数学北师大版九年级下册二次函数教案
北师大版九年级数学下册《二次函数》说课稿
北师大版九年级数学下册《二次函数》说课稿一、说课目标本节课的主要教学目标是让学生理解并掌握二次函数的基本概念、图像特征和性质，通过实例分析帮助学生练习解决与二次函数相关的问题。
让学生能够运用所学知识解决实际问题，培养其数学建模能力和问题解决能力。
二、说课内容1. 二次函数概念和定义首先，我们将引导学生回顾一元二次方程的相关知识，复习一元二次方程的一般形式与解的求法。
然后，我们将引入二次函数的概念，让学生了解二次函数的定义：y=ax2+bx+c（a≠0）。
2. 二次函数的图像特征和性质接下来，我们将重点介绍二次函数的图像特征和性质。
通过对二次函数图像的观察和分析，学生将掌握以下几个关键概念：•顶点：二次函数图像的最低点或最高点，可以通过公式 $x=-\\frac{b}{2a}$ 和 $y=c-\\frac{b^2}{4a}$ 求得；•对称轴：过二次函数图像顶点的直线，是图像的对称轴，对称轴方程为 $x=-\\frac{b}{2a}$；•平移与伸缩：二次函数图像可以通过改变参数 a、b 和c 实现平移和伸缩，学生需要学会根据参数的变化来预测图像的变化；•图像开口方向：通过观察二次函数的系数 a 的正负值，可以判断图像的开口方向（上开口还是下开口）；3. 二次函数的应用在掌握二次函数基本特征后，我们将引导学生运用二次函数解决实际问题。
通过具体的示例，如抛物线运动问题、最值问题等，教师将引导学生将实际问题转化为二次函数，并通过解方程、绘制图像等方式来求解问题。
通过这样的练习，学生将进一步巩固对二次函数的理解和应用能力。
三、教学重点•二次函数的定义和基本概念；•二次函数图像的特征和性质；•运用二次函数解决实际问题的方法和思路；四、教学方法和过程1. 教学方法本课采用多种教学方法，包括讲授、示范、引导和练习相结合的方法。
2. 教学过程Step 1：导入新知通过复习一元二次方程和解方程的方法，导入二次函数的概念。
北师大版数学九年级下册2.3《确立二次函数表达式》教案2
北师大版数学九年级下册2.3《确立二次函数表达式》教案2一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.3《确立二次函数表达式》是学生在学习了二次函数的基本概念和图像特征后，进一步学习如何从实际问题中提炼出二次函数模型，并掌握求解二次函数表达式的方法。
本节课的内容与生活实际紧密相连，有助于提高学生的学习兴趣，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本概念和图像特征，对函数有一定的认识。
但在实际问题中，如何将问题提炼为二次函数模型，并求解二次函数表达式，仍然是学生的难点。
因此，在教学过程中，需要帮助学生建立实际问题与二次函数之间的联系，引导学生运用已有的知识解决新的问题。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的模型建立。
2.掌握利用待定系数法求解二次函数表达式的方法。
3.培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：二次函数在实际问题中的模型建立，待定系数法求解二次函数表达式。
2.教学难点：如何将实际问题提炼为二次函数模型，灵活运用待定系数法求解二次函数表达式。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中提炼出二次函数模型，并通过待定系数法求解二次函数表达式。
在教学过程中，注重学生的主体地位，鼓励学生积极参与讨论，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生建立二次函数模型。
2.准备待定系数法求解二次函数表达式的教学案例。
3.准备多媒体教学设备，用于展示问题和案例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如抛物线运动、物体运动等，引导学生思考如何将这些实际问题转化为数学中的二次函数问题。
2.呈现（10分钟）呈现一个具体的实际问题，如抛物线运动的例子，引导学生分析问题，提炼出二次函数模型。
在这个过程中，让学生充分发表自己的观点，教师进行引导和点评。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，尝试提炼出二次函数模型，并运用待定系数法求解二次函数表达式。
北师大版数学九年级下册《1 二次函数》教学设计2
北师大版数学九年级下册《1 二次函数》教学设计2一. 教材分析北师大版数学九年级下册《1 二次函数》是学生在学习了一次函数和正比例函数的基础上，进一步研究二次函数的性质和图象。
本节课的内容包括二次函数的定义、一般式、顶点式、对称轴、开口方向等，以及二次函数图象的特点。
教材通过丰富的实例和问题，引导学生探究二次函数的性质，培养学生的抽象思维能力。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了一次函数和正比例函数的知识，对函数的概念、图象和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数的理解，学生可能还存在一定的困难，特别是对于二次函数的图象特点和开口方向的判断。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和解答疑问。
三. 教学目标1.理解二次函数的定义和一般式、顶点式、对称轴、开口方向等概念。
2.能够判断二次函数的图象特点和开口方向。
3.培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质。
2.二次函数图象的特点和开口方向的判断。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.探究教学法：引导学生通过合作交流、探究讨论，发现二次函数的性质和图象特点。
3.案例教学法：分析典型例题，培养学生运用二次函数解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件：制作二次函数的相关PPT课件，包括概念、性质、图象等。
