数分下期末复习

数分期末复习（下）

积分区域的划分

3

arcsin

22

422

0arcsin

4

22

r

r

rdr d

π

π

θ

−

−

⎰⎰

()()()()

111

1

z x z

F z f x dx dy f x x dx

==−

⎰⎰⎰

积分中值定理

对称性：先看积分函数或者积分曲线曲面的对称性，再看积分区域的对称性

cos dxdz dS

β=

Green公式的应用

2

22

2

,0

2

0 L

2

L

L

xdy ydx

ac b L

ax bxy cy

ac b

π

−

−>

++

⎧

⎪

⎨

⎪

−

⎩

⎰

计算积分：满足，其中为逆时针方向的单位园不包含原点

包含原点

Guass公式应用

()

()

()

()()

()

3

2222

2222

22

,

23 ,

21

10,

5169

xdydz ydzdx zdxdy

x y z

a x y z R

x y

z

b z

∑

++

∑

++

++=

−−

−=+≥

⎰⎰

计算积分：为

椭球面取外侧

抛物面取外侧

Stokes公式应用

1

22

114

z

C

xoy

x dS dz x ds

∑

−=−=

⎰⎰⎰⎰

在平面上投影为曲线，考虑切片法

222222

22222

2

=

444

2

a

L

x y ax x y z a

a

S a x y ds a ax dx a

ax x

+=++

=−−=−=

−

⎰⎰

求柱面被球面所截下的部分的面积

()()()222200222222222222sin 2220001 1 ,,0,,,01232sin cos sin sin sin sin 8sin z

c c D x y z x y z a b c a b c ab z abc dz dxdy dz c x y z x y a

b c a b x ar y br z cr r abc d d r dr π

πϕϕθ

ϕθ

ϕ

ϕ

πθϕϕ⎛⎫⎛⎫++=≥> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎛⎫=−= ⎪⎝⎭⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰求下面曲面围成的立体的体积带入得4

abc

222

444222

222222

1114111

3

x y z x y z

dS dydz dxdz dxdy

a b c a b c

dV abc

a b c a b c

π

∑∑

Ω

++=++

⎛⎫⎛⎫

=++=++

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