,b 的值别离为 .10.(2021·大同模拟)已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b ∈R),假设当x ∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,那么b 的取值范围是 .11.(2021·绍兴模拟)假设函数f(x)是概念在(0,+∞)上的增函数,且对一切x>0,y>0知足f(xy)=f(x)+f(y),那么不等式f(x+6)+f(x)<2f(4)的解集是 .12.(能力挑战题)已知不等式xy ≤ax2+2y2,假设对任意x ∈[1,2]及y ∈[2,3],该不等式恒成立,那么实数a 的范围是 .三、解答题(13题12分,14～15题各14分)13.(2021·福州模拟)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,咱们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发觉情形不对,同时刹车,但仍是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间别离有如下关系:s 甲=+,s 乙=+.问:甲、乙两车有无超速现象?14.(2021·咸宁模拟)设不等式4−xx −2>0的解集为集合A,关于x 的不等式x2+(2a-3)x+a2-3a+2<0的解集为集合B.(1)假设B ⊆A,求实数a 的取值范围.(2)假设A ∩B=∅,求实数a 的取值范围.15.(能力挑战题)已知抛物线y=(m-1)x2+(m-2)x-1(x ∈R).(1)当m 为何值时,抛物线与x 轴有两个交点?(2)假设关于x 的方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2,求m 的取值范围. 答案解析1.【解析】选C.由x2-5x-24<0,得(x-8)(x+3)<0.即-3<x<8.2.【思路点拨】将条件用不等式组列出,解不等式组可求解. 【解析】选B.要使函数成心义,应有{x −2≥0,3x −x 2>0,即{x ≥2,0<x <3,因此2≤x<3, 即函数的概念域为{x|2≤x<3}.3.【解析】选C.(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x 成立,即(x-a)(1-x-a)<1对任意实数x 成立.因此x2-x-a2+a+1>0恒成立,因此Δ=1-4(-a2+a+1)<0,因此-12<a<32. 4.【解析】选A.当x>0时,f(x)≥x2就为-x+2≥x2,解得0<x ≤1;当x ≤0时,f(x)≥x2就为x+2≥x2,解得-1≤x ≤0,故不等式f(x)≥x2的解集为-1≤x ≤1,即x∈[-1,1].5.【思路点拨】利用不等式解集确信a 的符号及a 与b,c 的关系,代入所求不等式可解.【解析】选A.由不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1)知a<0,-4和1是方程ax2+bx+c=0的两根,因此-4+1=-b a ,-4×1=c a,即b=3a,c=-4a. 故所求解的不等式即为3a (x2-1)+a(x+3)-4a>0,即3x2+x-4<0,解得-43<x<1,应选A. 6.【解析】选A.因为(x-a)[x-(a+2)]≤0的解集为[a,a+2],由题意得(0,1)[a,a+2],因此{a ≤0,a +2≥1,解得a ∈[-1,0]. 7.【解析】选D.因为f(x)=x2+ax+b(a,b ∈R)的值域为[0,+∞),因此Δ=0,即a2-4b=0.又f(x)<c 的解集为(m,m+5),因此m,m+5是对应方程f(x)=c 的两个不同的根,因此x2+ax+b-c=0, 因此依照根与系数之间的关系得{x 1+x 2=−a ,x 1x 2=b −c ,又|x2-x1|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2,因此|m+5-m|=√(−a )2−4(b −c ). 即5=√a 2−4b +4c =√4c .因此c=254. 8.【思路点拨】由f(a)=g(b)可知b 的取值应使g(b)在f(x)的值域中,即求f(x)值域后令g(b)∈f(x)的值域即可.【解析】选B.函数f(x)的值域是(-1,+∞),要使得f(a)=g(b),必需使得-b2+4b-3>-1.即b2-4b+2<0,解得2-√2<b<2+√2.【误区警示】此题弄不清题意,弄不清a,b 是何意义,从而不知如何下手,致使误解.9.【思路点拨】分析不等式的解集可确信a 的取值而后利用a 的值再转化求解.【解析】依题意知,原不等式必为一元一次不等式,因此a=0,从而不等式变成bx-1≤0,于是应有{b <0,1b=−1,因此b=-1.答案:0,-110.【思路点拨】结合二次函数图象的开口方向及对称轴分析可解.【解析】由f(x)=-x2+2x+b2-b+1知二次函数开口向下,对称轴为x=1,因此f(x)在[-1,1]上单调递增,故只要f(-1)=-1-2+b2-b+1>0,即b2-b-2>0,得b<-1或b>2.答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)11.【解析】由已知,得f(x+6)+f(x)=f(x(x+6)),2f(4)=f(16).因此f(x(x+6))<f(16).由题意,得{x (x +6)<16,x >0,x +6>0,解得0<x<2.答案:{x|0<x<2}12.【思路点拨】将参数a 分离到不等式的一边,然后求不等式另一边的最大值,令t=y x,通过换元,转化为二次函数在闭区间上的最值问题.【解析】由xy ≤ax2+2y2可得a ≥y x -2(y x )2,令t=y x,g(t)=-2t2+t,由于x ∈[1,2],y ∈[2,3],因此t ∈[1,3],于是g(t)=-2t2+t=-2(t−14)2+18,因此g(t)的最大值为g(1)=-1,故要使不等式恒成立,实数a 的范围是a ≥-1. 答案:a ≥-1【方式技术】换元法的妙用此题中涉及三个变量,但通过度离变量,将不等式的一边化为只含有x,y 两个变量的式子,然后通过换元法求出该式的最值,从而取得参数a 的取值范围.其中换元法起到了关键作用,一样地,形如a[f(x)]2+bf(x)+c 的式子,不论f(x)的具体形式如何,都可采纳换元法,将其转化为二次函数、二次不等式或二次方程加以解决,但需注意的是换元后必然要注意新元的取值范围.【加固训练】假设不等式a ·4x-2x+1>0对一切x ∈R 恒成立,那么实数a 的取值范围是 .【解析】不等式可变形为a>2x −14x =(12)x -(14)x , 令(12)x =t,那么t>0, 且y=(12)x -(14)x =t-t2=-(t −12)2+14, 因此当t=12时,y 取最大值14, 故实数a 的取值范围是a>14. 答案:a>14 13.【思路点拨】由甲、乙两车的实际刹车距离成立关于甲、乙两车车速的不等式,求出两车的实际车速然后判定是不是超速.【解析】由题意知,关于甲车,有+>12,即x2+10x-1200>0,解得x>30或x<-40(不符合实际意义,舍去).这说明甲车的车速超过30km/h.但依照题意刹车距离略超过12m,由此估量甲车车速可不能超过限速40km/h.关于乙车,有+>10,即x2+10x-2000>0,解得x>40或x<-50(不符合实际意义,舍去).这说明乙车的车速超过40km/h,超过规定限速.【方式技术】构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景,多是解决实际生活、生产中的最优化问题等,解题时,要认真审题,认清题目的条件和要解决的问题,理清题目中各量之间的关系,成立适当的不等式模型进行求解.【加固训练】某产品生产厂家依照已往的生产销售体会取得下面有关销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总本钱为G(x)万元,其中固定本钱为2万元,而且每生产100台的生产本钱为1万元(总本钱=固定本钱+生产本钱),销售收入R(x)知足R(x)={−0.4x 2+4.2x −0.8,0≤x ≤5,10.2,x >5.假定该产品销售平稳,那么依照上述统计规律:(1)要使工厂有盈利,产品数量x 应操纵在什么范围?(2)工厂生产多少台产品时盈利最大?求现在每台产品的售价为多少? 【解析】(1)设厂家纯收入为y 万元,由题意G(x)=x+2,因此y=R(x)-G(x)={−0.4x 2+3.2x −2.8,0≤x ≤5,8.2−x ,x >5, 令y>0得{0≤x ≤5,−0.4x 2+3.2x −2.8>0或{x >5,8.2−x >0,解得1<x<,故当1<x<时工厂有盈利.(2)当0≤x ≤5时, y=+因此当x=4时,ymax=;当x>5时,y<=,因此当生产400台产品时盈利最大,现在R(4)=×42+×=, 故每台产品的售价为96 000400=240(元). 14.【解析】由题意4−xx −2>0⇔(x-2)(x-4)<0,解得A={x|2<x<4},集合B={x|(x+a-2)(x+a-1)<0}={x|1-a<x<2-a}.(1)假设B⊆A,那么{1−a≥2,2−a≤4,解得-2≤a≤-1,即a∈[-2,-1].(2)假设A∩B=∅,那么2-a≤2或1-a≥4,解得a∈(-∞,-3]∪[0,+∞).15.【解析】(1)依照题意,m≠1且Δ>0,即Δ=(m-2)2-4(m-1)(-1)>0,得m2>0,因此m≠1且m≠0.(2)在m≠0且m≠1的条件下,{x1+x2=m−21−m, x1·x2=11−m,因为1x1+1x2=x1+x2x1x2=m-2,因此1x12+1x22=(1x1+1x2)2-2x1x2=(m-2)2+2(m-1)≤2.得m2-2m≤0,因此0≤m≤2.因此m的取值范围是{m|0<m<1或1<m≤2}.。

