【精品】鄂南高中届数学模拟试题5

N

M M

M A

A (

B )B

A x

y

O

图1 图2 图3

鄂南高中2011届数学模拟题（5）

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的)

1。抛物线24

1

x y -=的焦点坐标是：

Ａ。()1,0-Ｂ。()1,0 Ｃ.()0,1 Ｄ.()0,1-

2。三位同学乘同一列火车,火车有10节车厢，则至少有2位同学上了同一车厢的概率为

A ．

200

29

B ．

125

7 C ．

18

7 D ．

25

7 3．函数)2

||,0()sin()(π

ϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为π,若其图象向左平移

6

π

个单位后得到的函数为奇函数,则函数)(x f 的图象 A.关于点)0,12

(

π

对称B 。关于点)0,12

5(

π

对称

C 。关于直线12

5π=

x 对称D 。关于直线12π=x 对称

4．已知y ax y x y x x +⎪⎩

⎪

⎨⎧≤--≥+-≥若022,011

的最小值是2,则=a

A.1 B 。2C.3 D.4

5.函数'()y f x =是函数()y f x =的导函数，且函数

()y f x =在点00(,())p x f x 处的切线为

000:()'()()(),()()()

l y g x f x x x f x F x f x g x ==-+=-，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像如图所示，且0a x b <<,那么 A ．00'()0,F x x x ==是()F x 的极大值点 B ．0'()F x =00,x x =是()F x 的极小值点 C ．00'()0,F x x x ≠=不是()F x 极值点

D ．00'()0,F x x x ≠=是()F x 极值点

6．设O 为△ABC 内一点，若k ∀∈R ，有||||OA OB k BC OA OC --≥-，则△ABC 的形状一定是

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不能确定

7．已知函数2221,0

()21,0

x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩，则对任意12,x x R ∈，若120x x <<，下列不等式成立的是

A 。12()()0f x f x +< B. 12()()0f x f x +> C 。12()()0f x f x -> D.12()()0f x f x -<

8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>与抛物线2

8y x =有一个公共的焦点F ,且两曲线的一个交

点为P ，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为

A ．30x y ±=

B 30x y ±=

C ．20x y ±=

D ．20x y ±=

9．已知函数()f x 满足：①定义域为R ;②x ∀∈R ，有(2)2()f x f x +=；③当[1,1]x ∈-时，

()||1f x x =-+．则方程4()log ||f x x =在区间[10,10]-内的解个数是

A ．20

B ．12

C ．11

D ．10

10．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间(0,1)中的实数m 对应数轴上的点

M (如图1）

；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合（从A 到B 是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为(0,1)(如图3)，图3中直线AM 与x 轴交于点,0N n ,则m 的象就是n ,记作f m n ．

则下列命题中正确的是

A ．114f ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

B ．()f x 是奇函数

C ．()f x 在其定义域上单调递增

D ．()f x 的图象关于y 轴对称

二．填空题（本大题共5小题，每小题5分,共25分)

11.若点P 在直线03:1=++y x l 上,过点P 的直线2l 与曲线2

2

:(5)16C x y -+=只有一个公共点

M ,则PM 的最小值为__________.

12。“三角形的三条中线交于一点,且这一点到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍”.试类比：四面体的四条中线（顶点到对面三角形重心的连线段）交于一点，且这一点到顶点的距离等于它到对面重心距离的倍。

13．已知函数399)(+=x x x f ,则12()()f f k k +31

()(

)k f f k

k

-++

+=(用含有k 的代数式表示，其中2,k k ≥∈Z ）

．

14．设函数2()3f x x ax a =-++,()2g x ax a =-．若∃0R x ∈，使得0()0f x <与0()0g x <同时成立,则实数a 的取值范围是．

15．当n 为正整数时，定义函数N (n ）表示n 的最大奇因数．如N (3）=3，N （10)=5,…． 记()(1)(2)(3)(2)n S n N N N N =+++

+．则（1)(4)S =；（2）()S n =．

三．解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写演算步骤） 16．（本小题满分12分）某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门,系统会随机(即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未．到过．．

的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间． （1)求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望．

17．（本小题满分12分)某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知

AB =AC =6km,现计划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一

个变电站．记P 到三个村庄的距离之和为y . （1）设PBO α∠=,求y 关于α的函数关系式;

(2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？

18．（本小题满分12分）如图,在长方体1111ABCD A B C D -中，

,E F 分别是棱BC ，1CC 上的点,2CF AB CE ==,1::1:2:4AB AD AA =。

（Ⅰ)求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值： (Ⅱ）证明AF ⊥平面1A ED ；

（Ⅲ)求二面角1A ED F --的正弦值.

19。（本小题满分12分）已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为3e =，

以原点O 为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，A 、B 分别是椭圆的左、

右两个顶点，P 为椭圆C 上的一个动点.

（Ⅰ)求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若P 与A 、B 均不重合,设直线PA 与PB 的斜率分别为1k 、2k ，证明:12k k ⋅为定值； （Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若OP

OM

λ=,求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

20.(本小题满分13分)设函数y ＝f （x )的定义域为(0，＋∞）,且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x 、y ∈(0，＋∞）都有:f (xy ）＝f (x ）＋f (y )成立，数列｛a n }满足：a 1＝f （1)＋1，f (－）＋f （＋)＝0.

设S n ＝222222

222212233411n n n n a a a a a a a a a a -++++

++。

（1)求数列｛a n }的通项公式，并求S n 关于n 的表达式；

（2）设函数g (x )对任意x 、y 都有：g (x ＋y ）＝g (x ）＋g (y ）＋2xy ,若g (1）＝1,正项数列｛b n ｝满足：

2n b ＝g ()，T n 为数列｛b n }的前n 项和，试比较4S n 与T n 的大小.

21.(本小题满分14分)已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断,定义：

1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈，2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈．其中，

min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值,max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大

值．若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”

． （1）已知函数()2sin ,[0,]2f x x x π=∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式，并判断()f x 是否为[0,]2

π

上

的“k 阶收缩函数”，如果是,请求对应的k 的值；如果不是，请说明理由；

O

B

C

A P

（第17题图）

A

C

D

1A 1

B 1

C 1

E F