2.练习题：准备一些有关二次函数的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件展示一些生活中的实例，如抛物线运动、抛物线形状的物体等，引导学生思考这些实例与数学之间的联系，从而引出二次函数的概念。
2.呈现（10分钟）介绍二次函数的定义、一般式、顶点式、对称轴、开口方向等概念，并通过PPT课件展示相应的图象，让学生直观地感受二次函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析一些给定的二次函数图象，判断其开口方向、对称轴等性质，并互相交流心得。
北师大版初中数学九年级下册《二次函数》教案汇总
二次函数【知识点八：二次函数解析式的表示方法】1．一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2．顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3．两点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）．【注意】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1．已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2．已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3．已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； 4．已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．【典型例题】1、根据下面条件求二次函数的解析式：（1）抛物线过（－1，－6）、（1，－2）和（2，3）三点；（2）抛物线的顶点坐标为（－1，－1），且与y 轴交点的纵坐标为－3； （3）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；（4）抛物线在x 轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）．2、把抛物线y =x 2+2x －3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为 ．3、二次函数有最小值为1-，当0x =时，1y =，它的图象的对称轴为1x =，则函数的关系式 为 ．4、校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度y (m )与水平距离x (m )之间的函数关系式为 y ＝－112x 2＋23x ＋53，求小明这次试掷的成绩及铅球出手时的高度．【变式练习】1、抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (－1，0)，B (3，0)，C (0，1)三点， 则a = ，b = ，c = ．2、抛物线2y x bx c =-++的图象如图6所示，则此抛物线的 解析式为 ．3、已知二次函数2y ax bx c =++中的x y ，满足下表：x… 2-1-0 1 2 … y…42- 2-…求这个二次函数关系式．AO Pxy图12－ 3－ 3 4、如图，已知抛物线与x 交于A (－1，0)、E (3，0)两点，与y 轴交于点B (0，3)．求抛物线的解析式．5、已知二次函数的图象与x 轴交于A （－2，0）、B （3，0）两点，且函数有最大值是2． （1） 求二次函数的图象的解析式；（2） 设次二次函数的顶点为P ，求△ABP 的面积．6．已知抛物线2y ax bx =+经过点(33)A --，和点P （t ，0），且t ≠ 0． （1）若该抛物线的对称轴经过点A ，如图12，请通过观察图象，指出此时y 的最小值，并写出t 的值； （2）若4t =-，求a 、b 的值，并指出此时抛物线的开口方向； （3）直．接．写出使该抛物线开口向下的t 的一个值．xyO7、（1）请在坐标系中画出二次函数22y x x =-+的大致图象； （2）在同一个坐标系中画出22y x x =-+的图象向上平移两个 单位后的图象；（3）直接写出平移后的图象的解析式． 注：图中小正方形网格 的边长为1．8．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A 处出手，出手时球离地面约123．铅球落地点在B 处，铅球运行中在运动员前4m 处（即OC =4）达到最高点，最高点高为3m ．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗?9、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ． （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式．（2）在正常水位的基础上，当水位上升h (m )时，桥下水面的宽度为d (m )，试求出用d 表示h 的函数关系式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行?A BPxyOC （5，4）10、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5米时，达到最大高度3．5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式．（2）该运动员身高1．8米，在这次跳投中，球在头顶上方0．25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?【提高练习】1、已知二次函数的图象经过()1,1-、()2,1两点，且与x 轴仅有一个交点，求二次函数的解析式．2、如图，抛物线254y ax ax a =-+与x 轴相交于点A 、B ，且过点(54)C ，． （1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限， 并写出平移后抛物线的解析式．xyAB C3、抛物线y =ax 2+bx +c 过点(0，－1)与点(3，2)，顶点在直线y =3x －3上，a <0，求此二次函数的解析式．4、如图二次函数2y x bx c =++的图象经过A (－1，0)和()30B ，两点，且交y 轴于点C ．