《球极三角形》课件-优质公开课-人教A版选修3-3精品
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人教A版高中数学选修3-3-3.3.4 球极三角形-课件(共15张PPT)
由于点A与点B ',C '的距离都是r， 因此，与点A的对应的赤道是a ' 所在的大圆。同理可知，与点B 的对应的赤道是b'所在的大圆， 与点C的对应的赤道是c'所在的大 圆。又因为点A与A'，点B与B'， 点C与C'在同一个半球面内，所 以球面△A'B'C'的极对称∠BCA
又因为 ∠CAB+∠ABC+∠BCA=π 所以 ∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB+∠OAC
+∠OCA＞∠CAB+∠ABC+∠BCA=π 所以∠AOB+∠BOC+∠COA=3π-(∠OAB+∠OBA+
∠OBC+∠OCB+∠OCA+∠OAC) ＜2π 所以三面角O-ABC的三个面角和小于2π
球极三角形
球极三角形的定义
如图，对于任意球面△ABC，假设与边 BC所在大圆对应的极点为A，A ‘,与边 AC所在的大圆对应的极点为B ’，B ' '.与 边AB 所在的大圆对应的极点为C ' ，C ' '. 而且点A '与A，点B '与B，点C '与C在同 一个半球面内。这时，我们称球面△A ' B ' C '为△ABC的极对称三角形，简称球极 三角形。
因此球面△ABC的周长小于大圆周长
极三角形
你知道极三角形是什么吗？
极三角形：设球面三角形ABC各边a b c
A 的极分别是 , A 则有通过 ，B ，C
B的大, C圆弧并构设成A的A球，B面B三形，CCAB都 小C 于 90
人教A版高中数学选修3-3-7.1 球面上的正弦定理和余弦定理-课件(共21张PPT)
因此，
余弦定理的另 一种表达式
课堂小结
球面上的正弦定理和余弦定理：
正弦定理 余弦定理
sinA = sinB = sinC sina sinb sinc
cosa=cosbcosc+sinbsinccosA ， cosb=cosccosa+sincsinacosB ， cosc=cosacosb+sinasinbcosC .
cosb=cosccosa+sincsinacosB ，
cosc=cosacosb+sinasinbcosC .
如果球的半径为r，那么从上图可知BC=a=r∠BOC,
AC=b=r∠AOC,AB=c=r∠AOB，
因此在推导过程中，分别用a／r , b／r ,c／r代替 a , b , c ，
就得到半径为r的球面上的正弦定理与余弦定理．
同理 cosa=cosbcosc+sinbsinccosA . cosb=cosacosc+sinasinccosB .
于是，得到：
球面上的余弦定理 设单位球面
上球面ABC的三个内角分别为∠A ,
∠B , ∠C ，三边长分别为 a , b , c ，
则
cosa=cosbcosc+sinbsinccosA ，
同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。顽强的毅力改变可以征服世界上任何一座高峰。望远镜可以望见远的目标， 伟大的成就，来自为远大的目标所花费的巨大心思和付诸的最大努力。我不能说只要坚持就能怎样，但是只要放弃就什么都没有了。有压 茫，但永不绝望。沉湎于希望的人和守株待兔的樵夫没有什么两样。你花时间做什么事，你就会成为什么样的人！人生没有彩排，每一天 大的成就是从失败中站起来要做一件事，成功之前，没有必要告诉其他人。成功之后不用你说，其他人都会知道的。这就是信息时代所带 的，莫如时日；天下最能奢侈的，莫如浪费时不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。面对困境，悲观的人因为往往只看 的路，说长也很长，说短也很短。偶遇不幸或挫败只能证明某一时候某一方面的不足或做得不够。如果把才华比作剑，那么勤奋就是磨刀 配，它就一无可为。很多时候，人并不是因为失败而烦恼；而是因为失败后找不到任何借口而烦恼。假如樵夫害怕荆棘，船只避忌风浪， 世界就会变成另一副模样。每一个人都多多少少有点惰性。一个人的意志力量不够推动他自己，他就失败，谁最能推动自己，谁就最先得 性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。人的肉体可以随着时间的推移而衰老，而赋予人的生命的思想却可以青春永驻，与 有的人走了一辈子也没有走出命运画出的圆圈，其实，圆上的每一个点都有一条腾飞的切线。人生是伟大的宝藏，我晓得从这个宝藏里选 明日，明日何其多？我生待明日，万事成蹉跎。只要是辛勤的蜜蜂，在生活的广阔原野里，到处都可以找到蜜源。不要对挫折叹气，姑且 大事之前，必须经受的准备工作。不要为已消逝之年华叹息，须正视欲匆匆溜走的时光。不要在这个努力拼搏的年纪去选择安逸。不做准 在任何苦难中能发现好的一面！成功就是你坚持不住的时候，在坚持一下。成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一心态，成功是一 日，败事多因得意时。大道理人人都懂，小情绪却是难以自控。当你的能力还驾驭不了你的目标时，那你就应该沉下心来历练。当你停下 记别人还在奔跑。