新高考数学计算题型精练解一元二次不等式(解析版)

新高考数学计算题型精练解一元二次不等式1．解不等式(1)23400x x -++>(2)311x <+【答案】(1){}58x x -<<(2){2x x >或}1x <-【详解】（1）由23400x x -++>，得23400x x --<，即()()850x x -+<，解得58x -<<，所以不等式的解集为{}58x x -<<；（2）由311x <+，得201x x ->+，即()()210x x -+>，解得2x >或1x <-，所以不等式得解集为{2x x >或}1x <-.2．解不等式：(1)231x x x -+≥+；(2)22222x x x ->+.【答案】(1){}1-(2)∅【详解】（1）由231x x x -+≥+得2210x x ++≤，即()210x +≤，10x ∴+=，1x ∴=-，即不等式231x x x -+≥+的解集为{}1-；（2）由22222x x x ->+得2220x x ++<，即()2110x ++<，不可能成立，即不等式22222x x x ->+的解集为∅.3．解一元二次不等式：(1)24410x x ++>；(2)2230--≤x x .【答案】(1)11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由()22441210x x x ++=+>可知，不等式24410x x ++>的解集为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）解2230x x --=得1231,2x x =-=，故由不等式2230--≤x x ，得312x -≤≤，故不等式2230--≤x x 的解集为31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.4．解下列不等式：(1)1323232x x x -+<-<+；(2)3x +4﹣x 2＜0．【答案】(1){x |x ＞7}；(2){x |x ＞4或x ＜﹣1}.【详解】（1）1323232x x x -+<-<+ ，1323,3232x x x x -∴+<--<+，7x ∴>且92x >-，∴x ＞7∴不等式的解集为{x |x ＞7}.（2）∵3x +4﹣x 2＜0，∴x 2﹣3x ﹣4＞0，∴（x ﹣4）（x +1）＞0，∴x ＞4或x ＜﹣1，∴不等式的解集为{x |x ＞4或x ＜﹣1}．5．求解下列不等式的解集：(1)2450x x -++<；(2)20252x x ≤-+；(3)4170x --≤；(4)()()()21502x x x +-<-；(5)4123xx -≥+.【答案】(1){1x x <-或}5x >(2)122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭(3)322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭(4){}12x x -<<(5)3123x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭【详解】（1）解：由2450x x -++<可得2450x x -->，解得1x <-或5x >，故原不等式的解集为{1x x <-或}5x >.（2）解：由20252x x ≤-+可得()()2120x x --≤，解得122x ≤≤，故原不等式的解集为122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（3）解：由4170x --≤可得417x -≤，即7417x -≤-≤，解得322x -≤≤，故原不等式的解集为322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（4）解：由()()()21502x x x +-<-可得10250x x x +⎧<⎪-⎨⎪-≠⎩，解得12x -<<，故原不等式的解集为{}12x x -<<.（5）解：由4123x x -≥+可得()23443110232323x x x x x x x +-----==≤+++，解得3123x -<≤，故原不等式的解集为3123x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭.6．解下列不等式：(1)2560x x -+<；(2)2230x x -++<；(3)3113x x +>--；(4)103x x +≥-.【答案】(1)()2,3(2)()(),13,-∞-⋃+∞(3)()2,3-(4)(](),13,-∞-+∞ 【详解】（1）由2560x x -+<，得()()230x x --<，解得23x <<，故不等式的解集为()2,3.（2）由2230x x -++<，得2230x x -->，即()()130x x +->，解得1x <-或3x >，故不等式的解集为()(),13,-∞-⋃+∞.（3）由3113x x +>--，得2403x x +<-，即()()2430x x +-<，解得23x -<<，故不等式的解集为()2,3-.（4）由103x x +≥-，得()()13030x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得1x ≤-或3x >，故不等式的解集为(](),13,-∞-+∞ .7．解下列不等式(1)()22log 21x -≤(2)()()140x x --≥；(3)23280x x --+≥；【答案】(1){|2x x -≤<2}x <≤.(2)1{|}4x x x ≤≥或(3)4{|-2}3x x ≤≤．【详解】（1）由()22log 21x -≤得2022x <-≤，即224x <≤，解得2x -≤<2x <≤.所以原不等式的解集为{|2x x -≤<2}x <≤.（2）由()()140x x --≥解得1x ≤，或4x ≥.所以原不等式的解集为{|1x x ≤或4}x ≥.（3）不等式23280x x --+≥变形为，23280x x +-≤，即()()3420x x -+≤，解得423x -≤≤.所以原不等式的解集为4{|2}3x x -≤≤8．解下列关于x 的不等式：(1)2240x x -++>(2)2311x x -≥+【答案】(1)(1(2)()[),14,∞∞--⋃+【详解】（1）2240x x -++>等价于2240x x --<，即()110x x --<解得11x <<，故该不等式的解集为：()11（2）()()23410041011x x x x x x ---≥⇒≥⇒-+≥++且10x +≠，解得4x ≥或1x <-.即该不等式的解集为：()[),14,∞∞--⋃+9．求下列不等式的解集：(1)4351x x +>-(2)2332x x -<-【答案】(1)(1,8)(2)(1,)+∞【详解】（1）()()4385018011x x x x x x +->⇔<⇔--<--，故解集为(1,8)；（2）|23|32322332x x x x x -<-⇔-+<-<-，故解集为(1,)+∞.10．解下列不等式：(1)22530x x +-<；(2)2362x x -+≤；(3)5132x x +≤-；(4)()()()12253x x x x --<-+【答案】(1)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2),11,33⎛⎡⎫-∞-++∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭ (3)[)13,3-(4)()(),11,-∞+∞ 【详解】（1）22530x x +-< ，()()2130x x ∴-+<，132x ∴-<<，即不等式的解集为13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2362x x -+≤ ，23620x x -∴+≥，解得1x ≤-1x ≥+即不等式的解集为,11⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；（3）5132x x +≤- ，()153230x x x ⎧+≤-⎪∴⎨⎪->⎩或()153230x x x ⎧+≥-⎪⎨⎪-<⎩解得133x -≤<，即不等式的解集为[)13,3-；（4）()()()12253x x x x --<-+ ，整理得2210x x -+>，解得1x ≠，即不等式的解集为()(),11,-∞+∞ .11．解下列不等式：(1)234x x <+；(2)220x x +-≥(3)()90x x ->.【答案】(1)()1,4-(2)[]1,2-(3)()0,9【详解】（1）不等式234x x <+，可化为2340x x --<，方程2340x x --=的解为11x =-或24x =，作函数234y x x =--的图象可得，观察图象可得不等式2340x x --<的解集为()1,4-，所以不等式234x x <+的解集为()1,4-；（2）不等式220x x +-≥，可化为220x x --≤，方程220x x --=的解为31x =-或42x =，作函数2y x x 2=--的图象可得，观察图象可得不等式220x x --≤的解集为[]1,2-，所以不等式220x x +-≥的解集为[]1,2-；（3）不等式()90x x ->，可化为290x x -<，方程290x x -=的解为50x =或69x =，作函数29y x x =-的图象可得，观察图象可得不等式290x x -<的解集为()0,9，所以不等式()90x x ->的解集为()0,9.12．求下列不等式的解集：(1)23100x x -->；(2)23540x x -+->【答案】(1){|5x x >或}2x <-(2)∅【详解】（1）原不等式化为()()250x x +->，解得5x >或<2x -，所以原不等式解集为{|5x x >或}2x <-；（2）原不等式化为23540x x -+<，又2(5)434230∆=--⨯⨯=-<，所以原不等式无解，解集为∅．13．解下列不等式：(1)22320x x +->；(2)2230x x -+>．【答案】(1)122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2)R【详解】（1）原不等式可化为22320x x --<，即()()2120x x +-<，故原不等式的解集为122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.（2）∵()2243180∆=--⨯⨯=-<,∴原不等式的解集为R .14．解不等式：(1)260x x +-≤(2)2620x x --<．【答案】(1){}32x x -≤≤(2)322x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或【详解】（1）原不等式等价于：()()320x x +-£解得：32x -≤≤所以原不等式解集为：{}32x x -≤≤（2）原不等式等价于：2260x x +->即()()2320x x -+>解得：<2x -或32x >所以原不等式的解集为：3|22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或15．解下列不等式：(1)22320x x +->；(2)()()321x x x x -≤+-.【答案】(1)1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2)1|2x x ⎧≤-⎨⎩或}1x ≥【详解】（1）原不等式可化为22320x x --<，所以(21)(2)0,x x +-<解得122x -<<，故原不等式的解集是1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.（2）原不等式可化为2210,x x --≥所以(21)(1)0+-≥x x ，解得12x ≤-或1x ≥，故原不等式的解集为1|2x x ⎧≤-⎨⎩或}1x ≥.16．解下列不等式.(1)x 2－5x ＋6>0；(2)－3x 2＋5x －2>0.【答案】(1)()(),23,∞∞-⋃+(2)2,13⎛⎫⎪⎝⎭【详解】（1）因为()()256230x x x x =-->－＋，所以2x <或3x >，即()(),23,x ∈-∞+∞U ；（2）因为23520x x >－＋－，即23520x x +<-，所以()()1320x x --<，解得213x <<，即2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.17．