（1）试确定b 、c 的值；（2）过点C 作CD x ∥轴交抛物线于点D ，点M 为此抛物线的顶点， 试确定MCD △的形状．5、如图，在平面直角坐标系x O y 中，等腰梯形OABC 的下底边OA 在x 的正半轴上，BC ∥OA ，OC =AB ，tan ∠BAO =34，点B 的坐标为（7，4）． （1）求A 、C 的坐标；（2）求经过点O 、B 、C 的抛物线的解析式；6．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系上经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距离水面10米，入水处距池边的距离为4m，同时，运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式．（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是图中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误? 并通过计算说明理由．7．（香港）今有网球从斜坡O点外抛出，网球的抛物路线方程是y=4x－x2，斜坡的方程是y=x，其中y是垂直高度（米），x是与O点的水平距离（米）（1）网球落地时撞击斜坡的落点为A，写出A点的垂直高度，以及A点与O点的水平距离．（2）在图象中，标出网球所能达到的最高点B，并求OB与水平线OX之间夹角的正切．8、以x 为自变量的函数)34()12(22-+-++-=m m x m x y 中，m 为不小于零的整数，它的图象与x 轴交于点A 和B ，点A 在原点左边，点B 在原点右边．(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y =kx +b 的图象经过点A ，与这个二次函数的图象交于点C ，且ABC S ∆=10，求这个一次函数的解析式．【知识点九：二次函数与一元二次方程和不等式的关系】1．二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况． 图象与x 轴的交点个数：● 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=．● 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ● 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2．抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3．二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标．⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：【典型例题】1、已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 ． 2、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、以上都不对3、二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ）A 、0,0>∆>aB 、0,0<∆>aC 、0,0>∆<aD 、0,0<∆<a 4、若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线（ ）A 、x ＝－3B 、x ＝－2C 、x ＝－1D 、x ＝15、画出二次函数322--=x x y 的图象，并利用图象求方程0322=--x x 的解，说明x 在什么范围时0322≤--x x ．0∆>抛物线与x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0∆=抛物线与x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0∆< 抛物线与x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根．【变式练习】1、已知二次函数2y x px q =++的图象与x 轴只有一个公共点，坐标为()1,0-，求,p q 的值．2、如图：（1） 求该抛物线的解析式；（2） 根据图象回答：当x 为何范围时，该函数值大于0．3、二次函数c bx ax y ++=2的图象过A (－3，0)，B (1，0)，C (0，3)，点D 在函数图象上，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B 、D ，求（1）一次函数和二次函数的解析式，（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．【提高练习】1、关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限．2、12++=kx x y 与k x x y --=2的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 为（ ） A 、0 B 、－1 C 、2 D 、413、已知二次函数22-++=a ax x y ．求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点．4、已知一元二次方程210x px q +++=的一根为 2． （1）求q 关于p 的关系式；（2）求证：抛物线2 y x px q =++与x 轴有两个交点；5．阅读材料，解答问题．例：用图象法解一元二次不等式：2230x x -->．解：设223y x x =--，则y 是x 的二次函数．∵a =1>0，∴抛物线开口向上．又∵当0y =时，2230x x --=，解得1213x x =-=，．∴由此得抛物线223y x x =--的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当1x <-或3x >时，0y >．∴2230x x -->的解集是：1x <-或3x >．