第四章气体管流基本方程

V 对于定常流动， t 0
dp V 2 V g sin V dx 2D x
第三节
能量方程
对于任何系统而言，各项能量之间的平衡 关系一般可表示为：
进入系统的能量—输出系统的能量=系统 储存能的增量
热力学第一定律： 系统储存能的变化＝系统吸收的热量－系 统对外做的功
V2 gz 0 A u t 2
d VA 0 dx
化简
dQ d V2 h VA VA gz dx dx 2
dQ dh dV dz V g dx dx dx dx
第二节 运动方程
运动方程是牛顿第二定律应用于流体运动的形式。牛顿第 二定律表述为：作用于控制体的外力的合力等于流体的动量变 化，或者：作用于物体的外力的合力等于物体的质量乘以物体 的加速度，即

d AdxV Fx dt
Fx Adx d V dt
考虑到dx和A为常数，可写成：
如果ρ不随时间发生变化
一、总能量
V2 E m u gz 2
V2 Adx u gz 2
在dt时间内总能量增量
2 V E Adx u gz dt t 2
二、在此时间dt内控制面上的流动净功和交换 的能量
Ⅰ—Ⅰ截面上对控制体作流动功 和流入的能量为
p V2 u W I Adt gz 2 V2 A h gz dt 2
在截面Ⅱ—Ⅱ上对外作流动功和流出的能量为
V2 V2 h dt A h W II A gz g dx 2 x 2
第四章 气体管流基本方程
（了解）
由于气体有明显的可压缩性，所以在
管内流动时，沿程压力逐渐降低，气体密
度不断增大。
决定气体管流状态的参数有四个：压力
p，密度ρ ，流速ν ，温度T，均沿管长随
时间变化，它们是距离x和时间t的函数。
为了求得p, ρ ,T和V(流速)，必须有
四个方程式，即连续性方程，运动方程，
Q VAdxdt Q x
Q V2 V2 VA A u gz VA h gz x x t 2 2
对于定常流动
由热力学一般 关系式
h h dh dT dp p T P T
dQ h dT h dp dV dz V g dx T P dx p T dx dx dx
第四节
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流体质量的增量为（忽略高阶微量）
m m A A dxdt m 2 1 t t
因为 所以可得 整理后得
m m
V A A A AV V A 0 x x x t t
A AV 0 t x
这就是管内一元流动的质量连续条件。方程称为连续性方程。
对于恒定流动，其流动参数不随时间改变
( A) 0 t
方程变为 或
AV 0 x
AV 常数 m
上式表示，管道任意截面的质量流量的相等。
若流通截面A不随x变化，则
V 常数
或
1V1 2V2
即管道任意截面的流体密度与流速成反比。
状态方程
故在dt时间内多流进的质量为（忽略高阶微量）
V A dm m1 m 2 A AV V dxdt x x x
又，假定该微小段流体在时刻t具有平均截面积A和平均密度ρ，
此时刻的流体质量为
Adx m1
而在t＋dt时刻，流体质量为
dt A A dt dx m2 t t
能量方程和气体状态方程。
第一节 连续性方程
在dt时间内，从I－I截面流入该 微小段的流体质量为
I II
m1 ρAVdt
II
在dt时间内从II－II截面流出 微小段的流体质量为
I
微小段内流体质量的变化
A V m2 dx A dx V dx dt x x x

则有：

Fx Adx
dV ma dt
作用于控制体的外力都有哪些呢？
作用于控制体的外力包括： 压力:F1=pA F2=-(P+dP)A
质量力（重力）沿x轴的分力:
Gx=-ρ gAdxsinθ 管壁摩擦阻力:
dx V 2 S A D 2
F
x
F1 F2 Gx S
两者之差即加入控制体的流动净功和能量
V2 W WI W II A h g dxdt x 2
三、在时间dt内的热量交换
dt内从长度dx管段上的热损失为 代入热力学第一定律，有
Q V2 V2 VAdxdt A u gzdxdt VA h gzdxdt x t 2 x 2
dx V 2 pA (P dP)A gAdxsin A D 2
d AdxV dV Adx dt dt dV V V dx V V V dt t x dt t x
整理前式有：
dp V 2 V V g sin V dx 2D t x