解下列不等式：(1)2230x x +->(2)24410x x -+-≥(3)24320x x -+-<【答案】(1)()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(2)12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(3)R【详解】（1）由2230x x +->可得()()2310x x +->，所以1x >或32x <-，即解集为()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）由24410x x -+-≥可得()2210x -≤，所以12x =，即解集为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（3）由24320x x -+-<可得2232343220416x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以解集为R .18．求下列不等式的解集：(1)23262x x x -++<-；(2)()()()221332x x x +->+【答案】(1){4x x <-或}1x >(2)∅【详解】（1）原不等式整理得，2340+->x x ，即()()140x x -+>，解得<4x -或1x >，∴原不等式的解集为{4x x <-或}1x >（2）原不等式整理得，2590x x ++<，2Δ5419110=-⨯⨯=-< ，∴原不等式的解集为∅.19．解下列不等式:(1)2102x x -≤+;(2)|12|3x ->．【答案】(1)12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦；(2){1xx <-∣或2}x >【详解】（1）(2)(21)0211022022x x x x x x +-≤⎧-≤⇒⇒-<≤⎨+≠+⎩，所以不等式的解为12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.（2）|12|3x -> ，123x ∴->或213x ->，1x ∴<-或2x >,所以不等式的解为{1xx <-∣或2}x >.20．解下列关于x 的不等式：(1)2440x x -+-<(2)105xx ->-【答案】(1){}2xx ≠∣(2){15}x x <<∣【详解】（1）由2440x x -+-<可得：()224420x x x -+=->，所以2x ≠，故解集为{}2xx ≠∣.（2） 105x x ->-，105x x -∴<-，等价转化为()()150x x --<，解得15x <<，所以不等式解集为{15}xx <<∣.21．（1）4220x x --<；（2）()222log 5log 60x x -+≥．【答案】（1）(),1-∞；（2）(][)0,48,+∞ .【详解】（1）令()2,0xm m =>，则原不等式可化为：220m m --<，解得：12m -<<，所以02m <<.解不等式22x <，解得：1x <，所以原不等式的解集为(),1-∞（2）令2log n x =，则原不等式可化为：2560n n -+≥，解得：2n ≤或3n ≥，即2log 2x ≤或2log 3x ≥，解得：04x <≤或8x ≥，所以原不等式的解集为(][)0,48,+∞ .22．求下列不等式的解集：(1)23280x x --+≥；(2)3121xx ≤+.【答案】(1)423x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭(2)112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭【详解】（1）因为23280x x --+≥，所以23280x x +-≤，则()()3420x x -+≤，解得423x -≤≤，所以23280x x --+≥的解集为423x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）因为3121xx ≤+，所以31021x x -≤+，则321021x x x --≤+，即1021x x -≤+，故()()1210210x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得112x -<≤，所以3121x x ≤+的解集为112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭.23．解下列不等式的解集：(1)2440x x -+>；(2)23520x x +-->；(3)22730x x ++>；(4)221x x <-.【答案】(1)()(),22,-∞+∞ (2)2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)()1,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭(4)∅【详解】（1）2440x x -+>可化为()220x ->，解得2x ≠，所以不等式的解集为()(),22,-∞+∞ .（2）23520x x +-->可化为23520x x +<-，即()()3210x x --<，解得213x <<，所以不等式的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭.（3）22730x x ++>可化为()()2130x x ++>，解得3x <-或12x >-，所以不等式的解集为()1,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭.（4）221x x <-可化为2210x x -+<，因为不等式对应的方程的判别式()214270∆=--⨯=-<，所以不等式的解集为∅．24．解下列不等式：(1)24410x x -+>；(2)2690x x -+≤；(3)2230x x -+->；(4)(2)(3)6x x +-<.【答案】(1)1{|}2x x ≠(2){|3}x x =(3)∅(4){|34}x x -<<【详解】（1） 24410x x -+>，∴()2210x ->，解得：12x ≠.所以解集为：1{|}2x x ≠（2） 2690x x -+≤，∴()230x -≤，解得：3x =.所以解集为：{|3}x x =（3） 2230x x -+->，∴()()2241380∆=-⨯-⨯-=-<，所以方程无解，解集为∅.所以解集为：∅（4） (2)(3)6x x +-<，∴()()340x x +-<，解得：34x -<<.所以解集为：{|34}x x -<<25．解下列不等式．(1)22310x x -+-<；(2)220x x ++<．【答案】(1){1x x >或12x ⎫<⎬⎭；(2)∅【详解】（1）由22310x x -+-<得：()()2110x x -->，解得：12x <或1x >，所以不等式的解集为：{1x x >或12x ⎫<⎬⎭；（2）由220x x ++<，令220x x ++=，可知141270∆=-⨯⨯=-<，又22y x x =++对应抛物线开口向上，所以220x x ++<的解集为：∅.26．求下列不等式的解集．(1)22530x x -+-≤；(2)+42+1x x ≥【答案】(1){1x x ≤或32x ⎫≥⎬⎭(2){}12x x -<≤【详解】（1）22530x x -+-≤，将原不等式变形为22530x x -+≥，即()()2310x x --≥，解得1x ≤或32x ≥，故原不等式的解集为{1x x ≤或32x ⎫≥⎬⎭；（2）+42+1x x ≥，化简得+420+1x x -≥，+20+1x x -≥，等价于()()+2+10x x -≥且+10x ≠，即1x ≠-，由()()+2+10x x -≥且1x ≠-，解得12x -<≤，故原不等式的解集为{}12x x -<≤.27．解下列不等式：(1)220x x +-<(2)()()230x x +-≤【答案】(1)()2,1-(2)(][),23,-∞-+∞ 【详解】（1）()()22210x x x x +-=+-<，解得2<<1x -，即()2,1x ∈-（2）()()230x x +-≤，即()()230x x +-≥，解得3x ≥或2x ≤-，即(][),23,x ∈-∞-+∞ 28．解下列不等式(1)2230x x -++<；(2)21134x x-≥-；(3)()()21x x x --<．【答案】(1)()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；(2)23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭；(3)((),22-∞⋃+∞.【详解】（1）由2230x x -++<，化为2230x x -->，即为()()2310x x -+>，解得1x <-或32x >，所以原不等式的解集为()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）由21134x x -≥-，可得64034x x -≥-，等价为()()64430x x --≤，且430x -≠，解得2334x ≤<，所以原不等式的解集为23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（3）由()()21x x x --<，可得2420x x -+<，解得22x <-或22x >+，所以原不等式的解集为()(),2222,-∞-⋃++∞．29．求下列不等式的解集(1)12x x->；(2)25601x x x -++≥-．【答案】(1){}|10x x -<<(2){|1x x ≤-或}16x <≤【详解】（1）已知12x x ->，移项得120x x -->，通分化简得10x x-->，等价于()10x x -->，即()10x x +<，解得：10x -<<，故不等式12x x->的解集为{}|10x x -<<.（2）已知25601x x x -++≥-，等价于()()25610x x x -++-≥且10x -≠，即()()()6110x x x -+-≤且10x -≠，根据穿根法，如图可知不等式25601x x x -++≥-的解集为{|1x x ≤-或}16x <≤30．解下列不等式（组）(1)2134x -<-≤(2)125231x x ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩(3)22551233x x x x +>-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩【答案】(1)[1,1)-(2)(2,3][2,1)- (3)(,2)-∞【详解】（1）不等式2134x -<-≤可化为132134x x ->-⎧⎨-≤⎩，解得：1<1x ≤-，所以原不等式的解集为[1,1)-.（2）不等式125231x x ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩可化为5215231x x -≤-≤⎧⎨->⎩或5215231x x -≤-≤⎧⎨-<-⎩，解得：23x <≤或21x -£<，所以原不等式的解集为(2,3][2,1)- （3）不等式225513x x x +>-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩可化为2230x x <⎧⎪⎨-+≥⎪⎩，也即(220x x <⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得：2x <，所以原不等式的解集为(,2)-∞.31．解关于x 的不等式.(1)2260x x -->；(2)2230x x -++≥；(3)2320x x --<.【答案】(1)|2x x >｛或32｝x <-(2)3|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭(3)|x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭【详解】（1）∵2260x x -->，则()()2320x x +->，∴2x >或32x <-，故不等式的解集为|2x x >｛或32｝x <-（2）∵2230x x -++≥，即2230--≤x x ，则()()2310x x -+≤，∴312x -≤≤，故不等式的解集为3|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（3）令2320x x --=，则32x =或32x =，∵2320x x --<x <<故不等式的解集为33|22x x ⎧+⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭.32．解下列不等式：(1)2210x x -++<；(2)221x x -≥-．【答案】(1){|1x x >或1}2x <-(2){|01}x x ≤<【详解】（1）因为不等式2210x x -++<可化为2210x x -->，也即(21)(1)0x x +->，解得：1x >或12x <-，所以原不等式的解集为{|1x x >或1}2x <-.