2.2.3 向量的数乘 学案(含答案)
2. 2.3《向量的数乘运算及几何意义》教学设计.docx
2. 2.3《向量的数乘运算及几何意义》教学设计教学基本流程已知三点A、B、C共线, o 是平Fl而内任意一点, 若有oc = 2OA +//OB, 试求证2 + “ = 1学生的综合能力。
板书设计2.2.3向量数乘的运算及其几何意义1.向量数乘的定义；2.数乘向量的运算律;3.共线向量定理；例题讲解例1.例2、变式一、变式二例3.例4课堂小结教学反思1.向量数乘运算及其几何意义是继向量的加法、减法Z麻的基木运算，为了正确的认识向量数乘运算及其儿何意义，首先复习了向量的加法、减法，然后通过学生比较熟悉的位移例了，引入主题。
从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生学习兴趣。
2.实数与向量的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，可以结合图形给学生直观解释，程度好的学生可以适当指导给出证明，证明的关键是向量的两要素：方向和大小。
3.由于学生已理解平行向量，因此可以让学生观察平行向量间的关系，可以提示从方向和大小两个方血來考虑。
然示指出向量平行的充要条件实质上是由实数与向最的积得到的。
给学生说明定理的作用，通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行，要指出与平瓯屮直线间的平行的区别。
4.木节课总共设置三个探究题，目的是通过学生自主探究、合作释疑，参与知识形成的过程。
木节课的教学理念是：体现学生的主体地位，培养学生科学的探究能力。
设计本节课Z后，我想让学生在知识上：掌握向量数乘的定义、运算律及其几何意义，理解两个向量共线的含义并能解决：向量共线、三点共线、直线平行等问题。
在能力上：培养学生白主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程屮合作交流的能力。
通过对例题的分析，使学生掌握解题的思想和方法；对变式训练的操作，使学生巩固知识点的掌握；通过当堂检测，判断学生的收获；通过课后拓展提高，开阔学生视野，拓宽知识血。
希望通过木节课，能更好的培养学生的创新能力。
新课程标准高中数学人教A版高中数学必修4113向量数乘运算及其几何意改授课人：孔明明2013年3月20日。
高中数学 必修四 2.2.3向量数乘运算教案
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
一、教学过程：
（一）复习：
已知非零向量 作出 + + 和( )+( )+( )
B
A
O
C
P
Q
M
N
= = + + =3
= =( )+( )+( )=3
讨论：13 与 方向相同且|3 |=3| |
23 与 方向相反且|3 |=3| |
（二）新课讲解：
1．实数与向量的积的定义：
，
2
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
4．向量共线定理：
定理：如果有一个实数 ，使 （ ），那么向量 与 是共线向量；反之，如果向量 与 （ ）是共线向量，那么有且只有一个实数 ，使得 ．
三、课堂练习：
课本例6，例7
教材P90面1、2、3题
教
学
小
结Hale Waihona Puke 1．掌握向量数乘运算的定义；
2．掌握向量数乘运算的运算律，并进行有关的计算；
1
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
一般地，实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：
（1） ；
（2）当 时， 的方向与 的方向相同；
当 时， 的方向与 的方向相反；
当 时， ．
2．实数与向量的积的运算律：
（1） （结合律）；
（2） （第一分配律）；
（3） （第二分配律）．
高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义第二章2.22.2.3向量数乘运算及其几何意义含答案
2．2.3向量数乘运算及其几何意义预习课本P87～90，思考并完成以下问题(1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？(2)向量数乘运算满足哪三条运算律？(3)向量共线定理是怎样表述的？(4)向量的线性运算是指的哪三种运算？[新知初探]1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.[点睛](1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算．(2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0.2．向量共线的条件向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.[点睛] (1)定理中a 是非零向量，其原因是：若a ＝0，b ≠0时，虽有a 与b 共线，但不存在实数λ使b ＝λa 成立；若a ＝b ＝0，a 与b 显然共线，但实数λ不唯一，任一实数λ都能使b ＝λa 成立．(2)a 是非零向量，b 可以是0，这时0＝λa ，所以有λ＝0，如果b 不是0，那么λ是不为零的实数．3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b 及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)λa 的方向与a 的方向一致．( )(2)共线向量定理中，条件a ≠0可以去掉．( )(3)对于任意实数m 和向量a ，b ，若ma ＝mb ，则a ＝b .( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．若|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 方向相同，则下列关系式正确的是( ) A ．b ＝2a B ．b ＝－2a C ．a ＝2b D ．a ＝－2b答案：A3．在四边形ABCD 中，若AB ＝－12CD ，则此四边形是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．矩形答案：C4．化简：2(3a ＋4b )－7a ＝______. 答案：－a ＋8b[例1] 化简下列各式： (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ； (2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .[解] (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .[活学活用] 化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[]2(2a ＋8b )－4(4a －2b ). 解：(1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b . (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .[典例]N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC ＝a ，BD ＝b ，试用a ，b 分别表示DE ，CE ，MN .[解] 由三角形中位线定理，知DE 綊12BC ，故DE ＝12BC ，即DE ＝12a . CE ＝CB ＋BD ＋DE ＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN ＝MD ＋DB ＋BN ＝12ED ＋DB ＋12BC＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .如图，四边形OADB 是以向量OA ＝a ，OB ＝b 为边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM ，ON ，MN .解：∵BM ＝13BC ＝16BA ＝16(OA －OB )＝16(a －b )，∴OM ＝OB ＋BM ＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .∵CN ＝13CD ＝16OD ，∴ON ＝OC ＋CN ＝12OD ＋16OD＝23OD ＝23(OA ＋OB )＝23(a ＋b )． ∴MN ＝ON －OM ＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .1．已知两个非零向量a 与b 不共线，AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线， 又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．题点二：利用向量的共线确定参数2．已知a ，b 是不共线的两个非零向量，当8a ＋kb 与ka ＋2b 共线时，求实数k 的值． 解：∵8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，∴存在实数λ，使得8a ＋kb ＝λ(ka ＋2b )， 即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0.∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得λ＝±2，题点三：几何图形形状的判定3.如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC .求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．AB AC AB AC AB AC层级一 学业水平达标1．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝( ) A ．57bB ．－57bC ．75bD ．－75b解析：选B b 与a 反向，故a ＝λb (λ＜0)，|a |＝－λ|b |，则5＝－λ×7，所以λ＝－57，∴a ＝57b .2．已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c ＝( ) A ．5e B ．－5e C ．23eD ．－23e解析：选C 2a －3b ＋c ＝2×5e －3×(－3e )＋4e ＝23e .3．已知AB ＝a ＋5b ，BC ＝－2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ＝BC ＋CD ＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB ， 又∵BD 与AB 有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB ，则t 的值为( )A ．13B ．23C ．12D ．53解析：选A 由题意可得AP ＝CP －CA ＝23CA ＋13CB －CA ＝13(CB －CA )＝13AB ，又AP ＝t AB ，∴t ＝13.5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝( )A ．13a ＋bB ．12a ＋bC ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：选A 由已知条件可知BE ＝3DE ，∴DF ＝13AB ，∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13AB ＝13a ＋b . 6．若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 解析：由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0， ∴x ＋3a －4b ＝0，∴x ＝4b －3a . 答案：4b －3a7．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)． ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.解析：①中，a ＝－b ；②中，b ＝－2e 1＋2e 2＝－2(e 1－e 2)＝－2a ；③中，a ＝4e 1－25e 2＝4⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2＝4b ；④中，当e 1，e 2不共线时，a ≠λb .故填①②③. 答案：①②③8．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3.答案：－1或3 9．计算：(1)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )； (2)(2m －n )a －mb －(m －n )(a －b )(m ，n 为实数)． 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25－23＋415a ＋⎝⎛⎭⎫－25－43＋2615b ＝0. (2)原式＝2ma －na －mb －m (a －b )＋n (a －b ) ＝2ma －na －mb －ma ＋mb ＋na －nb ＝ma －nb .10．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝ke 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ， ∴2e 1－e 2＝λ(ke 1＋e 2)＝λke 1＋λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λk ＝2，λ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1， ∴k ＝－2.层级二 应试能力达标1．设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相同 B ．a 与－λa 的方向相反 C ．a 与λ2a 的方向相同 D ．|λa |＝λ|a |解析：选C 只有当λ>0时，a 与λa 的方向相同，a 与－λa 的方向相反，且|λa |＝λ|a |.因为λ2>0，所以a 与λ2a 的方向相同．2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边BC 的中点，且2OA ＋OB ＋OC ＝0，则( )A ．AO ＝ODB ．AO ＝2ODC ．AO ＝3ODD ．2AO ＝OD解析：选A ∵在△ABC 中，D 为边BC 的中点，∴OB ＋OC ＝2OD ，∴2(OA ＋OD )＝0，即OA ＋OD ＝0，从而AO ＝OD .3．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A ．λ1＝λ2＝1B ．λ1＝λ2＝－1C ．λ1λ2＝1D ．λ1＋λ2＝1解析：选C ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ＝k AC (k ≠0)． ∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b . 又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1. 4．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA ＋PB ＋PC ＝AB ，则( ) A ．点P 在△ABC 外部 B ．