第二名意味着你是头号输家。钢钎与顽石的碰撞声，是一首力的歌曲。格局被理想撑大，事业由梦想激发。光说不干， 马到成功。过去的时间会永远流入无边的黑洞，永不再回来，所以要珍惜当下的每一秒。海浪的品格，就是无数次被礁石击碎又无数闪地 恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。积极者相信只有推动自己才能推动世界，只要推动自己就能推动世界。即使脚步下是一片岩 只要你拿起铁锤钢钎。假如生活欺骗了你，不要心焦，也不要烦恼。阴郁的日子里要心平气和，相信吧，那快乐的日子就来到。——普希 不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。坚持把简单的事情做好就是不简单，坚持把平凡的事情做好就是不平凡。所谓成功 平凡的坚持。今天有许多人不是不愿接受新观念，而是不愿抛弃旧观念。拒绝严峻的冶炼，矿石并不比被发掘前更有价值。59.只有经历地 创造天堂的力量。怕吃苦的人苦一辈子，不怕吃苦的人苦一阵子。抛掉过去，不一定有好的开始，但一定不会比过去坏。如果你坚信自己 明。如果你真心选择去做一件事，那么全世界都是帮助你的。如果缺少破土面出并与风雪拚搏的勇气，种子的前途并不比落叶美妙一分。 但不会一直辜负努力的人。失败的历程也是成功的历程。时间会告诉你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误； 正放下了，才知道它的沉重。实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干输在犹豫，赢在行动。树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永 用品，而不是装饰品。忠告：人在生气、烦恼、情绪不稳定是最好不要去作出任何的选择、决定。种一棵树最好的时间是十年之前，其次 己走，无论是苦是累，甚至是失败，都要去承担，只要是自己的选择，就无怨无悔。最困难的时候，就是距离成功不远了。人生四然：来 其当然，顺其自然。人生舞台的大幕随时都可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。人生最精彩的不是实现梦想的一瞬间，而是坚 痛苦与挫折，它是我们的功课，我们要从中训练，然后突破，这样才能真正解脱。要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 也许终点 绝不是停止前行的理由。一个人的快乐，不是因为他拥有的多，而是因为他计较的少。一个人只有亲眼看到自己伤疤的时候才知道什么是 个一味沉溺于往事的人，是不能张开双臂去拥抱今天的。51.人生就像爬坡，要一步一步来。人生没有彩排，每天都在现场直播。目标的坚 量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。0.瀑布对悬崖无可畏惧，所以唱出气势磅礴的生命 什么假如，每个人的人生都不可重新设计。勤奋的含义是今天的热血，而不是明天的决心，后天的保证。用放大镜去看人生，人生则是一 看人生，人生则是一场喜剧。有了梦想，就应该迅速有力地实施。坐在原地等待机遇，无异盼天上掉馅饼。毫不犹豫尽快拿出行动，为梦 是梦想成真的必经之路。有无目标是成功者与平庸者的根本差别。有些人因为贪婪，想得更多的东西，却把现在所有的也失掉了。有志者 尤人,无能者长吁短叹,儒弱者颓然放弃。与其相信依靠别人，不如相信依靠自己。预测未来的最好方法，就是创造未来。再烦，也别忘微 再苦，也别忘坚持；再累，也要爱自己。把人生一分为二，前半生不犹豫，后半生不后悔。如果你觉得现在走的辛苦，那就证明你在走上 再加上一点点运气，你就会成功。弱者才会诉苦，强者永远找方法！成功的人永远只有办法，失败的人永远只有理由。成功和失败最大的 不放弃，放弃永不成功。成功者说：虽然这个很困难，但它是可能的；失败者说：那是可能的，但它太困难。当你不能成就伟业，请你把 不能让自己辉煌灿烂，请保持恒久的微笑。当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你决定不再在乎的时候，生活 从一楼蹦到三楼时，不要忘记走楼梯。要记住伟大的成功往往不是一蹴而就的，必须学会分解你的目标，逐步实施。当你知道迷惑时，并 时，才是最可怜的。
余弦定理的另 一种表达式
课堂小结
球面上的正弦定理和余弦定理：
正弦定理 余弦定理
sinA = sinB = sinC sina sinb sinc
cosa=cosbcosc+sinbsinccosA ， cosb=cosccosa+sincsinacosB ， cosc=cosacosb+sinasinbcosC .
cosb=cosccosa+sincsinacosB ，
cosc=cosacosb+sinasinbcosC .
如果球的半径为r，那么从上图可知BC=a=r∠BOC,
AC=b=r∠AOC,AB=c=r∠AOB，
因此在推导过程中，分别用a／r , b／r ,c／r代替 a , b , c ，
就得到半径为r的球面上的正弦定理与余弦定理．
同理 cosa=cosbcosc+sinbsinccosA . cosb=cosacosc+sinasinccosB .