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：2230x x --<的解集是__________________； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：210x ->．（大致图象画在答题卡．．．上）6、已知关于x 的函数21y ax x =++（a 为常数） （1）若函数的图象与x 轴恰有一个交点，求a 的值；（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x 轴上方，求a 的取值范围．7、已知抛物线22y x mx m =-+-． （1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）若m 是整数，抛物线22y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B ．若M 为坐标轴上一点，且MA =MB ，求点M 的坐标．【知识点十：二次函数最值与实际问题】1、如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当2b x a=-时，244ac b y a-=最值．2、如果自变量的取值范围是12x x x ≤≤，那么，首先要看2ba-是否在自变量取值范围12x x x ≤≤内，若在此范围内，则当2bx a=-时，244ac b y a -=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在12x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，222y ax bx c =++最大，当1x x =时，211y ax bx c =++最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，211y ax bx c =++最大，当2x x =时，222y ax bx c =++最小．3、二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少【典型例题】1、出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出()6x -个，则当x = 元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大．2、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2．3．已知抛物线2y ax bx c =++（a >0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”）4、用 6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大? 最大透光面积是多少?5、如图14，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5．7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0．02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少? 最少费用是多少万元?图146、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润? 最大的月利润是多少元?（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元? 根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元?xy(12,36)O7、如图1，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3tan 4B =，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）．（1）求AB 的长；（2）当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值．为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢? 图1李明：因为抛物线上的点(,)x y 是表示图1中AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系，那么(12，36)表示当12AP =时，AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系． 赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！孔明：哦，这样就可以算出AB ，这个问题就可以解决了．请根据上述对话，帮他们解答这个问题． 图2【变式练习】1、某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大? 最大利润是多少? （3）请画出上述函数的大致图象．R QPCBABCNMA2、如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在A M N△中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将A M N△沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少?3、凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去．（1）设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为y 1（元），但会减少y 2间包房租出，请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式．（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由．E A BGN DMC【提高练习】1、如图所示．某校计划将一块形状为锐角三角形ABC 的空地进行生态环境改造．已知△ABC 的边BC 长120米，高AD 长80米．学校计划将它分割成△AHG 、△BHE 、△GFC 和矩形EFGH 四部分(如图)．