点P 在线段AB 上 C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上解析：选D ∵PA ＋PB ＋PC ＝AB ， ∴PA ＋PB ＋PC －AB ＝0，∴PA ＋PB ＋BA ＋PC ＝0，即PA ＋PA ＋PC ＝0， ∴2PA ＝CP ，∴点P 在线段AC 上．5．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2方向相反，则k ＝______. 解析：∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2共线， ∴ke 1＋2e 2＝λ(8e 1＋ke 2)＝8λe 1＋λke 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8λ，2＝λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，k ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－4.∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2反向， ∴λ＝－12，k ＝－4.答案：－46.如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b )表示．解析：MN ＝MC ＋CN ＝MC －NC ＝12AD －14AC＝12b －14(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )． 答案：14(b －a )7．已知：在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD ＝2BC .∴AD 与BC 共线，且|AD |＝2|BC |. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．8.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量 OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，则有OA ＝12(OB ＋OC )，从而OC ＝2OA －OB ＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD ＝23OB ，从而DC ＝OC －OD ＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC ＝μDC ， 又EC ＝OC －OE ＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC ＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。
《向量的数乘运算及其几何意义》学案1
《2．2．3向量的数乘运算及其几何意义》学案学习目标：1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义； 2．熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律； 3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。
学习过程：探究：已知非零向量a ，试作出a a a ++和)()()(a a a-+-+-，你能说明它的几何意义吗？ a问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？向量数乘运算的定义：____________________________________ 长度和方向规定如下：（1）(2)问题2：你能说明它的几何意义吗？小露一手：教材P90 练习2、3题问题3：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律，你能说出数乘向量的运算律吗？ （1）=)(aμλ （2）=+a)(μλ（3）=+)(b aλ问题4：你能解释上述运算律的几何意义吗？ 例1．计算：（1）4)3(⨯- ；（2）---+)(2)(3 ； （3）)23()32(+---+ ； 小露一手：教材P90 练习5题向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意的向量b a,，以及任意实数21,,μμλ，恒有b a b a2121)(λμλμμμλ±=±.问题5：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？共线向量定理：向量)0(≠a a 、b 共线，当且仅当有一个实数λ，使得a b λ=.思考: 1) a为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?3) 怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？小露一手：教材P90练习题4题三点的位置关系。
、、试判断，已知，变式一：如图E C A .33BC DE AB AD ==DE BC //.A 3A 3求证：，已知，变式二：如图==总结归纳：例3.如图，已知任意两个向量,,b a试作出.3,2,b a OC b a OB b a OA +=+=+=你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？例4.如图，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且b AD a AB ==,，你能用b a,表示,,,吗？课堂练习：教材P90练习题6题课后作业（1）教材P91 A 组习题9—13题（必做）；B 组习题3、4、5题（选做）课后思考1O C B A =++=μλμλ若有是平日面内任意一点，共线，、、已知三点学习反思：2例..33是否共线与试判断，已知，如图AE AC BC DE AB AD ==DbaABC D E。
2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教学设计)(最新整理)
SCH 高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A 版必修4第二章）2.2.3向量数乘运算及其几何意义（教学设计）一、知识与能力：1、理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。
2、理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
3、通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。
二、过程与方法：1． 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；2．体会数形结合的数学思想方法.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．教学重点:实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件．教学难点:向量共线的充要条件．一、复习回顾，新课导入探究：已知非零向量a ，作出a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a)，并说明它们的几何意义.类似数的乘法，把a+a+a 记作3a ，显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的3倍，即|3a|=3|a|.同样，(-a )+(-a )+(-a )=3(-a )，显然3(-a )的方向与a 的方向相反，3(-a )的长度是a 的3倍，这样3(-a )=-3a .由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。