于是，得到：
球面上的余弦定理 设单位球面
上球面ABC的三个内角分别为∠A ,
∠B , ∠C ，三边长分别为 a , b , c ，
则
cosa=cosbcosc+sinbsinccosA ，
同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。顽强的毅力改变可以征服世界上任何一座高峰。望远镜可以望见远的目标， 伟大的成就，来自为远大的目标所花费的巨大心思和付诸的最大努力。我不能说只要坚持就能怎样，但是只要放弃就什么都没有了。有压 茫，但永不绝望。沉湎于希望的人和守株待兔的樵夫没有什么两样。你花时间做什么事，你就会成为什么样的人！人生没有彩排，每一天 大的成就是从失败中站起来要做一件事，成功之前，没有必要告诉其他人。成功之后不用你说，其他人都会知道的。这就是信息时代所带 的，莫如时日；天下最能奢侈的，莫如浪费时不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。面对困境，悲观的人因为往往只看 的路，说长也很长，说短也很短。偶遇不幸或挫败只能证明某一时候某一方面的不足或做得不够。如果把才华比作剑，那么勤奋就是磨刀 配，它就一无可为。很多时候，人并不是因为失败而烦恼；而是因为失败后找不到任何借口而烦恼。假如樵夫害怕荆棘，船只避忌风浪， 世界就会变成另一副模样。每一个人都多多少少有点惰性。一个人的意志力量不够推动他自己，他就失败，谁最能推动自己，谁就最先得 性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。人的肉体可以随着时间的推移而衰老，而赋予人的生命的思想却可以青春永驻，与 有的人走了一辈子也没有走出命运画出的圆圈，其实，圆上的每一个点都有一条腾飞的切线。人生是伟大的宝藏，我晓得从这个宝藏里选 明日，明日何其多？我生待明日，万事成蹉跎。只要是辛勤的蜜蜂，在生活的广阔原野里，到处都可以找到蜜源。不要对挫折叹气，姑且 大事之前，必须经受的准备工作。不要为已消逝之年华叹息，须正视欲匆匆溜走的时光。不要在这个努力拼搏的年纪去选择安逸。不做准 在任何苦难中能发现好的一面！成功就是你坚持不住的时候，在坚持一下。成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一心态，成功是一 日，败事多因得意时。大道理人人都懂，小情绪却是难以自控。当你的能力还驾驭不了你的目标时，那你就应该沉下心来历练。当你停下 记别人还在奔跑。第二名意味着你是头号输家。钢钎与顽石的碰撞声，是一首力的歌曲。格局被理想撑大，事业由梦想激发。光说不干， 马到成功。过去的时间会永远流入无边的黑洞，永不再回来，所以要珍惜当下的每一秒。海浪的品格，就是无数次被礁石击碎又无数闪地 恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。积极者相信只有推动自己才能推动世界，只要推动自己就能推动世界。即使脚步下是一片岩 只要你拿起铁锤钢钎。假如生活欺骗了你，不要心焦，也不要烦恼。阴郁的日子里要心平气和，相信吧，那快乐的日子就来到。——普希 不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。坚持把简单的事情做好就是不简单，坚持把平凡的事情做好就是不平凡。所谓成功 平凡的坚持。今天有许多人不是不愿接受新观念，而是不愿抛弃旧观念。拒绝严峻的冶炼，矿石并不比被发掘前更有价值。59.只有经历地 创造天堂的力量。怕吃苦的人苦一辈子，不怕吃苦的人苦一阵子。抛掉过去，不一定有好的开始，但一定不会比过去坏。如果你坚信自己 明。如果你真心选择去做一件事，那么全世界都是帮助你的。如果缺少破土面出并与风雪拚搏的勇气，种子的前途并不比落叶美妙一分。 但不会一直辜负努力的人。失败的历程也是成功的历程。时间会告诉你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误； 正放下了，才知道它的沉重。实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干输在犹豫，赢在行动。树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永 用品，而不是装饰品。忠告：人在生气、烦恼、情绪不稳定是最好不要去作出任何的选择、决定。种一棵树最好的时间是十年之前，其次 己走，无论是苦是累，甚至是失败，都要去承担，只要是自己的选择，就无怨无悔。最困难的时候，就是距离成功不远了。人生四然：来 其当然，顺其自然。人生舞台的大幕随时都可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。人生最精彩的不是实现梦想的一瞬间，而是坚 痛苦与挫折，它是我们的功课，我们要从中训练，然后突破，这样才能真正解脱。要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 也许终点 绝不是停止前行的理由。一个人的快乐，不是因为他拥有的多，而是因为他计较的少。一个人只有亲眼看到自己伤疤的时候才知道什么是 个一味沉溺于往事的人，是不能张开双臂去拥抱今天的。