其中矩形EFGH 的一边EF 在边BC 上．其余两个顶点H 、G 分别在边AB 、AC 上．现计划在△AHG 上种草，每平方米投资6元；在△BHE 、△FCG 上都种花，每平方米投资10元；在矩形EFGH 上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元．(1)当FG 长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等?(2)当矩形EFGH 的边FG 为多少米时，△ABC 空地改造总投资最小? 最小值为多少?2、某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）当MN 和AB 之间的距离为0．5米时，求此时△EMN 的面积；（2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数； （3）请你探究△EMN 的面积S （平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．3、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．（1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元?（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．4、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系式3368y x =-+，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示． （1）试确定b c 、的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式； （3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大? 最大利润是多少?25 24y 2（元）x （月）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122218y x bx c =++O5、如图17，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米． 现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD － DC － CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少?6、某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y 甲（万元）与进货量x （吨）近似满足函数关系0.3y x =甲；乙种水果的销售利润y 乙（万元）与进货量x （吨）近似满足函数关系2y ax bx =+乙（其中0a a b ≠，，为常数），且进货量x 为1吨时，销售利润y 乙为1．4万元；进货量x 为2吨时，销售利润y 乙为2．6万元． （1）求y 乙（万元）与x （吨）之间的函数关系式．（2）如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨，设乙种水果的进货量为t 吨，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和W （万元）与t （吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少?7、茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题： 出厂价成本价排污处理费甲种塑料 2100（元/吨）800（元/吨）200（元/吨） 乙种塑料2400（元/吨） 1100（元/吨）100（元/吨）每月还需支付设备管理、维护费20000元（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x 吨，利润分别为1y 元和2y 元，分别求1y 和2y 与x 的函数关系式（注：利润=总收入－总支出）；（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨，求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大? 最大利润是多少?价目品种学习必备 欢迎下载1200 800 0400 y (台) x (元) z (元) x (元) 200 160 200 0 图① 图② 8．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元?（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益Z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益w （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少?并求出总收益w 的最大值．。
北师大版数学九年级下册2.4《二次函数应用》教案2
北师大版数学九年级下册2.4《二次函数应用》教案2一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.4《二次函数应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质的基础上进行的一节应用性较强的课程。
本节课主要让学生学会如何运用二次函数解决实际问题，进一步巩固二次函数的知识。
教材通过生活中的实例，引导学生运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图象与性质有一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题。
因此，在本节课中，教师需要引导学生将实际问题与二次函数知识相结合，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数在实际问题中的应用方法。