（2）不等式221x x -≥-可化为22(1)01x x x ---≥-，也即01x x -≥-，所以10(1)0x x x -≠⎧⎨-≤⎩，解得：01x ≤<，所以原不等式的解集为{|01}x x ≤<.33．求下列不等式的解集：(1)22530x x -+<；(2)3102x x+<-.【答案】(1)312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣(2)123x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭∣或【详解】（1）22530x x -+< ，()()2310x x ∴--<，解得312x <<.∴原不等式的解集为312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣.（2）不等式3102x x+<-等价于()()3120x x +-<，()()3120x x ∴+->，解得13x <-或2x >.∴原不等式的解集为13x x ⎧<-⎨⎩∣或}2x >.34．求下列不等式的解集：(1)（x +1）(x -4)>0(2)-x 2+4x -4<0【答案】(1)()(),14,-∞-⋃+∞(2)()(),22,-∞+∞ 【详解】（1）由()()140x x +->，解得1x <-或>4x ，故不等式的解集为()(),14,-∞-⋃+∞.（2）由2440x x -+-<，得2440x x -+>，即()220x ->，解得2x ≠，故不等式的解集为()(),22,-∞+∞ .35．解下列关于x 的不等式：(1)2320x x -+>；(2)210x x ++>.【答案】(1)(,1)(2,)-∞⋃+∞(2)R【详解】（1）不等式x 2﹣3x+2>0可化为（x ﹣1）（x ﹣2）>0，解得1x <或2x >，所以不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞）（2）因为不等式210x x ++>对应方程的判别式1430∆=-=-<，不等式210x x ++>的解集为R .36．利用函数解下列不等式：(1)22730x x ++>；(2)2450x x --≤；(3)213502x x -+->．(4)307x x -<+(5)413x x-≥-【答案】(1)132x x x ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或(2){}15x x -≤≤(3)∅(4)3{|}7x x <<－(5)732x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【详解】（1）解：方程22730x x ++=的解为1213,2x x =-=-，所以不等式的解集为132x x x ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或；（2）解：方程2450x x --=的解为121,5x x =-=，所以不等式的解集为{}15x x -≤≤；（3）解：对于方程213502x x -+-=，由于2(6)41040∆=--⨯=-<，所以不等式的解集为∅；（4）解：307x x -<+等价于7)30()(x x <－＋，方程0()3)(7x x =－＋的解为127,3x x =-=，所以原不等式的解集是3{|}7x x <<－；（5）解：移项得4103x x --≥-通分整理得2703x x-≥-，等价于()()273030x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得732x <≤，所以原不等式的解集是7|32x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭．37．解关于x 的不等式：(1)214450x x -+≤(2)2111x x +≤-【答案】(1){|59}x x ≤≤．(2){|21}x x -≤<．【详解】（1）由214450.x x -+≤所以()()590x x --≤则59x ≤≤，所以不等式214450x x -+≤的解集为：{|59}x x ≤≤．（2）由2111x x +≤-即20.1x x +≤-所以()()120x x -+≤且1x ≠，则21x -£<，所以不等式2111x x +≤-的解集为：{|21}x x -≤<．38．求下列不等式和不等式组的解集(1)2113x x -≤+(2)()2201x x x ⎧+>⎨<⎩【答案】(1){}34x x -<≤(2){}01x x <<【详解】（1）2113x x -≤+21103x x --≤+403x x -≤+，等价于()()4303x x x ⎧-+≤⎨≠-⎩，解得34x -<£，所以不等式的解集为{}34x x -<≤.（2）不等式()20x x +>解得<2x -或0x >；不等式21x <解得11x -<<，所以不等式组的解集为{}01x x <<.39．解不等式：(1)2230x x -->(2)112x x-<【答案】(1){|1x x <-或}3x >(2){|1x x <-或}0x >【详解】（1）()()223310x x x x --=-+>，解得1x <-或3x >，所以不等式2230x x -->的解集为{|1x x <-或}3x >.（2）111211,102222x x x x x x x x x------<-==<，即()210x x --<，解得1x <-或0x >，所以不等式112x x-<的解集为{|1x x <-或}0x >.40．解不等式2230x x -++<．【答案】(,1)(3,)-∞-⋃+∞【详解】由2230x x -++<得2230x x -->，即(1)(3)0x x +->，故原不等式的解集为(,1)(3,)-∞-⋃+∞，41．解下列不等式(1)224xx -<；(2)21131x x ->+【答案】(1){}12x x -<<(2)123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭【详解】（1）由224x x -<，则2222x x -<，即22x x -<，220x x --<，()()120x x +-<，解得12x -<<.故解集为{}12x x -<<（2）由21131x x ->+，则211031x x -->+，2131031x x x --->+，2031x x -->+，2031x x +<+，()()2310x x ++<，解得123x -<<-.故解集为123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭42．解下列不等式503x x ->+【答案】{}|35x x -<<【详解】解：原不等式等价于()()530x x -+>，即()()530x x -+<，解得35x -<<所以，原不等式的解集是{}|35x x -<<43．解下列不等式：(1)23520x x +->；(2)2121x x ->-.【答案】(1)1<23x x x ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭或(2)1142x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【详解】（1）23520x x +->，()()3120x x -+>，解得<2x -或13x >.故不等式的解集为1<23x x x ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭或；（2）2121x x ->-，21021x x -->-，221021x x x --+>-，41021x x -+>-，41021x x -<-，()()41210x x --<，解得1142x <<，故不等式的解集为1142x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭44．求下列不等式的解集(1)()()120x x --<(2)2540x x -+≤(3)123x -≥(4)2103x x +>-【答案】(1)()1,2(2)[]1,4(3)(][),12,-∞-⋃+∞(4)()1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【详解】（1）由()()120x x --<可得12x <<，所以其解集为()1,2，（2）由2540x x -+≤可得14x ≤≤，所以其解集为[]1,4，（3）由123x -≥可得123x -≥或123x -≤-，解得2x ≥或1x ≤-，所以解集为(][),12,-∞-⋃+∞，（4）由2103x x +>-可得()()2130x x +->，所以3x >或12x <-，所以解集为()1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.45．求下列不等式的解集：(1)2560x x -+>；(2)213502x x -+->．(3)2311x x +≥-【答案】(1){|3x x >或2}x <;(2)∅;(3){|1x x >或4}x ≤-.【详解】（1）因为2560x x -+>，即()()230-->x x ，解得3x >或2x <，所以不等式的解集为{|3x x >或2}x <；（2）因为213502x x -+->，即26100x x -+<，因为()2641040∆=--⨯=-<，所以方程26100x x +=-无实数根，又函数2610y x x =-+开口向上，所以26100x x -+>恒成立，所以不等式213502x x -+->的解集为∅；（3）由2311x x +≥-，即23101x x +-≥-，可得401x x +≥-，等价于(1)(4)0x x -+≥，且1x ≠，解得1x >或4x ≤-，所以不等式的解集为{|1x x >或4}x ≤-.46．解下列关于x 的不等式：(1)2310x x -<(2)1202x x -≥+【答案】(1){}|25x x -<<(2)122x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭【详解】（1）由2310x x -<得()()250x x +-<，解得25x -<<，所以解集为{}|25x x -<<.（2）原不等式可化为2102x x -≤+，等价于()()212020x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得122x -<≤，所以解集为122x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭.47．解下列不等式(1)14x<；(2)217x -<．【答案】(1){x |x ＜0或x ＞14}(2){x |－3＜x ＜4}【详解】（1）由14x <，得140x ->，即410x x ->，则x (4x －1)＞0，解得x ＜0或x ＞14，∴不等式的解集为{x |x ＜0或x ＞14}．（2）由|2x －1|＜7，得－7＜2x －1＜7，解得－3＜x ＜4，∴不等式的解集为{x |－3＜x ＜4}．48．解下列不等式：(1)()()214x x -+<；(2)201x x -≥+.【答案】(1){}|23x x -<<(2){|1x x <-或}2x ≥【详解】（1）由()()214x x -+<得260x x --<即()()023x x +-<,解得23x -<<,所以不等式的解集为{}|23x x -<<.（2）原不等式等价于(2)(1)010x x x -+≥⎧⎨+≠⎩解得1x <-或2x ≥.所以不等式的解集为{|1x x <-或}2x ≥.49．解下列不等式；(1)2230x x -+->；(2)()()2132x x -->；(3)132x x +≥-【答案】(1)∅；(2)4|13x x ⎧⎫⎨<⎩<⎬⎭(3)72,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【详解】（1）因为2230x x -+->，所以2230x x -+<，因为()2120x -+<无解，所以x ∈∅，所以原不等式的解集为∅；（2）因为()()2132x x -->，所以23740x x -+->，即23740x x -+<，因为()()3410x x --<，所以413x <<，所以原不等式的解集为4|13x x ⎧⎫⎨<⎩<⎬⎭；（3）因为132x x +≥-，所以2702x x -+≥-，即2702x x -≤-，所以()()272020x x x ⎧--≤⎨-≠⎩解得722x <≤，所以原不等式的解集为72,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.。