51.人生就像爬坡，要一步一步来。人生没有彩排，每天都在现场直播。目标的坚 量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。0.瀑布对悬崖无可畏惧，所以唱出气势磅礴的生命 什么假如，每个人的人生都不可重新设计。勤奋的含义是今天的热血，而不是明天的决心，后天的保证。用放大镜去看人生，人生则是一 看人生，人生则是一场喜剧。有了梦想，就应该迅速有力地实施。坐在原地等待机遇，无异盼天上掉馅饼。毫不犹豫尽快拿出行动，为梦 是梦想成真的必经之路。有无目标是成功者与平庸者的根本差别。有些人因为贪婪，想得更多的东西，却把现在所有的也失掉了。有志者 尤人,无能者长吁短叹,儒弱者颓然放弃。与其相信依靠别人，不如相信依靠自己。预测未来的最好方法，就是创造未来。再烦，也别忘微 再苦，也别忘坚持；再累，也要爱自己。把人生一分为二，前半生不犹豫，后半生不后悔。如果你觉得现在走的辛苦，那就证明你在走上 再加上一点点运气，你就会成功。弱者才会诉苦，强者永远找方法！成功的人永远只有办法，失败的人永远只有理由。成功和失败最大的 不放弃，放弃永不成功。成功者说：虽然这个很困难，但它是可能的；失败者说：那是可能的，但它太困难。当你不能成就伟业，请你把 不能让自己辉煌灿烂，请保持恒久的微笑。当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你决定不再在乎的时候，生活 从一楼蹦到三楼时，不要忘记走楼梯。要记住伟大的成功往往不是一蹴而就的，必须学会分解你的目标，逐步实施。当你知道迷惑时，并 时，才是最可怜的。
人教版高中数学选修3-3球面上的几何第四讲 球面三角形
旧知回顾在上一讲中，我们主要讲了球面上的基本图形．我们认识了球面二面角和球面三角形．回想一下球面三角形的定义和性质．新课导入本讲我们在类比平面三角形有关性质的基础上，讨论球面三角形三边之间的关系、球面“等腰”三角形、球面三角形的周长以及球面三角形的内角和等等．教学目标知识与能力•感知球面三角形在现实中的应用．•认识球面三角形的性质．•了解球面三角形的基本内涵．过程与方法•通过观察，了解球面三角形和平面三角形的类比过程．•进一步了解球面三角形在实际生活中的应用．情感态度与价值观•让学生能够以类比的思想学习新的知识．•总结实际生活中大量存在的现象和规律．•培养合作交流意识．教学重难点•更深入地认识球面三角形．•了解球面三角形与平面三角形之间的异同点．•抓住球面三角形的特征，认识它的几何性质．一、球面三角形三边之间的关系在平面上，三角形满足：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．球面上是否也成立？AC BO图4-1由于引入三面角，对于球面上边与角的研究就转化为立体几何中角的研究．球面三角形的边对应三面角的面角，因此研究三面角中三个面角之间的关系．图4-2,假定为单位球面，那么O-ABC 是一个三面角．而且有,,.a BC BOCb CA COAc AB AOB ==∠==∠==∠A C B O 图4-2ab c O -ABCOC A Ba b在b 图中，我们可以证明.AOB BOC COA ∠+∠>∠再根据上述等式，得到.c a b +>这样可以得出：三面角中的两个面角之和大于第三个面角．对应到球面三角形中，就有：球面三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．二、球面“等腰”三角形类似平面三角形的两边相等，则对角相等．在球面三角形中，等边对等角，等角对等边；大角对大边，大边对大角．已知：在球面△ABC中，b=c求证:∠B=∠C ．动动脑ACBOBOACE DFab ccab图4-3三、球面三角形的周长在球面三角形中，每条边都小于大圆周长的一半，所以周长不会超过3/2个大圆周长．实际上，周长要小于大圆周长．具体的证明方法是应用球面上边角对等的关系来验证的．一个很重要的结论：球面三角形的周长小于大圆周长．四、球面三角形的内角和对于平面三角形，内角和等于180°．那么球面三角形的内角和是否也是一个定值呢？下面引入例题AOB C图4-4上图中，设A点表示地球的北极，B、C两点所在的曲线是赤道L A，其中，B点所在的经线是0°，C点所在经线是90°．AB、AC是两条经线，而经线与赤道平面垂直，所以∠BAC=π/2．由极与赤道的概念知道：ABC ACB ,2π∠=∠=因此三角形的内角和为3ABC ACB BAC .2π∠+∠+∠=>π说明球面上存在内角和大于180°的三角形．球面面积等于1/4上半球面面积（因为区域扫过了90°），也等于1/8球面面积，如果半径为r ，那么球面△ABC 的面积=22221134πr =πr =(π-π)r 822=(ABC +ACB +CAB -π)r .⨯∠∠∠探究如果再在赤道上取一点D，所在的经线是东经120°，这是球面△ABD的面积又会是多少？通过计算得：球面△ABD 面积2222125S 4r r ()r 633(ABD ADB DAB )r .=⨯π=π=π-π=∠+∠+∠-π一般的，球面△ABC的半径为r,则任意球面的面积=（A+B+C-π）r2，(A、B、C分别为角A、B、C的弧度数)，特殊的，若半径为1，则面积=（A+B+C-π）．通过例子说明球面三角形的内角和是大于180°的．这是球面几何与欧氏几何不同的重要特征之一．思考球面三角形的内角和是不是可以任意大？A CB O a b c 图4-5分析：由于球面三角形的内角所对应的边都小于大圆周长的一半，故每个内角都小于180°，所以内角和要小于540°，实际上，球面三角形的内角和要小于360°．课堂小结1. 球面三角形三边之间的关系；2. 球面“等腰”三角形；3. 球面三角形的周长以及球面三角形的内角和；。