二、师生互动，新课讲解1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，称为向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |=|λ||a |；（2）当λ>0时，λa 的方向与向量a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反.2． 特别地，当λ=0或a=0时，λa=0；当λ=-1时，(-1)⋅a=-a ，就是a 的相反向量.3． 实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么（1）λ(μa )=( λμ)a ；（结合律）（2）(λ+μ)a=λa+μa ；（第一分配律）（3）λ(a+b )= λa+λb .（第二分配律）结合律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立a 0如果λ≠0，μ≠0，≠有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ|||a 0a a a |(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ|||a a a ∴|λ(μ)|=|(λμ)|a aSCH 高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A 版必修4第二章）如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；a 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(A3)
重点 难点
1．实数 λ 与向量 a 可作数乘，但实数 λ 不能与向量 a 进行加、减运算， 如 λ＋a，λ－a 都是无意义的．还必须明确 λa 是一个向量，λ 的符号与 λa 的方向相 关，|λ|的大小与 λa 的模长有关． 2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要 注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中 的“平行”或“点共线”问题. 【向量数乘运算的物理背景】 (1)一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量 v，那么在同方向上 3 秒钟的位移对应的向量 用 3v 表示，试在直线 l 上画出 3v 向量，看看向量 3v 与 v 的关系如何？
鸡西市第十九中学学案
2015 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
2.2.3 学习 目标
向量数乘运算及其几何意义
1．了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义． 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算． 3．理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关 共线向量问题．
CD ＝4e1－8e2，求证：A、B、D 三点共线．
3．已知 e1 与 e2 不共线， AB ＝e1＋e2， BC ＝2e1＋8e2， CD ＝3(e1－e2)， 求证：A、B、D 三点共线．
例3
如图， ▱ABCD 的两条对角线相交于点 M， 且 AB ＝a，AD ＝b， 你能用 a、 b 表示 MA 、MB 、
三点之间的位置关系，并说明理由．
1 1 1 2．如图， AM ＝ AB ， AN ＝ AC .求证： MN ＝ BC . 3 3 3 小结 本题给出了证明三点共线方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数 λ，使 a＝λb， 先证向量共线，再证三点共线． 训练 2 已知两个非零向量 e1 和 e2 不共线，如果 AB ＝2e1＋3e2， BC ＝6e1＋23e2，
2.2.3--向量数乘运算及其几何意义(教案)
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义【教学目标】1、知识与技能掌握实数与向量的积的定义，理解实数与向量的积的几何意义；掌握实数与向量的积得运算律；理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。
2、过程与方法通过本节的教学，培养学生数形结合和分类讨论思想，同时渗透类比和化归思想方法。
3、情感、态度与价值观通过对向量共线的充要条件的分析理解，培养学生严谨的学习习惯。
【教学重点】实数与向量积的定义、运算律，向量共线的充要条件。
【教学难点】向量共线定理的理解。
【教学方法】讲练结合法。
【教学过程】〖创设情境 导入新课〗【导语】在物理学科中我们学习过如下的公式：,F ma S vt ==u r r u r r等，这些公式都是实数与向量的乘积的具体体现，并且从这些公式可以看出，实数可以与向量相乘，并且一个实数乘以一个向量的结果还是一个向量。
因此，在数学中我们就从这些公式出发，抽象出一般的实数与向量的乘积的定义以及它们的一些运算律和性质。
在小学我们由几个相同的有理数相加导出了数的乘法的运算法则，现在我们已经学过了向量的加法运算，那么由几个相同的向量相加，我们又能否得出类似的实数与向量的乘法运算呢？已知向量a r ，求向量a a a ++r r r 和()()()a a a -+-+-r r r，并思考和向量与向量a r 的关系。
【总结】（1）由于向量a a a ++r r r 是由三个向量a r 相加得到的，因此为了简单起见，我们将a a a ++r r r记作：3a r ，因此3a r 是一个向量，又因为a a a ++r r r 的方向与向量a r 的方向相同，模长为向量a r的模长的3倍，所以3a r 的方向与向量a r 的方向相同，模长为向量a r 的模长的3倍。
即：向量3a r 与向量a r 同向且33a a =r r 。
（2）类似地，由于()()()a a a -+-+-r r r 是由三个向量()a -r相加得到的，因此为了简单起见，我们将()()()a a a -+-+-r r r 记作：()3a -r ，因此，()3a -r 也是一个向量，又因为()()()a a a -+-+-r r r的方向与向量a r 的方向相反，模长为向量a r 的模长的3倍，所以()3a -r 的方向与向量a r 的方向相反，模长为向量a r 的模长的3倍。
2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教学设计)(可编辑修改word版)
SCH 高中数学（南极数学）同步教学设计（人教 A 版必修 4 第二章）2.2.3 向量数乘运算及其几何意义（教学设计）一、知识与能力：1、理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。
2、理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
3、通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。