（完整版）一元二次不等式及其解法练习题

（完整版）一元二次不等式及其解法练习题预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制一元二次不等式及其解法练习班级：姓名：座号：1 比较大小：（1）2 6+ （2）2 21)-；（3；（4）当0a b >>时，12log a _______12log b .2. 用不等号“>”或“<”填空：（1）,____a b c d a c b d >><（3）0a b >>? （4）22110___a b a b>>?.3. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（）.A ．220x a <>C ．20x ax <<D ．22x a ax >>4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11a b<，③33a b >，④lg lg a b >，其中成立的是 .5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 .6.比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小.7. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（）. A ．()()f x g x > B ．()()f x g x = C ．()()f x g x < D ．随x 值变化而变化8.（1）已知1260,1536,aa b a b b<<<<-求及的取值范围.（2）已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.9. 已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（）.A ．(,0)2π-B ．[,0]2π-C ．(,0]2π-D ．[,0)2π- 10.求下列不等式的解集.（1）2230x x +->；（2）2230x x -+-> （3）2230x x -+-≤.（4）24410x x -+> （5）24415x x -> （6）21340x ->（7）23100x x --> （8）2450x x -+< （9）23710x x -≤（10）2250x x -+-< （11）23100x x --+> （12）(9)0x x ->11.（1）不等式230x x -<的解集是 . （2）不等式2524x x -<的解集是 . （3）不等式(5)(2)0x x --<的解集为 . 12.不等式12--x x ≥0的解集是（） A.［2,＋∞］ B.(－∞,1)∪［2,＋∞） C.(－∞,1) D.(－∞,1)∪［2,＋∞) 13、不等式13+-x x ≤ 3的解集为 .14 y =的定义域为 .15. 函数y =的定义域是（）.A ．{|4x x <-或3}x >B ．{|43}x x -<<C ．{|4x x ≤-或3}x ≥D ．{|43}x x -≤≤ 16. 集合A ={2|540}x x x -+≤，B =2{|560}x x x -+≥，则A B I =（）. A ．{|12x x ≤≤或34}x ≤≤ B ．{|12x x ≤≤且34}x ≤≤ C ．{1，2，3，4} D ．{|41x x -≤≤-或23}x ≤≤17.2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ?，求a 的取值范围.18.不等式2223931711()()33x x x x --+-≤的解集是（）.A ．[2，4]B ．(,2][4,)-∞+∞UC ．RD ．(,2][4,)-∞-+∞U19.(1)若关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.(2)当m 是什么实数时，关于x 的一元二次方程2(1)0mx m x m --+=没有实数根.20. 已知方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，且12x x <，若0a <，则不等式20ax bx c ++<的解为（）.A ．RB ．12x x x <<C ．1x x <或2x x >D ．无解21若不等式220ax bx +->的解集为1{|1}4x x -<<-，则,a b 的值分别是 .22设关于x 的不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，求a b g .23.不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，则a b +等于（）.A ．-14B ．14C ．-10D ．1024.若方程20ax bx c ++=（0a <）的两根为2，3，那么20ax bxc ++>的解集为（）. A ．{|3x x >或2}x <- B ．{|2x x >或3}x <- C ．{|23}x x -<< D ．{|32}x x -<< 25已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（） A ．11{|}32x x -<或 C ．{|32}x x -<< D ．{|32}x x x <->或 26已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为1{|3x x <或1}2x >，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集.27.二次不等式的解集是全体实数的条件是（1）20ax bx c ++>对一切x R ∈都成立的条件为（）（2）20ax bx c ++<对一切x R ∈都成立的条件为（）A ．00a >>?B ．00a >C ．00a ?D ．00a28.关于x 的不等式20x x c ++>的解集是全体实数的条件是（）.A ．14c D ．14c ≥29.若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是 30. 在下列不等式中，解集是?的是（）.A ．22320x x -+>B ．2440x x ++≤C ．2440x x --<D ．22320x x -+-> 31. 关于x 的不等式2(1)10x a x ---<的解集为?，则实数a 的取值范围是（）.A ．3(,1]5-B ．(1,1)-C ．(1,1]-D ．3(,1)5-32. 若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.33. 解关于x 的不等式2(2)20x a x a +--<（a ∈R ）.34（1）. 设2280x x a -+-≤对于一切(1,3)x ∈都成立，求a 的范围.（2）若方程2280x x a -+-=有两个实根12,x x ，且13x ≥，21x ≤，求a 的范围.35.设函数2()(8),f x ax b x a ab =+---的两个零点分别是－3和2；（1）求()f x ；（2）当函数()f x 的定义域是[0，1]时，求函数()f x 的值域.1< < < < 2.> < > < 3B 4 ③5.ab ab a <<26 <7 A 8.35、解：(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，∴函数图象过点(－3，0)、(2，0)∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0 ……⑴ 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0 ……⑵ ⑴ －⑵得：b ＝a ＋8 … ⑶ ⑶代入⑵得：4a ＋2a －a －a(a ＋8)＝0即a 2＋3a ＝0∵a≠0 ∴a ＝－3 ∴b ＝a ＋8＝5 ∴f(x)＝－3x 2－3x ＋18 (2)由(1)得f(x)＝－3x 2－3x ＋18，图象的对称轴方程是：21-=x ，且10≤≤x ∴12)1()(min ==f x f ，18)0()(max ==f x f ∴f(x)的值域是[12,18]。

2015高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法

(2)分离参数法
如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围.一般地，a≥f(x)恒成立时，应有 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min.
【加固训练】若函数f(x)=
【规范解答】(1)选A.不等式f(x)>0，
即(ax-1)(x+b)>0，其解集是(-1，3)，所以 a 0，， a 1 1 ，解得 1 b 3， a b 3，于是f(x)=(-x-1)(x-3)，所以不等式f(-2x)<0即为 (2x-1)(-2x-3)<0，解得 x 1 或 x 3 . 2 2 (2)x2+x-2=(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1,解集为{x|-2<x<1}. 答案:{x|-2<x<1}
(3)①当a=0时，原不等式变为-x+1<0，此时不等式的解集为 {x|x>1}.
1 ②当a≠0时，原不等式可化为 a x 1 (x ) 0. a 1 若a<0，则上式即为 x 1 (x ) 0， a 又因为 1 1，所以此时不等式的解集为{x|x>1或 x 1 }. a a 若a>0，则上式即为 (x 1)(x 1 ) 0. a 1 (ⅰ)当 1 1，即a>1时，原不等式的解集为 {x | x 1}； a a (ⅱ)当 1 1，即a=1 a 1 (ⅲ)当 1，即0<a<1时，原不等式的解集为 {x |1 x 1}. a a
【解析】(1)正确.由不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2)可知函数对应的抛物线开口向上，因此必有a>0. (2)正确.由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是正确的.