高中数学选修3-3-3.4.2 球面三角形的全等-课件
证：要证明三角对应相等的两个球面三角形全
等，只要证明如果一个球面三角形的三角已知，则 它的三边也确定即可，这样，如果两个球面三角形 的三角对应相等，它们是三边也对应相等，因此它 们全等。
设球面ΔABC的三内角A，B，C已知，由球面 三角形的余弦定理可得
cosa cosA cosBcosC sin Bsin C
AD A'D 1 (AB AC A'B A'C)
2
A'D 是ΔA'BC的边 BC上的中线。因此，
如果 AD＞1（AB AC），则A'D＜1（A'B A'C）。
2
2
即，如果存在一个球面三角形，它的一条边上 的中线小于另外两边和的一半，则也有一个一边上 的中线大于另外两边和一半的球面三角形。
另一方面，设 AB+AC=π。 仍设A'是A的对径点。容易推出，ΔABC与ΔA'CB 中的三边对应相等，即 BC=BC,AB=A ' C,AC=A ' B, 所以两个三角形全等。因此∠ABC+∠ACB=π。 因此，条件是充分的。
如图，对于球面ΔABC，如图，AD是BC边上的中
线，A'是A的对径点，这时
证 设A D是单位球面ΔABC的 BC边上的中线，则
AD , AD＜ 或AD＞
2
2
2
的充要条件分别是
B+C=π，B+C＜π或B+C＞π
谢谢！
勤奋是学习的枝叶，当然很苦，智慧是学习的花朵，当然香郁。 无欲速，无见小利。欲速则不达，见小利则大事不成。——《论语·子路》 种悬空的接替，它让人在比较中不断产生向上攀爬的欲望。 敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光明。
最新人教版高二数学选修3-3全册完整课件
最新人教版高二数学选修3－3全册 完整课件
思考题
最新人教版高二数学选修3－3全册 完整课件
第三讲 球面上的基本图形 一 极与赤道
最新人教版高二数学选修3－3全册 完整课件
思考题
二 欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型
阅读与思考 非欧几何简史
引言
最新人教版高二数学选修3－3全册 完整课件
第一讲 从欧氏几何看球面 一 平面与球面的位置关系
最新人教版高二数学选修3－3全册 完整课件
二 直线与球面的位置关系和 球幂定理
思考题
二 球面二角形
3．对顶三角形
4．球极三角形
Hale Waihona Puke 第四讲 球面三角形 一 球面三角形三边之间的关
三 球面三角形的周长
思考题
2．“边角边”(s.a.s.)判定定理
3．“角边角”(a.s.a.
第六讲 球面多边形与欧拉公式 一 球面多边形及
思考题
二 用向量方法证明球面上的余弦定理
1．向量
三 从球面上的正弦定理看球面与平面
最新人教版高二数学选修3－3全 册完整课件目录
0002页 0055页 0089页 0123页 0135页 0240页 0266页 0283页 0300页 0302页 0314页 0368页 0395页 0397页 0414页 0458页 0460页
引言
二 直线与球面的位置关系和球幂定理
第二讲 球面上的距离和角 一 球面上的距离
最新人教版高二数学选修3－3全册 完整课件
三 球面的对称性 思考题
最新人教版高二数学选修3－3全册 完整课件
第二讲 球面上的距离和角 一 球面上的距离
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二 球面上的角
思考题
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第三讲 球面上的基本图形 一 极与赤道
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思考题
二 欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型
阅读与思考 非欧几何简史
引言
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第一讲 从欧氏几何看球面 一 平面与球面的位置关系
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二 直线与球面的位置关系和 球幂定理
思考题
二 球面二角形
3．对顶三角形
4．球极三角形
Hale Waihona Puke 第四讲 球面三角形 一 球面三角形三边之间的关
三 球面三角形的周长
思考题
2．“边角边”(s.a.s.)判定定理
3．“角边角”(a.s.a.