2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
3.提高学生的数学应用意识，培养学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用方法。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生感受二次函数在实际问题中的应用。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考，培养学生解决问题的能力。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例，用于引导学生思考。
2.准备多媒体教学设备，用于展示实例和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一个生活中的实例，如抛物线形篮球架的高度与投篮命中率的关系，引导学生思考如何运用二次函数知识解决实际问题。
2.呈现（10分钟）教师给出几个实际问题，如汽车油耗与行驶距离的关系，让学生尝试将实际问题转化为二次函数问题。
学生在小组内讨论，共同解决问题。
3.操练（15分钟）教师给出一些实际问题，让学生独立解决。
学生通过解决问题，进一步巩固二次函数在实际问题中的应用方法。
4.巩固（5分钟）教师针对学生解决问题的过程进行讲评，指出不足之处，并给出正确的解决方法。
北师大版九年级下册第二章二次函数教学设计
北师大版九年级下册第二章二次函数教学设计一、教学目标本节课的教学目标有以下几点：1.理解二次函数的定义和性质。
2.能够确定二次函数的图像、对称轴、顶点等关键点的位置。
3.了解二次函数图像的几种基本类型：开口向上和开口向下的抛物线，开口朝左和右的抛物线。
4.能够通过实例应用，解决生活中的问题。
二、教学重点1.二次函数的定义和性质。
2.二次函数图像的对称轴、顶点等关键点的位置。
3.二次函数图像的几种基本类型。
三、教学难点1.如何准确的描述二次函数图像的关键点的位置。
2.如何灵活的运用二次函数解决实际问题。
四、教学方法1.探究式教学法2.讨论式教学法3.观察法4.对话式教学法1. 导入学生已经学过一次函数的相关知识，这里可以通过复习一次函数，再引出二次函数。
2. 概念讲解介绍二次函数的定义和性质，提醒学生注意和一次函数的区别和联系。
3. 图像展示用PPT或其他工具，讲解几个二次函数的图像，分别展示开口向上、向下和向左、向右的图像，帮助学生理解二次函数的特点，掌握二次函数关键点的位置。
4. 练习让学生做一些简单的练习题，检验是否掌握了二次函数图像的关键点的位置。
5. 实例分析通过一些与生活相关的实例，让学生灵活运用二次函数，解决实际问题，如：抛物线运动，路面设计，景区游览等等。
6. 总结提高对本节课学习的重点和难点进行梳理，让学生对知识点有更加深入的理解。
六、课堂评价1.教师可以在课堂上提问，了解学生掌握情况。
2.检查学生的课堂笔记和练习情况，评价学生的掌握程度。
3.对于实例分析的部分，要求学生提交解决问题的方法和思路，评价他们的灵活运用能力。
针对学生掌握情况进行了随堂的反馈，及时纠正学生的错误和误区。
本节课的难点在于怎么让学生了解二次函数图像的关键点的位置，针对这个问题，我们在实验教学中采用了多重组合教学法，让学生通过实际操作图像，才理解了关键点的位置。
通过四个小时的授课，学生对二次函数的概念和性质已经掌握，对实例应用有了一定的了解，二次函数开始进入到深入的学习阶段。
2.2 二次函数的图象与性质(1)北师大版数学九年级下册教案
【学生分析】 运行路线先高后低,有一定的弧度,整体是弧形.【引入】 这种运行路线所形成的图形在我们日常生活中无处不在,比如喷泉流经过的路线、问题这和我们以前所学的函数图象一样吗?（2）在直角坐标系中描点.（3）用光滑的曲线连接各点便得到函数y=x2的图师：小组讨论，对于二次函数y=x2的图象，（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.（2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当x˂0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x˃0时呢？（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.师：二次函数y=-x2的图象是什么形状？先想一想，然后画出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流师：请同学们根据刚才的结果完成下列表格师：下面我们来检验一下大家的掌握情况吧1.已知（-0.5,0.25）是二次函数y=-x2图象上的一点，则图象上与之对称的点的坐标是（）A.(-0.5，-0.25)B.（0.5,0.25）C.（0.5,-0.25）D.（0.5,0.5）2.抛物线y=2x2的顶点坐标是，对称轴是.在侧，y随着x的增大而增大；在侧，y随着x大而减小.当x= 0 时，函数y的值最小，最小值向上，求m的值和函数解析式.巩固练习完成课件内容边学边练，巩固知识课堂小结函数y=ax2(a≠ 0)的图象是关于y轴对称的抛物线，我们把函数y=ax2(a≠ 0)的图象叫做抛物线y=ax2.抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线y=ax2的顶点是坐标原点，当a˃0时，它的开口向上，顶点是它的最低点；当a˂0时，它的开口向下，顶点是它的最高点.板书 2.2.1 二次函数的图象和性质增减性x˂0时，y随着x的增大而减小，x˃0时，y随着x的增大而增大最值当x=0时，最小值为0抛物线y=-ax2(a˃0)顶点坐标(0,0)对称轴y轴位置在x轴的下方（除顶点外）开口方向向下增减性x˂0时，y随着x的增大而减大，x˃0时，y随着x的增大而增小最值当x=0时，最大值为0。
九年级数学下册 第二章 二次函数教案 (新版)北师大版 教案
第二章 二次函数一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面几节课已经学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y =ax 2和y=ax 2+c 的一般性质。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了二次函数y=ax 2和y=ax 2+c 的性质的探索过程，在探究过程中体会到了由特殊到一般的辩证规律，积累了解决数学问题的经验和方法。