2020高考数学(文)刷题首选卷：一元二次不等式及其解法(含解析)

考点测试33 一元二次不等式及其解法高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 3．会解一元二次不等式一、基础小题1．不等式2x 2－x －3＞0的解集是( ) A ．－32，1B ．(－∞，－1)∪32，＋∞C ．－1，32D ．－∞，－32∪(1，＋∞)答案 B解析 2x 2－x －3＞0可因式分解为(x ＋1)(2x －3)＞0，解得x ＞32或x ＜－1，∴不等式2x 2－x －3＞0的解集是(－∞，－1)∪32，＋∞．故选B ．2．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －2<x <14，则ab ＝( )A ．－28B ．－26C ．28D ．26 答案 C解析 ∵－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28．3．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－4,4] B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 答案 D解析不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a <－4或a >4．故选D ．4．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A ．52 B ．72 C ．154 D ．152 答案 A解析由x 2－2ax －8a 2＝0的两个根为x 1＝－2a ，x 2＝4a ，得6a ＝15，所以a ＝52．5．若函数f (x )＝kx 2－6kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( ) A ．{k |0＜k ≤1} B．{k |k ＜0或k ＞1} C ．{k |0≤k ≤1} D ．{k |k ＞1} 答案 C解析当k ＝0时，8＞0恒成立；当k ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，36k 2－4k (k ＋8)≤0，则0＜k ≤1．综上，0≤k ≤1．6．不等式|x 2－x |<2的解集为( )A ．(－1,2)B ．(－1,1)C ．(－2,1)D ．(－2,2) 答案 A解析由|x 2－x |<2，得－2<x 2－x <2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <2， ①x 2－x >－2. ②由①，得－1<x <2．由②，得x ∈R ．所以解集为(－1,2)．故选A ．7．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间答案 C解析设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件销售价应定为12元到16元之间．8．如果二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上是减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．[2，＋∞) 答案 C解析 ∵二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上是减函数，∴－2(a －1)2×3≥1，解得a ≤－2．故选C ．9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x >0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞) 答案 C解析当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故其对称轴为x ＝－b2＝－2，∴b ＝4．又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4．当x ≤0时，令x 2＋4x ＋4≤1，有－3≤x ≤－1；当x >0时，f (x )＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞)．10．设a ∈R ，关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0的解集有下列四个命题： ①原不等式的解集不可能为∅；②若a ＝0，则原不等式的解集为(2，＋∞)；③若a <－12，则原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，2；④若a >0，则原不等式的解集为－∞，－1a∪(2，＋∞)．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析原不等式等价于(ax ＋1)(x －2)>0．当a ＝0时，不等式化为x －2>0，得x >2．当a ≠0时，方程(ax ＋1)·(x －2)＝0的两根分别是2和－1a ，若a <－12，解不等式得－1a<x <2；若a ＝－12，不等式的解集为∅；若－12<a <0，解不等式得2<x <－1a ；若a >0，解不等式得x <－1a或x >2．故①为假命题，②③④为真命题．11．若不等式－3≤x 2－2ax ＋a ≤－2有唯一解，则a 的值是( ) A ．2或－1 B ．－1±52C ．1±52D ．2答案 A解析令f (x )＝x 2－2ax ＋a ，即f (x )＝(x －a )2＋a －a 2，因为－3≤x 2－2ax ＋a ≤－2有唯一解，所以a －a 2＝－2，即a 2－a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－1．故选A ．12．已知三个不等式：①x 2－4x ＋3<0，②x 2－6x ＋8<0，③2x 2－9x ＋m <0．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，则m 的取值范围为________．答案 m ≤9解析由①②得2<x <3，要使同时满足①②的所有x 的值满足③，即不等式2x 2－9x ＋m <0在x ∈(2,3)上恒成立，即m <－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上恒成立，又－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上大于9，所以m ≤9．二、高考小题13．(经典浙江高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6 C．6<c ≤9 D．c >9 答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝f (－2)，f (－1)＝f (－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，4a －b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11.则有f (－1)＝c －6，由0<f (－1)≤3，得6<c ≤9．14．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示)．答案 (－4,1)解析不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1．15．(经典江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m 2－1<0，f (m ＋1)＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0． 16．(经典四川高考)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ．那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案 (－7,3)解析当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7,3)．三、模拟小题17．(2018·温州九校联考)已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <－2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为( )A ．x －12＜x ＜－13B ．xx ＞－13或x ＜－12C ．{x |－3＜x ＜2}D ．{x |x ＜－3或x ＞2} 答案 A解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝－3－2，ba ＝－3×(－2)，解得a ＝－1，b ＝－6，所以不等式bx 2－5x ＋a ＞0为－6x 2－5x －1＞0，即(3x ＋1)(2x ＋1)＜0，所以解集为x －12＜x ＜－13．故选A ．18．(2018·贵阳一模)已知函数f (x )＝ln (x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞) 答案 D解析依题意得函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，则函数g (x )的值域取遍一切正实数，因此对方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4．故选D ．19．(2018·湖南湘潭一中模拟)若不等式(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B．(－∞，－1)C ．－∞，－1311D ．－∞，－1311∪(1，＋∞)答案 C解析 ①当m ＝－1时，不等式化为2x －6<0，即x <3，显然不对任意实数x 恒成立．②当m ≠－1时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，所以m <－1311．故选C ．20．(2018·河北石家庄二中月考)在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2) 答案 B解析根据定义得x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以实数x 的取值范围为(－2,1)，故选B ．21．(2018·湖北沙市中学月考)已知函数f (x )＝mx 2－mx －1．若对于任意的x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．－∞，67 B ．(－∞，1)C ．(1,5)D ．(1，＋∞) 答案 A解析因为f (x )<－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)<6，而x 2－x ＋1>0，所以将不等式变形为m <6x 2－x ＋1，即不等式m <6x 2－x ＋1对于任意x ∈[1,3]恒成立，所以只需求6x 2－x ＋1在[1,3]上的最小值即可．记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1＝x －122＋34，显然h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．所以g (x )在[1,3]上为减函数，所以g (x )min ＝g (3)＝67，所以m <67．故选A ．22．(2018·江西八校联考)已知定义域为R 的函数f (x )在(2，＋∞)上单调递减，且y ＝f (x ＋2)为偶函数，则关于x 的不等式f (2x －1)－f (x ＋1)>0的解集为( )A ．－∞，－43∪(2，＋∞)B ．－43，2C ．－∞，43∪(2，＋∞)D ．43，2 答案 D解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称．又∵f (x )在(2，＋∞)上单调递减，∴由f (2x －1)－f (x ＋1)>0得f (2x －1)>f (x ＋1)，∴|2x －1－2|<|x ＋1－2|，∴(2x －3)2<(x －1)2，即3x 2－10x ＋8<0，(x －2)(3x －4)<0，解得43<x <2，故选D ．23．(2018·福建漳州八校联考)对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0”，给出如下一种解法：由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c ＞0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为－2，－13∪12，1，则关于x的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为________．答案－3，－12∪(1,2)解析由kx ＋a ＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为－2，－13∪12，1，且k 1x ＋a ＋1x ＋b 1x＋c ＜0，即kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0，得－2＜1x ＜－13或12＜1x ＜1，即－3＜x ＜－12或1＜x ＜2，故不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为－3，－12∪(1,2)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2018·黑龙江虎林一中模拟)已知f(x)＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f(x)<0的解集是(0，5)．(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意的x∈[－1，1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t 的取值范围．解 (1)∵f(x)＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f(x)<0的解集是(0，5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝5，c 2＝0，∴b＝－10，c ＝0，f(x)＝2x 2－10x.(2)f(x)＋t≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立， ∴2x 2－10x ＋t －2的最大值小于或等于0.设g(x)＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知 g(x)＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1，1]上为减函数， ∴g(x)max ＝g(－1)＝10＋t ，∴10＋t≤0，即t≤－10. ∴t 的取值范围为(－∞，－10]．2．(2018·湖北宜昌月考)已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围．解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0，所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m，x 1·x 2＝11－m，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．3．(2018·辽宁沈阳月考)已知二次函数f (x )满足f (－2)＝0，且2x ≤f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立．(1)求f (2)的值； (2)求f (x )的解析式．解 (1)∵2x ≤f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立，∴4≤f (2)≤4，∴f (2)＝4. (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (－2)＝0，f (2)＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝4，4a －2b ＋c ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2－4a .∵ax 2＋bx ＋c ≥2x ，即ax 2－x ＋2－4a ≥0，∴Δ＝1－4a (2－4a )≤0，即(4a －1)2≤0，得a ＝14，同理f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立，也解得a ＝14， ∴当a ＝14，满足2x ≤f (x )≤x 2＋42，∴a ＝14，c ＝2－4a ＝1，故f (x )＝x24＋x ＋1.4．(2018·江西八校联考)已知二次函数f (x )＝mx 2－2x －3，关于实数x 的不等式f (x )≤0的解集为[－1，n ]．(1)当a >0时，解关于x 的不等式：ax 2＋n ＋1>(m ＋1)x ＋2ax ；(2)是否存在实数a ∈(0，1)，使得关于x 的函数y ＝f (a x )－3a x ＋1(x ∈[1，2])的最小值为－5？若存在，求实数a 的值；若不存在，说明理由．解 (1)由不等式mx 2－2x －3≤0的解集为[－1，n ]知关于x 的方程mx 2－2x －3＝0的两根为－1和n ，且m >0，由根与系数关系得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋n ＝2m，－1×n ＝－3m，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，所以原不等式化为(x －2)(ax －2)>0.①当0<a <1时，原不等式化为(x －2)x －2a >0且2<2a ，解得x <2或x >2a；②当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2>0，解得x ∈R 且x ≠2； ③当a >1时，原不等式化为(x －2)x －2a >0且2>2a，解得x <2a或x >2；综上所述，当0<a ≤1时，原不等式的解集为x ⎪⎪⎪x <2或x >2a ；当a >1时，原不等式的解集为x ⎪⎪⎪x <2a或x >2.(2)假设存在满足条件的实数a ，由(1)得m ＝1，f (x )＝x 2－2x －3，y ＝f (a x )－3a x ＋1＝a 2x －(3a ＋2)a x －3，令a x ＝t (a 2≤t ≤a )，则y ＝t 2－(3a ＋2)t －3(a 2≤t ≤a )，对称轴为t ＝3a ＋22，因为a∈(0，1)，所以a 2<a <1，1<3a ＋22<52，所以函数y ＝t 2－(3a ＋2)t －3在[a 2，a ]单调递减，所以当t ＝a 时，y 的最小值为y min ＝－2a 2－2a －3＝－5，解得a ＝5－12(负值舍去)．。