第六讲 球面多边形与欧拉公式 一 球面多边形及
思考题
二 用向量方法证明球面上的余弦定理
1．向量
三 从球面上的正弦定理看球面与平面
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引言
二 直线与球面的位置关系和球幂定理
第二讲 球面上的距离和角 一 球面上的距离
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三 球面的对称性 思考题
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第二讲 球面上的距离和角 一 球面上的距离
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二 球面上的角
人教A版高中数学选修3-3-3.3.1-球面三角形-课件(共26张PPT)
球面三角形
一、球、球面 在空间与一定点等距离的点的轨迹
称为球面（spherical surface）。 包围在球面中的实体称为球
（sphere）,这一定点称为球心。
R
●球心与球面上任
意一点间的距离称
为球半径R。
●过球心与球面相交的直线段称为球 直径。
●同球的半径和直径相等。 ●同理,半径或直径相等的球全等。
2．正弦公式（sine formula） 记忆口诀：边的正弦与其对角的正弦成 比例。
Sina/sinA=sinb/sinB=sinc/sinC
3．余切公式（四联公式four-part formula）
A
外角 b
c
内边
内角 C
外边
B
a
记忆口诀：外边余切内边正弦等于外角 余切内角正弦加上内边内角余弦之积。
P
从极到圆(大圆或小
a c
d
b
圆)弧上任一点沿大圆弧
O A
的球面距离叫极距(polar
D
B
C
distance),又叫球面半径。
极距为90°的大圆
P′
弧又称为该极的极线。
球面上一点到某一
P
大圆弧上任意两点间的
a
d
c
b
球面距离都是90°，则
O A
这一点就是该大圆的极
D
B
C
而这个大圆则是该点的
极线。极线必定是大圆
谢谢！
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技 的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击 重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深 一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人 贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知，最苦 的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的 弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑 可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太过短暂 不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目标，去 的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服的枕头 他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微中站 想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以，过 今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是逃避 面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做不了 间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自 把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。 的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶， 出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈从 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的， 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。
一、球、球面 在空间与一定点等距离的点的轨迹
称为球面（spherical surface）。 包围在球面中的实体称为球
（sphere）,这一定点称为球心。
R
●球心与球面上任
意一点间的距离称
为球半径R。
●过球心与球面相交的直线段称为球 直径。
●同球的半径和直径相等。 ●同理,半径或直径相等的球全等。
2．正弦公式（sine formula） 记忆口诀：边的正弦与其对角的正弦成 比例。
Sina/sinA=sinb/sinB=sinc/sinC
3．余切公式（四联公式four-part formula）
A
外角 b
c
内边
内角 C
外边
B
a
记忆口诀：外边余切内边正弦等于外角 余切内角正弦加上内边内角余弦之积。
P
从极到圆(大圆或小
a c
d
b
圆)弧上任一点沿大圆弧
O A
的球面距离叫极距(polar
D
B
C
distance),又叫球面半径。
极距为90°的大圆
P′
弧又称为该极的极线。
球面上一点到某一
P
大圆弧上任意两点间的
a
d
c
b
球面距离都是90°，则
O A
这一点就是该大圆的极
D
B
C
而这个大圆则是该点的
极线。极线必定是大圆
谢谢！
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技 的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击 重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深 一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人 贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知，最苦 的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的 弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑 可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太过短暂 不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目标，去 的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服的枕头 他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微中站 想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以，过 今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是逃避 面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做不了 间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自 把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。 的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶， 出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈从 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的， 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。
高中数学人教A版选修第五讲球面三角形全等课件
高 中 数 学 人 教A版选 修3-3 第 五讲 球 面 三角形 全等 课 件 (共 31张PP T)
高 中 数 学 人 教A版选 修3-3 第 五讲 球 面 三角形 全等 课 件 (共 31张PP T)
类似地，我们可以得到：
如果两个球面三角形的 三对边对应相等，则两个球 面三角形全等．
高 中 数 学 人 教A版选 修3-3 第 五讲 球 面 三角形 全等 课 件 (共 31张PP T)
回顾旧知
全等图形
A
A
B
B C
C
形状、
大小完全相 同的图形是 全等图形．
新课导入
全等是图形的重要性质之一．在欧氏 几何中，我们对全等的研究是从平面三角 形开始的，先讲全等的定义，在讲判定三 角形全等的公理，最后运用三角形全等证 明一些命题．我们对球面三角形的研究也 遵循同样的思路．
教学目标
知识与能力
所以∠OAB=∠OA´B´,∠OBC=∠OB´C´, ∠OCA=∠OC´A´．
又因为△AOB≌△A´OB´， 所以∠BAC=∠B´A´C´.