学生愿意动手操作，乐于和同伴交流意见，形成不同的意见，积极参加探索解决问题的活动，在活动中感受数学的严密性、严谨性。
同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析第2.4节将讨论一般形式的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象和性质。
它和学生前面几节课学习的2ax y =、c ax y +=2的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？如何探索一般二次函数的性质等等都是这一节需要关注的。
具体的，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够作出y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象，并能够理解它与y=ax 2的图象的关系，理解a,h 和k 对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a (x-h )2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法1．经历探索二次函数y=a (x-h )2+k 的图象的作法和性质的过程。
情感态度与价值观1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学难点：理解y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象与y=ax 2的图象的关系，理解a 、h 和k 对二次函数图像的影响。
教学重点：y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 与y=ax 2的图象的关系，y=a (x-h )2+k 的图象性质三、教学过程分析本课设计了5个教学环节：复习引入、合作探究、练习提高、课堂小结、布置作业。
北师大版九年级数学下册：2.1《二次函数》说课稿
北师大版九年级数学下册：2.1《二次函数》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册2.1《二次函数》这一节的内容，主要介绍了二次函数的定义、性质和图象。
二次函数是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础。
通过学习二次函数，学生可以更好地理解函数的概念，提高解决问题的能力。
本节课的内容分为三个部分：二次函数的定义，二次函数的图象，二次函数的性质。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的代数基础。
但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会以学生已有的知识为基础，引导学生逐步掌握二次函数的知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解二次函数的定义，掌握二次函数的图象和性质，能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探究二次函数的知识，培养学生的动手能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的定义，二次函数的图象，二次函数的性质。
2.教学难点：二次函数的图象和性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究，培养学生的动手能力和思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学模型等教学手段，直观地展示二次函数的图象和性质，帮助学生更好地理解知识。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考二次函数的应用，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生自主探究二次函数的定义，通过小组合作，共同完成探究任务。
3.课堂讲解：讲解二次函数的图象和性质，通过多媒体课件和教学模型，直观地展示二次函数的图象和性质。
4.巩固练习：布置一些练习题，让学生运用所学的知识解决问题，巩固所学的内容。
5.课堂小结：对所学的内容进行小结，帮助学生梳理知识体系。
二次函数 (教学设计) 九年级数学下册(北师大版)
由实际问题确定函数表达式
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
请同学们先欣赏几幅图片，如图2－1－2.(教师播放课件)
图2－1－2
在客观世界中存在很多这样的图形形状，我们把它们叫做抛物线．我们如何用数学方法描述它、研究它呢？从本节课开始，我们就一起来研究这一问题．
我们学习过哪些函数呢？试着举例说明一下．
教师提出问题，引导学生回答，师生共同回顾、交流，适时做好总结．
回顾以前学习过的具体实例能更好地帮助学生了解函数的本质所在，而回顾同学们比较熟悉的一次函数、反比例函数更能让他们回忆起学习函数的过程．学习新的内容，注重知识之间的联系，调动学生学习的积极性与主动性，也为接下来的学习做好铺垫.
讲授新课
【探究1】
归纳总结：
一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数．
提问：1.上述概念中的a为什么不能等于0?
2.概念中的b和c可否为0，若b和c有一个为0或b和c均为0，上述表达式可以怎样改写？你认为它们还是二次函数吗？
例题：
y=
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2）m取什么值时，此函数是二次函数？
想一想：
你可以举例说明还有哪些可以表示为二次函数关系？
学生解答完毕的情况下，小组内推选较好讨论，达到互通有无、查缺补漏的作用
老师及时提醒注意的问题.
继续引导学生回答下列问题，并推选该组的学生进行展示自己的答案
① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；