2021年高考数学考点33一元二次不等式及其解法必刷题文含解析

考点33 一元二次不等式及其解法1．不等式，对任意正整数恒成立，则的取值X围是（）A． B．C． D．【答案】C2．若不等式x2＋ax－5>0在区间[1,2]上有解，则a的取值X围是()A． B． C． D．【答案】B3．不等式的解集是()A． {x|或x＞3} B． {x|或} C． {x|1x＜3} D．{x|1≤x≤3}【答案】A【解析】先化简不等式得,得,解之得或x＞3.故答案为：A4．下列说法正确的是（）A．命题“”的否定是“”B．“在上恒成立”“在上恒成立”C．命题“已知，若，则或”是真命题D．命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题【答案】C【解析】对于A，命题“∀x∈R．e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”，不满足命题的否定形式，所以A不正确；对于B，“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“对于x∈[1，2]有,所以B不正确；对于C，命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题，它的逆否命题是：x=2且y=1则x+y=3，显然，逆否命题是真命题，所以C正确．对于D，命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是假命题，因为a=0时，也只有一个零点，所以D不正确.故答案为：C.5．函数y=ln（x2﹣4x+3）的单调减区间为（）A．（2，+∞） B．（3，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，1）【答案】D6．已知全集U=R，集合M={x|x2+2x﹣3≥0}，N={x|log2x≤1}，则（∁U M）∪N=（）A． {x|﹣1≤x≤2} B． {x|﹣1≤x≤3} C． {x|﹣3＜x≤2} D． {x|0＜x＜1}【答案】C【解析】M={x|x2+2x-3≥0}={x|x≥1或x≤-3}，N={x|log2x≤1}={x|0＜x≤2}，则∁U M={x|-3＜x＜1}，则（∁U M）∪N={x|-3＜x≤2}，故选：C7．对任意任意，不等式恒成立，则实数a的取值X围是A． B． C．D．【答案】A因此，g（t）min=g（）=3，∴a≤3．综上，a≤3．故选：A．8．已知集合，，则为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，∴．故选C．9．若关于的不等式在[1,2]区间上有解，则的取值X围是（）A． (－∞,0) B． C． D．【答案】D故答案为：D10．已知函数、．（1）当c＝b时，解关于x的不等式＞1；（2）若的值域为[1，)，关于x的不等式的解集为(m，m＋4)，某某数a的值；（3）若对，，，恒成立，函数，且的最大值为1，求的取值X围．【答案】（1）见解析（2）所以，要满足时，恒成立，则，解得，，所以．此时．11．已知不等式.（1）当时，求此不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，某某数的取值X围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，不等式为，解得，故不等式的解集为；（2）不等式的解集非空，则，即，解得，或，故实数的取值X围是．12．求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值X围．【答案】{x|x<2或x>4}．13．解不等式：（1）（2）【答案】（1）；（2）14．解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0;(其中）【答案】见解析【解析】当m＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x∈R都成立，所以原不等式的解集为R.当m≠0时，m2＞0，由m2x2＋2mx－3＜0，得(mx－1)(mx＋3)＜0，即，若m＞0，则，所以原不等式的解集为；若m＜0，则，所以原不等式的解集为.综上所述，当m＝0时，原不等式的解集为R；当m＞0时，原不等式的解集为；当m＜0时，原不等式的解集为.15．设不等式的解集为.（1）如果，某某数的取值X围；（2）若，求.【答案】（1）；（2）当时，解集是；当时，解集是；当时，解集是；当时，解集是；若时，；若时，或16．已知函数.(1)若函数的最小值是，且，，求的值；(2)若，且在区间上恒成立，试求的取值X围.【答案】(1) 8； (2).17．已知函数的图象与函数的图象关于点对称. (1)求函数的解析式；(2)若在区间上的值不小于6，某某数的取值X围. 【答案】(1) ；(2).18．已知函数.（1）解不等式；（2）若时，恒成立，求的取值X围. 【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由可得即当时，不等式解集为;19．已知函数.（1）若的解集为，求的值；（2）若存在使不等式成立，求的取值X围.【答案】(1);(2)【解析】（1），不等式的解集为，所以是方程的根，且，所以.（2）．存在使得成立，即存在使得成立，令，则，令，则，，当且仅当，即，亦时等号成立.，∴.20．若关于x的不等式的解集为，则____【答案】521．不等式a+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，则a-b=_______.【答案】0【解析】由于不等式ax2+bx+12＜0的解集为{x|-3<x<2}，，解得．即答案为0.22．由命题“，”是假命题，求得实数m的取值X围是(a，)，则实数a＝_______．【答案】1【解析】存在是假命题，∴其否命题为真命题,即是说“∀x∈R,都有”，∴△=4−4m<0，∴m>1,m的取值X围为(1,+∞).则a=123．已知：；：，是的充分不必要条件，则实数的取值X围是___________.【答案】24．已知，则不等式的解集是______________.【答案】【解析】f（1）=3，已知不等式f（x）＞f（1）则f（x）＞3如果x＜0 则 x+6＞3可得 x＞-3，可得-3＜x＜0．如果x≥0 有x2-4x+6＞3可得x＞3或0≤x＜1综上不等式的解集：（-3，1）∪（3，+∞）.25．函数，若＜2恒成立的充分条件是，则实数的取值X围是______．【答案】1＜＜4【解析】。