高 中 数 学 人 教A版选 修3-3 第 五讲 球 面 三角形 全等 课 件 (共 31张PP T)
高 中 数 学 人 教A版选 修3-3 第 五讲 球 面 三角形 全等 课 件 (共 31张PP T)
教学重难点
• 认识球面全等三角形． • 对球面三角形全等判定定理的理解． • 对判定定理的应用．
高 中 数 学 人 教A版选 修3-3 第 五讲 球 面 三角形 全等 课 件 (共 31张PP T)
类似于平面上研究全等的思路，首先 给出球面上全等的定义．
两个球面三角形全等：两个图形完全相 等，即球面三角形的六个要素——三条边、 三个角分别相等．
高 中 数 学 人 教A版选 修3-3 第 五讲 球 面 三角形 全等 课 件 (共 31张PP T)
类似地，我们可以得到：
如果两个球面三角形的 三对边对应相等，则两个球 面三角形全等．
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回顾旧知
全等图形
A
A
B
B C
C
形状、
大小完全相 同的图形是 全等图形．
新课导入
全等是图形的重要性质之一．在欧氏 几何中，我们对全等的研究是从平面三角 形开始的，先讲全等的定义，在讲判定三 角形全等的公理，最后运用三角形全等证 明一些命题．我们对球面三角形的研究也 遵循同样的思路．
教学目标
知识与能力
所以∠OAB=∠OA´B´,∠OBC=∠OB´C´, ∠OCA=∠OC´A´．
又因为△AOB≌△A´OB´， 所以∠BAC=∠B´A´C´.
高 中 数 学 人 教A版选 修3-3 第 五讲 球 面 三角形 全等 课 件 (共 31张PP T)
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教学重难点
• 认识球面全等三角形． • 对球面三角形全等判定定理的理解． • 对判定定理的应用．
高 中 数 学 人 教A版选 修3-3 第 五讲 球 面 三角形 全等 课 件 (共 31张PP T)
类似于平面上研究全等的思路，首先 给出球面上全等的定义．
两个球面三角形全等：两个图形完全相 等，即球面三角形的六个要素——三条边、 三个角分别相等．
人教A版数学选修3-3 球面上的几何第六讲第二节多面体欧拉定理的发现与简单应用 (共13张PPT)
人教新课标2003版选修3-3《球面上的几何》 第六讲（二）《简单多面体的欧拉公式》
足球表面有多少个正五边形
——多面体欧拉定理的发现与简单应用
一、从生活中发现问题
足球表面有多少个正五 边形和正六边形？
二、分组讨论，分析问题
初步结论：
1、每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮； 2、每两个相邻的多边形恰有一条公共的边； 3、每个顶点处都有三块橡皮，而且是一个正 五边形、二个正六边形； 4、共32个面，更进一步可以得到60个顶点， 90条棱……
富勒烯
四、合作探究，深入研究问题
（一）查阅相关资料，证明欧拉公式
（二）查阅相关资料，了解欧拉相关生平 （三）查阅相关资料，了解富勒烯的相关知识
（四）查阅相关资料，通过证明欧拉公式，了解拓扑学相关 知识 （五）查阅相关资料，了解凸多面体与简单多面体与球同胚的定 义
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的 格说，我无能为力。朝着一个目标不停的向前，不断努力的付出，哪怕你现在的人生是从零开始，你都可以做得到。早安！让梦想照进现实，才是当下最应该做的事情 钱的时候不磨叽， 生活不会因为你哭泣而对你温柔， 连孩子都知道，想要的东西，要踮起脚尖，自己伸手去拿，所以不要什么都不做，还什么都想要。但你可以通过努
足球表面有多少个正五边形
——多面体欧拉定理的发现与简单应用
一、从生活中发现问题
足球表面有多少个正五 边形和正六边形？
二、分组讨论，分析问题
初步结论：
1、每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮； 2、每两个相邻的多边形恰有一条公共的边； 3、每个顶点处都有三块橡皮，而且是一个正 五边形、二个正六边形； 4、共32个面，更进一步可以得到60个顶点， 90条棱……
富勒烯
四、合作探究，深入研究问题
（一）查阅相关资料，证明欧拉公式
（二）查阅相关资料，了解欧拉相关生平 （三）查阅相关资料，了解富勒烯的相关知识
（四）查阅相关资料，通过证明欧拉公式，了解拓扑学相关 知识 （五）查阅相关资料，了解凸多面体与简单多面体与球同胚的定 义
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的 格说，我无能为力。朝着一个目标不停的向前，不断努力的付出，哪怕你现在的人生是从零开始，你都可以做得到。早安！让梦想照进现实，才是当下最应该做的事情 钱的时候不磨叽， 生活不会因为你哭泣而对你温柔， 连孩子都知道，想要的东西，要踮起脚尖，自己伸手去拿，所以不要什么都不做，还什么都想要。但你可以通过努