② 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 .
5.圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm2.
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二次函数教案
课题26.1.1 二次函数课型概念课
授课人吴刘维授课时间2016.11.30
教学目标
知识与
技能目标
1.能表示简单变量之间的二次函数关系。
2.掌握二次函数的概念，会辨别二次函数。
过程与
方法目标
1.经历列函数解析式、类比一次函数和反比例函数得出二次函数的过程，体会二次函
数的意义、类比思想在数学学习中的地位与作用。
2.经历学生自主探究、辨别二次函数表达式的过程，加深对二次函数的理解。
情感、态度
与价值观目
标
1.通过实际问题的解决，体验数学活动与人类生活的密切联系，调动学生学习数学的
兴趣和积极性。
2.经历概念的得出过程，体会数学知识的发现、产生、发展的过程。
3.经历辨别二次函数解析式的过程，感受数学知识的严谨性、确定性，以及进行质疑
和独立思考的习惯。
教学重点经历抽象二次函数概念的过程，体会二次函数的意义，掌握二次函数的概念。
教学难点体会二次函数的意义，掌握二次函数的概念。
教学过程
环节教学内容师生活动设计意图
问引题入解实决例一、预习导学
写出下列函数关系式：
(1)一辆以60km/h匀速行驶的汽车，它行驶的距离
S(单位：km)随时间t(单位：h)的变化而变化.(2)一
辆汽车的油箱中现有汽油50升，如果不再加油，平
均每千米耗油量为0.1升，油箱中剩余的油量y(单
位：升)随行驶里程 x（单位：千米）的变化而变化.(3)
京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v
（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：
h）的变化而变化.（4）某住宅小区要种植一个面积
为1000m2的长方形草坪，草坪的长y（单位：m）随
宽x（单位：m）的变化而变化.（5）已知博兴县的
总面积为9.01×102平方千米，人均占有的土地面积
S（单位：平方千米/人）随全县总人口n（单位：人）
的变化而变化.（6）圆的面积S随半径r的变化而变
化. (7)正方体棱长是x ，表面积为y，求y与x的关
系式。
(8)求多边形的对角线条数d与边数n的关系式。
(9)某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后
两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x
倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x
的值而确定，求y与x之间的关系。
学生在已有的知识
经验基础上，独立完
成预习导学的内容，
教师巡视指导；对学
习中遇到的问题，也
可小组讨论解决。
通过9实例，引导学生回忆
已学过的函数有关知识，为
本节课的学习作好铺垫；同
时查缺补漏，及时弥补所学
知识的漏洞。
提感出受问特题征教师提出问题：
1.以上9个函数中有我们学过的函数吗？分别是什么
函数？
2.那几个函数不属于我们学过的函数？它们有什么
共同的特点？
1.学生观察9个函数
解析式，分析其特
征，回忆学过的正比
例函数、一次函数、
反比例函数并板书
相应的函数表达式。
让学生根据函数解析式的
特征分类，目的是让学生对
一次函数、反比例函数、二
次函数的区别、特征有一个
比较清晰的认识，使学生充
分感受二次函数的本质特
征，为新课的实施作好铺
垫。
适学二、学习研讨在类比正比例函数、在学生充分感受二次函数
时生命定名义教师抓住时机，适时命名，像上面这样的函数就叫二
次函数，同时板书课题：26.1.1 二次函数
一次函数和反比例
函数的基础上，让学
生给二次函数下定
义。
的特征后，让学生用自己的
嘴说出来，加深对二次函数
的理解，同时，也是从感性
到理性的一个转化过程。
提规炼范总定结义在学生回答的基础上，教师板书。
师生共同订正、辨析
学生的回答，层层递
进，在类比、分析的
基础上完善、规范定
义。
通过提炼总结，规范定义的
过程，让学生更加明确二次
函数的本质特征，把知识从
感性上升到了理性。
定练义习辨巩析固1.练习：
判断下列函数中，y是x的二次函数的有哪些？若是，
写出相应的a、b、c。
（1）
x
x
y
1
2+
=，（2）2
24
)1
2(x
x
y-
-
=，
（3）1
2
52+
-
=x
x
y，（4）3
2-
+
=x
mx
y
（5）)1
(2-
=x
x
y，（6）100
22-
+
=x
x
y，
（7）a
ax
x
a
y-
+
-
=2
)1
(，（8）2x
y-
=
师生订正后，学生简记。
2已知函数p
nx
mx
y+
+
=2是二次函数的条件
是，是一次函数的条件
是。
3、函数2
3
2)1
(
)1
(x
m
x
m
y+
+
-
=是二次函数，
则m= 。
师生订正后，学生简记。
4、如图，有长为30米的竹篱笆，一面利用墙，墙长
15米，围成一矩形苗圃，设矩形的靠墙一边的长为x
米，矩形面积为y平方米，写出y 关于x的函数关
系式，并写出自变量的取值范围。
师生订正后，学生简记。
练习 1.学生独立完
成，教师提问；对学
习中出现的问题，学
生先自己讨论解决。
对一个函数，如何化
成二次函数的本质
形式，展开详细的分
析，并使学生掌握互
化的方法与依据。
练习2.3通过变式训
练，强化学生对新知
的掌握和对旧知的
复习，同时突出了二
次函数与一次函数
的区别。
练习4：让学生体会
在实际问题中自变
量x是有一定的取值
范围的。
在学生认为已经掌握了新
知的心态下，先让其碰壁，
出现问题了，再让他们讨论
出现问题的原因和解决方
案，这样有利于学生更深刻
地理解知识间的区别和联
系，以及解决问题的依据和
方法，加深对新知的理解；
同时也渗透了数学中的类
比思想。
教学小结1、学生总结反思节课的收获与疑问。
2、布置作业
教师总结，重点总结
新概念的形成过程、
本质特征和初步的
应用，以及本节课所
应用到的思想与方
法。
使学生对本节课的整体有
所把握，了解新旧知识的区
别与联系，及新知的形成过
程，提炼出思想方法，使学
生的思维得以升华。