二、过程与方法：1. 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；2. 体会数形结合的数学思想方法.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．教学重点:实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件． 教学难点:向量共线的充要条件．一、复习回顾，新课导入探究：已知非零向量a ，作出a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a)，并说明它们的几何意义.类似数的乘法，把 a+a+a 记作 3a ，显然 3a 的方向与 a 的方向相同，3a 的长度是 a 的 3 倍，即|3a|=3|a|.同样，(-a )+(-a )+(-a )=3(-a )，显然 3(-a )的方向与 a 的方向相反，3(-a )的长度是 a 的 3 倍，这样 3(-a )=-3a . 由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。
二、师生互动，新课讲解1．定义：实数λ与向量 a 的积是一个向量，称为向量的数乘，记作a ，它的长度与方向规定如下： （1）|λa |=|λ||a |；（2）当λ>0 时，λa 的方向与向量 a 的方向相同；当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反.2． 特别地，当λ=0 或 a=0 时，λa=0；当λ=-1 时，(-1)a=-a ，就是 a 的相反向量.3. 实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么（1）λ(μa )=( λμ)a ；（结合律）（2）(λ+μ)a=λa+μa ；（第一分配律）（3）λ(a+b )= λa+λb .（第二分配律）结合律证明： 如果λ=0，μ=0， a= 0 至少有一个成立，则①式成立 如果λ≠0，μ≠0， a ≠ 0 有：|λ(μ a)|=|λ||μ a |=|λ||μ|| a ||(λμ) a |=|λμ|| a |=|λ||μ|| a | ∴|λ(μ a )|=|(λμ) a |SCH 高中数学（南极数学）同步教学设计（人教 A 版必修 4 第二章）b b b 1 如果λ、μ 同号，则①式两端向量的方向都与 a 同向；如果λ、μ 异号，则①式两端向量的方向都与 a 反向。
高中数学 2.2.3数乘向量教案
2.3从速度的倍数到数乘向量一、教学目标： 1.知识与技能（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。
（3）要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。
（4）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。
为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神. 二.教学重、难点重点: 1. 实数与向量积的定义及几何意义.2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 难点: 1. 实数与向量积的几何意义的理解. 2. 平面向量基本定理的理解. 三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】1．思考: （引入新课）已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a )−→−OC =−→−−→−−→−++BC AB OA =a +a +a =3a−→−PN =−→−−→−−→−++MN QM PQ =(-a )+(-a )+(-a )=-3a讨论：① 3a 与a 方向相同且|3a |=3|a | ② -3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a |2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λaaaa aO A B C a -a -a -a-N MQP①|λa |=|λ||a|②λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =（请学生自己解释其几何意义）[展示投影]例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充）例1.（见P96例1）略 [展示投影]思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）结合律：λ(μa )=(λμ)a ① 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a | |(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a| ∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a 反向。
高中数学 2.2.3 向量的数乘(1)教案 苏教版必修4
一、课题：向量的数乘（1）二、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；3．理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。
三、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律，向量共线的充要条件； 2．向量共线的充要条件及其应用。
四、教学过程：（一）复习：已知非零向量a ，求作a a +和()()a a -+-．如图：OB a a =+2a =，()()CE a a =-+-2a =-．（二）新课讲解：1．实数与向量的积的定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下：（1）||||||a a λλ=；（2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ= 时，0a λ=．2．实数与向量的积的运算律：（1）()()a a λμλμ=（结合律）；（2）()a a a λμλμ+=+（第一分配律）；（3）a b λλλ+（a+b ）=（第二分配律）．例1 计算：（1）(3)4a -⨯； （2）3()2()a b a b a +---； （3）(23)(32)a b c a b c +---+．解：（1）原式=12a -； （2）原式=5b ； （3）原式=52a b c -+-．3．向量共线的充要条件：定理：（向量共线的充要条件）向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=．例2 如图，已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线．解：∵333()3AE AD DE AB BC AB BC AC =+=+=+=∴AC 与AE 共线．例3 判断下列各题中的向量是否共线：（1）21245a e e =-，12110b e e =-； （2）12a e e =+，1222b e e =-，且1e ，2e 共线．解：（1）当0a =时，则0b =，显然b 与a 共线．当0a ≠时， 12121121(4)10454b e e e e a =-=-=，∴b 与a 共线． （3）当1e ，2e 中至少有一个为零向量时，显然b 与a 共线．当1e ，2e 均不为零向量时，设12e e λ=∴2(1)a e λ=+，2(22)b e λ=-a -E a a a O B A CD a - A B C D E若1λ=-时，，0a =，显然b 与a 共线． 若1λ≠-时，221b a λλ-=+，∴b 与a 共线．例4 设12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-， 若A ，B ，D 三点共线，求k 的值。
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2.2.3 向量的数乘学案（含答案）
2.2.3向量的数乘学习目标
1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.