一元二次不等式及其解法专项练习(带解析高考数学一轮)【推荐下载】

一元二次不等式及其解法专项练习（带解析高考数学一轮）一元二次不等式及其解法专项练习（带解析2015高考数学一轮）A组基础演练1．(2014山东聊城一模)不等式4x－2≤x－2的解集是()A．(－∞，0]∪(2,4]B．[0,2)∪[4，＋∞)C．[2,4) D．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：①当x－2＞0，即x＞2时，不等式可化为(x－2)2≥4；∴x≥4；②当x－2＜0，即x＜2时，不等式可化为(x－2)2≤4，∴0≤x＜2.答案：B2．(2013安徽)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为xx＜－1或x＞12，则f(10x)＞0的解集为()A．{x|x＜－1或x＞－lg 2} B．{x|－1＜x＜－lg 2}C．{x|x＞－lg 2} D．{x|x＜－lg 2}解析：依题意知f(x)＞0的解为－1＜x＜12，故－1＜10x＜12，解得x＜lg 12＝－lg 2.答案：D3．(2013陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]解析：矩形的一边长为x m，则其邻边长为(40－x)m，故矩形面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x，由S≥300得－x2＋40x≥300，即10≤x≤30.答案：C4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜－3或x＞1}，则函数y＝f(－x)的图象可以为()解析：由f(x)＜0的解集为{x|x＜－3或x＞1}知a＜0，y＝f(x)的图象与x轴交点为(－3,0)，(1,0)，∴f(－x)图象开口向下，与x轴交点为(3,0)，(－1,0)．答案：B5．已知关于x的不等式ax－1x＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪－12，＋∞，则a＝________.解析：由于不等式ax－1x＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪－12，＋∞，故－12应是ax－1＝0的根，∴a＝－2.答案：－26．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，则m＝________.解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a2＜0的解集是(1,2)，符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a2＜0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.答案： 27．(2013四川)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x) ＝x2－4x.那幺，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．又x≥0时，f(x)＝x2－4x，不等式f(x＋2)＜5f(|x＋2|)＜5|x＋2|2－4|x＋2|＜5(|x＋2|－5)(|x＋2|＋1)＜0|x＋2|－5＜0|x＋2|＜5－5＜x＋2＜5－7＜x＜3.故解集为(－7,3)．答案：(－7,3)8．求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．解：原不等式可化为(3x－a)(4x＋a)＞0.当a＞0时，不等式的解集为xx＜－a4或x＞a3；当a＝0时，不等式的解集为x|x∈R且x≠0；当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜a3或x＞－a4}．9．已知不等式x2＋px＋1≥2x＋p.(1)若当|p|≤2时，不等式恒成立，求x的范围；(2)若当2≤x≤4时，不等式恒成立，求p的范围；(3)若不等式对任意的x∈R恒成立，求实数p的取值范围．解：(1)原不等式变形为p(x－1)＋x2－2x＋1≥0，设f(p)＝p(x－1)＋x2－2x＋1，p∈[－2,2]，由题意，得f－2≥0，f2≥0，即x2－4x＋3≥0，x2－1≥0，∴x≥3或x≤1，x≥1或x≤－1，∴x∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)∪{1}．(2)原不等式可化为p(x－1)≥－(x－1)2，∵x∈[2,4]，∴x－1＞0，∴p≥1－x，x∈[2,4]恒成立，而1－x∈[－3，－1]，∴p≥－1.(3)原不等式可化为x2＋(p－2)x＋1－p≥0，由题意，Δ＝(p－2)2－4(1－p)≤0即p2≤0，所以p＝0.B组能力突破1．若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3＜1的解集为()A．(－3,1)B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C．D．(0,1)解析：不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则Δ＝(－2a)2－4a＜0，即a2－a＜0，解得0＜a＜1，所以不等式at2＋2t－3＜1转化为t2＋2t－3＞0，解得t＜－3或t＞1，故选B.答案：B2．若不等式组x2－2x－3≤0，x2＋4x－1＋a≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－4] B．[－4，＋∞)C．[－4,20] D．[－40,20)解析：设f(x)＝x2＋4x－(1＋a)，根据已知可转化为存在x0∈[－1,3] 使f(x0)≤0.易知函数f(x)在区间[－1,3]上为增函数，故只需f(－1)＝－4－a≤0即可，解得a≥－4.答案：B3．(2013江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f(x) ＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________．解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－4x(x＜0)，∴f(x)＝x2－4x，x＞0，0，x＝0，－x2－4x，x＜0.(1)当x＞0时，由f(x)＞x得x2－4x＞x，解得x＞5；(2)当x＝0时，f(x)＞x无解；(3)当x＜0时，由f(x)＞x得－x2－4x＞x，解得－5＜x＜0.综上得不等式f(x)＞x的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)4．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.(1)解关于a的不等式f(1)＞0；(2)若不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．解：(1)∵f(1)＞0，∴－3＋a(6－a)＋b＞0，即a2－6a＋3－b＜0.Δ＝(－6)2－4(3－b)＝24＋4b.①当Δ≤0，即b≤－6时，原不等式的解集为.②当Δ＞0，即b＞－6时，方程a2－6a＋3－b＝0有两根a1＝3－6＋b，a2＝3＋6＋b，∴不等式的解集为(3－6＋b，3＋6＋b)．综上所述：当b≤－6时，原不等式的解集为；当b＞－6时，原不等式的解集为(3－6＋b，3＋6＋b)．(2)由f(x)＞0，得－3x2＋a(6－a)x＋b＞0，即3x2－a(6－a)x－b＜0.∵它的解集为(－1,3)，∴－1与3是方程3x2－a(6－a)x－b＝0的两根．∴－1＋3＝a6－a3，－1×3＝－b3，解得a＝3－3，b＝9或a＝3＋3，b＝9.。

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一元二次不等式及其解法
题组一一元二次不等式的解法
1.不等式x＋5(x－1)2≥2的解集是 ( )
A． B．
C．[12，1)∪(1,3] D．
解析：法一：首先x≠1，在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为x＋5≥2(x
－1)2，即2x2－5x－3≤0，即(2x＋1)(x－3)≤0，解得－
1
2
≤x≤3，故原不等式的解集

是．法二：特殊值检验法．首先x≠1，排除B，显然x＝0，x＝2是不等式的解，
排除A、C
答案：D
2．解关于x的不等式12x2－ax>a2(a∈R)．
解：由12x2－ax－a2>0⇔(4x＋a)(3x－a)>0

⇔(x＋a4)(x－a3)>0，
①a>0时，－a4<
a
3
，

解集为{x|x<－a4或x>
a
3
}；

②a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③a<0时，－a4>
a
3
，

解集为{x|x－
a
4
}．

题组二一元二次不等式的实际应用
3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜
240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的
最低产量是
( )
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
解析：依题意得25x≥3 000＋20x－0.1x
2
，
整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200，
因为0＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低产量是150台．
答案：C
4．某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销
售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若
每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时
预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围
内？
解：(1)由题意得y＝×1000(1＋0.6x)(0＜x＜1)，
整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．

(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有 y－(1.2－1)×1000＞0，0＜x＜1，
即






－60x2＋20x＞0，

0＜x＜1.

解得0＜x＜
1
3
.

∴投入成本增加的比例应在(0，13)范围内．

题组三不等式的恒成立问题
5.若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≥2或a≤－3 B．a＞2或a≤－3
C．a＞2 D．－2＜a＜2
解析：原不等式可化为(a＋2)x
2
＋4x＋a－1＞0，显然a＝－2时不等式不恒成立，所

以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2＞0，且Δ＜0，即






a＋2＞0，

16－4(a＋2)(a－1)＜0，
解得a＞2.
答案：C
6．(2010·宁波模拟)设奇函数f(x)在上是单调函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at
＋1对所有的x∈都成立，当a∈时，则t的取值范围是________．
解析：∵f(x)为奇函数，f(－1)＝－1，
∴f(1)＝－f(－1)＝1.
又∵f(x)在上是单调函数，
∴－1≤f(x)≤1，
∴当a∈时，t
2－2at＋1≥1恒成立，即t2
－2at≥0恒成立，
令g(a)＝t2－2at，a∈，

∴ t2－2t≥0，t2＋2t≥0，

∴ t≥2或t≤0，t≤－2或t≥0，
∴t≥2或t＝0或t≤－2.
答案：(－∞，－2]∪{0}∪时，f(x)≥a恒成立，求a的范围．
解：(1)f(x)≥a恒成立，即x
2＋ax＋3－a≥0恒成立，必须且只需Δ＝a2
－4(3－a)≤0，

即a2＋4a－12≤0，
∴－6≤a≤2.
(2)f(x)＝x2＋ax＋3＝(x＋a2)2＋3－a24.
①当－a2＜－2，即a＞4时，f(x)min＝f(－2)＝－2a＋7，
由－2a＋7≥a得a≤73，∴a∈∅.
②当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，f(x)min＝3－
a
2
4
，

由3－
a
2
4
≥a，得－6≤a≤2.∴－4≤a≤2.

③当－a2＞2，即a＜－4时，f(x)min＝f(2)＝2a＋7，
由2a＋7≥a，得a≥－7，∴－7≤a＜－4.
综上得a∈．
题组四一元二次不等式的综合应用
8.不等式x2－|x|－2<0的解集是 ( )
A．{x|－22}
C．{x|－11}
解析：原不等式⇔|x|
2
－|x|－2<0⇔(|x|－2)(|x|＋1)<0⇔|x|－2<0⇔－2

答案：A
9．已知不等式组 x2－4x＋3＜0，x2－6x＋8＜0的解集是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，则实
数a的取值范围是________．

解析：因为不等式组






x
2

－4x＋3＜0，

x
2
－6x＋8＜0
的解集是{x|2＜x＜3}，设f(x)＝2x2－9x＋a，

则由题意得 f(2)≤0，f(3)≤0，解得a≤9.
答案：a≤9
10．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解：(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是
方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系，得




1＋b＝

a
，

1×b＝2a.
解得 a＝1，b＝2.所以






a＝1，

b＝2.

(2)所以不等式ax
2
－(ac＋b)x＋bc<0，
即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅.[综上所述：当c>2时，不等式ax
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－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为∅.