《球面三角形的内角和》课件-优质公开课-人教A版选修3-3精品
总结上述性质，可得一个球面三角形的成立条件为： • • • • • • • • • 1. 当给定了球面三角形的三个边时： （1）任一边应大于0°，小于180 °； （2）三边之和大于0 °，小于360 °； （3）二边之和大于第三边或二边之差小于第三边。 2. 当给定了球面三角形的三个角时： （1）任一角应大于0°，小于180 °； （2）三角之和大于180 °，小于540 °； （3）二角之和减去第三角小于180 ° 。 3. 若给定球面三角形的两个角及其夹边或两个边及其夹角，则 仅需满足每一个角和每一个边大于0°，小于180 °的条件，球 面三角形都成立。 • 4. 若给定球面三角形的两个角及其一个角的对边，或两个边及 其一边的对角，则角形的性质
• 1.球面三角形与三面角的关系 • 球面三角形的角是三面角的三个二面角； • 球面三角形的边与所对应的三面角的面 角相等。 • 2.球面三角形的每一边必大于0°而小于 180 °，三边之和大于0 °而小于360 °。 • 3.球面三角形两边之和大于第三边，两边 之差小于第三边。
• 4.球面三角形的每一角必大于0 °而小于180 °， 三角和必大于180 °而小于540 °。 • 5.球面三角形三角之和超出180 °的部分称为 球面角盈（或球面剩余），以E表示，即： • E＝A＋B+C－180 ° • 6.球面三角形两角之和减去第三角小于180 °。 • 7.球面三角形的外角小于不相邻的两内角的和 而大于它们之差。 • 8.同一球面三角形中对等边的角相等，对等角 的边也相等。 • 9.在任意球面三角形中对大角的边较大，对大 边的角也较大。
人教A版高中数学选修3-3-6.1球面多边形及内角和公式-课件(共26张PPT)
设单位球面上的 n(n 3)边形A1A2A3...An-1An 的n个内角分别为 A1，A2，A3，...An 其弧度数分别为 A1，A2，A3，...An ，S为这个球 面n边形的面积，则
A1 A2 A3 ... An-1 An (n 2) S.
分析：当n=3时，就是球面三角形的 面积公式，结论显然成立。 当n=4时，如图，我们总可以把两个 不相邻的顶点用大圆弧连结起来，由 于这两个不相邻的顶点都在一个大圆 的半个球面内，所以这段圆弧是劣弧， 因此这段劣弧把球面四边形分为两个 球面三角形，而这两个球面三角形面 积的和等于球面四边形的面积。
的经线所围成的球面二角形的面积.
解 因为
SNB 12129 11620
59 5 9
180 60 180
0.0286(弧度),
36 1200
所以
S0 2R2 SNB 2 63712 0.0286
2.3217 106 km2 .
定理2.1 球面三角形的面积等于它的三内角和减去 的差再乘以球面半径的平方，即
球面ABC的面积 R2 A B C （2.1）
其中，R为球面的半径.
证明:如图2.3所示，设点A,B,C的对径点分别为 A, B,C
将球面角CAB的边AC与AB延长至 ，得球面二角 A 形 ABAC . 我们用 ABC 表示球面 ABC 的面积，
以此类推，便可得到球面n边形的面积公 式，进而得到球面n边形的内角和公式。
四边形五边形Aຫໍສະໝຸດ 六边形AB
F
B
E
C
D
C
E
D
n边形从一个顶点引 （n － 3）条对角线 把一个n 边形分成了 （n － 2）个三角形
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A’ A b’ c B a O b
c’
C
B’
D
a’
E
C’
同理 b’ = π -∠B ,c’ =π -∠ C
A’
由此我们得到 在单位球面上 ，如果球面△ABC 的极对称 三角形是球面△A’B’C’。且它们的 内角 （单位：弧度）与边长分别为 ∠A, ∠B , ∠C a ,b ,c 和 ∠A’ , ∠B’ , ∠C’ a’ ,b’ c’ 那么 a’ = π -∠A , b’ = π -∠B , c’ =π -∠ C a =π -∠A’ , b = π -∠B’ , c =π -∠ C’
c’ c B
A b’ O b
C
a
B’
D
a’
E
C’
A’ C’’ A B’’
O B C
Байду номын сангаас
B’ A’’
C’
• 如果球面△A’B’C’是球面△ABC的的极 对称三角形 • ，那么球面△A’B’C’的极对称三角形 是什么？ • 球面△A’B’C’的极对称三角形是球面 △ABC • 总结： • 球面△A’B’C’ 与它的球极△ABC 互为 极对 • 称三角形
如图，对于任意球面 △ABC，假设与边BC所在 的大圆对应的极点为 A’,A’’ ，与边AC所在大圆 对应的极点B’ B’’，与边 AB所在的大圆对应的极 点C’C’’，而且点A’与A， 点B与B’，点C’与C在同一 个球面内，这时我们称 球面△A’B’C’为球面 △ABC的极对称三角形， 简称球极三角形