3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题知识点一向量数乘的定义实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下
1|a||||a|；2aa0的方向当0或a0时，a0.实数与向量a相乘，叫做向量的数乘知识点二向量数乘的运算律1aa；2aaa；3abab.知识点三向量共线定理1向量共线定理如果有一个实数，使baa0，那么b与a是共线向量；反之，如果b与aa0是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.2向量的线性运算向量的加法.减法.数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有1a2b1a2b.思考向量共线定理中为什么规定a0答案若将条件a0去掉，即当a0时，显然a与b共线1若b0，则不存在实数，使ba.2若b0，则对任意实数，都有ba.1若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.提示当b0，a0时，实数不唯一2若baa0，则a与b共线提示由向量共线定理可知其正确3若a0，则a0.提示若a0，则a0或0.题型一向量数乘的基本运算例11化简22a4b45a2b解22a4b45a2b4a8b20a8b16a16b4a4b.2已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x2ya，
4x3yb，求向量x，y.解由32，得x3a2b，代入得33a2b2ya，所以x3a2b，y4a3b.反思感悟1
向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号.移项.合并同类项.提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”.“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数2向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算跟踪训练11计算ab3ab8a.解ab3ab8aa3a8ab3b10a4b.2若
2cb3yb0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y___________.答案abc解析因为2cb3yb0，3yabc0，所以yabc.题型二向量共线的判定及应用命题角度1判定向量共线或三点共线例2已知非零向量e1，e2不共线1若ae1e2，b3e12e2，判断向量a，b是否共线；2若e1e2，2e18e2，3e1e2，求证A，B，D三点共线1解
b6a，a与b共线2证明e1e2，2e18e23e13e25e1e
25.，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线反思感悟1
向量共线的判断证明是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线2利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用baa0，还要说明向量a，b有公共点跟踪训练2已知非零向量e1，e2不共线，如果e12e2，5e16e2，7e12e2，则共线的三个点是________答案A，B，D解析e12e2，5e16e27e12e22e12e
22.，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线命题角度2利用向量共线求参数值例3已知非零向量e1，e2不共线，欲使
ke1e2和e1ke2共线，试确定k的值解ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2e1ke2，则ke1k1e2，由于e1与e2不共线，只能有k
1.反思感悟利用向量共线定理，即b与aa0共线ba，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值跟踪训练3设两个不共线的向量e1，e2，若a2e13e2，b2e13e2，c2e19e2，问是否存在实数，，使dab与c共线考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数解d2e13e22e13e222e133e2，要使d 与c共线，则存在实数k，使得dkc，即22e133e22ke19ke
2.因为e1与e2不共线，所以得
2.故存在实数和，使得d与c共线，此时
2.题型三用已知向量表示其他向量例4在ABC中，a，b，若点D满足2，则___________.用a，b表示答案ab解析示意图如图所示，由题意可得ab.反思感悟用已知向量表示未知向量的求解思路1先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中2然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量3当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程跟踪训练4如图，在ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，3a，2b，求，.解3a，2b，2b3a，又
D，E为边AB的两个三等分点，ba，3aba2ab，3a3a2b3aab.1下列各式计算正确的有176a42a；27ab8b7a15b；3a2ba2b2a；
442ab8a4b.A1个B2个C3个D4个考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案C解析134正确，2错，7ab8b7a7b8b7ab.2在ABC中，M是BC的中点，则等于
A.
B.C2
D.考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案C解析如图，作出平行四边形ABEC，因为M是BC的中点，所以M也是AE的中点，由题意知，2，故选
C.3设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2kR与向量ne22e1共线，则Ak0Bk1Ck2Dk考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案D解析当k时，me1e2，n2e1e
2.n2m，此时m，n共线4已知P，A，B，C是平面内四点，且，则下列向量一定共线的是
A.与
B.与
C.与
D.与考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定向量共线答案B解析因为，所以0，即2，所以与共线
5.如图所示，已知，用，表示.考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量解.1实数与向量可以进行数乘运算，
但不能进行加减运算，例如a，a是没有意义的2a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的||倍向量表示与向量a同向的单位向量3向量共线定理是证明三点共线的重要工具即三点共线问题通常转化为向量共线问题。